Перейти до основного вмісту

Прямокутник та його властивості

Прямокутник — це фундамент шкільної геометрії. Його властивості здаються простими, але саме на них базуються складні комбіновані задачі НМТ. Головна властивість прямокутника — рівність діагоналей та їх перетин у центрі симетрії, що дозволяє легко переходити від лінійних розмірів до кутових величин.

На цій сторінці ми зібрали актуальні завдання, включаючи свіжі приклади з НМТ. Ви знайдете розбір тригонометричних відношень у прямокутних трикутниках, що утворюються всередині фігури, задачі на бісектриси, які завжди відтинають від прямокутника рівнобедрений трикутник, та комбінації з колами. Вивчайте розв'язання нижче, щоб навчитися бачити приховані зв'язки між елементами фігур!

    Прямокутник - паралелограм, у якого всі кути рівні
    Властивості прямокутника
    • Протилежні сторони прямокутника рівні
    • Діагоналі прямокутника рівні
    • Діагоналі прямокутника перетинаються і точкою перетину поділяються навпіл
    • У прямокутника всі кути прямі (90o)
  1. НМТ 2024. На рисунку зображено прямокутник ABCD. Точка K лежить на стороні AD. Визначте довжину сторони AD, якщо BK = d, ∠AKB = α, ∠KCD = β.
    АБВГД
    d(sinα + cosα tgβ) d(cosα + sinα tgβ) d(sinα + d(cosα + d(cosα + sinα sinβ)
    Показати відповідь
    Б.
    В прямокутному трикутнику BАК cos∠AKB=АК:ВК. Звідси АК=ВК∙cos∠AKB= dcosα. Крім того, sin∠AKB = АB:ВК. Звідси АB = ВК∙sin∠AKB = dsinα. Так як ABCD прямокутник, то CD = AB = dsinα. В прямокутному трикутнику CKD tg∠KCD=KD:CD. Звідси KD=CD∙tg∠KCD= dsinαtgβ. AD = AK + KD = dcosα + dsinαtgβ = d(cosα + sinαtgβ).
  2. Довжини сторін АВ та ВС прямокутника АВСD відносяться як 2:5, а його периметр дорівнює 28 см. Визначте довжину більшої сторони цього прямокутника.
    АБВГД
    10 см 20 см 7 см 14 см 8 см
    Показати відповідь
    А.
    Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює х. Тоді АВ=2х, ВС=5х. Периметр прямокутника дорівнює Р=2(АВ+ВС)=2(2х+5х)=2⋅7x=14x, що за умовою дорівнює 28 см. Маємо рівняння 14х=28, звідки х=28:14=2. Більша сторона ВС дорівнює 5⋅2=10 см.
  3. У прямокутнику АВСD: ВС=80, АС=100. Через точки М і К, що належать сторонам АВ і ВС відповідно, проведено пряму, паралельну АС. Знайдіть довжину більшої сторони трикутника МВК, якщо ВК=20.
    АБВГД
    60 50 30 25 15
    Показати відповідь
    Г.

    Так як в трикутнику ВМК кут В прямий, то цей трикутник є прямокутним і найбільша сторона в ньому - гіпотенуза МК. Трикутники ВМК і ВАС подібні (МК||АС за умовою,звідси ∠BMK=∠BAC, ∠BKM=∠BCA). Для подібних трикутників відношення відповідних сторін рівні. Маємо ВК:ВС=МК:АС. Підставимо відомі значення, маємо: 20:80=МК:100. Тоді МК=20⋅100:80=2000:80=25 см.
  4. Бісектриса кута А прямокутника ABCD перетинає сторону ВС і діагональ BD у точках К і Р відповідно (див. рисунок). Визначте градусну міру кута BPK, якщо ∠BDA=300.

    АБВГД
    1050 1150 750 950 1250
    Показати відповідь
    А.
    Так як кут A прямий і АК - бісектриса, то ∠PAD=900:2=450. Так як в трикутнику сума кутів дорівнює 1800, то в трикутнику APD ∠APD=1800-∠PAD-∠PDA=1800-450-300=1050. Кути BPK та APD є вертикальними, тому вони рівні. Отже В прямокутнику діагоналі рівні і точкою перетину діляться навпіл. Отже∠BPK=1050.
  5. На рисунку зображено прямокутник АВСD, ∠CAD=350. Визначте градусну міру ∠CОD.

