Ромб — це паралелограм, який обрав "шлях рівності" для всіх своїх сторін. Саме ця особливість наділяє його унікальними властивостями: діагоналі ромба не просто перетинаються, а роблять це під прямим кутом, перетворюючи фігуру на чотири рівних прямокутних трикутники. Це справжній "скарб" для розв'язання задач, адже більшість обчислень у ромбі зводяться до простої теореми Піфагора.
На цій сторінці ми розберемо ключові властивості ромба, які часто зустрічаються в тестах: від перпендикулярності діагоналей до вписаного кола. Ви дізнаєтеся, чому в ромб завжди можна вписати коло, але описати його вдасться лише в одному особливому випадку — коли ромб стає квадратом. Розбирайте практичні завдання нижче, щоб впевнено почуватися на іспиті!
Ромб - паралелограм, у якого всі сторони рівні
Властивості ромба
Завдання 1. Які з наведених тверджень є правильними?Властивості ромба
- Протилежні кути ромба рівні
- Сума сусідніх кутів ромба 180°
- Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом і точкою перетину поділяються навпіл
- Діагоналі ромба ділять кути ромба навпіл
І. Навколо будь-якого ромба можна описати коло.
ІІ. Діагоналі будь-якого ромба взаємно перпендикулярні.
ІІІ. У будь-якому ромбі всі сторони рівні.
лише І та ІІ
лише І та ІІІ
лише ІІ
лише ІІ та ІІІ
І, ІІ та ІІІ
Показати відповідь
Г.
І. Твердження не є правильним.
ІІ. Твердження є правильним.
ІІІ. Твердження є правильним.
Завдання 2. Які з наведених тверджень є правильними?І. Твердження не є правильним.
ІІ. Твердження є правильним.
ІІІ. Твердження є правильним.
І. Навколо довільного ромба завжди можна описати коло.
ІІ. Навколо довільної трапеції завжди можна описати коло.
ІІІ. Навколо довільного прямокутника завжди можна описати коло.
лише І та ІІІ
лише І
лише ІІІ
І, ІІ та ІІІ
лише ІІ та ІІІ
Показати відповідь
В. Коло можна описати навколо чотирикутника, якщо у нього сума протилежних кутів дорівнює 180° Даній умові відповідає з перелічених лише прямокутник.
Завдання 3. Які з наведених тверджень є правильними?І. У будь-який трикутник можна вписати коло.
ІІ. У будь-який прямокутник можна вписати коло.
III. У будь-який ромб можна вписати коло
лише І
лише ІІ і ІІІ
лише І і ІІ
лише І і ІІІ
І, ІІ і ІІІ
Показати відповідь
Г.
І. Правильно.
ІІ. Так як в будь-якому прямокутнику (окрім квадрату) суми протилежних сторін не рівні, то в нього не можна вписати коло. Не є правильним.
ІІІ. Так як в будь-якому ромбі суми протилежних сторін рівні, то в нього завжди можна вписати коло. Правильно.
Завдання 4. Які твердження є правильними?І. Правильно.
ІІ. Так як в будь-якому прямокутнику (окрім квадрату) суми протилежних сторін не рівні, то в нього не можна вписати коло. Не є правильним.
ІІІ. Так як в будь-якому ромбі суми протилежних сторін рівні, то в нього завжди можна вписати коло. Правильно.
І. Протилежні кути ромба рівні.
ІІ. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні.
ІІІ. У будь-який ромб можна вписати коло.
лише І та ІІ
лише І та ІІІ
лише ІІ та ІІІ
лише ІІ
І, ІІ та ІІІ
Показати відповідь
Д. Всі твердження є правильними.
Завдання 5. Довжина сторони ромба дорівнює 12 см. Визначте довжину більшої діагоналі цього ромба, якщо його тупий кут дорівнює 120°.
6\sqrt3 см
8\sqrt3 см
12 см
12\sqrt3 см
24 см
Показати відповідь
Г.
Оскільки більша діагональ в ромбі лежить навпроти тупого кута, то потрібно знайти діагональ BD. За теоремою косинусів маємо:
BD^2 = AB^2 + AD^2-2\cdot AB \cdot AD \cdot cosA
BD^2 = 12^2 + 12^2-2\cdot12\cdot12\cdot cos120^\circ
BD^2 = 144 + 144-2\cdot144\cdot(-0,5)
BD^2 = 144 + 144 + 144
BD^2 = 144\cdot3
BD = 12\sqrt3\,см.
Завдання 6. Довжина ромба ABCD дорівнює 8, \angle В = 60^\circ. Установіть відповідність між величиною (1-3) та її значенням (А-Д).
BD^2 = AB^2 + AD^2-2\cdot AB \cdot AD \cdot cosA
BD^2 = 12^2 + 12^2-2\cdot12\cdot12\cdot cos120^\circ
BD^2 = 144 + 144-2\cdot144\cdot(-0,5)
BD^2 = 144 + 144 + 144
BD^2 = 144\cdot3
BD = 12\sqrt3\,см.
1 довжина діагоналі АС
2 довжина висоти ромба АВСD
3 відстань від точки А до центра кола, яке вписане в ромб
2 довжина висоти ромба АВСD
3 відстань від точки А до центра кола, яке вписане в ромб
А 4
Б 4\sqrt3
В 8
Г 8\sqrt3
Д 8\sqrt2
Б 4\sqrt3
В 8
Г 8\sqrt3
Д 8\sqrt2
Показати відповідь
1-В, 2-Б, 3-А.1) Так як АВ = ВС, то ∆АВС рівнобедрений і в ньому∠А = ∠С. Тоді так як ∠В = 60°, то і кути А і С в трикутнику АВС дорівнюють 60°. Отже, ∆АВС є рівностороннім і АС = АВ = 8.
