Перейти до основного вмісту

Ромб та його властивості

Ромб — це паралелограм, який обрав "шлях рівності" для всіх своїх сторін. Саме ця особливість наділяє його унікальними властивостями: діагоналі ромба не просто перетинаються, а роблять це під прямим кутом, перетворюючи фігуру на чотири рівних прямокутних трикутники. Це справжній "скарб" для розв'язання задач, адже більшість обчислень у ромбі зводяться до простої теореми Піфагора.

На цій сторінці ми розберемо ключові властивості ромба, які часто зустрічаються в тестах: від перпендикулярності діагоналей до вписаного кола. Ви дізнаєтеся, чому в ромб завжди можна вписати коло, але описати його вдасться лише в одному особливому випадку — коли ромб стає квадратом. Розбирайте практичні завдання нижче, щоб впевнено почуватися на іспиті!

Ромб - паралелограм, у якого всі сторони рівні
Властивості ромба
  • Протилежні кути ромба рівні
  • Сума сусідніх кутів ромба 180°
  • Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом і точкою перетину поділяються навпіл
  • Діагоналі ромба ділять кути ромба навпіл
  1. Які з наведених тверджень є правильними?
    І. Навколо будь-якого ромба можна описати коло.
    ІІ. Діагоналі будь-якого ромба взаємно перпендикулярні.
    ІІІ. У будь-якому ромбі всі сторони рівні.
    АБВГД
    лише І та ІІ лише І та ІІІ лише ІІ лише ІІ та ІІІ І, ІІ та ІІІ
    Показати відповідь
    Г. Твердження не є правильним.
    ІІ. Твердження є правильним.
    ІІІ. Твердження є правильним.
  2. Які з наведених тверджень є правильними?
    І. Навколо довільного ромба завжди можна описати коло.
    ІІ. Навколо довільної трапеції завжди можна описати коло.
    ІІІ. Навколо довільного прямокутника завжди можна описати коло.
    АБВГД
    лише І та ІІІ лише І лише ІІІ І, ІІ та ІІІ лише ІІ та ІІІ
    Показати відповідь
    В. Коло можна описати навколо чотирикутника, якщо у нього сума протилежних кутів дорівнює 180° Даній умові відповідає з перелічених лише прямокутник.
  3. Які з наведених тверджень є правильними?
    І. У будь-який трикутник можна вписати коло.
    ІІ. У будь-який прямокутник можна вписати коло.
    III. У будь-який ромб можна вписати коло
    АБВГД
    лише І лише ІІ і ІІІ лише І і ІІ лише І і ІІІ І, ІІ і ІІІ
    Показати відповідь
    Г. І. Правильно.
    ІІ. Так як в будь-якому прямокутнику (окрім квадрату) суми протилежних сторін не рівні, то в нього не можна вписати коло. Не є правильним.
    ІІІ. Так як в будь-якому ромбі суми протилежних сторін рівні, то в нього завжди можна вписати коло. Правильно.
  4. Які твердження є правильними?
    І. Протилежні кути ромба рівні.
    ІІ. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні.
    ІІІ. У будь-який ромб можна вписати коло.
    АБВГД
    лише І та ІІ лише І та ІІІ лише ІІ та ІІІ лише ІІ І, ІІ та ІІІ
    Показати відповідь
    Д.Всі твердження є правильними.
  5. Довжина сторони ромба дорівнює 12 см. Визначте довжину більшої діагоналі цього ромба, якщо його тупий кут дорівнює 120о.
    АБВГД
    6\sqrt3 см 8\sqrt3 см 12 см 12\sqrt3 см 24 см
    Показати відповідь
    Г.
    Оскільки більша діагональ в ромбі лежить навпроти тупого кута, то потрібно знайти діагональ BD. За теоремою косинусів маємо:
    BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB \cdot AD \cdot cosA
    BD^2=12^2+12^2-2\cdot12\cdot12\cdot cos120^\circ
    BD^2=144+144-2\cdot144\cdot(-0,5)
    BD^2=144+144+144
    BD^2=144\cdot3
    BD=12\sqrt3\,см.
  6. Довжина ромба ABCD дорівнює 8, \angle В=60^\circ. Установіть відповідність між величиною (1-3) та її значенням (А-Д).

