Шлях до математики: кроки успіху: Трапеція та її властивості

Трапеція - чотирикутник, у якого дві протилежні сторони (основи) паралельні, а інші - ні (бічні сторони).
Види трапецій:

Рівнобічна - бічні сторони рівні
Прямокутна - одна з бічних сторін перпендикулярна до основи

Середня лінія трапеції (відрізок, що сполучає середини бічних ребер трапеції) дорівнює половині суми основ.

2020. Які з наведених тверджень є правильними?
І. Бічні сторони будь-якої трапеції паралельні.
ІІ. Сума кутів, прилеглих до бічної сторони будь-якої трапеції, дорівнює 180^o.
ІІІ. Сума протилежних кутів будь-якої трапеції дорівнює 180^o.

А Б В Г Д

лише І лише ІІ лише І й ІІ лише ІІ й ІІІ І, ІІ й ІІІ

Відповідь

Б.
І. Бічні сторони трапеції не паралельні. Не є правильним
ІІ. Кути, прилеглі до бічної сторони трапеції є внутрішнімі односторонніми, тому їх сума дорівнює 180^o. Правильно.
III. Сума протилежних кутів 180^o лише у рівнобічної трапеції. Не є правильним.

Діагоналі трапеції ABCD (AD||BC) перетинаються в точці О. Знайдіть довжину основи ВС трапеції, якщо AD=24 см, АО=9 см, ОС=6 см.

А Б В Г Д

6 см 9 см 12 см 16 см 18 см

Відповідь

Г.
Маємо паралельні прямі BC і AD та січну АС. Тоді маємо рівні внутрішні різносторонні кути ∠OAD=∠OCB, ∠ODA=∠OBC. Тоді трикутники AOD і COB подібні і для подібних трикутників маємо AD:BC=AO:OC. Підставимо відомі значення і отримаємо 24:BC=9:6. За властивостями пропорцій маємо BC=24⋅6:9=16 см.
2020. На більшій основі AD рівнобічної трапеції ABCD вибрано точки К та М так, що ВК||CD, МС||AB (див. рисунок). Відрізки ВК та СМ перетинаються в точці О, ВО:ОК=2:3. Периметр чотирикутника АВСМ дорівнює 84, ВС=12. Установіть відповідність між відрізком (1-3) та його довжиною (А-Д).

Відрізок Довжина відрізка

1 АВ
2 МК
3 середня лінія трапеції ABCD А 21
Б 30
В 18
Г 27
Д 54

Відповідь

1-Б, 2-В, 3-Г.
1) Так як MC||AB, то АВСМ - паралелограм. Периметр цього паралелограма можна знайти за формулою Р=2(АВ+ВС). Звідси:
84=2(АВ+12)
84=2АВ+24
2AB=84-24
2AB=60
AB=30.
2) Трикутники ВСО і КМО подібні(у них рівні кути як внутрішні різносторонні при січних ВК і СМ). Тоді ВО:ОК=ВС:МК. Звідси:
2:3=12:MK
MK=3⋅12:2=18.
3) Так як BK||CD, то ВСDK - паралелограм. Тоді KD=BC=12. AD=AM+MK+KD=12+18+12=42. Середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ. Маємо (12+42):2=54:2=27.

2020. Бічні сторони АВ та CD прямокутної трапеції ABCD дорівнюють 6 см і 10 см відповідно. Менша діагональ трапеції лежить на бісектрисі її прямого кута (див. рисунок). Установіть відповідність між відрізком (1-3) та його довжиною (А-Д).

Відрізок	Довжина відрізка
1 основа ВС 2 проекція сторони CD на пряму AD 3 середня лінія трапеції ABCD	А 6 см Б 8 см В 10 $\sqrt{2}$ см Г 10 см Д 14 см

Відповідь

1-А, 2-Б, 3-Г.

1) Так як АС - бісектриса, то ∠BAC=∠DAC. Так як BC||AD, то∠DAC=∠ВСА як внутрішні різносторонні. Тоді ∠BAC=∠ВСА і трикутник АВС є рівнобедреним, тому ВС=АВ=6 см.
2) Проведемо висоту трапеції CK, СК=6. Тоді КD - шукана проекція. З прямокутного трикутника CKD за теоремою Піфагора KD²=CD²-CK²=10²-6²=100-36=64. Тоді KD=8.
3) Так як АВСК - квадрат (прямокутник за побудовою і дві сусідні сторони рівні), то АК=ВС=6 см. Тоді AD=AK+KD=6+8=14 см. Середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ, тобто (BC+AD):2=(6+14):2=20:2=10.

