Трапеція - чотирикутник, у якого дві протилежні сторони (основи) паралельні, а інші - ні (бічні сторони).
Види трапецій:
Види трапецій:
- Рівнобічна - бічні сторони рівні
- Прямокутна - одна з бічних сторін перпендикулярна до основи
- НМТ 2024. Трапеція AKCD складається з квадрата $ABCD$ та трикутника $BKC$ (див. рисунок). Периметр квадрата $ABCD$ дорівнює 24 см, середня лінія трапеції $AKCD$ дорівнює 10 см. До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
Початок речення Закінчення речення 1 Довжина відрізка BK дорівнює
2 Довжина відрізка KC дорівнює
3 Відстань між центрами кіл, описаних навколо квадрата ABCD та трикутника BKC, дорівнюєА 8 см.
Б 7 см.
В 6 см.
Г 10 см.
Д 12 см.Показати відповідь1-А, 2-Г, 3-Б.1. Так як $P_{ABCD} = 4AB = 24$, то $АВ = 24 : 4 = 6$ см. Тоді $AK = KB + 6.$ Знайдемо середню лінію трапеції $AKCD$. $LM = \frac{AK+CD}{2} = \frac{KB + 6 + 6}{2}$ і дорівнює 10. Тому
$\frac{KB + 12}{2} = 10$
$KB + 12 = 10 \cdot 2 $
KB + 12 = 20
KB = 20 - 12
КВ = 8 см
2. З прямокутного ∆KBC за теоремою Піфагора $KC^2 = KB^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$. Звідси $KC = \sqrt {100} = 10\,см$
3. Так як $∆ВКС$ прямокутний, то центр кола, описаного навколо нього - т. $L$. Центр кола, описаного навколо квадрата - т $N$. $NM = AB : 2 = 6 : 2 = 3\,см.\ LN = LM - NM = 10 - 3 = 7\,см.$ - НМТ 2024. Навколо кола описано рівнобічну трапецію (див. рисунок), периметр якої дорівнює 100 см. Різниця основ трапеції дорівнює 14 см. До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
Початок речення Закінчення речення 1 Довжина середньої лінії трапеції дорівнює
2 Довжина більшої основи трапеції дорівнює
3 Довжина висоти трапеції дорівнюєА 18 см.
Б 24 см.
В 25 см.
Г 32 см.
Д 36 см.Показати відповідь1-В, 2-Г, 3-Б. 1. Якщо в чотирикутник можна вписати коло, то в нього суми протилежних сторін рівні. Тому сума основ трапеції дорівнює сумі бічних сторін. Так як разом вони складають 100 см, то сума основ трапеції $100 : 2 = 50\,см$. Середня лінія трапеції дорівнює половині суми основ трапеції, тобто $50 : 2 = 25\,см$.
2. Нехай менша основа трапеції дорівнює $x$, тоді більша дорівнює $50 - x$ (їх сума 50). За умовою різниця основ дорівнює 14. Маємо рівняння:
$50 - х - х = 14$
$- х - х = 14 - 50$
$- 2х = - 36$
$х = - 36 : (-2)$
$х = 18.$
Отже, менша основа трапеції 18 см, більша основа трапеції $50 - 18 = 32\,см.$
3. Проведемо висоти $BK$ і $CL$. $BCLK$ - прямокутник, тому $KL = ВС = 18\,см$. Так як трапеція рівнобічна, то $AK = LD = (32 - 18) : 2 = 14 : 2 = 7\,см$. Так як бічні сторони трапеції рівні, а їх сума 50, то $АВ = CD = 50 : 2 = 25\,см$. З прямокутного ∆АВК за теоремою Піфагора $BK^2 = AB^2 - AK^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$, $BK = \sqrt {576} = 24\,см$. - НМТ 2023. Які з наведених тверджень є правильними?
І. Середня лінія трапеції проходить через точку перетину її діагоналей.
ІІ. Діагональ трапеції ділить її на два рівних трикутники.
ІІІ. Діагоналі рівнобічної трапеції рівні.
А Б В Г Д лише ІІІ лише І та ІІІ лише І та ІІ лише ІІ та ІІІ І, ІІ та ІІІ Показати відповідьА. І. Середня лінія трапеції проходить нижче точки перетину діагоналей. Не є правильним.
ІІ. Діагональ трапеції ділить її на два рівних трикутники тільки у рівнобічній трапеції. Не є правильним.
III. Діагоналі рівнобічної трапеції рівні. Правильно. - Які з наведених тверджень є правильними?
І. Бічні сторони будь-якої трапеції паралельні.
ІІ. Сума кутів, прилеглих до бічної сторони будь-якої трапеції, дорівнює $180^\circ.$
ІІІ. Сума протилежних кутів будь-якої трапеції дорівнює 180$^\circ$.
