Перейти до основного вмісту

Прямокутник та його властивості

Прямокутник — це фундамент шкільної геометрії. Його властивості здаються простими, але саме на них базуються складні комбіновані задачі НМТ. Головна властивість прямокутника — рівність діагоналей та їх перетин у центрі симетрії, що дозволяє легко переходити від лінійних розмірів до кутових величин.

На цій сторінці ми зібрали актуальні завдання, включаючи свіжі приклади з НМТ. Ви знайдете розбір тригонометричних відношень у прямокутних трикутниках, що утворюються всередині фігури, задачі на бісектриси, які завжди відтинають від прямокутника рівнобедрений трикутник, та комбінації з колами. Вивчайте розв'язання нижче, щоб навчитися бачити приховані зв'язки між елементами фігур!

    Прямокутник - паралелограм, у якого всі кути рівні
    Властивості прямокутника
    • Протилежні сторони прямокутника рівні
    • Діагоналі прямокутника рівні
    • Діагоналі прямокутника перетинаються і точкою перетину поділяються навпіл
    • У прямокутника всі кути прямі (90o)
  1. НМТ 2024. На рисунку зображено прямокутник ABCD. Точка K лежить на стороні AD. Визначте довжину сторони AD, якщо BK = d, ∠AKB = α, ∠KCD = β. Геометрична схема: Прямокутник з кутами та відрізками ABCDK αβd
    АБВГД
    d(sinα + cosα tgβ) d(cosα + sinα tgβ) d(sinα + \frac{cos\alpha}{tg\beta}) d(cosα +\frac{sin\alpha}{tg\beta}) d(cosα + sinα sinβ)
    Показати відповідь
    Б.
    В прямокутному трикутнику BАК cos∠AKB=АК:ВК. Звідси АК=ВК∙cos∠AKB= dcosα. Крім того, sin∠AKB = АB:ВК. Звідси АB = ВК∙sin∠AKB = dsinα. Так як ABCD прямокутник, то CD = AB = dsinα. В прямокутному трикутнику CKD tg∠KCD=KD:CD. Звідси KD=CD∙tg∠KCD= dsinαtgβ. AD = AK + KD = dcosα + dsinαtgβ = d(cosα + sinαtgβ).
  2. Довжини сторін АВ та ВС прямокутника АВСD відносяться як 2:5, а його периметр дорівнює 28 см. Визначте довжину більшої сторони цього прямокутника.
    АБВГД
    10 см 20 см 7 см 14 см 8 см
    Показати відповідь
    А.
    Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює х. Тоді АВ=2х, ВС=5х. Периметр прямокутника дорівнює Р=2(АВ+ВС)=2(2х+5х)=2⋅7x=14x, що за умовою дорівнює 28 см. Маємо рівняння 14х=28, звідки х=28:14=2. Більша сторона ВС дорівнює 5⋅2=10 см.
  3. У прямокутнику АВСD: ВС=80, АС=100. Через точки М і К, що належать сторонам АВ і ВС відповідно, проведено пряму, паралельну АС. Знайдіть довжину більшої сторони трикутника МВК, якщо ВК=20.
    АБВГД
    60 50 30 25 15
    Показати відповідь
    Г.

    Так як в трикутнику ВМК кут В прямий, то цей трикутник є прямокутним і найбільша сторона в ньому - гіпотенуза МК. Трикутники ВМК і ВАС подібні (МК||АС за умовою,звідси ∠BMK=∠BAC, ∠BKM=∠BCA). Для подібних трикутників відношення відповідних сторін рівні. Маємо ВК:ВС=МК:АС. Підставимо відомі значення, маємо: 20:80=МК:100. Тоді МК=20⋅100:80=2000:80=25 см.
  4. Бісектриса кута А прямокутника ABCD перетинає сторону ВС і діагональ BD у точках К і Р відповідно (див. рисунок). Визначте градусну міру кута BPK, якщо ∠BDA=300.

    АБВГД
    1050 1150 750 950 1250
    Показати відповідь
    А.
    Так як кут A прямий і АК - бісектриса, то ∠PAD=900:2=450. Так як в трикутнику сума кутів дорівнює 1800, то в трикутнику APD ∠APD=1800-∠PAD-∠PDA=1800-450-300=1050. Кути BPK та APD є вертикальними, тому вони рівні. Отже В прямокутнику діагоналі рівні і точкою перетину діляться навпіл. Отже∠BPK=1050.
  5. На рисунку зображено прямокутник АВСD, ∠CAD=350. Визначте градусну міру ∠CОD.