    Величина Значення величини
    1 довжина діагоналі АС
    2 довжина висоти ромба АВСD
    3 відстань від точки А до центра кола, яке вписане в ромб    		 А 4
    Б 4\sqrt3
    В 8
    Г 8\sqrt3
    Д 8\sqrt2
    Показати відповідь
    1-В, 2-Б, 3-А.1) Так як АВ=ВС, то ∆АВС рівнобедрений і в ньому∠ А= ∠ С. Тоді так як ∠ В=60°, то і кути А і С в трикутнику АВС дорівнюють 60°. Отже, ∆АВС є рівностороннім і АС=АВ=8.
    2) Площа ромба S=a^2 sin\alpha = 8^2 \cdot sin60^\circ = 64 \cdot \frac{\sqrt3}{2} = 32\sqrt3. З іншого боку S=aha. Маємо рівняння:
    8h=32\sqrt3
    h=32\sqrt3:8
    h=4\sqrt3
    3) Центром вписаного кола є точка перетину діагоналей, які цією точкою поділяються навпіл. Тому відстань від А до центра кола дорівнює половині діагоналі АС, тобто 8:2=4.
  7. На рисунку зображено ромб ABCD, діагоналі якого перетинаються в точці О. Із цієї точки до сторони AD проведено перпендикуляр ОК довжиною 3 см. Площа трикутника АОD дорівнює 15 см2.
    1. Визначте довжину сторони ромба ABCD (у см).
    2. Обчисліть тангенс гострого кута ромба ABCD.

    Показати відповідь
    10; 0,75. 1. Оскільки S_{∆AOD}=\frac{1}{2} AD \cdot OK = \frac{1}{2} AD \cdot3=1,5AD і дорівнює 15 за умовою, то AD=15:1,5=10 см.
    2. Діагоналі ромба розбивають його на чотири рівних трикутника. Тому площа ромба 15⋅4=60. З іншого боку, площа ромба ABCD S=AD^2sinA. Маємо 60=100sinA, звідки sinA=0,6. З формули sin^2 A+cos^2 A=1 маємо cos^2 A=1-sin^2 A= 1-0,6^2=1-0,36=0,64. З формули 1+tg^2 A = \frac{1}{cos^2 A} маємо tg^2 A = \frac{1}{cos^2 A} - 1 = \frac{1}{0,64} - 1 =\frac{1}{0,64} - \frac{0,64}{0,64} = \frac{1-0,64}{0,64}=\frac{0,36}{0,64}=\frac{36}{64}=\frac{9}{16}.. Звідси tg A = \sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4} = 0,75.
  8. У ромб ABCD вписано коло з центром у точці О, яке дотикається сторін АВ і AD у точках К і М відповідно (див. рисунок). Периметр ромба дорівнює 48 см, ∠ A=60°. Знайдіть:
    1. Довжину відрізка ОВ (у см).
    2. Довжину відрізка КМ (у см).

    6; 9. 1. Оскільки PABCD=4AB=48, то АВ=АD=48:4=12 см. Так як АВ=AD, то ∆ABD рівнобедрений. Тоді ∠ ADB=∠ ABD=(180°-60°):2=60°. Отже ∆ABD рівносторонній і BD=AB=12 см. Так як О - середина BD, то ОВ=DB:2=12:2=6 см.
    2. Так як ∠ A=60°, то ∠ В=180°-60°=120°. Так як діагоналі ромба є бісектрисами його кутів, то ∠ АВО=120°:2=60°. Тоді в прямокутному ∆ОКВ (∠ ОКВ=90°, оскільки радіус, проведений в точку дотику, перпендикулярний до дотичної) катет КВ лежить проти кута 30° (∠ KOB=90°- ∠ KBO), тому він дорівнює половині гіпотенузи ОВ, тобто 6:2=3 см. Тоді АК=АВ-КВ=12-3=9 см. Так як АК=AМ, то ∆AКМ рівнобедрений. Тоді ∠ AКМ=∠ AМК=(180°-60°):2=60°. Отже ∆AКМ є рівностороннім і КМ=АК=9 см.
⇐V.4.
Прямокутник та його властивості		 До змісту ⇒V.6.
Квадрат та його властивості

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Комбінаторика

Комбінаторика — це розділ математики, який вчить підраховувати кількість можливих варіантів вибору або розташування об’єктів без їхнього безпосереднього переліку. Розуміння базових правил додавання та множення , а також розрізнення перестановок, розміщень та комбінацій є ключем до розв’язання складних логічних задач та підготовки до вивчення теорії ймовірностей. Для успішного складання іспитів ми підготували комплексний практичний блок , що базується на завданнях НМТ та тестах минулих років. Ви зможете детально розібрати алгоритми формування розкладів, вибору комплектів товарів та створення цифрових кодів. Кожне завдання супроводжується поясненням, яке допоможе вашим учням зрозуміти, коли порядок елементів має значення, а коли — ні. 1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a + b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрат...
15 коментарів
Read more »

