Перейти до основного вмісту

Трапеція та її властивості

Трапеція та її властивості — це тема, яка вимагає не лише знання формул, а й навичок додаткових побудов. Більшість задач НМТ на трапецію розв’язуються через проведення висот, які відтинають прямокутні трикутники, або використання властивостей середньої лінії. На цій сторінці ми зібралирозбір актуальних завдань НМТ та ЗНО, де ви знайдете приклади роботи з рівнобічними, прямокутними та описаними навколо кола трапеціями.

Особливу увагу приділено методам пошуку основ та бічних сторін через теорему Піфагора та подібність трикутників. Якщо ви шукаєте розв'язок конкретної задачі з демонстраційного варіанта або тестів минулих років — просто гортайте вниз. Кожен приклад містить детальне пояснення кроків та необхідні креслення.

Трапеція - чотирикутник, у якого дві протилежні сторони (основи) паралельні, а інші - ні (бічні сторони).
Види трапецій:
  • Рівнобічна - бічні сторони рівні
  • Прямокутна - одна з бічних сторін перпендикулярна до основи
Середня лінія трапеції (відрізок, що сполучає середини бічних ребер трапеції) дорівнює половині суми основ.

Завдання. НМТ 2026 (демо). На рисунку зображено прямокутну трапецію АВСD. Точка О – середина діагоналі AC, AB = BC, AC = 40 см, CD = 24 см. Узгодьте відрізок (1– 3) із його довжиною (А – Д).