    АБВГД
    350 550 650 700 1450
    Показати відповідь
    Г.Так як кут A прямий, то ∠BAO=900-∠COD=550. В прямокутнику діагоналі рівні і точкою перетину діляться навпіл. Отже ВО=АО і трикутник ВОА рівнобедрений. Тоді в ньому кут В дорівнює куту А. В цьому трикутнику ∠O=1800-∠A-∠B=1800-550-550=700. Кути ВОА і COD вертикальні, тому вони рівні. Отже∠CОD=700.
  6. На рисунку зображено прямокутник ABCD та коло із центром у точці О, яка є серединою діагоналі BD. Це коло дотикається сторін ВС та AD й перетинає діагональ BD у точках К і М. ВК=8 см, КМ=10 см.

    1. Визначте довжину діагоналі AС (у см).
    2. Визначте периметр прямокутника АBСD (у см).
    Показати відповідь
    26; 68.
    1. Так як точка О - середина діагоналі прямокутника, яка є центром симетрії, то маємо симетричний малюнок відносно точки О і тоді MD=BK=8 см. Тоді BD=BK+KM+MD=8+10+8=26 см. Так як у прямокутника діагоналі рівні, то АС=BD=26 см.
    2. Відрізок КМ є діаметром кола і тому він дорівнює стороні АВ (так як коло дотикається сторін прямокутника). Отже АВ=10 см. З прямокутного трикутника ABD за теоремою Піфагора AD2=BD2-AB2=262-102=(26-10)(26+10)=16⋅36. Тоді AD=4⋅6=24 см. Р=2(АВ+AD)=2(10+24)=2⋅34=68 см.
  7. Бісектриса кута А прямокутника ABCD перетинає його більшу сторону ВС в точці М. Визначте радіус кола (у см), описаного навколо прямокутника, якщо ВС=24 см, АМ=10см.
    Показати відповідь
    13.

    Так як маємо паралельні прямі AD та ВС і січну АС, то кути DAM та ВMA рівні (як внутрішні різносторонні). Так як кути ВАМ та DAM також рівні (АМ-бісектриса), то кути ВАМ і ВМА рівні. Відповідно прямокутний трикутник АВМ є рівнобедреним (ВА=ВМ). За теоремою Піфагора AM2=AB2+BM2. Якщо підставити замість ВМ АВ маємо AВ2+AВ2=100⋅2, звідки АВ2=100 і АВ=10 см. В прямокутному трикутнику АВС за теоремою Піфагора АС2=АВ2+ВС2=102+242=100+576=676, звідки АС=26. Так як радіус кола, описаного навколо прямокутника, дорівнює половині діагоналі прямокутника, то R=AC:2=26:2=13 см.
  8. На рисунку зображено прямокутник ABCD і рівносторонній трикутник АВК, периметри яких відповідно дорівнюють 20 см і 12 см. Знайдіть периметр п’ятикутника AKBCD.

    Показати відповідь
    24.
    Оскільки трикутник рівносторонній, то його сторона 12:3=4 см. PAKBCD=AD+DC+CB+BK+KA=(AD+DC+CB+BA)+KA=PABCD+KA=20+4=24 см.
⇐V.3.
Паралелограм та його властивості		 До змісту ⇒V.5.
Ромб та його властивості

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Дійсні числа — це база математичної підготовки, що охоплює всі види числових множин: від натуральних до ірраціональних. На цій сторінці ми зібрали ключові ознаки подільності , правила порівняння звичайних дробів та ірраціональних виразів, а також алгоритми роботи зі степенями, що мають нульовий або від’ємний показник. Для ефективної підготовки до іспитів ми підготували великий практичний блок , що включає реальні приклади минулих років. Ви зможете розібрати методи оцінювання значень коренів, округлення чисел та роботу з логарифмами. Кожне завдання має детальне розв’язання, що допоможе учням опанувати навички швидких обчислень без помилок. Завдання 1. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількіс...
3 коментарі
Read more »

