Ромб — це паралелограм, який обрав "шлях рівності" для всіх своїх сторін. Саме ця особливість наділяє його унікальними властивостями: діагоналі ромба не просто перетинаються, а роблять це під прямим кутом, перетворюючи фігуру на чотири рівних прямокутних трикутники. Це справжній "скарб" для розв'язання задач, адже більшість обчислень у ромбі зводяться до простої теореми Піфагора.
На цій сторінці ми розберемо ключові властивості ромба, які часто зустрічаються в тестах: від перпендикулярності діагоналей до вписаного кола. Ви дізнаєтеся, чому в ромб завжди можна вписати коло, але описати його вдасться лише в одному особливому випадку — коли ромб стає квадратом. Розбирайте практичні завдання нижче, щоб впевнено почуватися на іспиті!
Ромб - паралелограм, у якого всі сторони рівні
Властивості ромба
Властивості ромба
- Протилежні кути ромба рівні
- Сума сусідніх кутів ромба 180°
- Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом і точкою перетину поділяються навпіл
- Діагоналі ромба ділять кути ромба навпіл
- Які з наведених тверджень є правильними?
І. Навколо будь-якого ромба можна описати коло.
ІІ. Діагоналі будь-якого ромба взаємно перпендикулярні.
ІІІ. У будь-якому ромбі всі сторони рівні.А Б В Г Д лише І та ІІ лише І та ІІІ лише ІІ лише ІІ та ІІІ І, ІІ та ІІІ Показати відповідьГ. Твердження не є правильним.
ІІ. Твердження є правильним.
ІІІ. Твердження є правильним. - Які з наведених тверджень є правильними?
І. Навколо довільного ромба завжди можна описати коло.
ІІ. Навколо довільної трапеції завжди можна описати коло.
ІІІ. Навколо довільного прямокутника завжди можна описати коло.А Б В Г Д лише І та ІІІ лише І лише ІІІ І, ІІ та ІІІ лише ІІ та ІІІ Показати відповідьВ. Коло можна описати навколо чотирикутника, якщо у нього сума протилежних кутів дорівнює 180° Даній умові відповідає з перелічених лише прямокутник. - Які з наведених тверджень є правильними?
І. У будь-який трикутник можна вписати коло.
ІІ. У будь-який прямокутник можна вписати коло.
III. У будь-який ромб можна вписати колоА Б В Г Д лише І лише ІІ і ІІІ лише І і ІІ лише І і ІІІ І, ІІ і ІІІ Показати відповідьГ. І. Правильно.
ІІ. Так як в будь-якому прямокутнику (окрім квадрату) суми протилежних сторін не рівні, то в нього не можна вписати коло. Не є правильним.
ІІІ. Так як в будь-якому ромбі суми протилежних сторін рівні, то в нього завжди можна вписати коло. Правильно. - Які твердження є правильними?
І. Протилежні кути ромба рівні.
ІІ. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні.
ІІІ. У будь-який ромб можна вписати коло.
А Б В Г Д лише І та ІІ лише І та ІІІ лише ІІ та ІІІ лише ІІ І, ІІ та ІІІ Показати відповідьД.Всі твердження є правильними. - Довжина сторони ромба дорівнює 12 см. Визначте довжину більшої діагоналі цього ромба, якщо його тупий кут дорівнює 120о.
А Б В Г Д 6\sqrt3 см 8\sqrt3 см 12 см 12\sqrt3 см 24 см Показати відповідьГ.Оскільки більша діагональ в ромбі лежить навпроти тупого кута, то потрібно знайти діагональ BD. За теоремою косинусів маємо:
BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB \cdot AD \cdot cosA
BD^2=12^2+12^2-2\cdot12\cdot12\cdot cos120^\circ
BD^2=144+144-2\cdot144\cdot(-0,5)
BD^2=144+144+144
BD^2=144\cdot3
BD=12\sqrt3\,см. - Довжина ромба ABCD дорівнює 8, \angle В=60^\circ. Установіть відповідність між величиною (1-3) та її значенням (А-Д).
