Перейти до основного вмісту

Ромб та його властивості

Ромб - паралелограм, у якого всі сторони рівні
Властивості ромба
  • Протилежні кути ромба рівні
  • Сума сусідніх кутів ромба 180$^\circ$
  • Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом і точкою перетину поділяються навпіл
  • Діагоналі ромба ділять кути ромба навпіл
  1. Які з наведених тверджень є правильними?
    І. Навколо будь-якого ромба можна описати коло.
    ІІ. Діагоналі будь-якого ромба взаємно перпендикулярні.
    ІІІ. У будь-якому ромбі всі сторони рівні.
    АБВГД
    лише І та ІІ лише І та ІІІ лише ІІ лише ІІ та ІІІ І, ІІ та ІІІ
    Показати відповідь
    Г. Твердження не є правильним.
    ІІ. Твердження є правильним.
    ІІІ. Твердження є правильним.
  2. Які з наведених тверджень є правильними?
    І. Навколо довільного ромба завжди можна описати коло.
    ІІ. Навколо довільної трапеції завжди можна описати коло.
    ІІІ. Навколо довільного прямокутника завжди можна описати коло.
    АБВГД
    лише І та ІІІ лише І лише ІІІ І, ІІ та ІІІ лише ІІ та ІІІ
    Показати відповідь
    В. Коло можна описати навколо чотирикутника, якщо у нього сума протилежних кутів дорівнює 180$^\circ.$ Даній умові відповідає з перелічених лише прямокутник.
  3. Які з наведених тверджень є правильними?
    І. У будь-який трикутник можна вписати коло.
    ІІ. У будь-який прямокутник можна вписати коло.
    III. У будь-який ромб можна вписати коло
    АБВГД
    лише І лише ІІ і ІІІ лише І і ІІ лише І і ІІІ І, ІІ і ІІІ
    Показати відповідь
    Г. І. Правильно.
    ІІ. Так як в будь-якому прямокутнику (окрім квадрату) суми протилежних сторін не рівні, то в нього не можна вписати коло. Не є правильним.
    ІІІ. Так як в будь-якому ромбі суми протилежних сторін рівні, то в нього завжди можна вписати коло. Правильно.
  4. Які твердження є правильними?
    І. Протилежні кути ромба рівні.
    ІІ. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні.
    ІІІ. У будь-який ромб можна вписати коло.
    АБВГД
    лише І та ІІ лише І та ІІІ лише ІІ та ІІІ лише ІІ І, ІІ та ІІІ
    Показати відповідь
    Д.Всі твердження є правильними.
  5. Довжина сторони ромба дорівнює 12 см. Визначте довжину більшої діагоналі цього ромба, якщо його тупий кут дорівнює 120о.
    АБВГД
    $6\sqrt3$ см $8\sqrt3$ см 12 см $12\sqrt3$ см 24 см
    Показати відповідь
    Г.
    Оскільки більша діагональ в ромбі лежить навпроти тупого кута, то потрібно знайти діагональ BD. За теоремою косинусів маємо:
    $BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB \cdot AD \cdot cosA$
    $BD^2=12^2+12^2-2\cdot12\cdot12\cdot cos120^\circ$
    $BD^2=144+144-2\cdot144\cdot(-0,5)$
    $BD^2=144+144+144$
    $BD^2=144\cdot3$
    $BD=12\sqrt3\,см.$
  6. Довжина ромба ABCD дорівнює 8, $\angle В=60^\circ$. Установіть відповідність між величиною (1-3) та її значенням (А-Д).

    Величина Значення величини
    1 довжина діагоналі АС
    2 довжина висоти ромба АВСD
    3 відстань від точки А до центра кола, яке вписане в ромб    		 А 4
    Б $4\sqrt3$
    В 8
    Г $8\sqrt3$
    Д $8\sqrt2$
    Показати відповідь
    1-В, 2-Б, 3-А.1) Так як АВ=ВС, то ∆АВС рівнобедрений і в ньому $\angle А= \angle С$. Тоді так як $\angle В=60^\circ$, то і кути А і С в трикутнику АВС дорівнюють 60$^\circ$. Отже, ∆АВС є рівностороннім і $АС=АВ=8$.
    2) Площа ромба $S=a^2 sin\alpha = 8^2 \cdot sin60^\circ = 64 \cdot \frac{\sqrt3}{2} = 32\sqrt3$. З іншого боку $S=ah_a$. Маємо рівняння:
    $8h=32\sqrt3$
    $h=32\sqrt3:8$
    $h=4\sqrt3$
    3) Центром вписаного кола є точка перетину діагоналей, які цією точкою поділяються навпіл. Тому відстань від А до центра кола дорівнює половині діагоналі АС, тобто 8:2=4.
  7. На рисунку зображено ромб ABCD, діагоналі якого перетинаються в точці О. Із цієї точки до сторони AD проведено перпендикуляр ОК довжиною 3 см. Площа трикутника АОD дорівнює 15 см$^2$.
    1. Визначте довжину сторони ромба ABCD (у см).
    2. Обчисліть тангенс гострого кута ромба ABCD.