2) Площа ромба S = a^2 sin\alpha = 8^2 \cdot sin60^\circ = 64 \cdot \frac{\sqrt3}{2} = 32\sqrt3. З іншого боку S = aha. Маємо рівняння:
8h = 32\sqrt3
h = 32\sqrt3:8
h = 4\sqrt3
3) Центром вписаного кола є точка перетину діагоналей, які цією точкою поділяються навпіл. Тому відстань від А до центра кола дорівнює половині діагоналі АС, тобто 8:2 = 4.
Завдання 7. На рисунку зображено ромб ABCD, діагоналі якого перетинаються в точці О. Із цієї точки до сторони AD проведено перпендикуляр ОК довжиною 3 см. Площа трикутника АОD дорівнює 15 см².2) Площа ромба S = a^2 sin\alpha = 8^2 \cdot sin60^\circ = 64 \cdot \frac{\sqrt3}{2} = 32\sqrt3. З іншого боку S = aha. Маємо рівняння:
8h = 32\sqrt3
h = 32\sqrt3:8
h = 4\sqrt3
3) Центром вписаного кола є точка перетину діагоналей, які цією точкою поділяються навпіл. Тому відстань від А до центра кола дорівнює половині діагоналі АС, тобто 8:2 = 4.
1. Визначте довжину сторони ромба ABCD (у см).
2. Обчисліть тангенс гострого кута ромба ABCD.
Показати відповідь
10; 0,75. 1. Оскільки S_{∆AOD} = \frac{1}{2} AD \cdot OK = \frac{1}{2} AD \cdot3 = 1,5AD і дорівнює 15 за умовою, то AD = 15:1,5 = 10 см.
2. Діагоналі ромба розбивають його на чотири рівних трикутника. Тому площа ромба 15⋅4 = 60. З іншого боку, площа ромба ABCD S = AD^2sinA. Маємо 60 = 100sinA, звідки sinA = 0,6. З формули sin^2 A + cos^2 A = 1 маємо cos^2 A = 1-sin^2 A = 1-0,6^2 = 1-0,36 = 0,64. З формули 1 + tg^2 A = \frac{1}{cos^2 A} маємо tg^2 A = \frac{1}{cos^2 A} - 1 = \frac{1}{0,64} - 1 = \frac{1}{0,64} - \frac{0,64}{0,64} = \frac{1-0,64}{0,64} = \frac{0,36}{0,64} = \frac{36}{64} = \frac{9}{16}.. Звідси tg A = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4} = 0,75.
Завдання 8. У ромб ABCD вписано коло з центром у точці О, яке дотикається сторін АВ і AD у точках К і М відповідно (див. рисунок). Периметр ромба дорівнює 48 см, ∠A = 60°. Знайдіть:2. Діагоналі ромба розбивають його на чотири рівних трикутника. Тому площа ромба 15⋅4 = 60. З іншого боку, площа ромба ABCD S = AD^2sinA. Маємо 60 = 100sinA, звідки sinA = 0,6. З формули sin^2 A + cos^2 A = 1 маємо cos^2 A = 1-sin^2 A = 1-0,6^2 = 1-0,36 = 0,64. З формули 1 + tg^2 A = \frac{1}{cos^2 A} маємо tg^2 A = \frac{1}{cos^2 A} - 1 = \frac{1}{0,64} - 1 = \frac{1}{0,64} - \frac{0,64}{0,64} = \frac{1-0,64}{0,64} = \frac{0,36}{0,64} = \frac{36}{64} = \frac{9}{16}.. Звідси tg A = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4} = 0,75.
1. Довжину відрізка ОВ (у см).
2. Довжину відрізка КМ (у см).
Показати відповідь
6; 9. 1. Оскільки PABCD = 4AB = 48, то АВ = АD = 48:4 = 12 см. Так як АВ = AD, то ∆ABD рівнобедрений. Тоді ∠ADB = ∠ABD = (180°-60°):2 = 60°. Отже ∆ABD рівносторонній і BD = AB = 12 см. Так як О - середина BD, то ОВ = DB:2 = 12:2 = 6 см.
2. Так як ∠A = 60°, то ∠В = 180°-60° = 120°. Так як діагоналі ромба є бісектрисами його кутів, то ∠АВО = 120°:2 = 60°. Тоді в прямокутному ∆ОКВ (∠ОКВ = 90°, оскільки радіус, проведений в точку дотику, перпендикулярний до дотичної) катет КВ лежить проти кута 30° (∠KOB = 90°- ∠KBO), тому він дорівнює половині гіпотенузи ОВ, тобто 6:2 = 3 см. Тоді АК = АВ-КВ = 12-3 = 9 см. Так як АК = AМ, то ∆AКМ рівнобедрений. Тоді ∠AКМ = ∠AМК = (180°-60°):2 = 60°. Отже ∆AКМ є рівностороннім і КМ = АК = 9 см.
2. Так як ∠A = 60°, то ∠В = 180°-60° = 120°. Так як діагоналі ромба є бісектрисами його кутів, то ∠АВО = 120°:2 = 60°. Тоді в прямокутному ∆ОКВ (∠ОКВ = 90°, оскільки радіус, проведений в точку дотику, перпендикулярний до дотичної) катет КВ лежить проти кута 30° (∠KOB = 90°- ∠KBO), тому він дорівнює половині гіпотенузи ОВ, тобто 6:2 = 3 см. Тоді АК = АВ-КВ = 12-3 = 9 см. Так як АК = AМ, то ∆AКМ рівнобедрений. Тоді ∠AКМ = ∠AМК = (180°-60°):2 = 60°. Отже ∆AКМ є рівностороннім і КМ = АК = 9 см.
Коментарі