Перейти до основного вмісту

Квадрат та його властивості

Квадрат - прямокутник, у якого всі сторони рівні (або ромб, у якого всі кути рівні)
Властивості квадрата
  • Діагоналі квадрата рівні
  • Діагоналі квадрата перетинаються під прямим кутом і точкою перетину поділяються навпіл
  • У квадрата всі кути прямі (90°)
  • Діагоналі квадрата ділять кути квадрата навпіл
  1. Які з наведених тверджень є правильними?
    І. Діагоналі будь-якого ромба ділять його кути навпіл.
    ІІ. Діагоналі будь-якого чотирикутника точкою перетину діляться навпіл.
    ІІІ. Діагоналі будь-якого квадрата перпендикулярні.
    АБВГД
    лише І І, ІІ та ІІІ лише ІІІ лише І та ІІ лише І та ІІІ
    Показати відповідь
    Д. І. Правильно.
    ІІ. Ця властивість лише у паралелограма та його видів (прямокутник, квадрат, ромб). Не є правильним.
    ІІІ. Правильно.
  2. На рисунку зображено квадрат АВСD. Точки К і М - середини сторін АВ і CD відповідно. Визначте периметр чотирикутника AKMD, якщо периметр заданого квадрата дорівнює 72 см.

    АБВГД
    36 см 42 см 48 см 54 см 60 см
    Показати відповідь
    Г. Так як периметр квадрата ABCD дорівнює P = 4 sdot; АВ, то P = 4 sdot; АВ = 72, звідки АВ = 72 : 4 = 18 см. Так як точки К і М - середини, то АК=MD=18:2=9 см. Маємо периметр прямокутника AKMD P=AK+KM+MD+AD=9+18+9+18=54 см.
  3. На діагоналі АС квадрата АВСD задано точку, відстань від якої до сторін АВ і ВС дорівнює 2 см і 6 см відповідно. Визначте периметр квадрата АВСD.
    АБВГД
    16 см 24 см 32 см 48 см 64 см
    Показати відповідь
    В. Нехай О - дана точка. Так як відстані є перпендикулярами до сторін квадрата, то кути АКО та ВМО прямі. Тоді трикутник АКО прямокутний. Кут А в ньому дорівнює 45°. Тоді кут КОА також дорівнює 45°. Таким чином трикутник АКО рівнобедрений і АК=КО=2 см. Чотирикутник ОКВМ є прямокутником, тому ВК=ОМ=6 см. АВ=АК+ВК=2+6=8 см. Периметр квадрата Р=4 ⋅ AB=4 ⋅ 8=32 см.
  4. Підлога кімнати має форму квадрата. На ній лежить квадратний килим, кожна сторона якого віддалена від найближчої стіни кімнати на 20 см (див. рисунок). Визначте периметр килима, якщо периметр підлоги дорівнює 18 м. Наявністю плінтусів на підлозі знехтуйте.

    АБВГД
    10 м 13,6 м 15,8 м 16,4 м 17,2 м
    Показати відповідь
    Г. Нехай довжина сторони підлоги дорівнює a. Тоді Р=4а=18, звідки а=18:4=4,5 м=450 см. Довжина сторони килима на 2 ⋅ 20=40 см менше сторони підлоги, тобто дорівнює 450-40=410 см, або 4,1 м. Тоді периметр килима Р=4 ⋅ 4,1=16,4 м.
  5. У трикутник АВС вписано квадрат KLMN (див. рисунок). Висота цього трикутника, проведена до сторони АС, дорівнює 6 см. Знайдіть периметр квадрата, якщо АС=10 см.

    АБВГД
    7,5 см 12,5 см 17,5 см 15 см 20 см
    Показати відповідь
    Г. Нехай довжина сторони квадрата дорівнює x. Тоді KL=x і ОР=KN=x, BO=BP-OP=6-x. Трикутники BKL і BAC подібні. Для подібних трикутників відношення сторін дорівнює відношенню висот, проведених до відповідних сторін. Маємо \frac{KL}{AC}=\frac{BO}{BP}. Підставимо відомі значення і отримаємо \frac{x}{10}=\frac{6-х}{6}. Застосувавши властивість пропорції маємо:
    6х=10(6-х)
    6x=60-10x
    6x+10x=60
    16x=60
    x=60:16
    x=3,75.
    Периметр квадрата Р=4х=4 ⋅3,75=15 см.
  6. На рисунку зображено квадрат ABCD і ромб CKMD, які лежать в одній площині. Периметр ромба дорівнює 48 см, а його гострий кут - 60°. До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

