Шлях до математики: кроки успіху: Ромб та його властивості

Ромб - паралелограм, у якого всі сторони рівні
Властивості ромба

Протилежні кути ромба рівні
Сума сусідніх кутів ромба 180^o
Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом і точкою перетину поділяються навпіл
Діагоналі ромба ділять кути ромба навпіл

2021. Які з наведених тверджень є правильними?
І. Навколо будь-якого ромба можна описати коло.
ІІ. Діагоналі будь-якого ромба взаємно перпендикулярні.
ІІІ. У будь-якому ромбі всі сторони рівні.

А Б В Г Д

лише І та ІІ лише І та ІІІ лише ІІ лише ІІ та ІІІ І, ІІ та ІІІ

Відповідь

Г.
І. Твердження не є правильним.
ІІ. Твердження є правильним.
ІІІ. Твердження є правильним.
2020. Які з наведених тверджень є правильними?
І. Навколо довільного ромба завжди можна описати коло.
ІІ. Навколо довільної трапеції завжди можна описати коло.
ІІІ. Навколо довільного прямокутника завжди можна описати коло.

А Б В Г Д

лише І та ІІІ лише І лише ІІІ І, ІІ та ІІІ лише ІІ та ІІІ

Відповідь

В.
Коло можна описати навколо чотирикутника, якщо у нього сума протилежних кутів дорівнює 180^o. Даній умові відповідає з перелічених лише прямокутник.
Які з наведених тверджень є правильними?
І. У будь-який трикутник можна вписати коло.
ІІ. У будь-який прямокутник можна вписати коло.
III. У будь-який ромб можна вписати коло

А Б В Г Д

лише І лише ІІ і ІІІ лише І і ІІ лише І і ІІІ І, ІІ і ІІІ

Відповідь

Г.
І. Правильно.
ІІ. Так як в будь-якому прямокутнику (окрім квадрату) суми протилежних сторін не рівні, то в нього не можна вписати коло. Не є правильним.
ІІІ. Так як в будь-якому ромбі суми протилежних сторін рівні, то в нього завжди можна вписати коло. Правильно.

Які твердження є правильними?
І. Протилежні кути ромба рівні.
ІІ. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні.
ІІІ. У будь-який ромб можна вписати коло.

А Б В Г Д

лише І та ІІ лише І та ІІІ лише ІІ та ІІІ лише ІІ І, ІІ та ІІІ

Відповідь

Д.
Всі твердження є правильними.
Довжина сторони ромба дорівнює 12 см. Визначте довжину більшої діагоналі цього ромба, якщо його тупий кут дорівнює 120^о.

А Б В Г Д

6 $\sqrt{3}$ см 8 $\sqrt{3}$ см 12 см 12 $\sqrt{3}$ см 24 см

Відповідь

Г.
Оскільки більша діагональ в ромбі лежить напроти тупого кута, то потрібно знайти діагональ BD. За теоремою косинусів маємо:
BD²=AB²+AD²-2⋅AB⋅AD⋅cosA
BD²=12²+12²-2⋅12⋅12⋅cos120^о
BD²=144+144-2⋅144⋅(-0,5)
BD²=144+144+144 (так як -2⋅(-0,5)=1)
BD²=144⋅3
BD=12 $\sqrt{3}$ см.

2020. Довжина ромба ABCD дорівнює 8, ∠В=60⁰. Установіть відповідність між величиною (1-3) та її значенням (А-Д).

Величина	Значення величини
1 довжина діагоналі АС 2 довжина висоти ромба АВСD 3 відстань від точки А до центра кола, яке вписане в ромб	А 4 Б 4 $\sqrt{3}$ В 8 Г 8 $\sqrt{3}$ Д 8 $\sqrt{2}$

Відповідь

1-В, 2-Б, 3-А.
1) Так як АВ=ВС, то трикутник АВС рівнобедрений і в ньому кути А і С рівні. Тоді так як ∠В=60⁰, то і кути А і С в трикутнику АВС дорівнюють 60⁰. Отже, трикутник АВС є рівностороннім і АС=АВ=8.
2) Площа ромба S=a²sinα=8²sin60⁰=64 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ =32 $\sqrt{3}$ . З іншого боку, S=ah. Маємо рівняння:
32 $\sqrt{3}$ =8h
h=32 $\sqrt{3}$ :8
h=4 $\sqrt{3}$ .
3) Центром вписаного кола є точка перетину діагоналей, які цією точкою поділяються навпіл. Тому відстань від А до центра кола дорівнює половині діагоналі АС, тобто 8:2=4.