    Показати відповідь
    10; 0,75. 1. Оскільки $S_{∆AOD}=\frac{1}{2} AD \cdot OK = \frac{1}{2} AD \cdot3=1,5AD$ і дорівнює 15 за умовою, то $AD=15:1,5=10\,см$.
    2. Діагоналі ромба розбивають його на чотири рівних трикутника. Тому площа ромба 15⋅4=60. З іншого боку, площа ромба ABCD $S=AD^2sinA$. Маємо $60=100sinA$, звідки $sinA=0,6$. З формули $sin^2 A+cos^2 A=1$ маємо $cos^2 A=1-sin^2 A= 1-0,6^2=1-0,36=0,64$. З формули $1+tg^2 A = \frac{1}{cos^2 A}$ маємо $tg^2 A = \frac{1}{cos^2 A} - 1 = \frac{1}{0,64} - 1 =\frac{1}{0,64} - \frac{0,64}{0,64} = \frac{1-0,64}{0,64}=\frac{0,36}{0,64}=\frac{36}{64}=\frac{9}{16}.$. Звідси $tg A = \sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4} = 0,75.$
  8. У ромб ABCD вписано коло з центром у точці О, яке дотикається сторін АВ і AD у точках К і М відповідно (див. рисунок). Периметр ромба дорівнює 48 см, $\angle A=60^\circ$. Знайдіть:
    1. Довжину відрізка ОВ (у см).
    2. Довжину відрізка КМ (у см).

    6; 9. 1. Оскільки $P_{ABCD}=4AB=48$, то $АВ=АD=48:4=12\,см$. Так як АВ=AD, то ∆ABD рівнобедрений. Тоді $\angle ADB=\angle ABD=(180^\circ-60^\circ):2=60^\circ$. Отже ∆ABD рівносторонній і $BD=AB=12\,см$. Так як О - середина BD, то $ОВ=DB:2=12:2=6\,см$.
    2. Так як $\angle A=60^\circ$, то $\angle В=180^\circ-60^\circ=120^\circ$. Так як діагоналі ромба є бісектрисами його кутів, то $\angle АВО=120^\circ:2=60^\circ$. Тоді в прямокутному $∆ОКВ (\angle ОКВ=90^\circ$, оскільки радіус, проведений в точку дотику, перпендикулярний до дотичної) катет КВ лежить проти кута 30$^\circ (\angle KOB=90^\circ- \angle KBO)$, тому він дорівнює половині гіпотенузи ОВ, тобто 6:2=3 см. Тоді $АК=АВ-КВ=12-3=9\,см$. Так як $АК=AМ$, то ∆AКМ рівнобедрений. Тоді $\angle AКМ=\angle AМК=(180^\circ-60^\circ):2=60^\circ$. Отже ∆AКМ є рівностороннім і $КМ=АК=9\,см.$
⇐V.4.
Прямокутник та його властивості		 До змісту ⇒V.6.
Квадрат та його властивості

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Правила порівняння звичайних дробів: 1. Якщо дроби мають однаковий знаменник, то більше той дріб, чисельник якого більше 4 / 7 > 3 / 7 ; 2. Якщо дроби мають однаковий чисельник, то більше той дріб, знаменник якого менше 6 / 13 > 6 / 17 ; 3. Неправильний дріб завжди більше правильного 7 / 4 > 4 / 7 ; 4. Якщо за цими правилами не можемо визначити, то зводимо дроби до спільного знаменника і використовуємо правило 1. Завдання 1. НМТ. Маса протона наближено дорівнює 1,67 ∙ 10 −27 кг. Визначте наближену масу (кг) 100 протонів. 167 ∙ 10 −25 1,67 ∙ 10 −25 1,67 ∙ 10 −29 1,67 ∙ 10 −2700 1,67 ∙ 10 25 Показати відповідь Б . 100 ∙ 1,67 ∙ 10 −27 = 1,67 ∙ 100 ∙ 10 −27 = 1,67 ∙ 10 2 ∙ 10 −27 = 1,67 ∙ 10 2 + (-27) = 1,67 ∙ 10 −25 (використали властивість множення степенів з однаковими основами). Завдання 2. НМТ. Узгодьте вираз (1–3) із твердженням (А − Д) щодо значення цього виразу. 1 π 3 2 sin( 7π 2 ) 3 π cos 90° А є ірраціона...
3 коментарі
Read more »

