Прямокутник — це фундамент шкільної геометрії. Його властивості здаються простими, але саме на них базуються складні комбіновані задачі НМТ. Однією з найважливіших властивостей прямокутника є рівність його діагоналей та їх перетин у центрі симетрії, що дозволяє легко переходити від лінійних розмірів до кутових величин.
На цій сторінці ми зібрали актуальні завдання, включаючи приклади з НМТ. Ви знайдете розбір тригонометричних відношень у прямокутних трикутниках, що утворюються всередині фігури, задачі на бісектриси, які в певних конфігураціях утворюють рівнобедрений трикутник, та комбінації з колами. Вивчайте розв'язання нижче, щоб навчитися бачити приховані зв'язки між елементами фігур!
Прямокутник - паралелограм, у якого всі кути рівні
Властивості прямокутника
Завдання 1. На рисунку зображено прямокутник ABCD. Точка K лежить на стороні AD. Визначте довжину сторони AD, якщо BK = d, ∠AKB = α, ∠KCD = β.
Властивості прямокутника
- Протилежні сторони прямокутника рівні
- Діагоналі прямокутника рівні
- Діагоналі прямокутника перетинаються і точкою перетину діляться навпіл
- У прямокутника всі кути прямі (90°)
d(sinα + cosα tgβ)
d(cosα + sinα tgβ)
d(sinα + cosαtgβ
d(cosα + sinαtgβ
d(cosα + sinα sinβ)
Показати відповідь
Б.
В прямокутному трикутнику BАК cos∠AKB = АК : ВК. Звідси АК = ВК ∙ cos∠AKB = dcosα. Крім того, sin∠AKB = АB : ВК. Звідси АB = ВК ∙ sin∠AKB = dsinα. Так як ABCD прямокутник, то CD = AB = dsinα. В прямокутному трикутнику CKD tg∠KCD = KD : CD. Звідси KD = CD ∙ tg∠KCD = dsinαtgβ. AD = AK + KD = dcosα + dsinαtgβ = d(cosα + sinαtgβ).
В прямокутному трикутнику BАК cos∠AKB = АК : ВК. Звідси АК = ВК ∙ cos∠AKB = dcosα. Крім того, sin∠AKB = АB : ВК. Звідси АB = ВК ∙ sin∠AKB = dsinα. Так як ABCD прямокутник, то CD = AB = dsinα. В прямокутному трикутнику CKD tg∠KCD = KD : CD. Звідси KD = CD ∙ tg∠KCD = dsinαtgβ. AD = AK + KD = dcosα + dsinαtgβ = d(cosα + sinαtgβ).
Завдання 2. Довжини сторін АВ та ВС прямокутника АВСD відносяться як 2:5, а його периметр дорівнює 28 см. Визначте довжину більшої сторони цього прямокутника.
10 см
20 см
7 см
14 см
8 см
Показати відповідь
А.
Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює х. Тоді АВ = 2х, ВС = 5х. Периметр прямокутника дорівнює Р = 2(АВ + ВС) = 2(2х + 5х) = 2 · 7x = 14x, що за умовою дорівнює 28 см. Маємо рівняння 14х = 28, звідки х = 28 : 14 = 2. Більша сторона ВС дорівнює 5 · 2 = 10 см.
Завдання 3. У прямокутнику АВСD: ВС = 80, АС = 100. Через точки М і К, що належать сторонам АВ і ВС відповідно, проведено пряму, паралельну АС. Знайдіть довжину більшої сторони трикутника МВК, якщо ВК = 20.
Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює х. Тоді АВ = 2х, ВС = 5х. Периметр прямокутника дорівнює Р = 2(АВ + ВС) = 2(2х + 5х) = 2 · 7x = 14x, що за умовою дорівнює 28 см. Маємо рівняння 14х = 28, звідки х = 28 : 14 = 2. Більша сторона ВС дорівнює 5 · 2 = 10 см.
60
50
30
25
15
Показати відповідь
Г.
Так як в трикутнику ВМК кут В прямий, то цей трикутник є прямокутним і найбільша сторона в ньому - гіпотенуза МК. Трикутники ВМК і ВАС подібні (МК∥АС за умовою, звідси ∠BMK = ∠BAC, ∠BKM = ∠BCA). Для подібних трикутників відношення відповідних сторін рівні. Маємо ВК:ВС = МК:АС. Підставимо відомі значення, маємо: 20:80 = МК:100. Тоді МК = 20 · 100 : 80 = 2000 : 80 = 25 см.
Завдання 4. Бісектриса кута А прямокутника ABCD перетинає сторону ВС і діагональ BD у точках К і Р відповідно (див. рисунок). Визначте градусну міру кута BPK, якщо ∠BDA = 30°.
105°
115°
75°
95°
125°
Показати відповідь
А.
Так як кут A прямий і АК - бісектриса, то ∠PAD = 90° : 2 = 45°. Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, то в трикутнику APD ∠APD = 180° - ∠PAD - ∠PDA = 180° - 45° - 30° = 105°. Кути BPK та APD є вертикальними, тому вони рівні. Отже ∠BPK = 105°.
