Трапеція та її властивості

Трапеція - чотирикутник, у якого дві протилежні сторони (основи) паралельні, а інші - ні (бічні сторони).
Види трапецій:

Рівнобічна - бічні сторони рівні
Прямокутна - одна з бічних сторін перпендикулярна до основи

Середня лінія трапеції (відрізок, що сполучає середини бічних ребер трапеції) дорівнює половині суми основ.

Завдання. НМТ 2026 (демо). На рисунку зображено прямокутну трапецію АВСD. Точка О – середина діагоналі AC, AB = BC, AC = 40 см, CD = 24 см. Узгодьте відрізок (1– 3) із його довжиною (А – Д).

1 AO
2 AD
3 AB

А 20
Б 16
В 25
Г 27
Д 32

Показати відповідь

1–А, 2–Д, 3–В.
1. Так як т. О - середина АС, то АО = АС : 2 = 40 : 2 = 20 см.
2. Так як ∠D = 90°, то трикутник АСD є прямокутним. Тоді за теоремою Піфагора AD² = AC² - CD² = 40² - 24² = 1600 - 576 = 1024. Звідси AD = √1024 = 32 см.
3. Нехай АВ = ВС = х см. Проведемо з точки В висоту ВК. Так як KBCD - прямокутник, то ВК = CD = 24 см, KD = BC = х см. В прямокутному трикутнику АВК маємо АК = 32 - х (АК = AD - KD), ВК = 24 см, АВ = х см. Запишемо теорему Піфагора.
AB² = AK² + BK²
x² = (32 - x)² + 24²
x² = 1024 - 64x + x² + 576
x²+ 64x - x² = 1024 + 576
64x = 1600
x = 1600 : 64
x = 25. Отже АВ = 25 см.

НМТ 2024. Трапеція AKCD складається з квадрата ABCD та трикутника BKC (див. рисунок). Периметр квадрата ABCD дорівнює 24 см, середня лінія трапеції AKCD дорівнює 10 см. До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення	Закінчення речення
1 Довжина відрізка BK дорівнює 2 Довжина відрізка KC дорівнює 3 Відстань між центрами кіл, описаних навколо квадрата ABCD та трикутника BKC, дорівнює	А 8 см. Б 7 см. В 6 см. Г 10 см. Д 12 см.

Показати відповідь

1-А, 2-Г, 3-Б.1. Так як P_ABCD = 4AB = 24, то АВ = 24 : 4 = 6 см. Тоді AK = KB + 6. Знайдемо середню лінію трапеції AKCD. \frac{AK+CD}{2} = \frac{KB + 6 + 6}{2} і дорівнює 10. Тому
\frac{KB + 12}{2} = 10
KB + 12 = 10 ⋅ 2
KB + 12 = 20
KB = 20 - 12
КВ = 8 см
2. З прямокутного ∆KBC за теоремою Піфагора KC² = KB² + BC² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100. Звідси KC = √100 = 10 см
3. Так як ∆ВКС прямокутний, то центр кола, описаного навколо нього - т. L. Центр кола, описаного навколо квадрата - т N. NM = AB : 2 = 6 : 2 = 3 см. LN = LM - NM = 10 - 3 = 7 см.

НМТ 2024. Навколо кола описано рівнобічну трапецію (див. рисунок), периметр якої дорівнює 100 см. Різниця основ трапеції дорівнює 14 см. До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

рівнобічна трапеція з вписаним колом, Isosceles trapezoid with an incircle

Початок речення	Закінчення речення
1 Довжина середньої лінії трапеції дорівнює 2 Довжина більшої основи трапеції дорівнює 3 Довжина висоти трапеції дорівнює	А 18 см. Б 24 см. В 25 см. Г 32 см. Д 36 см.

Показати відповідь

1-В, 2-Г, 3-Б. 1. Якщо в чотирикутник можна вписати коло, то в нього суми протилежних сторін рівні. Тому сума основ трапеції дорівнює сумі бічних сторін. Так як разом вони складають 100 см, то сума основ трапеції 100 : 2 = 50 см. Середня лінія трапеції дорівнює половині суми основ трапеції, тобто 50 : 2 = 25 см.
2. Нехай менша основа трапеції дорівнює x, тоді більша дорівнює 50 - x (їх сума 50). За умовою різниця основ дорівнює 14. Маємо рівняння:
50 - x - x = 14
- 2x = 14 - 50
- 2x = - 36
x = 18.
Отже, менша основа трапеції 18 см, більша основа трапеції 50 - 18 = 32 см.
3. Проведемо висоти BK і CL. BCLK - прямокутник, тому KL = ВС = 18 см. Так як трапеція рівнобічна, то AK = LD = (32 - 18) : 2 = 14 : 2 = 7 см. Так як бічні сторони трапеції рівні, а їх сума 50, то АВ = CD = 50 : 2 = 25 см. З прямокутного ∆АВК за теоремою Піфагора BK² = AB² - AK² = 25² - 7² = 625 - 49 = 576, BK = √576 = 24 см.

