Геометрична прогресія — це послідовність, де кожне наступне число утворюється шляхом множення попереднього на стале число (знаменник). Якщо арифметична прогресія — це "сходинки" (додавання), то геометрична — це справжній "ліфт" або "гірка" (множення). У тестах НМТ важливо розрізняти зростаючі, спадні та нескінченно спадні прогресії, адже для кожної з них існують свої нюанси обчислень.
На цій сторінці ви знайдете розбір типових завдань: від простих прикладів на різницю сум до складних систем рівнянь та задач на властивість сусідніх членів. Зверніть особливу увагу на нескінченно спадну прогресію — це єдиний випадок у шкільній математиці, де ми можемо "додати" нескінченну кількість чисел і отримати конкретний фінішний результат. Переходьте до завдань нижче, щоб відшліфувати свої навички!
Геометрична прогресія
1. Знаходження n-го члена геометричної прогресії: bn = b₁ · qn-1
2. Знаходження суми перших n членів геометричної прогресії: S_n = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1}
3. Знаходження суми всіх членів спадної геометричної прогресії (|q|<1): S = \frac{b_1}{1-q}
4. Співвідношення між сусідніми членами прогресії: (bn)² = bn-1 · bn+1
Завдання 1. Сума перших п’яти членів геометричної прогресії (bn) дорівнює 32, а сума перших чотирьох її членів дорівнює 20. Визначте b₅.
1. Знаходження n-го члена геометричної прогресії: bn = b₁ · qn-1
2. Знаходження суми перших n членів геометричної прогресії: S_n = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1}
3. Знаходження суми всіх членів спадної геометричної прогресії (|q|<1): S = \frac{b_1}{1-q}
4. Співвідношення між сусідніми членами прогресії: (bn)² = bn-1 · bn+1
1,6
52
11,4
–12
12
Показати відповідь
Д.
S₅ = b₁ + b₂ + b₃ + b₄ + b₅
S₄ = b₁ + b₂ + b₃ + b₄.
Тоді b₅ = S₅ - S₄ = 32 - 20 = 12
S₅ = b₁ + b₂ + b₃ + b₄ + b₅
S₄ = b₁ + b₂ + b₃ + b₄.
Тоді b₅ = S₅ - S₄ = 32 - 20 = 12
Завдання 2. У геометричній прогресії (bn) задано b₃ = 0,2; b₄ = \frac{3}{4}. Знайдіть знаменник цієї прогресії.
\frac{15}{4}
\frac{3}{20}
\frac{3}{8}
\frac{4}{15}
\frac{11}{20}
Показати відповідь
А.
q = \frac{b_4}{b_3} = \frac{\frac{3}{4}}{0,2} = \frac{3}{4\cdot0,2} = \frac{3}{0,8} = \frac{3\cdot5}{0,8\cdot5} = \frac{15}{4}.
Завдання 3. У геометричній прогресії (bn): b₁ = \frac{1}{2}, b₂ = \frac{1}{4}. Визначте b₄.
q = \frac{b_4}{b_3} = \frac{\frac{3}{4}}{0,2} = \frac{3}{4\cdot0,2} = \frac{3}{0,8} = \frac{3\cdot5}{0,8\cdot5} = \frac{15}{4}.
-\frac{1}{4}
2
4
\frac{1}{16}
\frac{1}{32}
Показати відповідь
Г.
q = b₂:b₁ = \frac{1}{4}:\frac{1}{2} = \frac{1}{4}\cdot2 = \frac{1}{2}.
b₄ = b₁ · q4-1 = \frac{1}{2}\cdot(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{8} = \frac{1}{16}.
Завдання 4. Визначте знаменник геометричної прогресії (bn), якщо b₉ = 24; b₆ = \frac{1}{9}.
q = b₂:b₁ = \frac{1}{4}:\frac{1}{2} = \frac{1}{4}\cdot2 = \frac{1}{2}.
b₄ = b₁ · q4-1 = \frac{1}{2}\cdot(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{8} = \frac{1}{16}.
\frac{2}{\sqrt[3]{3}}
-\frac{2}{\sqrt[3]{3}}
3
6
-6
Показати відповідь
Г.
