Перейти до основного вмісту

Квадрат та його властивості

Квадрат - прямокутник, у якого всі сторони рівні (або ромб, у якого всі кути рівні)
Властивості квадрата
  • Діагоналі квадрата рівні
  • Діагоналі квадрата перетинаються під прямим кутом і точкою перетину поділяються навпіл
  • У квадрата всі кути прямі (90$^\circ$)
  • Діагоналі квадрата ділять кути квадрата навпіл
  1. Які з наведених тверджень є правильними?
    І. Діагоналі будь-якого ромба ділять його кути навпіл.
    ІІ. Діагоналі будь-якого чотирикутника точкою перетину діляться навпіл.
    ІІІ. Діагоналі будь-якого квадрата перпендикулярні.
    АБВГД
    лише І І, ІІ та ІІІ лише ІІІ лише І та ІІ лише І та ІІІ
    Показати відповідь
    Д. І. Правильно.
    ІІ. Ця властивість лише у паралелограма та його видів (прямокутник, квадрат, ромб). Не є правильним.
    ІІІ. Правильно.
  2. На рисунку зображено квадрат АВСD. Точки К і М - середини сторін АВ і CD відповідно. Визначте периметр чотирикутника AKMD, якщо периметр заданого квадрата дорівнює 72 см.

    АБВГД
    36 см 42 см 48 см 54 см 60 см
    Показати відповідь
    Г. Так як периметр квадрата ABCD дорівнює $P = 4\cdot АВ$, то $P = 4\cdot АВ = 72$, звідки $АВ = 72 : 4 = 18\,см$. Так як точки К і М - середини, то $АК=MD=18:2=9\,см$. Маємо периметр прямокутника AKMD $P=AK+KM+MD+AD=9+18+9+18=54\,см$.
  3. На діагоналі АС квадрата АВСD задано точку, відстань від якої до сторін АВ і ВС дорівнює 2 см і 6 см відповідно. Визначте периметр квадрата АВСD.
    АБВГД
    16 см 24 см 32 см 48 см 64 см
    Показати відповідь
    В. Нехай О - дана точка. Так як відстані є перпендикулярами до сторін квадрата, то кути АКО та ВМО прямі. Тоді трикутник АКО прямокутний. Кут А в ньому дорівнює 45$^\circ$. Тоді кут КОА також дорівнює 45$^\circ$. Таким чином трикутник АКО рівнобедрений і $АК=КО=2\,см$. Чотирикутник ОКВМ є прямокутником, тому $ВК=ОМ=6\,см$. $АВ=АК+ВК=2+6=8\,см$. Периметр квадрата $Р=4\cdot AB=4\cdot 8=32\,см$.
  4. Підлога кімнати має форму квадрата. На ній лежить квадратний килим, кожна сторона якого віддалена від найближчої стіни кімнати на 20 см (див. рисунок). Визначте периметр килима, якщо периметр підлоги дорівнює 18 м. Наявністю плінтусів на підлозі знехтуйте.

    АБВГД
    10 м 13,6 м 15,8 м 16,4 м 17,2 м
    Показати відповідь
    Г. Нехай довжина сторони підлоги дорівнює $a$. Тоді $Р=4а=18$, звідки $а=18:4=4,5\,м=450\,см.$ Довжина сторони килима на $2\cdot 20=40\,см$ менше сторони підлоги, тобто дорівнює $450-40=410\,см$, або 4,1 м. Тоді периметр килима $Р=4\cdot 4,1=16,4\,м$.
  5. У трикутник АВС вписано квадрат KLMN (див. рисунок). Висота цього трикутника, проведена до сторони АС, дорівнює 6 см. Знайдіть периметр квадрата, якщо АС=10 см.

    АБВГД
    7,5 см 12,5 см 17,5 см 15 см 20 см
    Показати відповідь
    Г. Нехай довжина сторони квадрата дорівнює $x$. Тоді $KL=x$ і $ОР=KN=x$, $BO=BP-OP=6-x$. Трикутники BKL і BAC подібні. Для подібних трикутників відношення сторін дорівнює відношенню висот, проведених до відповідних сторін. Маємо $\frac{KL}{AC}=\frac{BO}{BP}$. Підставимо відомі значення і отримаємо $\frac{x}{10}=\frac{6-х}{6}$. Застосувавши властивість пропорції маємо:
    6х=10(6-х)
    6x=60-10x
    6x+10x=60
    16x=60
    x=60:16
    x=3,75.
    Периметр квадрата $Р=4х=4⋅3,75=15\,см.$
  6. На рисунку зображено квадрат ABCD і ромб CKMD, які лежать в одній площині. Периметр ромба дорівнює 48 см, а його гострий кут - 60$^\circ$. До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