2019. На рисунку зображено ромб ABCD, діагоналі якого перетинаються в точці О. Із цієї точки до сторони AD проведено перпендикуляр ОК довжиною 3 см. Площа трикутника АОD дорівнює 15 см².
1. Визначте довжину сторони ромба ABCD (у см).
2. Обчисліть тангенс гострого кута ромба ABCD.

Відповідь

10; 0,75.
1. Оскільки площа трикутника AOD S=0,5AD⋅OK=0,5AD⋅3=1,5AD дорівнює 15 за умовою, то AD=10 см.
2. I спосіб. Нехай KD=x, тоді АК=10-х. ОК - висота, проведена з прямого кута трикутника. Тоді OK²=AK⋅KD. Маємо 9=(10-х)х. Розкриємо дужки, перенесемо всі частини в один бік і маємо квадратне рівняння х²-10x+9=0. За теоремою Вієта маємо суму коренів 10 і їх добуток 9. Це корені 1 та 9. Так як кут А гострий, то АК більше за KD і АК=9. Тоді з прямокутного трикутника АОК tgOAK=OK:AK=3:9= $\frac{1}{3}$ . Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів. Тому кут А вдвічі більше за кут ОАК і tgA=tg2⋅OAK= $\frac{2tgOAK}{1-tg^2OAK}=\frac{2\cdot\frac{1}{3}}{1-(\frac{1}{3})^2}$ = $\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{9}}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}}$ = $\frac{2\cdot9}{3\cdot8}=\frac{3}{4}$ =0,75.
II спосіб. Діагоналі ромба розбивають його на чотири рівних трикутника. Тому площа ромба 15⋅4=60. З іншого боку, площа ромба ABCD S=AD²sinA. Маємо 60=100sinA, звідки sinA=0,6. З формули 1+ctg²A= $\frac{1}{sin^2A}$ маємо 1+ctg²A= $\frac{1}{(\frac{6}{10})^2}=\frac{1}{(\frac{3}{5})^2}=\frac{1}{\frac{9}{25}}=\frac{25}{9}$ . Тоді ctg²A= $\frac{25}{9}-1=\frac{25-9}{9}=\frac{16}{9}$ . Звідси ctgA= $\frac{4}{3}$ . tgA= $\frac{1}{ctgA}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$ =0,75.
У ромб ABCD вписано коло з центром у точці О, яке дотикається сторін АВ і AD у точках К і М відповідно (див. рисунок). Периметр ромба дорівнює 48 см, ∠A=60^o. Знайдіть:
1. Довжину відрізка ОВ (у см).
2. Довжину відрізка КМ (у см).

Відповідь

6; 9.
1. Оскільки периметр ромба 48 см, то сторона ромба АВ=АD=48:4=12 см. Так як АВ=AD, то трикутник ABD рівнобедрений. Тоді ∠ADB=∠ABD=(180^o-60^o):2=60^o. Отже трикутник ABD є рівностороннім і BD=AB=12 см. Так як О - середина BD, то ОВ=DB:2=12:2=6 см.
2. Так як кут А дорівнює 60^o, то кут В ромба дорівнює 180^o-60^o=120^o. Так як діагоналі ромба є бісектрисами його кутів, то кут АВО дорівнює 120^o:2=60^o. Тоді в прямокутному трикутнику ОКВ (кут ОКВ прямий, оскільки радіус, проведений в точку дотику, перпендикулярний до дотичної) катет КВ лежить проти кута 30^o (∠KOB=90^o-∠KBO), тому він дорівнює половині гіпотенузи ОВ, тобто 6:2=3 см. Тоді АК=АВ-КВ=12-3=9 см. Так як АК=AМ , то трикутник AКМ рівнобедрений. Тоді ∠AКМ=∠AМК=(180^o-60^o):2=60^o. Отже трикутник AКМ є рівностороннім і КМ=АК=9 см.