Відсотки

Відсотки (проценти) — одна з найважливіших тем шкільного курсу математики, яка має величезне практичне значення у повсякденному житті: від розрахунків банківських кредитів до аналізу знижок у магазинах. Розуміння того, що 1% — це сота частина цілого, дозволяє легко оперувати пропорціями та швидко знаходити частки від чисел. У завданнях НМТ відсотки зустрічаються як у вигляді окремих задач, так і в складі комплексних завдань на аналіз діаграм чи роботу з текстовими даними. На цій сторінці ви знайдете основні методи обчислення відсотків: від класичних правил до використання універсального методу пропорції. Ми підготували для вас розгорнутий практикум , що включає актуальні приклади з НМТ та реальних тестів минулих років. Кожне завдання супроводжується детальним поясненням логіки розв’язання, що допоможе вам опанувати навіть найскладніші типи задач на зміну ціни, акційні пропозиції та суміші. Обчислення відсотків % І спосіб. Використати правила: Щоб знайти a відсотків від числа b по...
1 коментар
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія — це особливий вид числової послідовності, де кожен наступний член відрізняється від попереднього на сталу величину. У шкільному курсі математики та в тестах НМТ ця тема є фундаментальною, оскільки вона поєднує в собі чіткі алгебраїчні алгоритми та вміння моделювати реальні життєві ситуації. Вміння швидко визначати різницю прогресії та застосовувати формули суми дозволяє ефективно розв'язувати як прості тестові вправи, так і складні задачі на розрахунок вартості послуг, планування тренувань або аналіз фінансових накопичень. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО . Ви знайдете детальні пояснення до задач різних рівнів складності: від знаходження першого члена за відомим n-м до визначення параметрів прогресії у прикладних контекстах. Тут зібрано весь необхідний теоретичний мінімум: базові формули n-го члена, два способи обчислення суми перших n членів та характерну властивість середнього арифметичного для сусідніх елементів ряду. Арифметичн...
5 коментарів
Read more »

Площі фігур

Площі фігур — це одна з центральних тем планіметрії, яка вимагає не лише знання формул, а й уміння бачити приховані зв'язки між елементами фігур. Розуміння того, як площа залежить від висот, кутів та радіусів описаних і вписаних кіл, дозволяє розв'язувати найскладніші задачі НМТ, де декілька фігур комбінуються в одну систему. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО . Ви навчитеся застосовувати формулу Герона, знаходити площі через діагоналі та використовувати властивості подібних фігур. Тут зібрано все: від базових трикутників до складних комбінацій прямокутників із секторами та колами. Площі фігур Площа трикутника : S = ½absinα (Площа трикутника дорівнює половині добутку двох сторін на синус кута між ними) S = ½ahₐ (Площа трикутника дорівнює половині добутку сторони на висоту, проведену до цієї сторони) S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} , p = (a + b + c):2 (Формула Герона) S = \frac{abc}{4R} (R-радіус описаного кола) S = pr (r-радіус вписаного кола) Пл...
Дописати коментар
Read more »

Трикутники та їх властивості

Трикутники та їх властивості — це фундамент геометрії, без якого неможливо уявити успішне складання НМТ. Розуміння класифікації трикутників, знання особливостей їхніх медіан, бісектрис та висот дозволяє розв'язувати задачі, які на перший погляд здаються громіздкими. Вміння швидко застосовувати теореми синусів та косинусів, а також знання метричних співвідношень у прямокутному трикутнику є ключем до високого бала на іспиті. На цій сторінці ми розглянемо реальні завдання НМТ та ЗНО , включаючи найсвіжіші демонстраційні варіанти. Ви навчитеся працювати з центрами вписаних і описаних кіл, використовувати властивості середньої лінії та знаходити невідомі елементи фігур через тригонометричні функції. Тут зібрано все: від ознак подібності до складних комбінованих задач на периметри та площі. Види трикутників За кутами Гострокутний - всі кути гострі (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c²<a² + b²). Прямокутний - один з кутів прямий (якщо a, b, c - стор...
5 коментарів
Read more »

Рекомендований допис

10 клас. Алгебра і початки аналізу

10 клас. Алгебра і початки аналізу — це вихід на новий рівень математичного мислення. Цього року ви опануєте «математику змін»: від дослідження складних функцій та їхніх властивостей до занурення у світ тригонометрії та перших кроків у диференціальному численні. Ви навчитеся не просто обчислювати, а аналізувати процеси, прогнозувати результати та бачити логіку в найскладніших системах. Ці знання — це фундамент не лише для успішного складання НМТ, а й для розуміння сучасної економіки, фізики та ІТ-технологій. Оберіть тему, і перетворіть складні формули на свій надійний інструмент для підкорення нових інтелектуальних вершин! Тема 1. Множини та функції Множини, операції над множинами Взаємно однозначна відповідність між елементами множин. Рівнопотужні множини Числові множини. Множина дійсних чисел Числові функції. Їх властивості та графіки Властивості і графіки основних видів функцій Оборотні функції. Взаємно обернені функції Побудова графіків функцій за допомогою ...
Дописати коментар