Прямокутник та його властивості

Прямокутник - паралелограм, у якого всі кути рівні
Властивості прямокутника

• Протилежні сторони прямокутника рівні
• Діагоналі прямокутника рівні
• Діагоналі прямокутника перетинаються і точкою перетину поділяються навпіл
• У прямокутника всі кути прямі (90^o)
1. 2020. Довжини сторін АВ та ВС прямокутника АВСD відносяться як 2:5, а його периметр дорівнює 28 см. Визначте довжину більшої сторони цього прямокутника.

   А	Б	В	Г	Д
   10 см	20 см	7 см	14 см	8 см

   Відповідь

   А.
   Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює х. Тоді АВ=2х, ВС=5х. Периметр прямокутника дорівнює Р=2(АВ+ВС)=2(2х+5х)=2⋅7x=14x, що за умоою дорівнює 28 см. Маємо рівняння 14х=28, звідки х=28:14=2. Більша сторона ВС дорівнює 5⋅2=10 см.
2. У прямокутнику АВСD: ВС=80, АС=100. Через точки М і К, що належать сторонам АВ і ВС відповідно, проведено пряму, паралельну АС. Знайдіть довжину більшої сторони трикутника МВК, якщо ВК=20.

   А	Б	В	Г	Д
   60	50	30	25	15

   Відповідь

   Г.

   

   Так як в трикутнику ВМК кут В прямий, то цей трикутник є прямокутним і найбільша сторона в ньому - гіпотенуза МК. Трикутники ВМК і ВАС подібні (МК||АС за умовою,звідси ∠BMK=∠BAC, ∠BKM=∠BCA). Для подібних трикутників відношення відповідних сторін рівні. Маємо ВК:ВС=МК:АС. Підставимо відомі значення, маємо: 20:80=МК:100. Тоді МК=20⋅100:80=2000:80=25 см.
3. Бісектриса кута А прямокутника ABCD перетинає сторону ВС і діагональ BD у точках К і Р відповідно (див. рисунок). Визначте градусну мірку кута BPK, якщо ∠BDA=30⁰.

   

   А	Б	В	Г	Д
   1050	1150	750	950	1250

   Відповідь

   А.
   Так як кут A прямий і АК - бісектриса, то ∠PAD=90⁰:2=45⁰. Так як в трикутнику сума кутів дорівнює 180⁰, то в трикутнику APD ∠APD=180⁰-∠PAD-∠PDA=180⁰-45⁰-30⁰=105⁰. Кути BPK та APD є вертикальними, тому вони рівні. Отже В прямокутнику діагоналі рівні і точкою перетину діляться навпіл. Отже∠BPK=105⁰.
4. На рисунку зображено прямокутник АВСD, ∠CAD=35⁰. Визначте градусну міру ∠CОD.

   

   А	Б	В	Г	Д
   350	550	650	700	1450

   Відповідь

   Г.
   Так як кут A прямий, то ∠BAO=90⁰-∠COD=55⁰. В прямокутнику діагоналі рівні і точкою перетину діляться навпіл. Отже ВО=АО і трикутник ВОА рівнобедрений. Тоді в ньому кут В дорівнює куту А. В цьому трикутнику ∠O=180⁰-∠A-∠B=180⁰-55⁰-55⁰=70⁰. Кути ВОА і COD вертикальні, тому вони рівні. Отже∠CОD=70⁰.
5. 2020. На рисунку зображено прямокутник ABCD та коло із центром у точці О, яка є серединою диагоналі BD. Це коло дотикається сторін ВС та AD й перетинає діагональ BD у точках К і М. ВК=8 см, КМ=10 см.

   

   1. Визначте довжину діагоналі AС (у см).
   2. Визначте периметр прямокутника АBСD (у см).
   Відповідь

   26; 68.
   1. Так як точка О - середина діагоналі прямокутника, яка є центром симетрії, то маємо симетричний малюнок відносно точки О і тоді MD=BK=8 см. Тоді BD=BK+KM+MD=8+10+8=26 см. Так як у прямокутника діагоналі рівні, то АС=BD=26 см.
   2. Відрізок КМ є діаметром кола і тому він дорівнює стороні АВ (так як коло дотикається сторін прямокутника). Отже АВ=10 см. З прямокутного трикутника ABD за теоремою Піфагора AD²=BD²-AB²=26²-10²=(26-10)(26+10)=16⋅36. Тоді AD=4⋅6=24 см. Р=2(АВ+AD)=2(10+24)=2⋅34=68 см.
6. Бісектриса кута А прямокутника ABCD перетинає його більшу сторону ВС в точці М. Визначте радіус кола (у см), описаного навколо прямокутника, якщо ВС=24 см, АМ=10см.
   Відповідь

   13.

   

   Так як маємо паралельні прямі AD та ВС і січну АС, то кути DAM та ВMA рівні (як внутрішні різносторонні). Так як кути ВАМ та DAM також рівні (АМ-бісектриса), то кути ВАМ і ВМА рівні. Відповідно прямокутний трикутник АВМ є рівнобедреним (ВА=ВМ). За теоремою Піфагора AM²=AB²+BM². Якщо підставити замість ВМ АВ маємо AВ²+AВ²=100⋅2, звідки АВ²=100 і АВ=10 см. В прямокутному трикутнику АВС за теоремою Піфагора АС²=АВ²+ВС²=10²+24²=100+576=676, звідки АС=26. Так як радіус кола, описаного навколо прямокутника, дорівнює половині діагоналі прямокутника, то R=AC:2=26:2=13 см.
7. На рисунку зображено прямокутник ABCD і рівносторонній трикутник АВК, периметри яких відповідно дорівнюють 20 см і 12 см. Знайдіть периметр п’ятикутника AKBCD.

   

   Відповідь

   24.
   Оскільки трикутник рівносторонній, то його сторона 12:3=4 см. P_AKBCD=AD+DC+CB+BK+KA=(AD+DC+CB+BA)+KA=P_ABCD+KA=20+4=24 см.

⇐V.3. Паралелограм та його властивості

До змісту

⇒V.5. Ромб та його властивості