1 AO
2 AD
3 AB
А 20
Б 16
В 25
Г 27
Д 32
Показати відповідь
1–А, 2–Д, 3–В.
1. Так як т. О - середина АС, то АО = АС : 2 = 40 : 2 = 20 см.
2. Так як ∠D = 90°, то трикутник АСD є прямокутним. Тоді за теоремою Піфагора AD2 = AC2 - CD2 = 402 - 242 = 1600 - 576 = 1024. Звідси AD = √1024 = 32 см.
3. Нехай АВ = ВС = х см. Проведемо з точки В висоту ВК. Так як KBCD - прямокутник, то ВК = CD = 24 см, KD = BC = х см. В прямокутному трикутнику АВК маємо АК = 32 - х (АК = AD - KD), ВК = 24 см, АВ = х см. Запишемо теорему Піфагора.
AB2 = AK2 + BK2
x2 = (32 - x)2 + 242
x2 = 1024 - 64x + x2 + 576
x2+ 64x - x2 = 1024 + 576
64x = 1600
x = 1600 : 64
x = 25. Отже АВ = 25 см.
  1. НМТ 2024. Трапеція AKCD складається з квадрата ABCD та трикутника BKC (див. рисунок). Периметр квадрата ABCD дорівнює 24 см, середня лінія трапеції AKCD дорівнює 10 см. До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
    Початок реченняЗакінчення речення
    1 Довжина відрізка BK дорівнює
    2 Довжина відрізка KC дорівнює
    3 Відстань між центрами кіл, описаних навколо квадрата ABCD та трикутника BKC, дорівнює    		 А 8 см.
    Б 7 см.
    В 6 см.
    Г 10 см.
    Д 12 см.
    Показати відповідь
    1-А, 2-Г, 3-Б.1. Так як PABCD = 4AB = 24, то АВ = 24 : 4 = 6 см. Тоді AK = KB + 6. Знайдемо середню лінію трапеції AKCD. \frac{AK+CD}{2} = \frac{KB + 6 + 6}{2} і дорівнює 10. Тому
    \frac{KB + 12}{2} = 10
    KB + 12 = 10 ⋅ 2
    KB + 12 = 20
    KB = 20 - 12
    КВ = 8 см
    2. З прямокутного ∆KBC за теоремою Піфагора KC2 = KB2 + BC2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100. Звідси KC = √100 = 10 см
    3. Так як ∆ВКС прямокутний, то центр кола, описаного навколо нього - т. L. Центр кола, описаного навколо квадрата - т N. NM = AB : 2 = 6 : 2 = 3 см. LN = LM - NM = 10 - 3 = 7 см.
  2. НМТ 2024. Навколо кола описано рівнобічну трапецію (див. рисунок), периметр якої дорівнює 100 см. Різниця основ трапеції дорівнює 14 см. До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
    рівнобічна трапеція з вписаним колом, Isosceles trapezoid with an incircle
    Початок реченняЗакінчення речення
    1 Довжина середньої лінії трапеції дорівнює
    2 Довжина більшої основи трапеції дорівнює
    3 Довжина висоти трапеції дорівнює    		 А 18 см.
    Б 24 см.
    В 25 см.
    Г 32 см.
    Д 36 см.
    Показати відповідь
    1-В, 2-Г, 3-Б. 1. Якщо в чотирикутник можна вписати коло, то в нього суми протилежних сторін рівні. Тому сума основ трапеції дорівнює сумі бічних сторін. Так як разом вони складають 100 см, то сума основ трапеції 100 : 2 = 50 см. Середня лінія трапеції дорівнює половині суми основ трапеції, тобто 50 : 2 = 25 см.
    2. Нехай менша основа трапеції дорівнює x, тоді більша дорівнює 50 - x (їх сума 50). За умовою різниця основ дорівнює 14. Маємо рівняння:
    50 - x - x = 14
    - 2x = 14 - 50
    - 2x = - 36
    x = 18.
    Отже, менша основа трапеції 18 см, більша основа трапеції 50 - 18 = 32 см.
    3. Проведемо висоти BK і CL. BCLK - прямокутник, тому KL = ВС = 18 см. Так як трапеція рівнобічна, то AK = LD = (32 - 18) : 2 = 14 : 2 = 7 см. Так як бічні сторони трапеції рівні, а їх сума 50, то АВ = CD = 50 : 2 = 25 см. З прямокутного ∆АВК за теоремою Піфагора BK2 = AB2 - AK2 = 252 - 72 = 625 - 49 = 576, BK = √576 = 24 см.
  3. НМТ 2023. Які з наведених тверджень є правильними?
    І. Середня лінія трапеції проходить через точку перетину її діагоналей.
    ІІ. Діагональ трапеції ділить її на два рівних трикутники.
    ІІІ. Діагоналі рівнобічної трапеції рівні.
    АБВГД
    лише ІІІ лише І та ІІІ лише І та ІІ лише ІІ та ІІІ І, ІІ та ІІІ
    Показати відповідь
    А. І. Середня лінія трапеції проходить нижче точки перетину діагоналей. Не є правильним.
    ІІ. Діагональ трапеції ділить її на два рівних трикутники тільки у рівнобічній трапеції. Не є правильним.
    III. Діагоналі рівнобічної трапеції рівні. Правильно.
  4. Які з наведених тверджень є правильними?
    І. Бічні сторони будь-якої трапеції паралельні.
    ІІ. Сума кутів, прилеглих до бічної сторони будь-якої трапеції, дорівнює 180°
    ІІІ. Сума протилежних кутів будь-якої трапеції дорівнює 180°.
    АБВГД
    лише І лише ІІ лише І й ІІ лише ІІ й ІІІ І, ІІ й ІІІ
    Показати відповідь
    Б. І. Бічні сторони трапеції не паралельні. Не є правильним
    ІІ. Кути, прилеглі до бічної сторони трапеції є внутрішнімі односторонніми, тому їх сума дорівнює 180°. Правильно.
    III. Сума протилежних кутів 180° лише у рівнобічної трапеції. Не є правильним.
  5. Діагоналі трапеції ABCD (AD || BC) перетинаються в точці О. Знайдіть довжину основи ВС трапеції, якщо AD = 24 см, АО = 9 см, ОС = 6 см.
    АБВГД
    6 см 9 см 12 см 16 см 18 см
    Показати відповідь
    Г. Маємо паралельні прямі BC і AD та січну АС. Тоді маємо рівні внутрішні різносторонні кути ∠OAD = ∠OCB, ∠ODA = ∠OBC. Звідси трикутники AOD і COB подібні і для подібних трикутників маємо AD : BC = AO : OC. Підставимо відомі значення і отримаємо 24 : BC = 9 : 6. За властивостями пропорцій маємо BC = 24 ⋅ 6 : 9 = 16 см.
  6. На більшій основі AD рівнобічної трапеції ABCD вибрано точки К та М так, що BK || CD, MC || AB (див. рисунок). Відрізки ВК та СМ перетинаються в точці О, BO : OK = 2 : 3. Периметр чотирикутника АВСМ дорівнює 84, ВС = 12. Установіть відповідність між відрізком (1-3) та його довжиною (А-Д).