    АБВГД
    350 550 650 700 1450
    Показати відповідь
    Г.Так як кут A прямий, то ∠BAO=900-∠COD=550. В прямокутнику діагоналі рівні і точкою перетину діляться навпіл. Отже ВО=АО і трикутник ВОА рівнобедрений. Тоді в ньому кут В дорівнює куту А. В цьому трикутнику ∠O=1800-∠A-∠B=1800-550-550=700. Кути ВОА і COD вертикальні, тому вони рівні. Отже∠CОD=700.
  6. На рисунку зображено прямокутник ABCD та коло із центром у точці О, яка є серединою діагоналі BD. Це коло дотикається сторін ВС та AD й перетинає діагональ BD у точках К і М. ВК=8 см, КМ=10 см.

    1. Визначте довжину діагоналі AС (у см).
    2. Визначте периметр прямокутника АBСD (у см).
    Показати відповідь
    26; 68.
    1. Так як точка О - середина діагоналі прямокутника, яка є центром симетрії, то маємо симетричний малюнок відносно точки О і тоді MD=BK=8 см. Тоді BD=BK+KM+MD=8+10+8=26 см. Так як у прямокутника діагоналі рівні, то АС=BD=26 см.
    2. Відрізок КМ є діаметром кола і тому він дорівнює стороні АВ (так як коло дотикається сторін прямокутника). Отже АВ=10 см. З прямокутного трикутника ABD за теоремою Піфагора AD2=BD2-AB2=262-102=(26-10)(26+10)=16⋅36. Тоді AD=4⋅6=24 см. Р=2(АВ+AD)=2(10+24)=2⋅34=68 см.
  7. Бісектриса кута А прямокутника ABCD перетинає його більшу сторону ВС в точці М. Визначте радіус кола (у см), описаного навколо прямокутника, якщо ВС=24 см, АМ=10см.
    Показати відповідь
    13.

    Так як маємо паралельні прямі AD та ВС і січну АС, то кути DAM та ВMA рівні (як внутрішні різносторонні). Так як кути ВАМ та DAM також рівні (АМ-бісектриса), то кути ВАМ і ВМА рівні. Відповідно прямокутний трикутник АВМ є рівнобедреним (ВА=ВМ). За теоремою Піфагора AM2=AB2+BM2. Якщо підставити замість ВМ АВ маємо AВ2+AВ2=100⋅2, звідки АВ2=100 і АВ=10 см. В прямокутному трикутнику АВС за теоремою Піфагора АС2=АВ2+ВС2=102+242=100+576=676, звідки АС=26. Так як радіус кола, описаного навколо прямокутника, дорівнює половині діагоналі прямокутника, то R=AC:2=26:2=13 см.
  8. На рисунку зображено прямокутник ABCD і рівносторонній трикутник АВК, периметри яких відповідно дорівнюють 20 см і 12 см. Знайдіть периметр п’ятикутника AKBCD.

    Показати відповідь
    24.
    Оскільки трикутник рівносторонній, то його сторона 12:3=4 см. PAKBCD=AD+DC+CB+BK+KA=(AD+DC+CB+BA)+KA=PABCD+KA=20+4=24 см.
⇐V.3.
Паралелограм та його властивості		 До змісту ⇒V.5.
Ромб та його властивості