А Б В Г Д лише І лише ІІ лише І й ІІ лише ІІ й ІІІ І, ІІ й ІІІ Показати відповідьБ. І. Бічні сторони трапеції не паралельні. Не є правильним
ІІ. Кути, прилеглі до бічної сторони трапеції є внутрішнімі односторонніми, тому їх сума дорівнює 180$^\circ$. Правильно.
III. Сума протилежних кутів 180$^\circ$ лише у рівнобічної трапеції. Не є правильним. - Діагоналі трапеції ABCD ($AD \parallel BC$) перетинаються в точці О. Знайдіть довжину основи $ВС$ трапеції, якщо $AD = 24\,см,\ АО = 9\,см,\ ОС = 6\,см$.
А Б В Г Д 6 см 9 см 12 см 16 см 18 см Показати відповідьГ.
Маємо паралельні прямі BC і AD та січну АС. Тоді маємо рівні внутрішні різносторонні кути $\angle OAD = \angle OCB, \angle ODA = \angle OBC$. Тоді трикутники AOD і COB подібні і для подібних трикутників маємо $AD : BC = AO : OC$. Підставимо відомі значення і отримаємо $24 : BC = 9 : 6$. За властивостями пропорцій маємо $BC = 24 \cdot 6 : 9 = 16\,см$. - На більшій основі AD рівнобічної трапеції ABCD вибрано точки К та М так, що $BK \parallel CD, MC \parallel AB$ (див. рисунок). Відрізки ВК та СМ перетинаються в точці О, $ВО : ОК = 2 : 3$. Периметр чотирикутника АВСМ дорівнює 84, ВС = 12. Установіть відповідність між відрізком (1-3) та його довжиною (А-Д).
Відрізок Довжина відрізка 1 АВ
2 МК
3 середня лінія трапеції ABCDА 21
Б 30
В 18
Г 27
Д 54Показати відповідь1-Б, 2-В, 3-Г. 1. Так як $MC \parallel AB$, то $ABCM$ - паралелограм. Периметр цього паралелограма можна знайти за формулою $Р = 2(АВ + ВС)$. Звідси:
84 = 2(АВ + 12)
84 = 2АВ + 24
2AB = 84 - 24
2AB = 60
AB = 30.
2. Трикутники ВСО і КМО подібні(у них рівні кути як внутрішні різносторонні при січних ВК і СМ). Тоді $ВО : ОК = ВС : МК$. Звідси:
2 : 3 = 12 : MK
$MK = 3 \cdot 12 : 2 = 18$.
3. Так як $BK \parallel CD$, то $BCDK$ - паралелограм. Тоді KD = BC = 12. $AD = AM + MK + KD = 12 + 18 + 12 = 42$. Середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ. Маємо $\frac{12 + 42}{2} = 54 : 2 = 27$. - Бічні сторони АВ та CD прямокутної трапеції ABCD дорівнюють 6 см і 10 см відповідно. Менша діагональ трапеції лежить на бісектрисі її прямого кута (див. рисунок). Установіть відповідність між відрізком (1-3) та його довжиною (А-Д).
Відрізок Довжина відрізка 1 основа ВС
2 проекція сторони CD на пряму AD
3 середня лінія трапеції ABCDА 6 см
Б 8 см
В $10\sqrt 2$ см
Г 10 см
Д 14 смПоказати відповідь1-А, 2-Б, 3-Г.
1. Так як АС - бісектриса, то $\angle BAC = \angle DAC$. Так як $BC \parallel AD$, то $\angle DAC = \angle BCA$ як внутрішні різносторонні. Тоді $\angle BAC = \angle BCA$ і трикутник АВС є рівнобедреним, тому ВС = АВ = 6 см.
2. Проведемо висоту трапеції CK, СК = 6. Тоді КD - шукана проекція. З прямокутного трикутника CKD за теоремою Піфагора $KD^2 = CD^2 - CK^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$. Тоді KD = 8 см.
3. Так як $ABCK$ - квадрат (прямокутник за побудовою і дві сусідні сторони рівні), то АК = ВС = 6 см. Тоді AD = AK + KD = 6 + 8 = 14 см. Середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ, тобто $\frac{BC + AD}{2} = \frac{6 + 14}{2} = 20 : 2 = 10\,см.$ - Прямокутну трапецію ABCD ($AD \parallel BC, AD\gt BC$) з більшою бічною стороною CD = 10 описано навколо кола радіуса 4. Установіть відповідність між величиною (1-4) та її числовим значенням (А-Д).
Величина Числове значення 1 довжина сторони АВ
2 довжина проекції сторони CD на пряму AD
3 довжина основи AD
4 довжина середньої лінії трапеції ABCDА 6
Б 8
В 9
Г 12
Д 18Показати відповідь1-Б, 2-А, 3-Г, 4-В.