    Початок речення Закінчення речення
    1 Довжина сторони квадрата ABCD дорівнює
    2 Довжина більшої діагоналі ромба CKMD дорівнює
    3 Відстань від точки М до сторони CD дорівнює
    4 Відстань від точки K до прямої AD дорівнює    		 А 6 см
    Б $6\sqrt 3$ см
    В 12 см
    Г $12\sqrt 3$ см
    Д 18 см
    Показати відповідь
    1-В, 2-Г, 3-Б, 4-Д. 1) Сторона ромба CD дорівнює $Р:4=48:4=12\,см$. Відповідно і довжина сторони квадрата дорівнює 12 см.
    2) Так як в ромбі кут D дорівнює 60$^\circ$, то кут С дорівнює $180^\circ-60^\circ=120^\circ$. Тоді з трикутника DCK за теоремою косинусів $DK^2=DC^2+CK^2-2DC\cdot CKcosC=12^2+12^2-2\cdot 12\cdot 12\cdot (-0,5)=144+144+144=144\cdot 3$. Тоді $DK=12\sqrt3$ см.
    3) Проведемо перпендикуляр MF до CD. Тоді MF - висота ромба. З прямокутного трикутника DMF $MF=DMsinD=12\cdot\frac{\sqrt 3}{2}=6\sqrt3$.
    4) Продовжимо сторону AD і проведемо перпендикуляр KN до неї. Так як відрізок CD перпендикулярний до AD (ABCD - квадрат) і відрізок КМ паралельний відрізку CD (CKMD - ромб), то відрізок КМ також перпендикулярний до AD і точка М належить KN. З прямокутного трикутника DMF $DF=DMcosD=12\cdot 0,5=6\,см$. Так як DFMN - прямокутник, то $MN=DF=6 см$. Тоді $KN=KM+MN=12+6=18 см$.
  7. На рисунку зображено квадрат ABCD зі стороною 1 см та прямокутний трикутник CDF, гіпотенуза якого CF дорівнює $\sqrt5$ см. Фігури лежать в одній площині. Установіть відповідність між початком речення (1-4) та його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

    Початок речення Закінчення речення
    1 Довжина катета FD трикутника CDF дорівнює
    2 Довжина радіуса кола, описаного навколо квадрата ABCD, дорівнює
    3 Відстань від точки F до прямої ВС дорівнює
    4 Відстань від точки F до прямої ВD дорівнює     		А 1 см
    Б $\frac{1}{\sqrt2}$ см
    В $\sqrt2$ см
    Г 2 см
    Д $\sqrt5$ см
    Показати відповідь
    1-Г, 2-Б, 3-А, 4-В. 1) З прямокутного трикутника CDF за теоремою Піфагора $FD^2=CF^2-CD^2=5-1=4$. Тоді DF = 2 см.
    2) Радіус ОС кола, описаного навколо квадрата, дорівнює половині його діагоналі. Оскільки діагональ квадрата можна знайти за формулою $d=a\sqrt 2$, то $АС=d=1\cdot \sqrt 2=\sqrt 2$. $ОС=АС:2=\frac{\sqrt 2}{2}=\frac{1}{\sqrt 2}$.
    3) Відстань FE до прямої ВС дорівнює CD, тобто 1 см.
    4) Так як кут ODC дорівнює 45$^\circ$, кут CDF прямий, а вони разом з кутом MDF утворюють розгорнутий кут (180$^\circ$), то $\angle MDF=180^\circ-45^\circ-90^\circ=45^\circ$. Оскільки в прямокутному трикутнику DMF один з гострих кутів 45$^\circ$, то другий також 45$^\circ$. Отже, трикутник є рівнобедреним і DM=MF. За теоремою Піфагора для цього трикутника маємо:
    $DF^2=DM^2+MF^2$
    $4=2MF^2$
    $MF^2=2$
    $MF=\sqrt 2$ см.
  8. Установіть відповідність між геометричною фігурою (1-4) та радіусом кола (А-Д), вписаного в цю геометричну фігуру.