Виразимо b₉ через b₆: b₉ = b₆ · q9-6 = b₆ · q³. Звідси q³ = \frac{b_9}{b_6} = \frac{24}{\frac{1}{9}} = 24 · 9 = 8 · 3 · 9 = 8 · 27 = 2³ · 3³ = (2 · 3)³ = 6³. Звідси q = 6.
Завдання 5. Задано геометричну прогресію (bn), для якої другий член b₂ = 12 і знаменник q = -2. Знайдіть b₁.
Виразимо b₉ через b₆: b₉ = b₆ · q9-6 = b₆ · q³. Звідси q³ = \frac{b_9}{b_6} = \frac{24}{\frac{1}{9}} = 24 · 9 = 8 · 3 · 9 = 8 · 27 = 2³ · 3³ = (2 · 3)³ = 6³. Звідси q = 6.
24
14
10
-6
-24
Показати відповідь
Г.
Так як b₂ = b₁ · q, то маємо рівняння 12 = b₁ · (-2). Звідси b₁ = 12:(-2) = -6.
Завдання 6. Визначте знаменник геометричної прогресії (bn), якщо b₉ = 24; b_6 = -\frac{1}{9}.
Так як b₂ = b₁ · q, то маємо рівняння 12 = b₁ · (-2). Звідси b₁ = 12:(-2) = -6.
Показати відповідь
-6.
Виразимо b₉ через b₆: b₉ = b₆ · q9-6 = b₆ · q³. Звідси q³ = \frac{b_9}{b_6} = \frac{24}{-\frac{1}{9}} = 24 · (-9) = 8 · 3 · (-9) = 8 · (-27) = 2³ · (-3)³ = (2 · (-3))³ = (-6)³. Звідси q = -6.
Завдання 7. Обчисліть суму членів нескінченно спадної геометричної прогресії, у якої bn = 5·3-n.
Виразимо b₉ через b₆: b₉ = b₆ · q9-6 = b₆ · q³. Звідси q³ = \frac{b_9}{b_6} = \frac{24}{-\frac{1}{9}} = 24 · (-9) = 8 · 3 · (-9) = 8 · (-27) = 2³ · (-3)³ = (2 · (-3))³ = (-6)³. Звідси q = -6.
Показати відповідь
2,5.
Перетворимо даний вираз. bn = 5 · 3-n = 5 · (\frac{1}{3})^n = 5 · (\frac{1}{3})^{n-1}\cdot\frac{1}{3} = \frac{5}{3}\cdot(\frac{1}{3})^{n-1}. Звідси b₁ = \frac{5}{3}, q = \frac{1}{3}. Підставимо дані значення у формули суми членів нескінченно спадної геометричної прогресії S = \frac{b_1}{1-q} і отримаємо S = \frac{\frac{5}{3}}{1-\frac{1}{3}} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{5}{2} = 2,5.
Завдання 8. Знаменник геометричної прогресії дорівнює \frac{2}{3}, а сума чотирьох перших її членів дорівнює 65. Знайдіть перший член цієї прогресії.
Перетворимо даний вираз. bn = 5 · 3-n = 5 · (\frac{1}{3})^n = 5 · (\frac{1}{3})^{n-1}\cdot\frac{1}{3} = \frac{5}{3}\cdot(\frac{1}{3})^{n-1}. Звідси b₁ = \frac{5}{3}, q = \frac{1}{3}. Підставимо дані значення у формули суми членів нескінченно спадної геометричної прогресії S = \frac{b_1}{1-q} і отримаємо S = \frac{\frac{5}{3}}{1-\frac{1}{3}} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{5}{2} = 2,5.
Показати відповідь
27.
З формули Sn = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1} маємо 65 = \frac{b_1((\frac{2}{3})^4-1)}{\frac{2}{3}-1} = \frac{b_1(\frac{16}{81}-1)}{-\frac{1}{3}} = \frac{b_1(-\frac{65}{81})}{-\frac{1}{3}} = b_1(-\frac{65}{81})\cdot{(-3)} = b_1\frac{65}{27}. Домножимо обидві частини рівності на 27 і отримаємо 65 · 27 = b₁ · 65. Звідси b₁ = 27.