    Початок речення Закінчення речення
    1 Довжина сторони квадрата ABCD дорівнює
    2 Довжина більшої діагоналі ромба CKMD дорівнює
    3 Відстань від точки М до сторони CD дорівнює
    4 Відстань від точки K до прямої AD дорівнює    		 А 6 см
    Б 6\sqrt 3 см
    В 12 см
    Г 12\sqrt 3 см
    Д 18 см
    Показати відповідь
    1-В, 2-Г, 3-Б, 4-Д. 1) Сторона ромба CD дорівнює Р:4=48:4=12 см. Відповідно і довжина сторони квадрата дорівнює 12 см.
    2) Так як в ромбі кут D дорівнює 60°, то кут С дорівнює 180°-60°=120°. Тоді з трикутника DCK за теоремою косинусів DK2=DC2+CK2-2DC ⋅ CKcosC=122+122-2 sdot; 12 ⋅ 12⋅ (-0,5)=144+144+144=144⋅ 3. Тоді DK=12\sqrt3 см.
    3) Проведемо перпендикуляр MF до CD. Тоді MF - висота ромба. З прямокутного трикутника DMF MF=DMsinD=12\cdot\frac{\sqrt 3}{2}=6\sqrt3.
    4) Продовжимо сторону AD і проведемо перпендикуляр KN до неї. Так як відрізок CD перпендикулярний до AD (ABCD - квадрат) і відрізок КМ паралельний відрізку CD (CKMD - ромб), то відрізок КМ також перпендикулярний до AD і точка М належить KN. З прямокутного трикутника DMF DF=DMcosD=12 ⋅ 0,5=6 см. Так як DFMN - прямокутник, то MN=DF=6 см. Тоді KN=KM+MN=12+6=18 см.
  7. На рисунку зображено квадрат ABCD зі стороною 1 см та прямокутний трикутник CDF, гіпотенуза якого CF дорівнює \sqrt5 см. Фігури лежать в одній площині. Установіть відповідність між початком речення (1-4) та його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

    Початок речення Закінчення речення
    1 Довжина катета FD трикутника CDF дорівнює
    2 Довжина радіуса кола, описаного навколо квадрата ABCD, дорівнює
    3 Відстань від точки F до прямої ВС дорівнює
    4 Відстань від точки F до прямої ВD дорівнює     		А 1 см
    Б \frac{1}{\sqrt2} см
    В \sqrt2 см
    Г 2 см
    Д \sqrt5 см
    Показати відповідь
    1-Г, 2-Б, 3-А, 4-В. 1) З прямокутного трикутника CDF за теоремою Піфагора FD^2=CF^2-CD^2=5-1=4. Тоді DF = 2 см.
    2) Радіус ОС кола, описаного навколо квадрата, дорівнює половині його діагоналі. Оскільки діагональ квадрата можна знайти за формулою d=a\sqrt 2, то АС=d=1\cdot \sqrt 2=\sqrt 2. ОС=АС:2=\frac{\sqrt 2}{2}=\frac{1}{\sqrt 2}.
    3) Відстань FE до прямої ВС дорівнює CD, тобто 1 см.
    4) Так як кут ODC дорівнює 45°, кут CDF прямий, а вони разом з кутом MDF утворюють розгорнутий кут (180°), то \angle MDF=180^\circ-45^\circ-90^\circ=45^\circ. Оскільки в прямокутному трикутнику DMF один з гострих кутів 45°, то другий також 45°. Отже, трикутник є рівнобедреним і DM=MF. За теоремою Піфагора для цього трикутника маємо:
    DF^2=DM^2+MF^2
    4=2MF^2
    MF^2=2
    MF=\sqrt 2 см.
  8. Установіть відповідність між геометричною фігурою (1-4) та радіусом кола (А-Д), вписаного в цю геометричну фігуру.

