Перейти до основного вмісту

Ромб та його властивості

Ромб - паралелограм, у якого всі сторони рівні
Властивості ромба
  • Протилежні кути ромба рівні
  • Сума сусідніх кутів ромба 180°
  • Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом і точкою перетину поділяються навпіл
  • Діагоналі ромба ділять кути ромба навпіл
  1. Які з наведених тверджень є правильними?
    І. Навколо будь-якого ромба можна описати коло.
    ІІ. Діагоналі будь-якого ромба взаємно перпендикулярні.
    ІІІ. У будь-якому ромбі всі сторони рівні.
    АБВГД
    лише І та ІІ лише І та ІІІ лише ІІ лише ІІ та ІІІ І, ІІ та ІІІ
    Показати відповідь
    Г. Твердження не є правильним.
    ІІ. Твердження є правильним.
    ІІІ. Твердження є правильним.
  2. Які з наведених тверджень є правильними?
    І. Навколо довільного ромба завжди можна описати коло.
    ІІ. Навколо довільної трапеції завжди можна описати коло.
    ІІІ. Навколо довільного прямокутника завжди можна описати коло.
    АБВГД
    лише І та ІІІ лише І лише ІІІ І, ІІ та ІІІ лише ІІ та ІІІ
    Показати відповідь
    В. Коло можна описати навколо чотирикутника, якщо у нього сума протилежних кутів дорівнює 180$^\circ.$ Даній умові відповідає з перелічених лише прямокутник.
  3. Які з наведених тверджень є правильними?
    І. У будь-який трикутник можна вписати коло.
    ІІ. У будь-який прямокутник можна вписати коло.
    III. У будь-який ромб можна вписати коло
    АБВГД
    лише І лише ІІ і ІІІ лише І і ІІ лише І і ІІІ І, ІІ і ІІІ
    Показати відповідь
    Г. І. Правильно.
    ІІ. Так як в будь-якому прямокутнику (окрім квадрату) суми протилежних сторін не рівні, то в нього не можна вписати коло. Не є правильним.
    ІІІ. Так як в будь-якому ромбі суми протилежних сторін рівні, то в нього завжди можна вписати коло. Правильно.
  4. Які твердження є правильними?
    І. Протилежні кути ромба рівні.
    ІІ. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні.
    ІІІ. У будь-який ромб можна вписати коло.
    АБВГД
    лише І та ІІ лише І та ІІІ лише ІІ та ІІІ лише ІІ І, ІІ та ІІІ
    Показати відповідь
    Д.Всі твердження є правильними.
  5. Довжина сторони ромба дорівнює 12 см. Визначте довжину більшої діагоналі цього ромба, якщо його тупий кут дорівнює 120о.
    АБВГД
    6\sqrt3 см 8\sqrt3 см 12 см 12\sqrt3 см 24 см
    Показати відповідь
    Г.
    Оскільки більша діагональ в ромбі лежить навпроти тупого кута, то потрібно знайти діагональ BD. За теоремою косинусів маємо:
    BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB \cdot AD \cdot cosA
    BD^2=12^2+12^2-2\cdot12\cdot12\cdot cos120^\circ
    BD^2=144+144-2\cdot144\cdot(-0,5)
    BD^2=144+144+144
    BD^2=144\cdot3
    BD=12\sqrt3\,см.
  6. Довжина ромба ABCD дорівнює 8, \angle В=60^\circ. Установіть відповідність між величиною (1-3) та її значенням (А-Д).

    Величина Значення величини
    1 довжина діагоналі АС
    2 довжина висоти ромба АВСD
    3 відстань від точки А до центра кола, яке вписане в ромб    		 А 4
    Б 4\sqrt3
    В 8
    Г 8\sqrt3
    Д 8\sqrt2
    Показати відповідь
    1-В, 2-Б, 3-А.1) Так як АВ=ВС, то ∆АВС рівнобедрений і в ньому∠ А= ∠ С. Тоді так як ∠ В=60°, то і кути А і С в трикутнику АВС дорівнюють 60°. Отже, ∆АВС є рівностороннім і АС=АВ=8.
    2) Площа ромба S=a^2 sin\alpha = 8^2 \cdot sin60^\circ = 64 \cdot \frac{\sqrt3}{2} = 32\sqrt3. З іншого боку S=aha. Маємо рівняння:
    8h=32\sqrt3
    h=32\sqrt3:8
    h=4\sqrt3
    3) Центром вписаного кола є точка перетину діагоналей, які цією точкою поділяються навпіл. Тому відстань від А до центра кола дорівнює половині діагоналі АС, тобто 8:2=4.
  7. На рисунку зображено ромб ABCD, діагоналі якого перетинаються в точці О. Із цієї точки до сторони AD проведено перпендикуляр ОК довжиною 3 см. Площа трикутника АОD дорівнює 15 см2.
    1. Визначте довжину сторони ромба ABCD (у см).
    2. Обчисліть тангенс гострого кута ромба ABCD.

