Перейти до основного вмісту

Прямокутник та його властивості

Прямокутник — це фундамент шкільної геометрії. Його властивості здаються простими, але саме на них базуються складні комбіновані задачі НМТ. Головна властивість прямокутника — рівність діагоналей та їх перетин у центрі симетрії, що дозволяє легко переходити від лінійних розмірів до кутових величин.

На цій сторінці ми зібрали актуальні завдання, включаючи свіжі приклади з НМТ. Ви знайдете розбір тригонометричних відношень у прямокутних трикутниках, що утворюються всередині фігури, задачі на бісектриси, які завжди відтинають від прямокутника рівнобедрений трикутник, та комбінації з колами. Вивчайте розв'язання нижче, щоб навчитися бачити приховані зв'язки між елементами фігур!

Прямокутник - паралелограм, у якого всі кути рівні
Властивості прямокутника
  • Протилежні сторони прямокутника рівні
  • Діагоналі прямокутника рівні
  • Діагоналі прямокутника перетинаються і точкою перетину поділяються навпіл
  • У прямокутника всі кути прямі (90°)
Завдання 1. На рисунку зображено прямокутник ABCD. Точка K лежить на стороні AD. Визначте довжину сторони AD, якщо BK = d, ∠AKB = α, ∠KCD = β. Геометрична схема: Прямокутник з кутами та відрізками ABCDK αβd
d(sinα + cosα tgβ)
d(cosα + sinα tgβ)
d(sinα + \frac{cos\alpha}{tg\beta})
d(cosα + \frac{sin\alpha}{tg\beta})
d(cosα + sinα sinβ)
Показати відповідь
Б.
В прямокутному трикутнику BАК cos∠AKB = АК:ВК. Звідси АК = ВК∙cos∠AKB = dcosα. Крім того, sin∠AKB = АB:ВК. Звідси АB = ВК∙sin∠AKB = dsinα. Так як ABCD прямокутник, то CD = AB = dsinα. В прямокутному трикутнику CKD tg∠KCD = KD:CD. Звідси KD = CD∙tg∠KCD = dsinαtgβ. AD = AK + KD = dcosα + dsinαtgβ = d(cosα + sinαtgβ).
Завдання 2. Довжини сторін АВ та ВС прямокутника АВСD відносяться як 2:5, а його периметр дорівнює 28 см. Визначте довжину більшої сторони цього прямокутника.
10 см
20 см
7 см
14 см
8 см
Показати відповідь
А.
Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює х. Тоді АВ = 2х, ВС = 5х. Периметр прямокутника дорівнює Р = 2(АВ + ВС) = 2(2х + 5х) = 2 · 7x = 14x, що за умовою дорівнює 28 см. Маємо рівняння 14х = 28, звідки х = 28:14 = 2. Більша сторона ВС дорівнює 5 · 2 = 10 см.
Завдання 3. У прямокутнику АВСD: ВС = 80, АС = 100. Через точки М і К, що належать сторонам АВ і ВС відповідно, проведено пряму, паралельну АС. Знайдіть довжину більшої сторони трикутника МВК, якщо ВК = 20.
60
50
30
25
15
Показати відповідь
Г. прямокутник ABCDMK? Так як в трикутнику ВМК кут В прямий, то цей трикутник є прямокутним і найбільша сторона в ньому - гіпотенуза МК. Трикутники ВМК і ВАС подібні (МК||АС за умовою, звідси ∠BMK = ∠BAC, ∠BKM = ∠BCA). Для подібних трикутників відношення відповідних сторін рівні. Маємо ВК:ВС = МК:АС. Підставимо відомі значення, маємо: 20:80 = МК:100. Тоді МК = 20 · 100:80 = 2000:80 = 25 см.
Завдання 4. Бісектриса кута А прямокутника ABCD перетинає сторону ВС і діагональ BD у точках К і Р відповідно (див. рисунок). Визначте градусну міру кута BPK, якщо ∠BDA = 30°. прямокутник ABCDPK?30°
105°
115°
75°
95°
125°
Показати відповідь
А.
Так як кут A прямий і АК - бісектриса, то ∠PAD = 90°:2 = 45°. Так як в трикутнику сума кутів дорівнює 180°, то в трикутнику APD ∠APD = 180°-∠PAD-∠PDA = 180°-45°-30° = 105°. Кути BPK та APD є вертикальними, тому вони рівні. Отже В прямокутнику діагоналі рівні і точкою перетину діляться навпіл. Отже∠BPK = 105°.
Завдання 5. На рисунку зображено прямокутник АВСD, ∠CAD = 35°. Визначте градусну міру ∠CОD. прямокутник ?ABCDO35°
35°
55°
65°
70°
145°
Показати відповідь
Г.Так як кут A прямий, то ∠BAO = 90°-∠COD = 55°. В прямокутнику діагоналі рівні і точкою перетину діляться навпіл. Отже ВО = АО і трикутник ВОА рівнобедрений. Тоді в ньому кут В дорівнює куту А. В цьому трикутнику ∠O = 180°-∠A-∠B = 180°-55°-55° = 70°. Кути ВОА і COD вертикальні, тому вони рівні. Отже∠CОD = 70°.
Завдання 6. На рисунку зображено прямокутник ABCD та коло із центром у точці О, яка є серединою діагоналі BD. Це коло дотикається сторін ВС та AD й перетинає діагональ BD у точках К і М. ВК = 8 см, КМ = 10 см. прямокутник і коло ABCDOKM 1. Визначте довжину діагоналі AС (у см).
2. Визначте периметр прямокутника АBСD (у см).
Показати відповідь
26; 68.
1. Так як точка О - середина діагоналі прямокутника, яка є центром симетрії, то маємо симетричний малюнок відносно точки О і тоді MD = BK = 8 см. Тоді BD = BK + KM + MD = 8 + 10 + 8 = 26 см. Так як у прямокутника діагоналі рівні, то АС = BD = 26 см.
2. Відрізок КМ є діаметром кола і тому він дорівнює стороні АВ (так як коло дотикається сторін прямокутника). Отже АВ = 10 см. З прямокутного трикутника ABD за теоремою Піфагора AD² = BD²-AB² = 26²-10² = (26-10)(26 + 10) = 16 · 36. Тоді AD = 4 · 6 = 24 см. Р = 2(АВ + AD) = 2(10 + 24) = 2 · 34 = 68 см.
Завдання 7. Бісектриса кута А прямокутника ABCD перетинає його більшу сторону ВС в точці М. Визначте радіус кола (у см), описаного навколо прямокутника, якщо ВС = 24 см, АМ = 10см.
Показати відповідь
13. прямокутник ABCDM Так як маємо паралельні прямі AD та ВС і січну АС, то кути DAM та ВMA рівні (як внутрішні різносторонні). Так як кути ВАМ та DAM також рівні (АМ-бісектриса), то кути ВАМ і ВМА рівні. Відповідно прямокутний трикутник АВМ є рівнобедреним (ВА = ВМ). За теоремою Піфагора AM² = AB² + BM². Якщо підставити замість ВМ АВ маємо AВ² + AВ² = 100 · 2, звідки АВ² = 100 і АВ = 10 см. В прямокутному трикутнику АВС за теоремою Піфагора АС² = АВ² + ВС² = 10² + 24² = 100 + 576 = 676, звідки АС = 26. Так як радіус кола, описаного навколо прямокутника, дорівнює половині діагоналі прямокутника, то R = AC:2 = 26:2 = 13 см.
Завдання 8. На рисунку зображено прямокутник ABCD і рівносторонній трикутник АВК, периметри яких відповідно дорівнюють 20 см і 12 см. Знайдіть периметр п’ятикутника AKBCD. прямокутник з вирізаним правильним трикутником ABCDK
Показати відповідь
24.
Оскільки трикутник рівносторонній, то його сторона 12:3 = 4 см. PAKBCD = AD + DC + CB + BK + KA = (AD + DC + CB + BA) + KA = PABCD + KA = 20 + 4 = 24 см.