НМТ 2023. Які з наведених тверджень є правильними?
І. Середня лінія трапеції проходить через точку перетину її діагоналей.
ІІ. Діагональ трапеції ділить її на два рівних трикутники.
ІІІ. Діагоналі рівнобічної трапеції рівні.

А Б В Г Д

лише ІІІ лише І та ІІІ лише І та ІІ лише ІІ та ІІІ І, ІІ та ІІІ

Показати відповідь
А. І. Середня лінія трапеції проходить нижче точки перетину діагоналей. Не є правильним.
ІІ. Діагональ трапеції ділить її на два рівних трикутники тільки у рівнобічній трапеції. Не є правильним.
III. Діагоналі рівнобічної трапеції рівні. Правильно.

Які з наведених тверджень є правильними?
І. Бічні сторони будь-якої трапеції паралельні.
ІІ. Сума кутів, прилеглих до бічної сторони будь-якої трапеції, дорівнює 180°
ІІІ. Сума протилежних кутів будь-якої трапеції дорівнює 180°.

А Б В Г Д

лише І лише ІІ лише І й ІІ лише ІІ й ІІІ І, ІІ й ІІІ

Показати відповідь
Б. І. Бічні сторони трапеції не паралельні. Не є правильним
ІІ. Кути, прилеглі до бічної сторони трапеції є внутрішнімі односторонніми, тому їх сума дорівнює 180°. Правильно.
III. Сума протилежних кутів 180° лише у рівнобічної трапеції. Не є правильним.
Діагоналі трапеції ABCD (AD || BC) перетинаються в точці О. Знайдіть довжину основи ВС трапеції, якщо AD = 24 см, АО = 9 см, ОС = 6 см.

А Б В Г Д

6 см 9 см 12 см 16 см 18 см

Показати відповідь
Г. Маємо паралельні прямі BC і AD та січну АС. Тоді маємо рівні внутрішні різносторонні кути ∠OAD = ∠OCB, ∠ODA = ∠OBC. Звідси трикутники AOD і COB подібні і для подібних трикутників маємо AD : BC = AO : OC. Підставимо відомі значення і отримаємо 24 : BC = 9 : 6. За властивостями пропорцій маємо BC = 24 ⋅ 6 : 9 = 16 см.
На більшій основі AD рівнобічної трапеції ABCD вибрано точки К та М так, що BK || CD, MC || AB (див. рисунок). Відрізки ВК та СМ перетинаються в точці О, BO : OK = 2 : 3. Периметр чотирикутника АВСМ дорівнює 84, ВС = 12. Установіть відповідність між відрізком (1-3) та його довжиною (А-Д).

Відрізок Довжина відрізка

1 АВ
2 МК
3 середня лінія трапеції ABCD А 21
Б 30
В 18
Г 27
Д 54

Показати відповідь
1-Б, 2-В, 3-Г. 1. Так як MC || AB, то ABCM - паралелограм. Периметр цього паралелограма можна знайти за формулою P = 2(АВ + ВС). Звідси:
84 = 2(АВ + 12)
84 = 2АВ + 24
2AB = 84 - 24
2AB = 60
AB = 30.
2. Трикутники ВСО і КМО подібні (у них рівні кути як внутрішні різносторонні при січних ВК і СМ). Тоді BO : OK = BC : MK. Звідси:
2 : 3 = 12 : MK
MK = 3 ⋅ 12 : 2 = 18.
3. Так як BK || CD, то BCDK - паралелограм. Тоді KD = BC = 12. AD = AM + MK + KD = 12 + 18 + 12 = 42. Середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ. Маємо \frac{12 + 42}{2} = 27.

Бічні сторони АВ та CD прямокутної трапеції ABCD дорівнюють 6 см і 10 см відповідно. Менша діагональ трапеції лежить на бісектрисі її прямого кута (див. рисунок). Установіть відповідність між відрізком (1-3) та його довжиною (А-Д).

Відрізок	Довжина відрізка
1 основа ВС 2 проекція сторони CD на пряму AD 3 середня лінія трапеції ABCD	А 6 см Б 8 см В 10\sqrt 2 см Г 10 см Д 14 см

Показати відповідь

1-А, 2-Б, 3-Г.

