Геометрична прогресія — це послідовність, де кожне наступне число утворюється шляхом множення попереднього на стале число (знаменник). Якщо арифметична прогресія — це "сходинки" (додавання), то геометрична — це справжній "ліфт" або "гірка" (множення). У тестах НМТ важливо розрізняти зростаючі, спадні та нескінченно спадні прогресії, адже для кожної з них існують свої нюанси обчислень.
На цій сторінці ви знайдете розбір типових завдань: від простих прикладів на різницю сум до складних систем рівнянь та задач на властивість сусідніх членів. Зверніть особливу увагу на нескінченно спадну прогресію — це єдиний випадок у шкільній математиці, де ми можемо "додати" нескінченну кількість чисел і отримати конкретний фінішний результат. Переходьте до завдань нижче, щоб відшліфувати свої навички!
Геометрична прогресія
1. Знаходження n-го члена геометричної прогресії: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹
2. Знаходження суми перших n членів геометричної прогресії: Sₙ = b₁(qⁿ - 1)q - 1
3. Знаходження суми всіх членів спадної геометричної прогресії (|q|<1): S = b₁1 -q
4. Співвідношення між сусідніми членами прогресії: (bₙ)² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁
Завдання 1. Сума перших п’яти членів геометричної прогресії (bₙ) дорівнює 32, а сума перших чотирьох її членів дорівнює 20. Визначте b₅.
1. Знаходження n-го члена геометричної прогресії: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹
2. Знаходження суми перших n членів геометричної прогресії: Sₙ = b₁(qⁿ - 1)q - 1
3. Знаходження суми всіх членів спадної геометричної прогресії (|q|<1): S = b₁1 -q
4. Співвідношення між сусідніми членами прогресії: (bₙ)² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁
1,6
52
11,4
–12
12
Показати відповідь
Д.
S₅ = b₁ + b₂ + b₃ + b₄ + b₅
S₄ = b₁ + b₂ + b₃ + b₄.
Тоді b₅ = S₅ - S₄ = 32 - 20 = 12
S₅ = b₁ + b₂ + b₃ + b₄ + b₅
S₄ = b₁ + b₂ + b₃ + b₄.
Тоді b₅ = S₅ - S₄ = 32 - 20 = 12
Завдання 2. У геометричній прогресії (bₙ) задано b₃ = 0,2; b₄ = 34. Знайдіть знаменник цієї прогресії.
154
320
38
415
1120
Показати відповідь
А.
q = b₄b₃ = ¾0,2 = 34 · 0,2 = 30,8 = 3 · 50,8 · 5 = 154.
Завдання 3. У геометричній прогресії (bₙ): b₁ = ½, b₂ = ¼. Визначте b₄.
q = b₄b₃ = ¾0,2 = 34 · 0,2 = 30,8 = 3 · 50,8 · 5 = 154.
-¼
2
4
116
132
Показати відповідь
Г.
q = b₂ : b₁ = ¼ : ½ = ¼ · 2 = ½.
b₄ = b₁ · q⁴⁻¹ = 12 · (12)³ = 12 · 18 = 116.
Завдання 4. Визначте знаменник геометричної прогресії (bₙ), якщо b₉ = 24; b₆ = 19.
q = b₂ : b₁ = ¼ : ½ = ¼ · 2 = ½.
b₄ = b₁ · q⁴⁻¹ = 12 · (12)³ = 12 · 18 = 116.
23√3
-23√3
3
6
-6
Показати відповідь
Г.
Виразимо b₉ через b₆: b₉ = b₆ · q⁹⁻⁶ = b₆ · q³. Звідси q³ = b₉ : b₆ = 24 : 19 = 24 · 9 = 8 · 3 · 9 = 8 · 27 = 2³ · 3³ = (2 · 3)³ = 6³. Звідси q = 6.
Завдання 5. Задано геометричну прогресію (bₙ), для якої другий член b₂ = 12 і знаменник q = -2. Знайдіть b₁.
Виразимо b₉ через b₆: b₉ = b₆ · q⁹⁻⁶ = b₆ · q³. Звідси q³ = b₉ : b₆ = 24 : 19 = 24 · 9 = 8 · 3 · 9 = 8 · 27 = 2³ · 3³ = (2 · 3)³ = 6³. Звідси q = 6.
24
14
10
-6
-24
Показати відповідь
Г.
Так як b₂ = b₁ · q, то маємо рівняння 12 = b₁ · (-2). Звідси b₁ = 12 : (-2) = -6.
Завдання 6. Визначте знаменник геометричної прогресії (bₙ), якщо b₉ = 24; b₆ = -19.
Так як b₂ = b₁ · q, то маємо рівняння 12 = b₁ · (-2). Звідси b₁ = 12 : (-2) = -6.
Показати відповідь
-6.