Завдання 5. На рисунку зображено прямокутник АВСD, ∠CAD = 35°. Визначте градусну міру ∠CОD.
Так як кут A прямий і АК - бісектриса, то ∠PAD = 90° : 2 = 45°. Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, то в трикутнику APD ∠APD = 180° - ∠PAD - ∠PDA = 180° - 45° - 30° = 105°. Кути BPK та APD є вертикальними, тому вони рівні. Отже ∠BPK = 105°.
35°
55°
65°
70°
145°
Показати відповідь
Г. Так як кут A прямий, то ∠BAO = 90° - ∠COD = 55°. У прямокутнику діагоналі рівні і точкою перетину діляться навпіл. Отже ВО = АО і трикутник ВОА рівнобедрений. Тоді в ньому кут В дорівнює куту А. В цьому трикутнику ∠O = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 55° - 55° = 70°. Кути ВОА і COD вертикальні, тому вони рівні. Отже ∠CОD = 70°.
Завдання 6. На рисунку зображено прямокутник ABCD та коло із центром у точці О, яка є серединою діагоналі BD. Це коло дотикається сторін ВС та AD й перетинає діагональ BD у точках К і М. ВК = 8 см, КМ = 10 см.
1. Визначте довжину діагоналі AС (у см).2. Визначте периметр прямокутника АBСD (у см).
Показати відповідь
26; 68.
1. Оскільки точка О - середина діагоналі прямокутника, яка є центром симетрії, то маємо симетричний малюнок відносно точки О і тоді MD = BK = 8 см. Тоді BD = BK + KM + MD = 8 + 10 + 8 = 26 см. Так як у прямокутника діагоналі рівні, то АС = BD = 26 см.
2. Відрізок КМ є діаметром кола і тому він дорівнює стороні АВ (так як коло дотикається сторін прямокутника). Отже АВ = 10 см. З прямокутного трикутника ABD за теоремою Піфагора AD² = BD² - AB² = 26² - 10² = (26 - 10)(26 + 10) = 16 · 36. Тоді AD = 4 · 6 = 24 см. Р = 2(АВ + AD) = 2(10 + 24) = 2 · 34 = 68 см.
Завдання 7. Бісектриса кута А прямокутника ABCD перетинає його більшу сторону ВС в точці М. Визначте радіус кола (у см), описаного навколо прямокутника, якщо ВС = 24 см, АМ = 10√2 см.
1. Оскільки точка О - середина діагоналі прямокутника, яка є центром симетрії, то маємо симетричний малюнок відносно точки О і тоді MD = BK = 8 см. Тоді BD = BK + KM + MD = 8 + 10 + 8 = 26 см. Так як у прямокутника діагоналі рівні, то АС = BD = 26 см.
2. Відрізок КМ є діаметром кола і тому він дорівнює стороні АВ (так як коло дотикається сторін прямокутника). Отже АВ = 10 см. З прямокутного трикутника ABD за теоремою Піфагора AD² = BD² - AB² = 26² - 10² = (26 - 10)(26 + 10) = 16 · 36. Тоді AD = 4 · 6 = 24 см. Р = 2(АВ + AD) = 2(10 + 24) = 2 · 34 = 68 см.
Показати відповідь
13.
Так як маємо паралельні прямі AD та ВС і січну АM, то кути DAM та ВMA рівні (як внутрішні різносторонні). Так як кути ВАМ та DAM також рівні (АМ-бісектриса), то кути ВАМ і ВМА рівні. Відповідно прямокутний трикутник АВМ є рівнобедреним (ВА = ВМ). За теоремою Піфагора AM² = AB² + BM². Якщо підставити замість ВМ АВ маємо AВ² + AВ² = 100 · 2, звідки АВ² = 100 і АВ = 10 см. В прямокутному трикутнику АВС за теоремою Піфагора АС² = АВ² + ВС² = 10² + 24² = 100 + 576 = 676, звідки АС = 26. Так як радіус кола, описаного навколо прямокутника, дорівнює половині діагоналі прямокутника, то R = AC : 2 = 26 : 2 = 13 см.
Завдання 8. На рисунку зображено прямокутник ABCD і рівносторонній трикутник АВК, периметри яких відповідно дорівнюють 20 см і 12 см. Знайдіть периметр п’ятикутника AKBCD.
Показати відповідь
24.
Оскільки трикутник рівносторонній, то його сторона 12:3 = 4 см. PAKBCD = AD + DC + CB + BK + KA = (AD + DC + CB + BA) + KA = PABCD + KA = 20 + 4 = 24 см.
Оскільки трикутник рівносторонній, то його сторона 12:3 = 4 см. PAKBCD = AD + DC + CB + BK + KA = (AD + DC + CB + BA) + KA = PABCD + KA = 20 + 4 = 24 см.
Коментарі