1. Так як АС - бісектриса, то ∠BAC = ∠DAC. Так як BC || AD, то ∠DAC = ∠BCA як внутрішні різносторонні. Тоді ∠BAC = ∠BCA і трикутник АВС є рівнобедреним, тому ВС = АВ = 6 см.
2. Проведемо висоту трапеції CK, СК = 6. Тоді КD - шукана проекція. З прямокутного трикутника CKD за теоремою Піфагора KD² = CD² - CK² = 10² - 6² = 64. Тоді KD = 8 см.
3. Так як ABCK - прямокутник і сусідні сторони рівні, то це квадрат, АК = ВС = 6 см. Тоді AD = AK + KD = 6 + 8 = 14 см. Середня лінія \frac{6 + 14}{2} = 10 см.

Прямокутну трапецію ABCD (AD || BC, AD > BC) з більшою бічною стороною CD = 10 описано навколо кола радіуса 4. Установіть відповідність між величиною (1-4) та її числовим значенням (А-Д).

Величина	Числове значення
1 довжина сторони АВ 2 довжина проекції сторони CD на пряму AD 3 довжина основи AD 4 довжина середньої лінії трапеції ABCD	А 6 Б 8 В 9 Г 12 Д 18

Показати відповідь

1-Б, 2-А, 3-Г, 4-В.

1. Так як коло вписано в трапецію, то висота трапеції дорівнює діаметру кола, тобто h = d = 2r = 2⋅4 = 8. Так як трапеція прямокутна, то бічна сторона АВ дорівнює висоті трапеції, тобто дорівнює 8.
2. Проведемо висоту трапеції CK, СК=8. Тоді КD - шукана проекція. З прямокутного трикутника CKD за теоремою Піфагора KD²=CD²-CK²=10²-8²=100-64=36. Тоді KD=6.
3. Так як в трапецію вписано коло, то в трапеції суми протилежних сторін рівні. Маємо BC+AD=8AB+CD=8+10=18. Так як ABCK - прямокутник, то ВС=АК. Маємо BC+AD=BC+AK+KD=BC+BC+6=2BC+6=18. Тоді 2ВС=18-6=12 і ВС=6. Тоді АК=6 і AD=AK+KD=6+6=12.
4. Середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ, тобто (BC+AD):2=(6+12):2=18:2=9.

На рисунку зображено рівнобедрену трапецію ABCD, у якій АD = 8 см, ВС = 4 см, АС = 10 см. Установіть відповідність між проекцією відрізка на пряму (1-4) та її довжиною (А-Д).

Проекція відрізка на пряму	Довжина
1 проекція відрізка ВС на пряму AD 2 проекція відрізка CD на пряму AD 3 проекція відрізка AС на пряму AD 4 проекція відрізка AD на пряму AC	А 2 см Б 4 см В 4,8 см Г 5,6 см Д 6 см

Показати відповідь

1-Б, 2-А, 3-Д, 4-В.

1) Проекцією ВС на AD є відрізок МТ. Так як ВСТМ - прямокутник, то МТ=ВС=4 см.
2) Проекцією СD на AD є відрізок TD. Так як трапеція рівнобедрена, то АМ=TD. Так як АМ+МТ+TD=AD, то АМ+4+TD=8, звідси АМ+TD=4 і, так як вони рівні, TD=2 см.
3) Проекцією АС на AD є відрізок АТ. Так як АМ=TD=2 см, МТ=4 см, то АТ=АМ+МТ=2+4=6 см.
4) Проекцією АD на АС є відрізок АО. Так як трикутник АСТ прямокутний, то за теоремою Піфагора СТ²=AC²-AT²=10²-6²=100-36=64, тоді СТ=8 см. Площа трикутника ACD S=0,5AD⋅CT=0,5⋅8⋅8=32 см². З іншого боку, площа цього трикутника S=0,5AC⋅DO. Підставимо відомі значення і отримаємо 32=0,5⋅10⋅DO. Звідси DO=32:5=6,4 см. В прямокутному трикутнику AOD за теоремою Піфагора AO²=AD²-OD²=64-40,96=23,04, звідки АО=4,8.

Установіть відповідність між чотирикутником (1-4) та довжиною його висоти (А-Д).

Чотирикутник

Довжина висоти

1 ромб, гострий кут якого дорівнює 60°, а менша діагональ - 8\sqrt 3 см
2 ромб, гострий кут якого дорівнює 30°, а периметр - 80 см
3 прямокутна трапеція, основи якої дорівнюють 13 см і 7 см, а більша бічна сторона — 10 см
4 трапеція, середня лінія якої дорівнює 6 см, а площа — 84 см²

А 7 см
Б 8 см
В 10 см
Г 12 см
Д 14 см

Показати відповідь

1-Г, 2-В, 3-Б, 4-Д.
1)

Так як в ромбі всі сторони рівні, то трикутник АВС рівнобедрений (АВ=ВС), тоді і кути при основі рівні. Оскільки кут В дорівнює 60^o, то і кути при основі будуть по 60^o. Отже трикутник АВС є рівностороннім і ВС=АС=8 $\sqrt{3}$ . Тоді з прямокутного трикутника ВКС КС=ВСsinB=8 $\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$ =12 см.
2)