Завдання 9. Добуток другого та четвертого членів геометричної прогресії дорівнює 36. Усі члени цієї прогресії є додатними.
З формули Sn = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1} маємо 65 = \frac{b_1((\frac{2}{3})^4-1)}{\frac{2}{3}-1} = \frac{b_1(\frac{16}{81}-1)}{-\frac{1}{3}} = \frac{b_1(-\frac{65}{81})}{-\frac{1}{3}} = b_1(-\frac{65}{81})\cdot{(-3)} = b_1\frac{65}{27}. Домножимо обидві частини рівності на 27 і отримаємо 65 · 27 = b₁ · 65. Звідси b₁ = 27.
- Визначте третій член цієї прогресії.
- Визначте перший член цієї прогресії, якщо він удвічі більший за другий її член.
Показати відповідь
6;24 .
1. За властивістю членів геометричної прогресії b₃² = b₂b₄ = 36. Тоді b₃ = 6 (за умовою b₃ додатне)
2. За умовою q = 0,5 (другий член це половина першого). Тоді з формули bn = b₁qn-1 маємо b₃ = b₁q². Підставимо відомі значення, маємо 6 = b₁0,5², або 6 = 0,25b₁. Звідси, помноживши обидві частини рівності на 4, маємо b₁ = 24.
Завдання 10. Четвертий член геометричної прогресії у 8 разів більше за перший член. Сума третього й четвертого членів цієї прогресії на 14 менша за їхній добуток. Визначте перший член прогресії, якщо всі її члени є додатними числами.
1. За властивістю членів геометричної прогресії b₃² = b₂b₄ = 36. Тоді b₃ = 6 (за умовою b₃ додатне)
2. За умовою q = 0,5 (другий член це половина першого). Тоді з формули bn = b₁qn-1 маємо b₃ = b₁q². Підставимо відомі значення, маємо 6 = b₁0,5², або 6 = 0,25b₁. Звідси, помноживши обидві частини рівності на 4, маємо b₁ = 24.
Показати відповідь
0,875.
За формулою загального члена геометричної прогресії b₄ = b₁q³. Підставимо співвідношення b₄ = 8b₁ з умови і маємо 8b₁ = b₁q³, звідки q³ = 8 і q = 2. Тоді b₃ = 4b₁. Маємо з умови b₃+b₄ = b₃b₄-14, тоді 4b₁+8b₁ = 4b₁8b₁-14. Нехай b₁ = х. Маємо рівняння:
4x+8x = 4x · 8x-14
12x = 32x²-14
32x²-12x-14 = 0
16x²-6x-7 = 0
D = (-6)²-4 · 16 · (-7) = 36+448 = 484
x₁ = \frac{6+\sqrt{484}}{2\cdot16} = \frac{6+\sqrt{4\cdot121}}{32} = \frac{6+2\cdot11}{32} = \frac{28}{32} = \frac{7}{8} = 0,875
x₂ = \frac{6-\sqrt{484}}{2\cdot16} = \frac{6-\sqrt{4\cdot121}}{32} = \frac{6-2\cdot11}{32} = \frac{-16}{32} = -\frac{1}{2}. За умовою всі члени прогресії є додатними, тому друге значення не підходить. Маємо b₁ = 0,875.
Завдання 11. Сума другого та четвертого членів зростаючої геометричної прогресії дорівнює 45, а їхній добуток — 324. Визначте перший член цієї прогресії.