1. Так як коло вписано в трапецію, то висота трапеції дорівнює діаметру кола, тобто $d = 2r = 2\cdot 4 = 8$. Так як трапеція прямокутна, то бічна сторона АВ дорівнює висоті трапеції, тобто дорівнює 8.
2. Проведемо висоту трапеції CK, СК = 8. Тоді КD - шукана проекція. З прямокутного трикутника CKD за теоремою Піфагора $KD^2 = CD^2 - CK^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$. Тоді KD = 6.
3. Так як в трапецію вписано коло, то в трапеції суми протилежних сторін рівні. Маємо $BC + AD = AB + CD = 8 + 10 = 18$. Так як ABCK - прямокутник, то ВС = АК. Маємо $BC + AD = BC + AK + KD = BC + BC + 6 = 2BC + 6 = 18$. Тоді $2ВС = 18 - 6 = 12$ і ВС = 6. Тоді АК = 6 і $AD = AK + KD = 6 + 6 = 12$.
4. Середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ, тобто $\frac{BC+AD}{2} = \frac{6 + 12}{2} = 18 : 2 = 9$. - На рисунку зображено рівнобедрену трапецію ABCD, у якій АD = 8 см, ВС = 4 см, АС = 10 см. Установіть відповідність між проекцією відрізка на пряму (1-4) та її довжиною (А-Д).
Проекція відрізка на пряму Довжина 1 проекція відрізка ВС на пряму AD
2 проекція відрізка CD на пряму AD
3 проекція відрізка AС на пряму AD
4 проекція відрізка AD на пряму ACА 2 см
Б 4 см
В 4,8 см
Г 5,6 см
Д 6 смПоказати відповідь1-Б, 2-А, 3-Д, 4-В.
1. Проекцією ВС на AD є відрізок МТ. Так як ВСТМ - прямокутник, то МТ = ВС = 4 см.
2. Проекцією СD на AD є відрізок TD. Так як трапеція рівнобедрена, то АМ = TD. Так як $АМ + МТ + TD = AD$, то $АМ + 4 + TD = 8$, звідси АМ + TD = 4 і, так як вони рівні, TD = 2 см.
3. Проекцією АС на AD є відрізок АТ. Так як АМ = TD = 2 см, МТ = 4 см, то $АТ = АМ + МТ = 2 + 4 = 6\,см.$
4. Проекцією АD на АС є відрізок АО. Так як трикутник АСТ прямокутний, то за теоремою Піфагора $CT^2 = AC^2 - AT^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$, тоді СТ = 8 см. Площа трикутника ACD $S = \frac{1}{2} AD \cdot CT = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32\,см^2$. З іншого боку, площа цього трикутника $S = \frac{1}{2} AC \cdot DO$. Підставимо відомі значення і отримаємо $32 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot DO$. Звідси $DO = 32 : 5 = 6,4\,см$. В прямокутному трикутнику AOD за теоремою Піфагора $AO^2 = AD^2 - OD^2 = 64 - 40,96 = 23,04$, звідки АО = 4,8 см. - Установіть відповідність між чотирикутником (1-4) та довжиною його висоти (А-Д).
Чотирикутник Довжина висоти 1 ромб, гострий кут якого дорівнює 60$^\circ$, а менша діагональ - $8\sqrt 3$ см
2 ромб, гострий кут якого дорівнює 30$^\circ$, а периметр - 80 см
3 прямокутна трапеція, основи якої дорівнюють 13 см і 7 см, а більша бічна сторона — 10 см
4 трапеція, середня лінія якої дорівнює 6 см, а площа — 84 см$^2$А 7 см
Б 8 см
В 10 см
Г 12 см
Д 14 смПоказати відповідь1-Г, 2-В, 3-Б, 4-Д. 1.
2.
Так як в ромбі всі сторони рівні, то трикутник АВС рівнобедрений (АВ = ВС), тоді і кути при основі рівні. Оскільки кут В дорівнює 60$^\circ$, то і кути при основі будуть по 60$^\circ$. Отже трикутник АВС є рівностороннім і $ВС = АС = 8\sqrt 3$. Тоді з прямокутного трикутника ВКС $КС = ВСsinB = 8\sqrt 3 \cdot \frac{\sqrt 3}{2} = 12 см$.
Так як в ромбі всі сторони рівні, то сторона ромба ВС = Р : 4 = 80 : 4 = 20 см. В прямокутному трикутнику ВКС катет КС лежить напроти кута 30$^\circ$, тому він дорівнює половині гіпотенузи і КС = 20 : 2 = 10 см.
3. 
Проведемо висоту СК. Тоді АВСК - прямокутник, і АК = ВС = 7. Тоді KD = AD - AK = 13 - 7 = 6 см. З прямокутного трикутника CKD за теоремою Піфагора $KC^2 = CD^2 - KD^2 = 100 - 36 = 64$. Отже КС = 8 см.