Прямокутну трапецію ABCD (AD||BC, AD>BC) з більшою бічною стороною CD=10 описано навколо кола радіуса 4. Установіть відповідність між величиною (1-4) та її числовим значенням (А-Д).

Величина	Числове значення
1 довжина сторони АВ 2 довжина проекції сторони CD на пряму AD 3 довжина основи AD 4 довжина середньої лінії трапеції ABCD	А 6 Б 8 В 9 Г 12 Д 18

Відповідь

1-Б, 2-А, 3-Г, 4-В.

1) Так як коло вписано в трапецію, то висота трапеції дорівнює діаметру кола, тобто d=2r=2⋅4=8. Так як трапеція прямокутна, то бічна сторона АВ дорівнює висоті трапеції, тобто дорівнює 8.
2) Проведемо висоту трапеції CK, СК=8. Тоді КD - шукана проекція. З прямокутного трикутника CKD за теоремою Піфагора KD²=CD²-CK²=10²-8²=100-64=36. Тоді KD=6.
3) Так як в трапецію вписано коло, то в трапеції суми протилежних сторін рівні. Маємо BC+AD=8AB+CD=8+10=18. Так як ABCK - прямокутник, то ВС=АК. Маємо BC+AD=BC+AK+KD=BC+BC+6=2BC+6=18. Тоді 2ВС=18-6=12 і ВС=6. Тоді АК=6 і AD=AK+KD=6+6=12.
4) Середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ, тобто (BC+AD):2=(6+12):2=18:2=9.

На рисунку зображено рівнобедрену трапецію ABCD, у якій АD= 8 см, ВС=4 см, АС=10 см. Установіть відповідність між проекцією відрізка на пряму (1-4) та її довжиною (А-Д).

Проекція відрізка на пряму	Довжина
1 проекція відрізка ВС на пряму AD 2 проекція відрізка CD на пряму AD 3 проекція відрізка AС на пряму AD 4 проекція відрізка AD на пряму AC	А 2 см Б 4 см В 4,8 см Г 5,6 см Д 6 см

Відповідь

1-Б, 2-А, 3-Д, 4-В.

1) Проекцією ВС на AD є відрізок МТ. Так як ВСТМ - прямокутник, то МТ=ВС=4 см.
2) Проекцією СD на AD є відрізок TD. Так як трапеція рівнобедрена, то АМ=TD. Так як АМ+МТ+TD=AD, то АМ+4+TD=8, звідси АМ+TD=4 і, так як вони рівні, TD=2 см.
3) Проекцією АС на AD є відрізок АТ. Так як АМ=TD=2 см, МТ=4 см, то АТ=АМ+МТ=2+4=6 см.
4) Проекцією АD на АС є відрізок АО. Так як трикутник АСТ прямокутний, то за теоремою Піфагора СТ²=AC²-AT²=10²-6²=100-36=64, тоді СТ=8 см. Площа трикутника ACD S=0,5AD⋅CT=0,5⋅8⋅8=32 см². З іншого боку, площа цього трикутника S=0,5AC⋅DO. Підставимо відомі значення і отримаємо 32=0,5⋅10⋅DO. Звідси DO=32:5=6,4 см. В прямокутному трикутнику AOD за теоремою Піфагора AO²=AD²-OD²=64-40,96=23,04, звідки АО=4,8.

2019. Установіть відповідність між чотирикутником (1-4) та довжиною його висоти (А-Д).

Чотирикутник

Довжина висоти

1 ромб, гострий кут якого дорівнює 60^o, а менша діагональ - 8 $\sqrt{3}$ см
2 ромб, гострий кут якого дорівнює 30^o, а периметр - 80 см
3 прямокутна трапеція, основи якої дорівнюють 13 см і 7 см, а більша бічна сторона — 10 см
4 трапеція, середня лінія якої дорівнює 6 см, а площа — 84 см²

А 7 см
Б 8 см
В 10 см
Г 12 см
Д 14 см

Відповідь

1-Г, 2-В, 3-Б, 4-Д.
1)

Так як в ромбі всі сторони рівні, то трикутник АВС рівнобедрений (АВ=ВС), тоді і кути при основі рівні. Оскільки кут В дорівнює 60^o, то і кути при основі будуть по 60^o. Отже трикутник АВС є рівностороннім і ВС=АС=8 $\sqrt{3}$ . Тоді з прямокутного трикутника ВКС КС=ВСsinB=8 $\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$ =12 см.
2)

Так як в ромбі всі сторони рівні, то сторона ромба ВС=Р:4=80:4=20 см. В прямокутному трикутнику ВКС катет КС лежить напроти кута 30^o, тому він дорівнює половині гіпотенузи і КС=20:2=10 см.
3)

Проведемо висоту СК. Тоді АВСК - прямокутник, і АК=ВС=7. Тоді KD=AD-AK=13-7=6 см. З прямокутного трикутника CKD за теоремою Піфагора KC²=CD²-KD²=100-36=64. Отже КС=8 см.
4) Так як площа трапеції дорівнює добутку її середньої лінії на висоту, то h=84:6=14 см.

