Геометрична прогресія

Геометрична прогресія — це послідовність, де кожне наступне число утворюється шляхом множення попереднього на стале число (знаменник). Якщо арифметична прогресія — це "сходинки" (додавання), то геометрична — це справжній "ліфт" або "гірка" (множення). У тестах НМТ важливо розрізняти зростаючі, спадні та нескінченно спадні прогресії, адже для кожної з них існують свої нюанси обчислень.

На цій сторінці ви знайдете розбір типових завдань: від простих прикладів на різницю сум до складних систем рівнянь та задач на властивість сусідніх членів. Зверніть особливу увагу на нескінченно спадну прогресію — це єдиний випадок у шкільній математиці, де ми можемо "додати" нескінченну кількість чисел і отримати конкретний фінішний результат. Переходьте до завдань нижче, щоб відшліфувати свої навички!

---

Геометрична прогресія
1. Знаходження n-го члена геометричної прогресії: b_n=b₁⋅q^n-1
2. Знаходження суми перших n членів геометричної прогресії: S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}
3. Знаходження суми всіх членів спадної геометричної прогресії (|q|<1): S=\frac{b_1}{1-q}
4. Співвідношення між сусідніми членами прогресії: (b_n)²=b_n-1⋅b_n+1
1. НМТ 2024. Сума перших п’яти членів геометричної прогресії (b_n) дорівнює 32, а сума перших чотирьох її членів дорівнює 20. Визначте b₅.

   А	Б	В	Г	Д
   1,6	52	11,4	–12	12

   Показати відповідь

   Д.
   S₅ = b₁ + b₂ + b₃ + b₄ + b₅ S₄ = b₁ + b₂ + b₃ + b₄. Тоді b₅ = S₅ - S₄ = 32 - 20 = 12

---

2. У геометричній прогресії (b_n) задано b₃=0,2; b₄=\frac{3}{4}. Знайдіть знаменник цієї прогресії.

   А	Б	В	Г	Д
   \frac{15}{4}	\frac{3}{20}	\frac{3}{8}	\frac{4}{15}	\frac{11}{20}

   Показати відповідь

   А.
   q=\frac{b_4}{b_3}=\frac{\frac{3}{4}}{0,2}=\frac{3}{4\cdot0,2}=\frac{3}{0,8}=\frac{3\cdot5}{0,8\cdot5}=\frac{15}{4}.
3. У геометричній прогресії (b_n): b₁=\frac{1}{2}, b₂=\frac{1}{4}. Визначте b₄.

   А	Б	В	Г	Д
   -\frac{1}{4}	2	4	\frac{1}{16}	\frac{1}{32}

   Показати відповідь

   Г.
   q=b₂:b₁= \frac{1}{4}:\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\cdot2=\frac{1}{2}.
   b₄=b₁⋅q^4-1=\frac{1}{2}\cdot(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{16}.
4. Визначте знаменник геометричної прогресії (b_n), якщо b₉=24; b₆=\frac{1}{9}.

   А	Б	В	Г	Д
   \frac{2}{\sqrt[3]{3}}	-\frac{2}{\sqrt[3]{3}}	3	6	-6

   Показати відповідь

   Г.
   Виразимо b₉ через b₆: b₉=b₆⋅q^9-6=b₆⋅q³. Звідси q³=\frac{b_9}{b_6}=\frac{24}{\frac{1}{9}}=24⋅9=8⋅3⋅9=8⋅27=2³⋅3³=(2⋅3)³=6³. Звідси q=6.
5. Задано геометричну прогресію (b_n), для якої другий член b₂=12 і знаменник q= -2. Знайдіть b₁.

   А	Б	В	Г	Д
   24	14	10	-6	-24

   Показати відповідь

   Г.
   Так як b₂=b₁⋅q, то маємо рівняння 12=b₁⋅(-2). Звідси b₁=12:(-2)= -6.
6. Визначте знаменник геометричної прогресії (b_n), якщо b₉=24; b_6=-\frac{1}{9}.
   Показати відповідь

   -6.
   Виразимо b₉ через b₆: b₉=b₆⋅q^9-6=b₆⋅q³. Звідси q³=\frac{b_9}{b_6}=\frac{24}{-\frac{1}{9}}=24⋅(-9)=8⋅3⋅(-9)=8⋅(-27)=2³⋅(-3)³=(2⋅(-3))³=(-6)³. Звідси q= -6.
7. Обчисліть суму членів нескінченно спадної геометричної прогресії, у якої b_n=5·3^-n.
   Показати відповідь

   2,5.
   Перетворимо даний вираз. b_n=5⋅3^-n=5⋅(\frac{1}{3})^n=5⋅(\frac{1}{3})^{n-1}\cdot\frac{1}{3}=\frac{5}{3}\cdot(\frac{1}{3})^{n-1}. Звідси b₁=\frac{5}{3}, q=\frac{1}{3}. Підставимо дані значення у формули суми членів нескінченно спадної геометричної прогресії S=\frac{b_1}{1-q} і отримаємо S=\frac{\frac{5}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{\frac{5}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{5}{2}=2,5.
8. Знаменник геометричної прогресії дорівнює \frac{2}{3}, а сума чотирьох перших її членів дорівнює 65. Знайдіть перший член цієї прогресії.
   Показати відповідь