4. Так як площа трапеції дорівнює добутку її середньої лінії на висоту, то h = 84 : 6 = 14 см. - На сторонах квадрата ABCD задано точки K, L, M і N так. Що $KM \parallel AD, LN \parallel CD$ (див. рисунок). Відрізки КМ і LN перетинаються в точці О. OL = 8, OM = 6, ON = 2. До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
Початок речення Закінчення речення 1 Довжина відрізка ОК дорівнює
2 Радіус кола, описаного навколо прямокутника OLCM, дорівнює
3 Довжина середньої лінії трапеції OВCM дорівнює
4 Довжина відрізка АР, де Р — точка перетину бісектриси кута NOM зі стороною AD, дорівнюєА 4
Б 5
В 6
Г 8
Д 10Показати відповідь1-А, 2-Б, 3-Г, 4-В.
1. LN = LO + ON = 8 + 2 = 10. Отже, сторона квадрата 10. Тоді OK = KM - OM = 10 - 6 = 4.
2. Радіус кола, описаного навколо прямокутника, дорівнює половині діагоналі прямокутника. В прямокутному трикутнику OLCM діагональ LM знайдемо за теоремою Піфагора з прямокутного трикутника OLM: $LM^2 = LO^2 + OM^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$. Тоді LM = 10 і радіус кола 10 : 2 = 5.
3. Довжина середньої лінії трапеції дорівнює половині суми її основ. В трапеції OBCM сума основ BC і OM дорівнює 10 + 6 = 16, тому середня лінія трапеції дорівнює 16 : 2 = 8.
4. Проведемо бісектрису ОР. Так як бісектриса ділить кут навпіл, то кут NOP дорівнює $90^\circ : 2 = 45^\circ$. Тоді в прямокутному трикутнику ONP кут NPO також дорівнює 45$^\circ$. Отже, трикутник ONP рівнобедрений і NP = ON = 2. Тоді АР = AN + NP = 4 + 2 = 6 (AN = OK = 4). - Основи ВС й AD рівнобічної трапеції ABCD дорівнюють 7 см і 25 см відповідно. Діагональ трапеції BD перпендикулярна до бічної сторони АВ. До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
Початок речення Закінчення речення 1 Середня лінія трапеції дорівнює
2 Проекція сторони АВ на пряму AD дорівнює
3 Висота трапеції дорівнює
4 Сторона АВ трапеції дорівнюєА 9 см
Б 12 см
В 15 см
Г 16 см
Д 18 смПоказати відповідь1-Г, 2-А, 3-Б, 4-В.
1. Середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ. Отже $KM = \frac{BC+AD}{2} = \frac{7+25}{2} = 32 : 2 = 16$.
2. Проведемо висоту ВН. Тоді проекцією АВ на пряму AD є відрізок АН. Проведемо висоту CL. Тоді BCLH- прямокутник і HL = BC = 7 см. Так як трапеція рівнобічна, то AH = LD. Сума AH і LD дорівнює AD - HL = 25 - 7 = 18. Так як ці два відрізка рівні і їх сума 18, то кожен з них дорівнює 9 см. Отже, АН = 9 см.
3. Так як з умови кут ABD прямий, то BH - висота в прямокутному трикутнику і за властивостями висоти, проведеної з вершини прямого кута маємо: $BH^2 = AH \cdot HD = 9 \cdot (7 + 9) = 9 \cdot 16 = 144$. Тоді ВН = 12 см.
4. З прямокутного трикутника АВН за теоремою Піфагора $AB^2 = AH^2 + BH^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$. Тоді АВ = 15 см. - Діагональ BD прямокутної трапеції ABCD є бісектрисою кута ADC й утворює з основою AD кут 30$^\circ$ (див. рисунок). Визначте довжину середньої лінії трапеції ABCD (у см), якщо $BD = 20\sqrt 3 см$.
25.
З прямокутного трикутника АВD $AD = BDcos\angle ADB = 20\sqrt 3 \cdot \frac{\sqrt 3}{2} = 30, AB = BDsin\angle ADB = 20\sqrt 3 \cdot \frac{1}{2} = 10\sqrt 3$. Проведемо перпендикуляр СК до основи АD. Так як АВСК прямокутник, то ВС = АК, $CK = AB = 10\sqrt 3$. Так як BD- бісектриса, то кут KDC вдвічі більше за кут ADB, тобто дорівнює 60$^\circ$. З прямокутного трикутника CKD $KD = CK ctg\angle KDC = 10\sqrt 3 \cdot \frac{\sqrt 3}{3} = 10$. Тоді АК - AD - KD = 30 - 10 = 20 см. ВС = АК = 20 см. Сума основ трапеції дорівнює 30 + 20 = 50 см. Тоді середня лінія трапеції дорівнює 50 : 2 = 25 см.
Коментарі