    Геометрична фігура Радіус кола, вписаного в геометричну фігуру
    1 правильний трикутник, висота якого дорівнює $\sqrt{2}$ (рис. 1)
    2 ромб, висота якого дорівнює $\sqrt{2}$ (рис. 2)
    3 квадрат, діагональ якого дорівнює $\sqrt{2}$ (рис. 3)
    4 правильний шестикутник, більша діагональ якого дорівнює $2\sqrt{2}$ (рис. 4)    		 А $\frac{\sqrt 6}{2}$
    Б 1
    В $\frac{1}{2}$
    Г $\frac{\sqrt2}{2}$
    Д $\frac{\sqrt2}{3}$
    Показати відповідь
    1-Д, 2-Г, 3-В, 4-А.1) В правильному трикутнику висота є медіаною, точкою перетину медіани діляться у відношенні 2:1 і менший з відрізків є в правильному трикутнику радіусом вписаного кола. Отже, для правильного трикутника радіус вписаного кола дорівнює третині висоти, тобто $\frac{\sqrt2}{3}$.
    2) Для ромба його висота є діаметром вписаного кола, тому радіус вписаного кола дорівнює половині висоти, тобто $\frac{\sqrt2}{2}$.
    3) Для квадрата радіус вписаного кола дорівнює половині сторони квадрата. Оскільки діагональ квадрата знаходиться за формулою $d=a\sqrt{2}$, то сторона даного квадрата дорівнює 1. Тому радіус вписаного кола дорівнює $\frac{1}{2}$.
    4) Оскільки більша діагональ правильного шестикутника вдвічі більше за його сторону, то сторона цього шестикутника $\sqrt{2}$. Тоді меншу діагональ можна знайти за теоремою Піфагора: $d=\sqrt{(2\sqrt2)^2-(\sqrt2)^2} = \sqrt{8-2}=\sqrt6$. Дана діагональ є діаметром вписаного кола і його радіус $\frac{\sqrt6}{2}$
  9. У ромб ABCD вписано квадрат KLMN, сторона KL якого перетинає діагональ AC в точці Р (див. рисунок). AL = 10 см, AР = 8 см.

    1. Обчисліть довжину сторони квадрата KLMN (у см).
    2. Обчисліть довжину діагоналі BD ромба ABCD (у см).
    Показати відповідь
    12; 21. 1. З прямокутного трикутника ALP за теоремою Піфагора $AP^2+LP^2=AL^2$. Тому $8^2+LP^2=10^2$. Звідси $LP^2=100-64=36$ і LP=6 см. Тоді $LK=2LP=2\cdot6=12\,см$.
    2. Трикутники ALP та LBO подібні, тому $AP:LO=LP:BO$. Звідси $8:6=6:BO$ і $ВО=6\cdot6:8=36:8=4,5$. Тоді $BD=4,5+12+4,5=21\,см$
  10. На рисунку зображено квадрат ABCD, сторона якого дорівнює 12. На сторонах AD і ВС квадрата вибрано точки К і М так, що АК=4, МС=3.
    1. Визначте відстань між серединами відрізків АВ і КМ.
    2. Обчисліть довжину відрізка КМ.

    6,5; 13. 1. Нехай Н- середина АВ і О - середина КМ. Тоді НО- середня лінія трапеції і дорівнює половині суми основ. Так як ВС=12, МС=3, то $ВМ=ВС-МС=12-3=9$. $НО=\frac{АК+ВМ}{2}=\frac{4+9}{2}=6,5.$
    2. Так як АВNK - прямокутник, то BN=AK=4, KN=AB=12. Тоді $NM=BM-BN=9-4=5$. В прямокутному трикутнику KNM за теоремою Піфагора $KM^2=KN^2+NM^2=12^2+5^2=144+25=169$, звідки $KM=\sqrt{169}=13$.
⇐V.5.
Ромб та його властивості		 До змісту ⇒V.7.
Трапеція та її властивості

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Правила порівняння звичайних дробів: 1. Якщо дроби мають однаковий знаменник, то більше той дріб, чисельник якого більше $\frac{4}{7}\gt\frac{3}{7}$; 2. Якщо дроби мають однаковий чисельник, то більше той дріб, знаменник якого менше $\frac{6}{13}\gt\frac{6}{17}$; 3. Неправильний дріб завжди більше правильного $\frac{7}{4}\gt\frac{4}{7}$; 4. Якщо за цими правилами не можемо визначити, то зводимо дроби до спільного знаменника і використовуємо правило 1. Завдання 1. НМТ. Маса протона наближено дорівнює 1,67 ∙ 10 −27 кг. Визначте наближену масу (кг) 100 протонів. 167 ∙ 10 −25 1,67 ∙ 10 −25 1,67 ∙ 10 −29 1,67 ∙ 10 −2700 1,67 ∙ 10 25 Показати відповідь Б . 100 ∙ 1,67 ∙ 10 −27 = 1,67 ∙ 100 ∙ 10 −27 = 1,67 ∙ 10 2 ∙ 10 −27 = 1,67 ∙ 10 2 + (-27) = 1,67 ∙ 10 −25 . Завдання 2. НМТ. Узгодьте вираз (1–3) із твердженням (А − Д) щодо значення цього виразу. 1 $\frac{\pi}{3}$ 2 $sin(\frac{7\pi}{2})$ 3 $\pi^{cos90^o}$ А є ірраціональним числом Б є н...
3 коментарі
Read more »

