Квадрат та його властивості

Квадрат та його властивості — це ідеальна геометрична модель, де симетрія досягає максимуму. У завданнях ЗНО та НМТ квадрат рідко виступає як самостійна фігура; зазвичай він є частиною складніших конструкцій: вписаним у коло, основою піраміди або частиною комбінованих багатокутників. Головний ключ до розв'язання таких задач — розуміння того, що діагональ квадрата не просто з'єднує вершини, а є бісектрисою та віссю симетрії, що ділить фігуру на два рівнобедрених прямокутних трикутники.

На цій сторінці представлено практичний розбір завдань: від тестів на перевірку істинності тверджень до складних обчислювальних задач на вписані фігури та пошук відстаней. Якщо ви готуєтеся до тестування — гортайте вниз, щоб розібрати логіку розв'язання найбільш типових прикладів.

Квадрат - прямокутник, у якого всі сторони рівні (або ромб, у якого всі кути рівні)
Властивості квадрата

Діагоналі квадрата рівні
Діагоналі квадрата перетинаються під прямим кутом і точкою перетину поділяються навпіл
У квадрата всі кути прямі (90°)
Діагоналі квадрата ділять кути квадрата навпіл

Які з наведених тверджень є правильними?
І. Діагоналі будь-якого ромба ділять його кути навпіл.
ІІ. Діагоналі будь-якого чотирикутника точкою перетину діляться навпіл.
ІІІ. Діагоналі будь-якого квадрата перпендикулярні.

А Б В Г Д

лише І І, ІІ та ІІІ лише ІІІ лише І та ІІ лише І та ІІІ

Показати відповідь
Д. І. Правильно.
ІІ. Ця властивість лише у паралелограма та його видів (прямокутник, квадрат, ромб). Не є правильним.
ІІІ. Правильно.

На рисунку зображено квадрат АВСD. Точки К і М - середини сторін АВ і CD відповідно. Визначте периметр чотирикутника AKMD, якщо периметр заданого квадрата дорівнює 72 см.

А Б В Г Д

36 см 42 см 48 см 54 см 60 см

Показати відповідь
Г. Так як периметр квадрата ABCD дорівнює P = 4 sdot; АВ, то P = 4 sdot; АВ = 72, звідки АВ = 72 : 4 = 18 см. Так як точки К і М - середини, то АК=MD=18:2=9 см. Маємо периметр прямокутника AKMD P=AK+KM+MD+AD=9+18+9+18=54 см.
На діагоналі АС квадрата АВСD задано точку, відстань від якої до сторін АВ і ВС дорівнює 2 см і 6 см відповідно. Визначте периметр квадрата АВСD.

А Б В Г Д

16 см 24 см 32 см 48 см 64 см

Показати відповідь
В. Нехай О - дана точка. Так як відстані є перпендикулярами до сторін квадрата, то кути АКО та ВМО прямі. Тоді трикутник АКО прямокутний. Кут А в ньому дорівнює 45°. Тоді кут КОА також дорівнює 45°. Таким чином трикутник АКО рівнобедрений і АК=КО=2 см. Чотирикутник ОКВМ є прямокутником, тому ВК=ОМ=6 см. АВ=АК+ВК=2+6=8 см. Периметр квадрата Р=4 ⋅ AB=4 ⋅ 8=32 см.
Підлога кімнати має форму квадрата. На ній лежить квадратний килим, кожна сторона якого віддалена від найближчої стіни кімнати на 20 см (див. рисунок). Визначте периметр килима, якщо периметр підлоги дорівнює 18 м. Наявністю плінтусів на підлозі знехтуйте.

А Б В Г Д

10 м 13,6 м 15,8 м 16,4 м 17,2 м

Показати відповідь
Г. Нехай довжина сторони підлоги дорівнює a. Тоді Р=4а=18, звідки а=18:4=4,5 м=450 см. Довжина сторони килима на 2 ⋅ 20=40 см менше сторони підлоги, тобто дорівнює 450-40=410 см, або 4,1 м. Тоді периметр килима Р=4 ⋅ 4,1=16,4 м.
У трикутник АВС вписано квадрат KLMN (див. рисунок). Висота цього трикутника, проведена до сторони АС, дорівнює 6 см. Знайдіть периметр квадрата, якщо АС=10 см.