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Дійсні числа — це база математичної підготовки, що охоплює всі види числових множин: від натуральних до ірраціональних. На цій сторінці ми зібрали ключові ознаки подільності , правила порівняння звичайних дробів та ірраціональних виразів, а також алгоритми роботи зі степенями, що мають нульовий або від’ємний показник. Для ефективної підготовки до іспитів ми підготували великий практичний блок , що включає реальні приклади минулих років. Ви зможете розібрати методи оцінювання значень коренів, округлення чисел та роботу з логарифмами. Кожне завдання має детальне розв’язання, що допоможе учням опанувати навички швидких обчислень без помилок. Завдання 1. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількіс...
3 коментарі
Read more »

Лінійні, квадратні, дробово-раціональні рівняння

Рівняння — це математична мова, якою описують більшість процесів у навколишньому світі. Вміння розв’язувати їх є базовою навичкою, необхідною як для успішного складання НМТ, так і для опанування вищої математики, програмування чи економіки. На цій сторінці ми зібрали всі типи алгебраїчних рівнянь, що зустрічаються в тестах : Лінійні рівняння : прості рівності, де головне — правильно перенести доданки та звести подібні. Квадратні рівняння : класичні завдання, які розв'язуються через дискримінант або швидку теорему Вієта. Ви також знайдете приклади біквадратних рівнянь, що зводяться до квадратних через заміну змінної. Дробово - раціональні рівняння : задачі, де невідоме стоїть у знаменнику. Тут ми навчимося використовувати властивість пропорції та завжди пам'ятати про область допустимих значень (ОДЗ). Особливу увагу приділено завданням на вираження однієї змінної з формули (фізичні та геометричні формули), що є традиційно складним моментом для багатьох абітурієнтів. К...
Дописати коментар
Read more »