Трикутники та їх властивості

Трикутники та їх властивості — це фундамент геометрії, без якого неможливо уявити успішне складання НМТ. Розуміння класифікації трикутників, знання особливостей їхніх медіан, бісектрис та висот дозволяє розв'язувати задачі, які на перший погляд здаються громіздкими. Вміння швидко застосовувати теореми синусів та косинусів, а також знання метричних співвідношень у прямокутному трикутнику є ключем до високого бала на іспиті. На цій сторінці ми розглянемо реальні завдання НМТ та ЗНО , включаючи найсвіжіші демонстраційні варіанти. Ви навчитеся працювати з центрами вписаних і описаних кіл, використовувати властивості середньої лінії та знаходити невідомі елементи фігур через тригонометричні функції. Тут зібрано все: від ознак подібності до складних комбінованих задач на периметри та площі. Види трикутників За кутами Гострокутний - всі кути гострі (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 <a 2 +b 2 ). Прямокутний - один з кутів прямий (якщо a, b, c...
5 коментарів
Read more »

Дійсні числа

Дійсні числа — це база математичної підготовки, що охоплює всі види числових множин: від натуральних до ірраціональних. На цій сторінці ми зібрали ключові ознаки подільності , правила порівняння звичайних дробів та ірраціональних виразів, а також алгоритми роботи зі степенями, що мають нульовий або від’ємний показник. Для ефективної підготовки до іспитів ми підготували великий практичний блок , що включає реальні приклади минулих років. Ви зможете розібрати методи оцінювання значень коренів, округлення чисел та роботу з логарифмами. Кожне завдання має детальне розв’язання, що допоможе учням опанувати навички швидких обчислень без помилок. Завдання 1. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кільк...
3 коментарі
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія — це особливий вид числової послідовності, де кожен наступний член відрізняється від попереднього на сталу величину. У шкільному курсі математики та в тестах НМТ ця тема є фундаментальною, оскільки вона поєднує в собі чіткі алгебраїчні алгоритми та вміння моделювати реальні життєві ситуації. Вміння швидко визначати різницю прогресії та застосовувати формули суми дозволяє ефективно розв'язувати як прості тестові вправи, так і складні задачі на розрахунок вартості послуг, планування тренувань або аналіз фінансових накопичень. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО . Ви знайдете детальні пояснення до задач різних рівнів складності: від знаходження першого члена за відомим n-м до визначення параметрів прогресії у прикладних контекстах. Тут зібрано весь необхідний теоретичний мінімум: базові формули n-го члена, два способи обчислення суми перших n членів та характерну властивість середнього арифметичного для сусідніх елементів ряду. Арифмети...
5 коментарів
Read more »

Вибіркові характеристики рядів даних

Вибіркові характеристики рядів даних — це інструменти статистики, які дозволяють стисло описати великі масиви інформації та зробити правильні висновки. Вміння швидко знаходити моду, медіану, розмах та середнє арифметичне є базовою вимогою НМТ, оскільки ці завдання перевіряють не лише навички обчислення, а й здатність аналізувати реальні дані. Розуміння того, чим відрізняється медіана від середнього значення, допомагає уникати типових помилок при роботі з нерівномірними розподілами. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО , включаючи аналіз демонстраційних варіантів. Ви навчитеся працювати з різними формами подання даних: від кругових та стовпчастих діаграм до полігонів частот і складних графіків залежностей. Тут зібрано все необхідне для підготовки: чіткі алгоритми ранжування рядів, формули для середньозважених значень та методи порівняння статистичних показників у динаміці. Розмах - різниця між найбільшим значенням ряду і найменшим Мода - значення, яке найбіл...
7 коментарів
Read more »

Рекомендований допис

10 клас. Алгебра і початки аналізу

10 клас. Алгебра і початки аналізу — це вихід на новий рівень математичного мислення. Цього року ви опануєте «математику змін»: від дослідження складних функцій та їхніх властивостей до занурення у світ тригонометрії та перших кроків у диференціальному численні. Ви навчитеся не просто обчислювати, а аналізувати процеси, прогнозувати результати та бачити логіку в найскладніших системах. Ці знання — це фундамент не лише для успішного складання НМТ, а й для розуміння сучасної економіки, фізики та ІТ-технологій. Оберіть тему, і перетворіть складні формули на свій надійний інструмент для підкорення нових інтелектуальних вершин! Тема 1. Множини та функції Множини, операції над множинами Взаємно однозначна відповідність між елементами множин. Рівнопотужні множини Числові множини. Множина дійсних чисел Числові функції. Їх властивості та графіки Властивості і графіки основних видів функцій Оборотні функції. Взаємно обернені функції Побудова графіків функцій за допомогою ...
Дописати коментар