    Відрізок Довжина відрізка
    1 АВ
    2 МК
    3 середня лінія трапеції ABCD    		 А 21
    Б 30
    В 18
    Г 27
    Д 54
    Показати відповідь
    1-Б, 2-В, 3-Г. 1. Так як MC || AB, то ABCM - паралелограм. Периметр цього паралелограма можна знайти за формулою P = 2(АВ + ВС). Звідси:
    84 = 2(АВ + 12)
    84 = 2АВ + 24
    2AB = 84 - 24
    2AB = 60
    AB = 30.
    2. Трикутники ВСО і КМО подібні (у них рівні кути як внутрішні різносторонні при січних ВК і СМ). Тоді BO : OK = BC : MK. Звідси:
    2 : 3 = 12 : MK
    MK = 3 ⋅ 12 : 2 = 18.
    3. Так як BK || CD, то BCDK - паралелограм. Тоді KD = BC = 12. AD = AM + MK + KD = 12 + 18 + 12 = 42. Середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ. Маємо \frac{12 + 42}{2} = 27.
  7. Бічні сторони АВ та CD прямокутної трапеції ABCD дорівнюють 6 см і 10 см відповідно. Менша діагональ трапеції лежить на бісектрисі її прямого кута (див. рисунок). Установіть відповідність між відрізком (1-3) та його довжиною (А-Д).

    Відрізок Довжина відрізка
    1 основа ВС
    2 проекція сторони CD на пряму AD
    3 середня лінія трапеції ABCD    		 А 6 см
    Б 8 см
    В 10\sqrt 2 см
    Г 10 см
    Д 14 см
    Показати відповідь
    1-А, 2-Б, 3-Г. 1. Так як АС - бісектриса, то ∠BAC = ∠DAC. Так як BC || AD, то ∠DAC = ∠BCA як внутрішні різносторонні. Тоді ∠BAC = ∠BCA і трикутник АВС є рівнобедреним, тому ВС = АВ = 6 см.
    2. Проведемо висоту трапеції CK, СК = 6. Тоді КD - шукана проекція. З прямокутного трикутника CKD за теоремою Піфагора KD2 = CD2 - CK2 = 102 - 62 = 64. Тоді KD = 8 см.
    3. Так як ABCK - прямокутник і сусідні сторони рівні, то це квадрат, АК = ВС = 6 см. Тоді AD = AK + KD = 6 + 8 = 14 см. Середня лінія \frac{6 + 14}{2} = 10 см.
  8. Прямокутну трапецію ABCD (AD || BC, AD > BC) з більшою бічною стороною CD = 10 описано навколо кола радіуса 4. Установіть відповідність між величиною (1-4) та її числовим значенням (А-Д).
    Величина Числове значення
    1 довжина сторони АВ
    2 довжина проекції сторони CD на пряму AD
    3 довжина основи AD
    4 довжина середньої лінії трапеції ABCD    		 А 6
    Б 8
    В 9
    Г 12
    Д 18
    Показати відповідь
    1-Б, 2-А, 3-Г, 4-В. 1. Так як коло вписано в трапецію, то висота трапеції дорівнює діаметру кола, тобто h = d = 2r = 2⋅4 = 8. Так як трапеція прямокутна, то бічна сторона АВ дорівнює висоті трапеції, тобто дорівнює 8.
    2. Проведемо висоту трапеції CK, СК=8. Тоді КD - шукана проекція. З прямокутного трикутника CKD за теоремою Піфагора KD2=CD2-CK2=102-82=100-64=36. Тоді KD=6.
    3. Так як в трапецію вписано коло, то в трапеції суми протилежних сторін рівні. Маємо BC+AD=8AB+CD=8+10=18. Так як ABCK - прямокутник, то ВС=АК. Маємо BC+AD=BC+AK+KD=BC+BC+6=2BC+6=18. Тоді 2ВС=18-6=12 і ВС=6. Тоді АК=6 і AD=AK+KD=6+6=12.
    4. Середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ, тобто (BC+AD):2=(6+12):2=18:2=9.
  9. На рисунку зображено рівнобедрену трапецію ABCD, у якій АD = 8 см, ВС = 4 см, АС = 10 см. Установіть відповідність між проекцією відрізка на пряму (1-4) та її довжиною (А-Д).