Виразимо b₉ через b₆: b₉ = b₆ · q⁹⁻⁶ = b₆ · q³. Звідси q³ = b₉ : b₆ = 24 : -19 = 24 · (-9) = 8 · 3 · (-9) = 8 · (-27) = 2³ · (-3)³ = (2 · (-3))³ = (-6)³. Звідси q = -6.
Завдання 7. Обчисліть суму членів нескінченно спадної геометричної прогресії, у якої bₙ = 5 · 3⁻ⁿ.
Виразимо b₉ через b₆: b₉ = b₆ · q⁹⁻⁶ = b₆ · q³. Звідси q³ = b₉ : b₆ = 24 : -19 = 24 · (-9) = 8 · 3 · (-9) = 8 · (-27) = 2³ · (-3)³ = (2 · (-3))³ = (-6)³. Звідси q = -6.
Показати відповідь
2,5.
b₁ = 5 · 3⁻¹ = 53. b₂ = 5 · 3⁻² = 59. q = b₂ : b₁ = 59 : 53 = 59 · 35 = 13. Підставимо дані значення у формулу суми членів нескінченно спадної геометричної прогресії S = b₁1 - q і отримаємо S = 531 - 13 = 5323 = 52 = 2,5.
Завдання 8. Знаменник геометричної прогресії дорівнює 23, а сума чотирьох перших її членів дорівнює 65. Знайдіть перший член цієї прогресії.
b₁ = 5 · 3⁻¹ = 53. b₂ = 5 · 3⁻² = 59. q = b₂ : b₁ = 59 : 53 = 59 · 35 = 13. Підставимо дані значення у формулу суми членів нескінченно спадної геометричної прогресії S = b₁1 - q і отримаємо S = 531 - 13 = 5323 = 52 = 2,5.
Показати відповідь
27.
З формули Sₙ = b₁(qⁿ - 1)q - 1 маємо 65 = b₁((23)⁴ - 1)23 - 1 = b₁(1681 - 1)-13 = b₁(-6581)-13 = b₁(-6581) · (-3) = b₁ · 6527. Домножимо обидві частини рівності на 27 і отримаємо 65 · 27 = b₁ · 65. Звідси b₁ = 27.
Завдання 9. Добуток другого та четвертого членів геометричної прогресії дорівнює 36. Усі члени цієї прогресії є додатними.
З формули Sₙ = b₁(qⁿ - 1)q - 1 маємо 65 = b₁((23)⁴ - 1)23 - 1 = b₁(1681 - 1)-13 = b₁(-6581)-13 = b₁(-6581) · (-3) = b₁ · 6527. Домножимо обидві частини рівності на 27 і отримаємо 65 · 27 = b₁ · 65. Звідси b₁ = 27.
- Визначте третій член цієї прогресії.
- Визначте перший член цієї прогресії, якщо він удвічі більший за другий її член.
Показати відповідь
6;24 .
1. За властивістю членів геометричної прогресії b₃² = b₂b₄ = 36. Тоді b₃ = 6 (оскільки всі члени прогресії додатні)
2. За умовою q = 0,5 (другий член це половина першого). Тоді з формули bₙ = b₁qⁿ⁻¹ маємо b₃ = b₁q². Підставимо відомі значення, маємо 6 = b₁0,5², або 6 = 0,25b₁. Звідси, помноживши обидві частини рівності на 4, маємо b₁ = 24.
Завдання 10. Четвертий член геометричної прогресії у 8 разів більше за перший член. Сума третього й четвертого членів цієї прогресії на 14 менша за їхній добуток. Визначте перший член прогресії, якщо всі її члени є додатними числами.
1. За властивістю членів геометричної прогресії b₃² = b₂b₄ = 36. Тоді b₃ = 6 (оскільки всі члени прогресії додатні)
2. За умовою q = 0,5 (другий член це половина першого). Тоді з формули bₙ = b₁qⁿ⁻¹ маємо b₃ = b₁q². Підставимо відомі значення, маємо 6 = b₁0,5², або 6 = 0,25b₁. Звідси, помноживши обидві частини рівності на 4, маємо b₁ = 24.
Показати відповідь
0,875.
За формулою загального члена геометричної прогресії b₄ = b₁q³. Підставимо співвідношення b₄ = 8b₁ з умови і маємо 8b₁ = b₁q³, звідки q³ = 8 і q = 2. Тоді b₃ = 4b₁. Маємо з умови b₃ + b₄ = b₃b₄ - 14, тоді 4b₁ + 8b₁ = 4b₁ · 8b₁ - 14. Нехай b₁ = х. Маємо рівняння:
4x + 8x = 4x · 8x - 14
12x = 32x² - 14
32x² - 12x - 14 = 0
16x² - 6x - 7 = 0
D = (-6)² - 4 · 16 · (-7) = 36 + 448 = 484
x₁ = 6 - √4842 · 16 = 6 - 2232 = -1632 = -12
x₂ = 6 + √4842 · 16 = 6 + 2232 = 2832 = 78 = 0,875.