   27.
   З формули S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1} маємо 65=\frac{b_1((\frac{2}{3})^4-1)}{\frac{2}{3}-1}=\frac{b_1(\frac{16}{81}-1)}{-\frac{1}{3}}=\frac{b_1(-\frac{65}{81})}{-\frac{1}{3}}=b_1(-\frac{65}{81})\cdot{(-3)}=b_1\frac{65}{27}. Домножимо обидві частини рівності на 27 і отримаємо 65⋅27=b₁⋅65. Звідси b₁=27.
9. Добуток другого та четвертого членів геометричної прогресії дорівнює 36. Усі члени цієї прогресії є додатними.
   
   1. Визначте третій член цієї прогресії.
   2. Визначте перший член цієї прогресії, якщо він удвічі більший за другий її член.
   Показати відповідь

   6;24 .
   1. За властивістю членів геомертичної прогресії b₃²=b₂b₄=36. Тоді b₃=6 (за умовою b₃ додатнє)
   2. За умовою q=0,5 (другий член це половина першого). Тоді з формули b_n=b₁q^n-1 маємо b₃=b₁q². Підставимо відомі значення, маємо 6=b₁0,5², або 6=0,25b₁. Звідси, помноживши обидві частини рівності на 4, маємо b₁=24.
10. Четвертий член геометричної прогресії у 8 разів більше за перший член. Сума третього й четвертого членів цієї прогресії на 14 менша за їхній добуток. Визначте перший член прогресії, якщо всі її члени є додатними числами.
    Показати відповідь

    0,875.
    За формулою загального члена геометричної прогресії b₄=b₁q³. Підставимо співвідношення b₄=8b₁ з умови і маємо 8b₁=b₁q³, звідки q³=8 і q=2. Тоді b₃=4b₁. Маємо з умови b₃+b₄=b₃b₄-14, тоді 4b₁+8b₁=4b₁8b₁-14. Нехай b₁=х. Маємо рівняння:
    4x+8x=4x⋅8x-14
    12x=32x²-14
    32x²-12x-14=0
    16x²-6x-7=0
    D=(-6)²-4⋅16⋅(-7)=36+448=484
    x₁=\frac{6+\sqrt{484}}{2\cdot16}=\frac{6+\sqrt{4\cdot121}}{32}=\frac{6+2\cdot11}{32}=\frac{28}{32}=\frac{7}{8}=0,875
    x₂=\frac{6-\sqrt{484}}{2\cdot16}=\frac{6-\sqrt{4\cdot121}}{32}=\frac{6-2\cdot11}{32}=\frac{-16}{32}=-\frac{1}{2}. За умовою всі члени прогресії є додатними, тому друге значення не підходить. Маємо b₁=0,875.
11. Сума другого та четвертого членів зростаючої геометричної прогресії дорівнює 45, а їхній добуток — 324. Визначте перший член цієї прогресії.
    Показати відповідь

    4,5.
    З умови маємо систему \begin{cases}b_2+b_4=45,\\b_2\cdot{b_4}=324\end{cases}. Нехай b₂=x, а b₄=y. Маємо систему \begin{cases}x+y=45,\\xy=324\end{cases}. З першого рівняння маємо x=45-y і підставимо це значення x у друге рівняння. Маємо:
    (45-y)y=324
    45y-y²=324
    y²-45y+324=0
    D=45²-4⋅1⋅324=2025-1296=729.
    y₁=\frac{45+\sqrt{729}}{2\cdot1}=\frac{45+27}{2}=\frac{72}{2}=36.
    y₂=\frac{45-\sqrt{729}}{2\cdot1}=\frac{45-27}{2}=\frac{18}{2}=9.
    Тоді x₁=45-36=9, x₂=45-9=36. Повернемося до старої змінної. Маємо два розв'язки. Для першого маємо b₂=9, а b₄=36, а для другого маємо b₂=36, а b₄=9. Так як за умовою прогресія зростаюча, то залишаємо лише перший розв'язок. Тоді, так як b₄=b₂⋅q², то q²=\frac{b_4}{b_2}=\frac{36}{9}=4. Звідси q=2 і b₁=b₂:2=9:2=4,5.
12. Укажіть ненульове значення х, за якого значення виразів x-8, 3x та 6х є послідовними членами геометричної прогресії?
    Показати відповідь

    -16.
    Оскільки для членів геометричної прогресії правильна рівність (b_n)²=b_n-1⋅b_n+1, то маємо:
    (3x)²=(x-8)⋅6x
    9x²=6x²-48x
    3x²+48x=0
    3x(x+16)=0
    Звідси маємо х=0 та х= -16. Так як шукаємо ненульове значення, то х= -16.

⇐IІI.1. Арифметична прогресія

До змісту

⇒ ІІІ.3. Функція