    Показати відповідь
    10; 0,75. 1. Оскільки S_{∆AOD}=\frac{1}{2} AD \cdot OK = \frac{1}{2} AD \cdot3=1,5AD і дорівнює 15 за умовою, то AD=15:1,5=10 см.
    2. Діагоналі ромба розбивають його на чотири рівних трикутника. Тому площа ромба 15⋅4=60. З іншого боку, площа ромба ABCD S=AD^2sinA. Маємо 60=100sinA, звідки sinA=0,6. З формули sin^2 A+cos^2 A=1 маємо cos^2 A=1-sin^2 A= 1-0,6^2=1-0,36=0,64. З формули 1+tg^2 A = \frac{1}{cos^2 A} маємо tg^2 A = \frac{1}{cos^2 A} - 1 = \frac{1}{0,64} - 1 =\frac{1}{0,64} - \frac{0,64}{0,64} = \frac{1-0,64}{0,64}=\frac{0,36}{0,64}=\frac{36}{64}=\frac{9}{16}.. Звідси tg A = \sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4} = 0,75.
  8. У ромб ABCD вписано коло з центром у точці О, яке дотикається сторін АВ і AD у точках К і М відповідно (див. рисунок). Периметр ромба дорівнює 48 см, ∠ A=60°. Знайдіть:
    1. Довжину відрізка ОВ (у см).
    2. Довжину відрізка КМ (у см).

    6; 9. 1. Оскільки PABCD=4AB=48, то АВ=АD=48:4=12 см. Так як АВ=AD, то ∆ABD рівнобедрений. Тоді ∠ ADB=∠ ABD=(180°-60°):2=60°. Отже ∆ABD рівносторонній і BD=AB=12 см. Так як О - середина BD, то ОВ=DB:2=12:2=6 см.
    2. Так як ∠ A=60°, то ∠ В=180°-60°=120°. Так як діагоналі ромба є бісектрисами його кутів, то ∠ АВО=120°:2=60°. Тоді в прямокутному ∆ОКВ (∠ ОКВ=90°, оскільки радіус, проведений в точку дотику, перпендикулярний до дотичної) катет КВ лежить проти кута 30° (∠ KOB=90°- ∠ KBO), тому він дорівнює половині гіпотенузи ОВ, тобто 6:2=3 см. Тоді АК=АВ-КВ=12-3=9 см. Так як АК=AМ, то ∆AКМ рівнобедрений. Тоді ∠ AКМ=∠ AМК=(180°-60°):2=60°. Отже ∆AКМ є рівностороннім і КМ=АК=9 см.
⇐V.4.
Прямокутник та його властивості		 До змісту ⇒V.6.
Квадрат та його властивості

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Завдання. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців – 4х. Разом їх буде 3х + 4х = 7х. Отже, сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців ділиться націло на 7, і лише число 91 задовольняє цій умові. Завдання. НМТ 2026 (демо). Узгодьте вираз (1– 3) із його значенням (А – Д), якщо m = -\frac{4}{3} 1 |𝑚 − 4| 2 4m −1 3 (3𝑚 + 1) 0 А –3 Б 1 В 0 Г 3 Д \frac{16}{3} Показати відповідь 1-Д, 2-А, 3-Б . 1. |-\frac{4}{3}-4|=|-\frac{4}{3}-\frac{12}{3}|=|\frac{-4-12}{3}|=|\frac{-16}{3}|=\frac{16}{3} 2. 4\cdot(-\frac{4}{3})^{-1} = 4\cdot (-\frac{3}{4}) = -3 (при зміні знака степеня дріб перевертається) 3. Кожне число, від'ємне від 0, в нульовій степені д...
3 коментарі
Read more »