За умовою всі члени прогресії є додатними, тому перше значення не підходить. Маємо b₁ = 0,875.
Завдання 11. Сума другого та четвертого членів зростаючої геометричної прогресії дорівнює 45, а їхній добуток — 324. Визначте перший член цієї прогресії.
За формулою загального члена геометричної прогресії b₄ = b₁q³. Підставимо співвідношення b₄ = 8b₁ з умови і маємо 8b₁ = b₁q³, звідки q³ = 8 і q = 2. Тоді b₃ = 4b₁. Маємо з умови b₃ + b₄ = b₃b₄ - 14, тоді 4b₁ + 8b₁ = 4b₁ · 8b₁ - 14. Нехай b₁ = х. Маємо рівняння:
4x + 8x = 4x · 8x - 14
12x = 32x² - 14
32x² - 12x - 14 = 0
16x² - 6x - 7 = 0
D = (-6)² - 4 · 16 · (-7) = 36 + 448 = 484
x₁ = 6 - √4842 · 16 = 6 - 2232 = -1632 = -12
x₂ = 6 + √4842 · 16 = 6 + 2232 = 2832 = 78 = 0,875.
За умовою всі члени прогресії є додатними, тому перше значення не підходить. Маємо b₁ = 0,875.
Показати відповідь
4,5.
З умови маємо b₂ + b₄ = 45, b₂ · b₄ = 324. Нехай b₂ = x, а b₄ = y. Маємо x + y = 45, x · y = 324. З першого рівняння маємо x = 45 - y і підставимо це значення x у друге рівняння. Маємо:
(45 - y)y = 324
45y - y² = 324
y² - 45y + 324 = 0
D = (-45)² - 4 · 1 · 324 = 2025 - 1296 = 729.
y₁ = 45 - √7292 · 1 = 45 - 272 = 182 = 9
y₂ = 45 + √7292 · 1 = 45 + 272 = 722 = 36.
Тоді x₁ = 45 - 9 = 36, x₂ = 45 - 36 = 9. Повернемося до старої змінної. Маємо два розв'язки. Для першого маємо b₂ = 36, а b₄ = 9, а для другого маємо b₂ = 9, а b₄ = 36. Так як за умовою прогресія зростаюча, то залишаємо лише другий розв'язок. Тоді, так як b₄ = b₂ · q², то q² = b₄ : b₂ = 36 : 9 = 4. Звідси q = 2 (прогресія зростаюча) і b₁ = b₂ : 2 = 9 : 2 = 4,5.
Завдання 12. Укажіть ненульове значення х, за якого значення виразів x - 8, 3x та 6х є послідовними членами геометричної прогресії?
З умови маємо b₂ + b₄ = 45, b₂ · b₄ = 324. Нехай b₂ = x, а b₄ = y. Маємо x + y = 45, x · y = 324. З першого рівняння маємо x = 45 - y і підставимо це значення x у друге рівняння. Маємо:
(45 - y)y = 324
45y - y² = 324
y² - 45y + 324 = 0
D = (-45)² - 4 · 1 · 324 = 2025 - 1296 = 729.
y₁ = 45 - √7292 · 1 = 45 - 272 = 182 = 9
y₂ = 45 + √7292 · 1 = 45 + 272 = 722 = 36.
Тоді x₁ = 45 - 9 = 36, x₂ = 45 - 36 = 9. Повернемося до старої змінної. Маємо два розв'язки. Для першого маємо b₂ = 36, а b₄ = 9, а для другого маємо b₂ = 9, а b₄ = 36. Так як за умовою прогресія зростаюча, то залишаємо лише другий розв'язок. Тоді, так як b₄ = b₂ · q², то q² = b₄ : b₂ = 36 : 9 = 4. Звідси q = 2 (прогресія зростаюча) і b₁ = b₂ : 2 = 9 : 2 = 4,5.
Показати відповідь
-16.
Оскільки для членів геометричної прогресії правильна рівність (bₙ)² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁, то маємо:
(3x)² = (x - 8) · 6x
9x² = 6x² - 48x
3x² + 48x = 0
3x(x + 16) = 0
Звідси маємо х = 0 та х = -16. Так як шукаємо ненульове значення, то х = -16.
Оскільки для членів геометричної прогресії правильна рівність (bₙ)² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁, то маємо:
(3x)² = (x - 8) · 6x
9x² = 6x² - 48x
3x² + 48x = 0
3x(x + 16) = 0
Звідси маємо х = 0 та х = -16. Так як шукаємо ненульове значення, то х = -16.
Коментарі