    Геометрична фігура Радіус кола, вписаного в геометричну фігуру
    1 правильний трикутник, висота якого дорівнює \sqrt{2} (рис. 1)
    2 ромб, висота якого дорівнює \sqrt{2} (рис. 2)
    3 квадрат, діагональ якого дорівнює \sqrt{2} (рис. 3)
    4 правильний шестикутник, більша діагональ якого дорівнює 2\sqrt{2} (рис. 4)    		 А \frac{\sqrt 6}{2}
    Б 1
    В \frac{1}{2}
    Г \frac{\sqrt2}{2}
    Д \frac{\sqrt2}{3}
    Показати відповідь
    1-Д, 2-Г, 3-В, 4-А.1) В правильному трикутнику висота є медіаною, точкою перетину медіани діляться у відношенні 2:1 і менший з відрізків є в правильному трикутнику радіусом вписаного кола. Отже, для правильного трикутника радіус вписаного кола дорівнює третині висоти, тобто \frac{\sqrt2}{3}.
    2) Для ромба його висота є діаметром вписаного кола, тому радіус вписаного кола дорівнює половині висоти, тобто \frac{\sqrt2}{2}.
    3) Для квадрата радіус вписаного кола дорівнює половині сторони квадрата. Оскільки діагональ квадрата знаходиться за формулою d=a\sqrt{2}, то сторона даного квадрата дорівнює 1. Тому радіус вписаного кола дорівнює \frac{1}{2}.
    4) Оскільки більша діагональ правильного шестикутника вдвічі більше за його сторону, то сторона цього шестикутника \sqrt{2}. Тоді меншу діагональ можна знайти за теоремою Піфагора: d=\sqrt{(2\sqrt2)^2-(\sqrt2)^2} = \sqrt{8-2}=\sqrt6. Дана діагональ є діаметром вписаного кола і його радіус \frac{\sqrt6}{2}
  9. У ромб ABCD вписано квадрат KLMN, сторона KL якого перетинає діагональ AC в точці Р (див. рисунок). AL = 10 см, AР = 8 см.

    1. Обчисліть довжину сторони квадрата KLMN (у см).
    2. Обчисліть довжину діагоналі BD ромба ABCD (у см).
    Показати відповідь
    12; 21. 1. З прямокутного трикутника ALP за теоремою Піфагора AP^2+LP^2=AL^2. Тому 8^2+LP^2=10^2. Звідси LP^2=100-64=36 і LP=6 см. Тоді LK=2LP=2\cdot6=12\,см.
    2. Трикутники ALP та LBO подібні, тому AP:LO=LP:BO. Звідси 8:6=6:BO і ВО=6\cdot6:8=36:8=4,5. Тоді BD=4,5+12+4,5=21 см
  10. На рисунку зображено квадрат ABCD, сторона якого дорівнює 12. На сторонах AD і ВС квадрата вибрано точки К і М так, що АК=4, МС=3.
    1. Визначте відстань між серединами відрізків АВ і КМ.
    2. Обчисліть довжину відрізка КМ.

    6,5; 13. 1. Нехай Н- середина АВ і О - середина КМ. Тоді НО- середня лінія трапеції і дорівнює половині суми основ. Так як ВС=12, МС=3, то ВМ=ВС-МС=12-3=9. НО=\frac{АК+ВМ}{2}=\frac{4+9}{2}=6,5.
    2. Так як АВNK - прямокутник, то BN=AK=4, KN=AB=12. Тоді NM=BM-BN=9-4=5. В прямокутному трикутнику KNM за теоремою Піфагора KM^2=KN^2+NM^2=12^2+5^2=144+25=169, звідки KM=\sqrt{169}=13.
⇐V.5.
Ромб та його властивості		 До змісту ⇒V.7.
Трапеція та її властивості

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Завдання. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців – 4х. Разом їх буде 3х + 4х = 7х. Отже, сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців ділиться націло на 7, і лише число 91 задовольняє цій умові. Завдання. НМТ 2026 (демо). Узгодьте вираз (1– 3) із його значенням (А – Д), якщо m = -\frac{4}{3} 1 |𝑚 − 4| 2 4m −1 3 (3𝑚 + 1) 0 А –3 Б 1 В 0 Г 3 Д \frac{16}{3} Показати відповідь 1-Д, 2-А, 3-Б . 1. |-\frac{4}{3}-4|=|-\frac{4}{3}-\frac{12}{3}|=|\frac{-4-12}{3}|=|\frac{-16}{3}|=\frac{16}{3} 2. 4\cdot(-\frac{4}{3})^{-1} = 4\cdot (-\frac{3}{4}) = -3 (при зміні знака степеня дріб перевертається) 3. Кожне число, від'ємне від 0, в нульовій степені д...
3 коментарі
Read more »