    Проекція відрізка на пряму Довжина
    1 проекція відрізка ВС на пряму AD
    2 проекція відрізка CD на пряму AD
    3 проекція відрізка AС на пряму AD
    4 проекція відрізка AD на пряму AC     		А 2 см
    Б 4 см
    В 4,8 см
    Г 5,6 см
    Д 6 см
    Показати відповідь
    1-Б, 2-А, 3-Д, 4-В.

    1) Проекцією ВС на AD є відрізок МТ. Так як ВСТМ - прямокутник, то МТ=ВС=4 см.
    2) Проекцією СD на AD є відрізок TD. Так як трапеція рівнобедрена, то АМ=TD. Так як АМ+МТ+TD=AD, то АМ+4+TD=8, звідси АМ+TD=4 і, так як вони рівні, TD=2 см.
    3) Проекцією АС на AD є відрізок АТ. Так як АМ=TD=2 см, МТ=4 см, то АТ=АМ+МТ=2+4=6 см.
    4) Проекцією АD на АС є відрізок АО. Так як трикутник АСТ прямокутний, то за теоремою Піфагора СТ2=AC2-AT2=102-62=100-36=64, тоді СТ=8 см. Площа трикутника ACD S=0,5AD⋅CT=0,5⋅8⋅8=32 см2. З іншого боку, площа цього трикутника S=0,5AC⋅DO. Підставимо відомі значення і отримаємо 32=0,5⋅10⋅DO. Звідси DO=32:5=6,4 см. В прямокутному трикутнику AOD за теоремою Піфагора AO2=AD2-OD2=64-40,96=23,04, звідки АО=4,8.
  10. Установіть відповідність між чотирикутником (1-4) та довжиною його висоти (А-Д).
    Чотирикутник Довжина висоти
    1 ромб, гострий кут якого дорівнює 60°, а менша діагональ - 8\sqrt 3 см
    2 ромб, гострий кут якого дорівнює 30°, а периметр - 80 см
    3 прямокутна трапеція, основи якої дорівнюють 13 см і 7 см, а більша бічна сторона — 10 см
    4 трапеція, середня лінія якої дорівнює 6 см, а площа — 84 см2    		 А 7 см
    Б 8 см
    В 10 см
    Г 12 см
    Д 14 см
    Показати відповідь
    1-Г, 2-В, 3-Б, 4-Д.
    1)

    Так як в ромбі всі сторони рівні, то трикутник АВС рівнобедрений (АВ=ВС), тоді і кути при основі рівні. Оскільки кут В дорівнює 60o, то і кути при основі будуть по 60o. Отже трикутник АВС є рівностороннім і ВС=АС=8\sqrt{3}. Тоді з прямокутного трикутника ВКС КС=ВСsinB=8\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=12 см.
    2)

    Так як в ромбі всі сторони рівні, то сторона ромба ВС=Р:4=80:4=20 см. В прямокутному трикутнику ВКС катет КС лежить напроти кута 30o, тому він дорівнює половині гіпотенузи і КС=20:2=10 см.
    3)

    Проведемо висоту СК. Тоді АВСК - прямокутник, і АК=ВС=7. Тоді KD=AD-AK=13-7=6 см. З прямокутного трикутника CKD за теоремою Піфагора KC2=CD2-KD2=100-36=64. Отже КС=8 см.
    4) Так як площа трапеції дорівнює добутку її середньої лінії на висоту, то h=84:6=14 см.
  11. На сторонах квадрата ABCD задано точки K, L, M і N. KM || AD, LN || CD. OL = 8, OM = 6, ON = 2.

    Початок речення Закінчення речення
    1 Довжина ОК дорівнює
    2 Радіус кола навколо OLCM дорівнює
    3 Середня лінія трапеції OВCM дорівнює
    4 Довжина АР (Р - точка перетину бісектриси ∠NOM з AD)    		 А 4
    Б 5
    В 6
    Г 8
    Д 10
    Показати відповідь
    1-А, 2-Б, 3-Г, 4-В.