Величина Значення величини 1 довжина діагоналі АС
2 довжина висоти ромба АВСD
3 відстань від точки А до центра кола, яке вписане в ромбА 4
Б 4\sqrt3
В 8
Г 8\sqrt3
Д 8\sqrt2Показати відповідь1-В, 2-Б, 3-А.1) Так як АВ=ВС, то ∆АВС рівнобедрений і в ньому∠ А= ∠ С. Тоді так як ∠ В=60°, то і кути А і С в трикутнику АВС дорівнюють 60°. Отже, ∆АВС є рівностороннім і АС=АВ=8.
2) Площа ромба S=a^2 sin\alpha = 8^2 \cdot sin60^\circ = 64 \cdot \frac{\sqrt3}{2} = 32\sqrt3. З іншого боку S=aha. Маємо рівняння:
8h=32\sqrt3
h=32\sqrt3:8
h=4\sqrt3
3) Центром вписаного кола є точка перетину діагоналей, які цією точкою поділяються навпіл. Тому відстань від А до центра кола дорівнює половині діагоналі АС, тобто 8:2=4. - На рисунку зображено ромб ABCD, діагоналі якого перетинаються в точці О. Із цієї точки до сторони AD проведено перпендикуляр ОК довжиною 3 см. Площа трикутника АОD дорівнює 15 см2.
1. Визначте довжину сторони ромба ABCD (у см).
2. Обчисліть тангенс гострого кута ромба ABCD.
Показати відповідь10; 0,75. 1. Оскільки S_{∆AOD}=\frac{1}{2} AD \cdot OK = \frac{1}{2} AD \cdot3=1,5AD і дорівнює 15 за умовою, то AD=15:1,5=10 см.
2. Діагоналі ромба розбивають його на чотири рівних трикутника. Тому площа ромба 15⋅4=60. З іншого боку, площа ромба ABCD S=AD^2sinA. Маємо 60=100sinA, звідки sinA=0,6. З формули sin^2 A+cos^2 A=1 маємо cos^2 A=1-sin^2 A= 1-0,6^2=1-0,36=0,64. З формули 1+tg^2 A = \frac{1}{cos^2 A} маємо tg^2 A = \frac{1}{cos^2 A} - 1 = \frac{1}{0,64} - 1 =\frac{1}{0,64} - \frac{0,64}{0,64} = \frac{1-0,64}{0,64}=\frac{0,36}{0,64}=\frac{36}{64}=\frac{9}{16}.. Звідси tg A = \sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4} = 0,75. - У ромб ABCD вписано коло з центром у точці О, яке дотикається сторін АВ і AD у точках К і М відповідно (див. рисунок). Периметр ромба дорівнює 48 см, ∠ A=60°. Знайдіть:
1. Довжину відрізка ОВ (у см).
2. Довжину відрізка КМ (у см).
6; 9. 1. Оскільки PABCD=4AB=48, то АВ=АD=48:4=12 см. Так як АВ=AD, то ∆ABD рівнобедрений. Тоді ∠ ADB=∠ ABD=(180°-60°):2=60°. Отже ∆ABD рівносторонній і BD=AB=12 см. Так як О - середина BD, то ОВ=DB:2=12:2=6 см.
2. Так як ∠ A=60°, то ∠ В=180°-60°=120°. Так як діагоналі ромба є бісектрисами його кутів, то ∠ АВО=120°:2=60°. Тоді в прямокутному ∆ОКВ (∠ ОКВ=90°, оскільки радіус, проведений в точку дотику, перпендикулярний до дотичної) катет КВ лежить проти кута 30° (∠ KOB=90°- ∠ KBO), тому він дорівнює половині гіпотенузи ОВ, тобто 6:2=3 см. Тоді АК=АВ-КВ=12-3=9 см. Так як АК=AМ, то ∆AКМ рівнобедрений. Тоді ∠ AКМ=∠ AМК=(180°-60°):2=60°. Отже ∆AКМ є рівностороннім і КМ=АК=9 см.
Коментарі