Відсотки

Відсотки (проценти) — одна з найважливіших тем шкільного курсу математики, яка має величезне практичне значення у повсякденному житті: від розрахунків банківських кредитів до аналізу знижок у магазинах. Розуміння того, що 1% — це сота частина цілого, дозволяє легко оперувати пропорціями та швидко знаходити частки від чисел. У завданнях НМТ відсотки зустрічаються як у вигляді окремих задач, так і в складі комплексних завдань на аналіз діаграм чи роботу з текстовими даними. На цій сторінці ви знайдете основні методи обчислення відсотків: від класичних правил до використання універсального методу пропорції. Ми підготували для вас розгорнутий практикум , що включає актуальні приклади з НМТ та реальних тестів минулих років. Кожне завдання супроводжується детальним поясненням логіки розв’язання, що допоможе вам опанувати навіть найскладніші типи задач на зміну ціни, акційні пропозиції та суміші. Обчислення відсотків % І спосіб. Використати правила: Щоб знайти a відсотків від числа b по...
1 коментар
Read more »

Квадрат та його властивості

Квадрат та його властивості — це ідеальна геометрична модель, де симетрія досягає максимуму. У завданнях ЗНО та НМТ квадрат рідко виступає як самостійна фігура; зазвичай він є частиною складніших конструкцій: вписаним у коло, основою піраміди або частиною комбінованих багатокутників. Головний ключ до розв'язання таких задач — розуміння того, що діагональ квадрата не просто з'єднує вершини, а є бісектрисою та віссю симетрії, що ділить фігуру на два рівнобедрених прямокутних трикутники. На цій сторінці представлено практичний розбір завдань : від тестів на перевірку істинності тверджень до складних обчислювальних задач на вписані фігури та пошук відстаней. Якщо ви готуєтеся до тестування — гортайте вниз , щоб розібрати логіку розв'язання найбільш типових прикладів. Квадрат - прямокутник, у якого всі сторони рівні (або ромб, у якого всі кути рівні) Властивості квадрата Діагоналі квадрата рівні Діагоналі квадрата перетинаються під прямим кутом і точкою перетину поділя...
Дописати коментар
Read more »

Трапеція та її властивості

Трапеція та її властивості — це тема, яка вимагає не лише знання формул, а й навичок додаткових побудов. Більшість задач НМТ на трапецію розв’язуються через проведення висот, які відтинають прямокутні трикутники, або використання властивостей середньої лінії. На цій сторінці ми зібрали розбір актуальних завдань НМТ та ЗНО, де ви знайдете приклади роботи з рівнобічними, прямокутними та описаними навколо кола трапеціями. Особливу увагу приділено методам пошуку основ та бічних сторін через теорему Піфагора та подібність трикутників. Якщо ви шукаєте розв'язок конкретної задачі з демонстраційного варіанта або тестів минулих років — просто гортайте вниз. Кожен приклад містить детальне пояснення кроків та необхідні креслення. Трапеція - чотирикутник, у якого дві протилежні сторони (основи) паралельні, а інші - ні (бічні сторони). Види трапецій: Рівнобічна - бічні сторони рівні Прямокутна - одна з бічних сторін перпендикулярна до основи Середня лінія трапеції (відрізок, що с...
Дописати коментар
Read more »

Рекомендований допис

10 клас. Алгебра і початки аналізу

10 клас. Алгебра і початки аналізу — це вихід на новий рівень математичного мислення. Цього року ви опануєте «математику змін»: від дослідження складних функцій та їхніх властивостей до занурення у світ тригонометрії та перших кроків у диференціальному численні. Ви навчитеся не просто обчислювати, а аналізувати процеси, прогнозувати результати та бачити логіку в найскладніших системах. Ці знання — це фундамент не лише для успішного складання НМТ, а й для розуміння сучасної економіки, фізики та ІТ-технологій. Оберіть тему, і перетворіть складні формули на свій надійний інструмент для підкорення нових інтелектуальних вершин! Тема 1. Множини та функції Множини, операції над множинами Взаємно однозначна відповідність між елементами множин. Рівнопотужні множини Числові множини. Множина дійсних чисел Числові функції. Їх властивості та графіки Властивості і графіки основних видів функцій Оборотні функції. Взаємно обернені функції Побудова графіків функцій за допомогою ...
Дописати коментар