Піраміда та її елементи

Піраміда: у n-кутної піраміди n+1 вершина, n+1 граней, 2n ребер бічні грані піраміди - трикутники, а правильної піраміди - рівнобедрені трикутники правильна піраміда - піраміда, в основі якої лежить правильний багатокутник, а основа висоти співпадає з центром цього багатокутника Завдання 1. Розгортку якого з наведених многогранників зображено на рисунку? "> "> "> "> "> "> Показати відповідь Б . Маємо один чотирикутник - основу і 4 трикутника - бічні грані, тому наведено розгортку чотирикутної піраміди. Завдання 2. Визначте кількість граней восьмикутної піраміди. 7 8 9 16 17 Показати відповідь В . Маємо 8 бічних граней та 1 грань основи. Разом 9 граней. Завдання 3. Скільки всього граней у піраміди, яка має 12 ребер? 4 6 7 12 13 Показати відповідь В . Оскільки в піраміді однакова кількість бічних ребер та ребер основи, то дана піраміда має 12 : 2 = 6 ребер о...
2 коментарі
Read more »

Функції за графіками

НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y = x + 2 y = −x 2 Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) так, щоб утворилося правильне твердження. Початок речення Закінчення речення 1 Найбільше значення функції y = f(x) на відрізку [1; 9] дорівнює 2 Найменше значення функції y = f(x) на відрізку [1; 3] дорівнює 3 Найбільше ціле значення x, за якого справджується нерівність f(x)<0, дорівнює А −1. Б 9. В 6. Г 7. Д 5. Показати відпові...
13 коментарів
Read more »

Функція

1. Для обчислення значення функції в точці х o потрібно це значення підставити у функцію замість х. 2. Область визначення функції: можливі значення, які може приймати змінна х. Тут можливі випадки: Якщо є дріб, то його знаменник не дорівнює 0 Якщо є корінь парного степеня, то його підкореневий вираз повинен бути більше або дорівнювати 0 Якщо є логарифм, то його підлогарифмічний вираз повинен бути більше 0 3. Область значень функції: можливі значення. які може приймати у. 4. Функції розрізняють: за парністю Парні: якщо f(-x)=f(x). Графік парної функції симетричний відносно осі Оу Непарні: якщо f(-x)= -f(x). Графік непарної функції симетричний відносно початку координат Ні парні ні непарні: не виконуються попередні умови за монотоністю Зростаючі: якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції (з x 1 <x 2 слідує f(x 1 )<f(x 2 )) Спадні: якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції (з x 1 <x 2 слідує f(x 1 )>f(x 2 )) ...
Дописати коментар
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія 1. Знаходження n-го члена арифметичної прогресії: а n =а 1 +(n-1)d 2. Знаходження суми перших n членів арифметичної прогресії: S n = або S n = 3. Співвідношення між сусідніми членами прогресії: 2а n =а n-1 +а n+1 НМТ 2024. В арифметичній прогресії (a n ) відомо, що a 6 – a 1 = –30. Обчисліть значення виразу a 6 – a 4 . А Б В Г Д 12 10 –15 –10 –12 Показати відповідь Д . НМТ 2023. Студент вивчав японську мову за такою методикою: у перший день він запам'ятав 6 ієрогліфів, а кожного наступного дня - на 2 ієрогліфи більше, ніж попереднього. Скільки всього ієрогліфів запам'ятав цей студент за 25 днів від першого дня вивчення японської мови? Показати відповідь 750 . НМТ 2023. Число 27 є членом арифметичної прогресії з різницею d=5. Визначте числа з проміжку (60; 75), що є членами цієї прогресії. У відповідь запишіть суму цих чисел. Показати відповідь 201 . Задано арифметичну прогресію (a n ), у якій різниця ...
5 коментарів
Read more »