На сторонах квадрата ABCD задано точки K, L, M і N так. Що KM||AD, LN||CD (див. рисунок). Відрізки КМ і LN перетинаються в точці О. OL=8, OM=6, ON=2. До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

Закінчення речення

1 Довжина відрізка ОК дорівнює
2 Радіус кола, описаного навколо прямокутника OLCM, дорівнює
3 Довжина середньої лінії трапеції OВCM дорівнює
4 Довжина відрізка АР, де Р — точка перетину бісектриси кута NOM зі стороною AD, дорівнює

А 4
Б 5
В 6
Г 8
Д 10

Відповідь

1-А, 2-Б, 3-Г, 4-В.

1) LN=LO+ON=8+2=10. Отже, сторона квадрата 10. Тоді OK=KM-OM=10-6=4.
2) Радіус кола, описаного навколо прямокутника, дорівнює половині діагоналі прямокутника. В прямокутному трикутнику OLCM діагональ LM знайдемо за теоремою Піфагора з прямокутного трикутника OLM: LM²=LO²+OM²=8²+6²=64+36=100. Тоді LM=10 і радіус кола 10:2=5.
3) Довжина середньої лінії трапеції дорівнює половині суми її основ. В трапеції OBCM сума основ BC і OM дорівнює 10+6=16, тому середня лінія трапеції дорівнює 16:2=8.
4) Проведемо бісектрису ОР. Так як бісектриса ділить кут навпіл, то кут NOP дорівнює 90^o:2=45^o. Тоді в прямокутному трикутнику ONP кут NPO також дорівнює 45^o. Отже, трикутник ONP рівнобедрений і NP=ON=2. Тоді АР=AN+NP=4+2=6 (AN=OK=4).

2019. Основи ВС й AD рівнобічної трапеції ABCD дорівнюють 7 см і 25 см відповідно. Діагональ трапеції BD перпендикулярна до бічної сторони АВ. До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення	Закінчення речення
1 Середня лінія трапеції дорівнює 2 Проекція сторони АВ на пряму AD дорівнює 3 Висота трапеції дорівнює 4 Сторона АВ трапеції дорівнює	А 9 см Б 12 см В 15 см Г 16 см Д 18 см

Відповідь

1-Г, 2-А, 3-Б, 4-В.

1) Середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ. Отже КМ=(BC+AD):2=(7+25):2=32:2=16.
2) Проведемо висоту ВН. Тоді проекцією АВ на пряму AD є відрізок АН. Проведемо висоту CL. Тоді BCLH- прямокутник і HL=BC=7 см. Так як трапеція рівнобічна, то AH=LD. Сума AH і LD дорівнює AD-HL=25-7=18. Так як ці два відрізка рівні і їх сума 18, то кожен з них дорівнює 9 см. Отже, АН=9 см.
3) Так як з умови кут ABD прямий, то BH - висота в прямокутному трикутнику і за властивостями висоти, проведеної з вершини прямого кута маємо: BH²=AH⋅HD=9⋅(7+9)=9⋅16=144. Тоді ВН=12 см.
4) З прямокутного трикутника АВН за теоремою Піфагора АВ²=АН²+ВН²=9²+12²=81+144=225. Тоді АВ=15 см.

Діагональ BD прямокутної трапеції ABCD є бісектрисою кута ADC й утворює з основою AD кут 30^o (див. рисунок). Визначте довжину середньої лінії трапеції ABCD (у см), якщо BD= 20 $\sqrt{3}$ см.

Відповідь

25.
З прямокутного трикутника АВD AD=BDcos∠ADB= $20\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$ =30, AB=BDsin∠ADB=20 $\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}=10\sqrt{3}$ . Проведемо перпендикуляр СК до основи АD. Так як АВСК прямокутник, то ВС=АК, СК=АВ=10 $\sqrt{3}$ .Так як BD- бісектриса, то кут KDC вдвічі більше за кут ADB, тобто дорівнює 60^o. З прямокутного трикутника CKD KD=CKctg∠KDC=10 $\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}$ =10. Тоді АК-AD-KD=30-10=20 см. ВС=АК=20 см. Сума основ трапеції дорівнює 30+20=50 см. Тоді середня лінія трапеції дорівнює 50:2=25 см.