    1) LN=LO+ON=8+2=10. Отже, сторона квадрата 10. Тоді OK=KM-OM=10-6=4.
    2) Радіус кола, описаного навколо прямокутника, дорівнює половині діагоналі прямокутника. В прямокутному трикутнику OLCM діагональ LM знайдемо за теоремою Піфагора з прямокутного трикутника OLM: LM2=LO2+OM2=82+62=64+36=100. Тоді LM=10 і радіус кола 10:2=5.
    3) Довжина середньої лінії трапеції дорівнює половині суми її основ. В трапеції OBCM сума основ BC і OM дорівнює 10+6=16, тому середня лінія трапеції дорівнює 16:2=8.
    4) Проведемо бісектрису ОР. Так як бісектриса ділить кут навпіл, то кут NOP дорівнює 90o:2=45o. Тоді в прямокутному трикутнику ONP кут NPO також дорівнює 45o. Отже, трикутник ONP рівнобедрений і NP=ON=2. Тоді АР=AN+NP=4+2=6 (AN=OK=4).
  12. Основи ВС й AD рівнобічної трапеції ABCD дорівнюють 7 см і 25 см. BD ⊥ AB.
    Початок речення Закінчення речення
    1 Середня лінія дорівнює
    2 Проекція сторони АВ на AD дорівнює
    3 Висота трапеції дорівнює
    4 Сторона АВ трапеції дорівнює    		 А 9 см
    Б 12 см
    В 15 см
    Г 16 см
    Д 18 см
    Показати відповідь
    1-Г, 2-А, 3-Б, 4-В.

    1) Середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ. Отже КМ=(BC+AD):2=(7+25):2=32:2=16.
    2) Проведемо висоту ВН. Тоді проекцією АВ на пряму AD є відрізок АН. Проведемо висоту CL. Тоді BCLH- прямокутник і HL=BC=7 см. Так як трапеція рівнобічна, то AH=LD. Сума AH і LD дорівнює AD-HL=25-7=18. Так як ці два відрізка рівні і їх сума 18, то кожен з них дорівнює 9 см. Отже, АН=9 см.
    3) Так як з умови кут ABD прямий, то BH - висота в прямокутному трикутнику і за властивостями висоти, проведеної з вершини прямого кута маємо: BH2=AH⋅HD=9⋅(7+9)=9⋅16=144. Тоді ВН=12 см.
    4) З прямокутного трикутника АВН за теоремою Піфагора АВ2=АН2+ВН2=92+122=81+144=225. Тоді АВ=15 см.
  13. Діагональ BD прямокутної трапеції ABCD є бісектрисою ∠ADC і утворює з AD кут 30°. Визначте довжину середньої лінії, якщо BD = 20\sqrt 3 см.

    Відповідь: 25. З прямокутного трикутника АВD AD=BDcos∠ADB=20\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=30, AB=BDsin∠ADB=20\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}=10\sqrt{3}. Проведемо перпендикуляр СК до основи АD. Так як АВСК прямокутник, то ВС=АК, СК=АВ=10\sqrt{3}.Так як BD- бісектриса, то кут KDC вдвічі більше за кут ADB, тобто дорівнює 60o. З прямокутного трикутника CKD KD=CKctg∠KDC=10\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=10. Тоді АК-AD-KD=30-10=20 см. ВС=АК=20 см. Сума основ трапеції дорівнює 30+20=50 см. Тоді середня лінія трапеції дорівнює 50:2=25 см
⇐V.6.
Квадрат та його властивості		 До змісту ⇒V.8.
Коло та круг

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Комбінаторика

Комбінаторика — це розділ математики, який вчить підраховувати кількість можливих варіантів вибору або розташування об’єктів без їхнього безпосереднього переліку. Розуміння базових правил додавання та множення , а також розрізнення перестановок, розміщень та комбінацій є ключем до розв’язання складних логічних задач та підготовки до вивчення теорії ймовірностей. Для успішного складання іспитів ми підготували комплексний практичний блок , що базується на завданнях НМТ та тестах минулих років. Ви зможете детально розібрати алгоритми формування розкладів, вибору комплектів товарів та створення цифрових кодів. Кожне завдання супроводжується поясненням, яке допоможе вашим учням зрозуміти, коли порядок елементів має значення, а коли — ні. 1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати ...
15 коментарів
Read more »