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Завдання. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців – 4х. Разом їх буде 3х + 4х = 7х. Отже, сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців ділиться націло на 7, і лише число 91 задовольняє цій умові. Завдання. НМТ 2026 (демо). Узгодьте вираз (1– 3) із його значенням (А – Д), якщо m = -\frac{4}{3} 1 |𝑚 − 4| 2 4m −1 3 (3𝑚 + 1) 0 А –3 Б 1 В 0 Г 3 Д \frac{16}{3} Показати відповідь 1-Д, 2-А, 3-Б . 1. |-\frac{4}{3}-4|=|-\frac{4}{3}-\frac{12}{3}|=|\frac{-4-12}{3}|=|\frac{-16}{3}|=\frac{16}{3} 2. 4\cdot(-\frac{4}{3})^{-1} = 4\cdot (-\frac{3}{4}) = -3 (при зміні знака степеня дріб перевертається) 3. Кожне число, від'ємне від 0, в нульовій степені д...
3 коментарі
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія 1. Знаходження n-го члена арифметичної прогресії: а n =а 1 +(n-1)d 2. Знаходження суми перших n членів арифметичної прогресії: S n = або S n = 3. Співвідношення між сусідніми членами прогресії: 2а n =а n-1 +а n+1 НМТ 2024. В арифметичній прогресії (a n ) відомо, що a 6 – a 1 = –30. Обчисліть значення виразу a 6 – a 4 . А Б В Г Д 12 10 –15 –10 –12 Показати відповідь Д . НМТ 2023. Студент вивчав японську мову за такою методикою: у перший день він запам'ятав 6 ієрогліфів, а кожного наступного дня - на 2 ієрогліфи більше, ніж попереднього. Скільки всього ієрогліфів запам'ятав цей студент за 25 днів від першого дня вивчення японської мови? Показати відповідь 750 . НМТ 2023. Число 27 є членом арифметичної прогресії з різницею d=5. Визначте числа з проміжку (60; 75), що є членами цієї прогресії. У відповідь запишіть суму цих чисел. Показати відповідь 201 . Задано арифметичну прогресію (a n ), у якій різниця d...
5 коментарів
Read more »

Комбінаторика

1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і І об'єкт і ІІ об'єкт можна a⋅b способами. 3. Перестановки . Якщо з n об'єктів потрібно обрати всі n, то це можна зробити P n =n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n-1)⋅n способами. 4. Розміщення . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання важливий, то це можна зробити = способами. 5. Комбінації . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання не важливий, то це можна зробити = способами. Примітка . Скорочення факторіалів = =5⋅6⋅7=210 Завдання. НМТ 2026 (демо). У квітковому магазині є 12 білих та 25 червоних троянд. Покупець замовив у цьому магазині букет із двох білих троянд й однієї червоної. Скільки всього є варіантів такого вибору? Показати відповідь 1650 . Оскільки порядок вибору листіво...
15 коментарів
Read more »

Функції за графіками

Завдання. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції, що набуває лише додатних значень на всій області визначення? Показати відповідь Д . Якщо графік квадратичної функції набуває лише додатних значень на всій області визначення, то він повинен весь лежати вище осі х. Таккій умові задовольняє тільки графік Д. НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y = x + 2 y = −x 2 Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) ...
13 коментарів
Read more »

Трикутники та їх властивості

Види трикутників За кутами Гострокутний - всі кути гострі (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 <a 2 +b 2 ). Прямокутний - один з кутів прямий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 =a 2 +b 2 ). Тупокутний - один з кутів тупий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 >a 2 +b 2 ). За сторонами Різносторонній - всі сторони різні. Рівнобічний - дві сторони рівні (називаються бічними, третя - основою). Рівносторонній (правильний) - всі сторони рівні. Основні елементи трикутників Медіана - відрізок, який сполучає вершину трикутника з серединою протилежної сторони (ділить сторону навпіл). Медіани трикутника перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться у відношенні 2:1, починаючи від вершини. Висота - відрізок, який проведений з вершини трикутника перпендикулярно до протилежної сторони. Бісектриса - відрізок, який проведено з вершини до протилежної сторони і який ділить к...
5 коментарів
Read more »

Рекомендований допис

Solving Linear Equations with One Variable: A Step-by-Step Guide

Struggling with math variables? This step-by-step guide breaks down linear equations into simple, manageable steps. From basic properties of equality to complex examples with fractions, you'll find everything you need to master the basics and gain confidence in your algebra skills. Dive in to see solved examples and test yourself with our interactive quiz at the end! An equation is an equality that contains a variable. You are required to find a number that, when substituted for the variable, yields a correct numerical equality (the same numbers on the left and right sides of the equality). In other words, you need to find the solution of the equation . For example, in the equation 2x - 6x + 8 = 7x - 3, we can substitute 1 for the variable x and obtain a correct numerical equality, since 2(1) - 6(1) + 8 = 2 - 6 + 8 = 4 and 7(1) - 3 = 7 - 3 = 4. Therefore, x = 1 is a solution of the equation. When solving equations, we may encounter the following cases: the equation has no s...
Дописати коментар