А Б В Г Д

7,5 см 12,5 см 17,5 см 15 см 20 см

Показати відповідь
Г. Нехай довжина сторони квадрата дорівнює x. Тоді KL=x і ОР=KN=x, BO=BP-OP=6-x. Трикутники BKL і BAC подібні. Для подібних трикутників відношення сторін дорівнює відношенню висот, проведених до відповідних сторін. Маємо \frac{KL}{AC}=\frac{BO}{BP}. Підставимо відомі значення і отримаємо \frac{x}{10}=\frac{6-х}{6}. Застосувавши властивість пропорції маємо:
6х=10(6-х)
6x=60-10x
6x+10x=60
16x=60
x=60:16
x=3,75.
Периметр квадрата Р=4х=4 ⋅3,75=15 см.

На рисунку зображено квадрат ABCD і ромб CKMD, які лежать в одній площині. Периметр ромба дорівнює 48 см, а його гострий кут - 60°. До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення	Закінчення речення
1 Довжина сторони квадрата ABCD дорівнює 2 Довжина більшої діагоналі ромба CKMD дорівнює 3 Відстань від точки М до сторони CD дорівнює 4 Відстань від точки K до прямої AD дорівнює	А 6 см Б 6\sqrt 3 см В 12 см Г 12\sqrt 3 см Д 18 см

Показати відповідь

1-В, 2-Г, 3-Б, 4-Д.

1) Сторона ромба CD дорівнює Р:4=48:4=12 см. Відповідно і довжина сторони квадрата дорівнює 12 см.
2) Так як в ромбі кут D дорівнює 60°, то кут С дорівнює 180°-60°=120°. Тоді з трикутника DCK за теоремою косинусів DK²=DC²+CK²-2DC ⋅ CKcosC=12²+12²-2 sdot; 12 ⋅ 12⋅ (-0,5)=144+144+144=144⋅ 3. Тоді DK=12\sqrt3 см.
3) Проведемо перпендикуляр MF до CD. Тоді MF - висота ромба. З прямокутного трикутника DMF MF=DMsinD=12\cdot\frac{\sqrt 3}{2}=6\sqrt3.
4) Продовжимо сторону AD і проведемо перпендикуляр KN до неї. Так як відрізок CD перпендикулярний до AD (ABCD - квадрат) і відрізок КМ паралельний відрізку CD (CKMD - ромб), то відрізок КМ також перпендикулярний до AD і точка М належить KN. З прямокутного трикутника DMF DF=DMcosD=12 ⋅ 0,5=6 см. Так як DFMN - прямокутник, то MN=DF=6 см. Тоді KN=KM+MN=12+6=18 см.

На рисунку зображено квадрат ABCD зі стороною 1 см та прямокутний трикутник CDF, гіпотенуза якого CF дорівнює \sqrt5 см. Фігури лежать в одній площині. Установіть відповідність між початком речення (1-4) та його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення	Закінчення речення
1 Довжина катета FD трикутника CDF дорівнює 2 Довжина радіуса кола, описаного навколо квадрата ABCD, дорівнює 3 Відстань від точки F до прямої ВС дорівнює 4 Відстань від точки F до прямої ВD дорівнює	А 1 см Б \frac{1}{\sqrt2} см В \sqrt2 см Г 2 см Д \sqrt5 см

Показати відповідь

1-Г, 2-Б, 3-А, 4-В.

1) З прямокутного трикутника CDF за теоремою Піфагора FD^2=CF^2-CD^2=5-1=4. Тоді DF = 2 см.
2) Радіус ОС кола, описаного навколо квадрата, дорівнює половині його діагоналі. Оскільки діагональ квадрата можна знайти за формулою d=a\sqrt 2, то АС=d=1\cdot \sqrt 2=\sqrt 2. ОС=АС:2=\frac{\sqrt 2}{2}=\frac{1}{\sqrt 2}.
3) Відстань FE до прямої ВС дорівнює CD, тобто 1 см.
4) Так як кут ODC дорівнює 45°, кут CDF прямий, а вони разом з кутом MDF утворюють розгорнутий кут (180°), то \angle MDF=180^\circ-45^\circ-90^\circ=45^\circ. Оскільки в прямокутному трикутнику DMF один з гострих кутів 45°, то другий також 45°. Отже, трикутник є рівнобедреним і DM=MF. За теоремою Піфагора для цього трикутника маємо:
DF^2=DM^2+MF^2
4=2MF^2
MF^2=2
MF=\sqrt 2 см.