Дійсні числа

Дійсні числа — це база математичної підготовки, що охоплює всі види числових множин: від натуральних до ірраціональних. На цій сторінці ми зібрали ключові ознаки подільності , правила порівняння звичайних дробів та ірраціональних виразів, а також алгоритми роботи зі степенями, що мають нульовий або від’ємний показник. Для ефективної підготовки до іспитів ми підготували великий практичний блок , що включає реальні приклади минулих років. Ви зможете розібрати методи оцінювання значень коренів, округлення чисел та роботу з логарифмами. Кожне завдання має детальне розв’язання, що допоможе учням опанувати навички швидких обчислень без помилок. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців...
3 коментарі
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія — це особливий вид числової послідовності, де кожен наступний член відрізняється від попереднього на сталу величину. У шкільному курсі математики та в тестах НМТ ця тема є фундаментальною, оскільки вона поєднує в собі чіткі алгебраїчні алгоритми та вміння моделювати реальні життєві ситуації. Вміння швидко визначати різницю прогресії та застосовувати формули суми дозволяє ефективно розв'язувати як прості тестові вправи, так і складні задачі на розрахунок вартості послуг, планування тренувань або аналіз фінансових накопичень. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО . Ви знайдете детальні пояснення до задач різних рівнів складності: від знаходження першого члена за відомим n-м до визначення параметрів прогресії у прикладних контекстах. Тут зібрано весь необхідний теоретичний мінімум: базові формули n-го члена, два способи обчислення суми перших n членів та характерну властивість середнього арифметичного для сусідніх елементів ряду. Арифмети...
5 коментарів
Read more »

Рівняння та нерівності підвищеного рівня (з параметром)

Рівняння та нерівності з параметрами — це завдання високого рівня в шкільній математиці та на іспитах НМТ/ЗНО. Головна складність полягає в тому, що параметр a може змінювати не лише числові значення коефіцієнтів, а й саму структуру рівняння: перетворювати квадратне в лінійне, впливати на область допустимих значень (ОДЗ) або змінювати кількість наявних коренів. Для успішного розв’язання таких задач важливо не просто механічно обчислювати дискримінант, а вміти проводити повне дослідження . На цій сторінці ми детально розберемо основні стратегії: Метод заміни змінної: перехід від складних показникових або логарифмічних виразів до алгебраїчних (з урахуванням обмежень на нову змінну t). Аналіз ОДЗ: відсіювання сторонніх коренів, які «зникають» залежно від значення параметра. Використання властивостей функцій: графічний метод, парність та монотонність. Застосування теореми Вієта: для задач, де потрібно знайти співвідношення між коренями без їх безпосереднього обчислення. Нижче предста...
1 коментар
Read more »

Функції за графіками

Аналіз функцій за їхніми графіками — це одна з найбільш наочних тем математики, яка вимагає вміння «читати» рисунок і швидко виділяти ключові властивості об'єкта. На НМТ завдання цього типу зустрічаються дуже часто, оскільки вони дозволяють перевірити комплексне розуміння теми: від визначення координат точок перетину з осями до аналізу поведінки складних періодичних процесів. Вміння візуально оцінювати парність, монотонність та область значень функції дозволяє значно зекономити час на іспиті, уникаючи громіздких обчислень. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО . Ви навчитеся працювати з графічними ескізами різних типів: лінійними, квадратичними, тригонометричними та показниковіми функціями. Тут зібрано приклади на знаходження нулів функції, визначення значень у конкретних точках, а також завдання на геометричні перетворення графіків, такі як паралельне перенесення вздовж осей координат. Завдання. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квад...
13 коментарів
Read more »

Рекомендований допис

10 клас. Алгебра і початки аналізу

10 клас. Алгебра і початки аналізу — це вихід на новий рівень математичного мислення. Цього року ви опануєте «математику змін»: від дослідження складних функцій та їхніх властивостей до занурення у світ тригонометрії та перших кроків у диференціальному численні. Ви навчитеся не просто обчислювати, а аналізувати процеси, прогнозувати результати та бачити логіку в найскладніших системах. Ці знання — це фундамент не лише для успішного складання НМТ, а й для розуміння сучасної економіки, фізики та ІТ-технологій. Оберіть тему, і перетворіть складні формули на свій надійний інструмент для підкорення нових інтелектуальних вершин! Тема 1. Множини та функції Множини, операції над множинами Взаємно однозначна відповідність між елементами множин. Рівнопотужні множини Числові множини. Множина дійсних чисел Числові функції. Їх властивості та графіки Властивості і графіки основних видів функцій Оборотні функції. Взаємно обернені функції Побудова графіків функцій за допомогою ...
Дописати коментар