Первісна функції

Правила інтегрування C⋅f(x)dx=C⋅ f(x)dx (f(x)±g(x))dx= f(x)dx± g(x)dx Таблиця первісних x n dx= +C dx=ln|x|+C sinxdx=-cosx+C cosxdx=sinx+C dx=tgx+C dx= -ctgx+C a x dx= +C e x dx=e x +C Завдання. НМТ 2026 (демо). Позначте формулу для визначення площі S фігури, обмеженої графіками функцій 𝑦 = 2 𝑥 , 𝑦 = 2 та прямою 𝑥 = 0 (див. рисунок). S=\int_{0}^{2}2^x{dx} S=\int_{0}^{1}2^x{dx} S=\int_{0}^{1}(2^x-2){dx} S=\int_{0}^{1}(2-2^x){dx} S=\int_{0}^{2}(2-2^x){dx} Показати відповідь Г . Так як фігура обмежена числами 0 та 1 по осі абсцис, то ці числа є межами інтегрування. На даному проміжку фігура обмежена згори лінією у = 2, знизу лінією 𝑦 = 2 𝑥 . Тоді за формулою обчислення площі фігури S=\int_{0}^{1}(2-2^x){dx} . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції Обчисліть значення виразу . Показати відповідь 31 . Скористатись геометричним змістом визначеного інтеграла. НМТ 2024. Обчисліть інтеграл . Показати відповідь 10 . Ск...
8 коментарів
Read more »

Комбінаторика

1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і І об'єкт і ІІ об'єкт можна a⋅b способами. 3. Перестановки . Якщо з n об'єктів потрібно обрати всі n, то це можна зробити P n =n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n-1)⋅n способами. 4. Розміщення . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання важливий, то це можна зробити = способами. 5. Комбінації . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання не важливий, то це можна зробити = способами. Примітка . Скорочення факторіалів = =5⋅6⋅7=210 Завдання. НМТ 2026 (демо). У квітковому магазині є 12 білих та 25 червоних троянд. Покупець замовив у цьому магазині букет із двох білих троянд й однієї червоної. Скільки всього є варіантів такого вибору? Показати відповідь 1650 . Оскільки порядок вибору листіво...
15 коментарів
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія 1. Знаходження n-го члена арифметичної прогресії: а n =а 1 +(n-1)d 2. Знаходження суми перших n членів арифметичної прогресії: S n = або S n = 3. Співвідношення між сусідніми членами прогресії: 2а n =а n-1 +а n+1 НМТ 2024. В арифметичній прогресії (a n ) відомо, що a 6 – a 1 = –30. Обчисліть значення виразу a 6 – a 4 . А Б В Г Д 12 10 –15 –10 –12 Показати відповідь Д . НМТ 2023. Студент вивчав японську мову за такою методикою: у перший день він запам'ятав 6 ієрогліфів, а кожного наступного дня - на 2 ієрогліфи більше, ніж попереднього. Скільки всього ієрогліфів запам'ятав цей студент за 25 днів від першого дня вивчення японської мови? Показати відповідь 750 . НМТ 2023. Число 27 є членом арифметичної прогресії з різницею d=5. Визначте числа з проміжку (60; 75), що є членами цієї прогресії. У відповідь запишіть суму цих чисел. Показати відповідь 201 . Задано арифметичну прогресію (a n ), у якій різниця d...
5 коментарів
Read more »

Функції за графіками

Завдання. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції, що набуває лише додатних значень на всій області визначення? Показати відповідь Д . Якщо графік квадратичної функції набуває лише додатних значень на всій області визначення, то він повинен весь лежати вище осі х. Таккій умові задовольняє тільки графік Д. НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y = x + 2 y = −x 2 Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) ...
13 коментарів
Read more »

Рекомендований допис

Solving Linear Equations with One Variable: A Step-by-Step Guide

An equation is an equality that contains a variable. You are required to find a number that, when substituted for the variable, yields a correct numerical equality (the same numbers on the left and right sides of the equality). In other words, you need to find the solution of the equation . For example, in the equation 2x - 6x + 8 = 7x - 3, we can substitute 1 for the variable x and obtain a correct numerical equality, since 2(1) - 6(1) + 8 = 2 - 6 + 8 = 4 and 7(1) - 3 = 7 - 3 = 4. Therefore, x = 1 is a solution of the equation. When solving equations, we may encounter the following cases: the equation has no solution,one solution, or infinitely many solutions. In this post, we will look at how to solve equations that contain one variable to the first power. Such equations are called linear equations . To solve such equations, you can apply The Subtraction property of equality. If a = b, then a - c =b - c ; The Addition property of equality. If a = b, then a + c = b...
Дописати коментар