Установіть відповідність між геометричною фігурою (1-4) та радіусом кола (А-Д), вписаного в цю геометричну фігуру.

Геометрична фігура	Радіус кола, вписаного в геометричну фігуру
1 правильний трикутник, висота якого дорівнює \sqrt{2} (рис. 1) 2 ромб, висота якого дорівнює \sqrt{2} (рис. 2) 3 квадрат, діагональ якого дорівнює \sqrt{2} (рис. 3) 4 правильний шестикутник, більша діагональ якого дорівнює 2\sqrt{2} (рис. 4)	А \frac{\sqrt 6}{2} Б 1 В \frac{1}{2} Г \frac{\sqrt2}{2} Д \frac{\sqrt2}{3}

Показати відповідь

1-Д, 2-Г, 3-В, 4-А.1) В правильному трикутнику висота є медіаною, точкою перетину медіани діляться у відношенні 2:1 і менший з відрізків є в правильному трикутнику радіусом вписаного кола. Отже, для правильного трикутника радіус вписаного кола дорівнює третині висоти, тобто \frac{\sqrt2}{3}.
2) Для ромба його висота є діаметром вписаного кола, тому радіус вписаного кола дорівнює половині висоти, тобто \frac{\sqrt2}{2}.
3) Для квадрата радіус вписаного кола дорівнює половині сторони квадрата. Оскільки діагональ квадрата знаходиться за формулою d=a\sqrt{2}, то сторона даного квадрата дорівнює 1. Тому радіус вписаного кола дорівнює \frac{1}{2}.
4) Оскільки більша діагональ правильного шестикутника вдвічі більше за його сторону, то сторона цього шестикутника \sqrt{2}. Тоді меншу діагональ можна знайти за теоремою Піфагора: d=\sqrt{(2\sqrt2)^2-(\sqrt2)^2} = \sqrt{8-2}=\sqrt6. Дана діагональ є діаметром вписаного кола і його радіус \frac{\sqrt6}{2}

У ромб ABCD вписано квадрат KLMN, сторона KL якого перетинає діагональ AC в точці Р (див. рисунок). AL = 10 см, AР = 8 см.
1. Обчисліть довжину сторони квадрата KLMN (у см).
2. Обчисліть довжину діагоналі BD ромба ABCD (у см).

Показати відповідь
12; 21. 1. З прямокутного трикутника ALP за теоремою Піфагора AP^2+LP^2=AL^2. Тому 8^2+LP^2=10^2. Звідси LP^2=100-64=36 і LP=6 см. Тоді LK=2LP=2\cdot6=12\,см.
2. Трикутники ALP та LBO подібні, тому AP:LO=LP:BO. Звідси 8:6=6:BO і ВО=6\cdot6:8=36:8=4,5. Тоді BD=4,5+12+4,5=21 см
На рисунку зображено квадрат ABCD, сторона якого дорівнює 12. На сторонах AD і ВС квадрата вибрано точки К і М так, що АК=4, МС=3.
1. Визначте відстань між серединами відрізків АВ і КМ.
2. Обчисліть довжину відрізка КМ.
6,5; 13. 1. Нехай Н- середина АВ і О - середина КМ. Тоді НО- середня лінія трапеції і дорівнює половині суми основ. Так як ВС=12, МС=3, то ВМ=ВС-МС=12-3=9. НО=\frac{АК+ВМ}{2}=\frac{4+9}{2}=6,5.
2. Так як АВNK - прямокутник, то BN=AK=4, KN=AB=12. Тоді NM=BM-BN=9-4=5. В прямокутному трикутнику KNM за теоремою Піфагора KM^2=KN^2+NM^2=12^2+5^2=144+25=169, звідки KM=\sqrt{169}=13.