Первісна функції

Правила інтегрування C⋅f(x)dx=C⋅ f(x)dx (f(x)±g(x))dx= f(x)dx± g(x)dx Таблиця первісних x n dx= +C dx=ln|x|+C sinxdx=-cosx+C cosxdx=sinx+C dx=tgx+C dx= -ctgx+C a x dx= +C e x dx=e x +C Завдання. НМТ 2026 (демо). Позначте формулу для визначення площі S фігури, обмеженої графіками функцій 𝑦 = 2 𝑥 , 𝑦 = 2 та прямою 𝑥 = 0 (див. рисунок). S=\int_{0}^{2}2^x{dx} S=\int_{0}^{1}2^x{dx} S=\int_{0}^{1}(2^x-2){dx} S=\int_{0}^{1}(2-2^x){dx} S=\int_{0}^{2}(2-2^x){dx} Показати відповідь Г . Так як фігура обмежена числами 0 та 1 по осі абсцис, то ці числа є межами інтегрування. На даному проміжку фігура обмежена згори лінією у = 2, знизу лінією 𝑦 = 2 𝑥 . Тоді за формулою обчислення площі фігури S=\int_{0}^{1}(2-2^x){dx} . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції Обчисліть значення виразу . Показати відповідь 31 . Скористатись геометричним змістом визначеного інтеграла. НМТ 2024. Обчисліть інтеграл . Показати відповідь 10 . Ск...
8 коментарів
Read more »

Комбінаторика

1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і І об'єкт і ІІ об'єкт можна a⋅b способами. 3. Перестановки . Якщо з n об'єктів потрібно обрати всі n, то це можна зробити P n =n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n-1)⋅n способами. 4. Розміщення . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання важливий, то це можна зробити = способами. 5. Комбінації . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання не важливий, то це можна зробити = способами. Примітка . Скорочення факторіалів = =5⋅6⋅7=210 Завдання. НМТ 2026 (демо). У квітковому магазині є 12 білих та 25 червоних троянд. Покупець замовив у цьому магазині букет із двох білих троянд й однієї червоної. Скільки всього є варіантів такого вибору? Показати відповідь 1650 . Оскільки порядок вибору листіво...
15 коментарів
Read more »

Функції за графіками

Завдання. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції, що набуває лише додатних значень на всій області визначення? Показати відповідь Д . Якщо графік квадратичної функції набуває лише додатних значень на всій області визначення, то він повинен весь лежати вище осі х. Таккій умові задовольняє тільки графік Д. НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y = x + 2 y = −x 2 Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) ...
13 коментарів
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія 1. Знаходження n-го члена арифметичної прогресії: а n =а 1 +(n-1)d 2. Знаходження суми перших n членів арифметичної прогресії: S n = або S n = 3. Співвідношення між сусідніми членами прогресії: 2а n =а n-1 +а n+1 НМТ 2024. В арифметичній прогресії (a n ) відомо, що a 6 – a 1 = –30. Обчисліть значення виразу a 6 – a 4 . А Б В Г Д 12 10 –15 –10 –12 Показати відповідь Д . НМТ 2023. Студент вивчав японську мову за такою методикою: у перший день він запам'ятав 6 ієрогліфів, а кожного наступного дня - на 2 ієрогліфи більше, ніж попереднього. Скільки всього ієрогліфів запам'ятав цей студент за 25 днів від першого дня вивчення японської мови? Показати відповідь 750 . НМТ 2023. Число 27 є членом арифметичної прогресії з різницею d=5. Визначте числа з проміжку (60; 75), що є членами цієї прогресії. У відповідь запишіть суму цих чисел. Показати відповідь 201 . Задано арифметичну прогресію (a n ), у якій різниця d...
5 коментарів
Read more »

Рекомендований допис

Solving Linear Equations with One Variable: A Step-by-Step Guide

An equation is an equality that contains a variable. You are required to find a number that, when substituted for the variable, yields a correct numerical equality (the same numbers on the left and right sides of the equality). In other words, you need to find the solution of the equation . For example, in the equation 2x - 6x + 8 = 7x - 3, we can substitute 1 for the variable x and obtain a correct numerical equality, since 2(1) - 6(1) + 8 = 2 - 6 + 8 = 4 and 7(1) - 3 = 7 - 3 = 4. Therefore, x = 1 is a solution of the equation. When solving equations, we may encounter the following cases: the equation has no solution,one solution, or infinitely many solutions. In this post, we will look at how to solve equations that contain one variable to the first power. Such equations are called linear equations . To solve such equations, you can apply The Subtraction property of equality. If a = b, then a - c =b - c ; The Addition property of equality. If a = b, then a + c = b...
Дописати коментар