Так як в ромбі всі сторони рівні, то сторона ромба ВС=Р:4=80:4=20 см. В прямокутному трикутнику ВКС катет КС лежить напроти кута 30^o, тому він дорівнює половині гіпотенузи і КС=20:2=10 см.
3)

Проведемо висоту СК. Тоді АВСК - прямокутник, і АК=ВС=7. Тоді KD=AD-AK=13-7=6 см. З прямокутного трикутника CKD за теоремою Піфагора KC²=CD²-KD²=100-36=64. Отже КС=8 см.
4) Так як площа трапеції дорівнює добутку її середньої лінії на висоту, то h=84:6=14 см.

На сторонах квадрата ABCD задано точки K, L, M і N. KM || AD, LN || CD. OL = 8, OM = 6, ON = 2.

Початок речення	Закінчення речення
1 Довжина ОК дорівнює 2 Радіус кола навколо OLCM дорівнює 3 Середня лінія трапеції OВCM дорівнює 4 Довжина АР (Р - точка перетину бісектриси ∠NOM з AD)	А 4 Б 5 В 6 Г 8 Д 10

Показати відповідь

1-А, 2-Б, 3-Г, 4-В.

1) LN=LO+ON=8+2=10. Отже, сторона квадрата 10. Тоді OK=KM-OM=10-6=4.
2) Радіус кола, описаного навколо прямокутника, дорівнює половині діагоналі прямокутника. В прямокутному трикутнику OLCM діагональ LM знайдемо за теоремою Піфагора з прямокутного трикутника OLM: LM²=LO²+OM²=8²+6²=64+36=100. Тоді LM=10 і радіус кола 10:2=5.
3) Довжина середньої лінії трапеції дорівнює половині суми її основ. В трапеції OBCM сума основ BC і OM дорівнює 10+6=16, тому середня лінія трапеції дорівнює 16:2=8.
4) Проведемо бісектрису ОР. Так як бісектриса ділить кут навпіл, то кут NOP дорівнює 90^o:2=45^o. Тоді в прямокутному трикутнику ONP кут NPO також дорівнює 45^o. Отже, трикутник ONP рівнобедрений і NP=ON=2. Тоді АР=AN+NP=4+2=6 (AN=OK=4).

Основи ВС й AD рівнобічної трапеції ABCD дорівнюють 7 см і 25 см. BD ⊥ AB.

Початок речення	Закінчення речення
1 Середня лінія дорівнює 2 Проекція сторони АВ на AD дорівнює 3 Висота трапеції дорівнює 4 Сторона АВ трапеції дорівнює	А 9 см Б 12 см В 15 см Г 16 см Д 18 см

Показати відповідь

1-Г, 2-А, 3-Б, 4-В.

1) Середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ. Отже КМ=(BC+AD):2=(7+25):2=32:2=16.
2) Проведемо висоту ВН. Тоді проекцією АВ на пряму AD є відрізок АН. Проведемо висоту CL. Тоді BCLH- прямокутник і HL=BC=7 см. Так як трапеція рівнобічна, то AH=LD. Сума AH і LD дорівнює AD-HL=25-7=18. Так як ці два відрізка рівні і їх сума 18, то кожен з них дорівнює 9 см. Отже, АН=9 см.
3) Так як з умови кут ABD прямий, то BH - висота в прямокутному трикутнику і за властивостями висоти, проведеної з вершини прямого кута маємо: BH²=AH⋅HD=9⋅(7+9)=9⋅16=144. Тоді ВН=12 см.
4) З прямокутного трикутника АВН за теоремою Піфагора АВ²=АН²+ВН²=9²+12²=81+144=225. Тоді АВ=15 см.

Діагональ BD прямокутної трапеції ABCD є бісектрисою ∠ADC і утворює з AD кут 30°. Визначте довжину середньої лінії, якщо BD = 20\sqrt 3 см.
Відповідь: 25. З прямокутного трикутника АВD AD=BDcos∠ADB= $20\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$ =30, AB=BDsin∠ADB=20 $\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}=10\sqrt{3}$ . Проведемо перпендикуляр СК до основи АD. Так як АВСК прямокутник, то ВС=АК, СК=АВ=10 $\sqrt{3}$ .Так як BD- бісектриса, то кут KDC вдвічі більше за кут ADB, тобто дорівнює 60^o. З прямокутного трикутника CKD KD=CKctg∠KDC=10 $\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}$ =10. Тоді АК-AD-KD=30-10=20 см. ВС=АК=20 см. Сума основ трапеції дорівнює 30+20=50 см. Тоді середня лінія трапеції дорівнює 50:2=25 см