Функції за графіками

НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y = x + 2 y = −x 2 Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) так, щоб утворилося правильне твердження. Початок речення Закінчення речення 1 Найбільше значення функції y = f(x) на відрізку [1; 9] дорівнює 2 Найменше значення функції y = f(x) на відрізку [1; 3] дорівнює 3 Найбільше ціле значення x, за якого справджується нерівність f(x)<0, дорівнює А −1. Б 9. В 6. Г 7. Д 5. Показати відпові...
13 коментарів
Read more »

Піраміда та її елементи

Піраміда: у n-кутної піраміди n+1 вершина, n+1 граней, 2n ребер бічні грані піраміди - трикутники, а правильної піраміди - рівнобедрені трикутники правильна піраміда - піраміда, в основі якої лежить правильний багатокутник, а основа висоти співпадає з центром цього багатокутника Завдання 1. Розгортку якого з наведених многогранників зображено на рисунку? "> "> "> "> "> "> Показати відповідь Б . Маємо один чотирикутник - основу і 4 трикутника - бічні грані, тому наведено розгортку чотирикутної піраміди. Завдання 2. Визначте кількість граней восьмикутної піраміди. 7 8 9 16 17 Показати відповідь В . Маємо 8 бічних граней та 1 грань основи. Разом 9 граней. Завдання 3. Скільки всього граней у піраміди, яка має 12 ребер? 4 6 7 12 13 Показати відповідь В . Оскільки в піраміді однакова кількість бічних ребер та ребер основи, то дана піраміда має 12 : 2 = 6 ребер о...
2 коментарі
Read more »

Первісна функції

Правила інтегрування C⋅f(x)dx=C⋅ f(x)dx (f(x)&pm;g(x))dx= f(x)dx&pm; g(x)dx Таблиця первісних x n dx= +C dx=ln|x|+C sinxdx=-cosx+C cosxdx=sinx+C dx=tgx+C dx= -ctgx+C a x dx= +C e x dx=e x +C НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції Обчисліть значення виразу . Відповідь 31 . Скористатись геометричним змістом визначеного інтеграла. НМТ 2024. Обчисліть інтеграл . Відповідь 10 . Скористатись формулою скороченого множення. НМТ 2023. Якщо функція F(x)=x 3 +4 є однією з первісних функції f(x), то f(x)= А Б В Г Д 3x 2 +4 3x 2 3x 2x 2 Відповідь Б . Яка з наведених функцій є первісною для функції f(x)=х -4 ? А Б В Г Д F(x)= F(x)= F(x)= F(x)= F(x)= Відповідь Д . Функція F(x)=10x 5 -4 є первісною функції f(x). Укажіть функцію G(x), яка також є первісною функції f(x). А Б В Г Д G(x)= 10x 5 +7 G(x)= 2x 6 -4x G(x)=50x 6 G(x)=50x 4 G(x)= x 5 -4 Відповідь А . Якщо ...
8 коментарів
Read more »

Трикутники та їх властивості

Види трикутників За кутами Гострокутний - всі кути гострі (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 <a 2 +b 2 ). Прямокутний - один з кутів прямий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 =a 2 +b 2 ). Тупокутний - один з кутів тупий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 >a 2 +b 2 ). За сторонами Різносторонній - всі сторони різні. Рівнобічний - дві сторони рівні (називаються бічними, третя - основою). Рівносторонній (правильний) - всі сторони рівні. Основні елементи трикутників Медіана - відрізок, який сполучає вершину трикутника з серединою протилежної сторони (ділить сторону навпіл). Медіани трикутника перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться у відношенні 2:1, починаючи від вершини. Висота - відрізок, який проведений з вершини трикутника перпендикулярно до протилежної сторони. Бісектриса - відрізок, який проведено з вершини до протилежної сторони і який ділить к...
5 коментарів
Read more »