За формулою загального члена геометричної прогресії b₄ = b₁q³. Підставимо співвідношення b₄ = 8b₁ з умови і маємо 8b₁ = b₁q³, звідки q³ = 8 і q = 2. Тоді b₃ = 4b₁. Маємо з умови b₃+b₄ = b₃b₄-14, тоді 4b₁+8b₁ = 4b₁8b₁-14. Нехай b₁ = х. Маємо рівняння:
4x+8x = 4x · 8x-14
12x = 32x²-14
32x²-12x-14 = 0
16x²-6x-7 = 0
D = (-6)²-4 · 16 · (-7) = 36+448 = 484
x₁ = \frac{6+\sqrt{484}}{2\cdot16} = \frac{6+\sqrt{4\cdot121}}{32} = \frac{6+2\cdot11}{32} = \frac{28}{32} = \frac{7}{8} = 0,875
x₂ = \frac{6-\sqrt{484}}{2\cdot16} = \frac{6-\sqrt{4\cdot121}}{32} = \frac{6-2\cdot11}{32} = \frac{-16}{32} = -\frac{1}{2}. За умовою всі члени прогресії є додатними, тому друге значення не підходить. Маємо b₁ = 0,875.
Показати відповідь
4,5.
З умови маємо систему \begin{cases}b_2+b_4 = 45,\\b_2\cdot{b_4} = 324\end{cases}. Нехай b₂ = x, а b₄ = y. Маємо систему \begin{cases}x+y = 45,\\xy = 324\end{cases}. З першого рівняння маємо x = 45-y і підставимо це значення x у друге рівняння. Маємо:
(45-y)y = 324
45y-y² = 324
y²-45y+324 = 0
D = 45²-4 · 1 · 324 = 2025-1296 = 729.
y₁ = \frac{45+\sqrt{729}}{2\cdot1} = \frac{45+27}{2} = \frac{72}{2} = 36.
y₂ = \frac{45-\sqrt{729}}{2\cdot1} = \frac{45-27}{2} = \frac{18}{2} = 9.
Тоді x₁ = 45-36 = 9, x₂ = 45-9 = 36. Повернемося до старої змінної. Маємо два розв'язки. Для першого маємо b₂ = 9, а b₄ = 36, а для другого маємо b₂ = 36, а b₄ = 9. Так як за умовою прогресія зростаюча, то залишаємо лише перший розв'язок. Тоді, так як b₄ = b₂ · q², то q² = \frac{b_4}{b_2} = \frac{36}{9} = 4. Звідси q = 2 і b₁ = b₂:2 = 9:2 = 4,5.
Завдання 12. Укажіть ненульове значення х, за якого значення виразів x-8, 3x та 6х є послідовними членами геометричної прогресії?
З умови маємо систему \begin{cases}b_2+b_4 = 45,\\b_2\cdot{b_4} = 324\end{cases}. Нехай b₂ = x, а b₄ = y. Маємо систему \begin{cases}x+y = 45,\\xy = 324\end{cases}. З першого рівняння маємо x = 45-y і підставимо це значення x у друге рівняння. Маємо:
(45-y)y = 324
45y-y² = 324
y²-45y+324 = 0
D = 45²-4 · 1 · 324 = 2025-1296 = 729.
y₁ = \frac{45+\sqrt{729}}{2\cdot1} = \frac{45+27}{2} = \frac{72}{2} = 36.
y₂ = \frac{45-\sqrt{729}}{2\cdot1} = \frac{45-27}{2} = \frac{18}{2} = 9.
Тоді x₁ = 45-36 = 9, x₂ = 45-9 = 36. Повернемося до старої змінної. Маємо два розв'язки. Для першого маємо b₂ = 9, а b₄ = 36, а для другого маємо b₂ = 36, а b₄ = 9. Так як за умовою прогресія зростаюча, то залишаємо лише перший розв'язок. Тоді, так як b₄ = b₂ · q², то q² = \frac{b_4}{b_2} = \frac{36}{9} = 4. Звідси q = 2 і b₁ = b₂:2 = 9:2 = 4,5.
Показати відповідь
-16.
Оскільки для членів геометричної прогресії правильна рівність (bn)² = bn-1 · bn+1, то маємо:
(3x)² = (x-8) · 6x
9x² = 6x²-48x
3x²+48x = 0
3x(x+16) = 0
Звідси маємо х = 0 та х = -16. Так як шукаємо ненульове значення, то х = -16.
Оскільки для членів геометричної прогресії правильна рівність (bn)² = bn-1 · bn+1, то маємо:
(3x)² = (x-8) · 6x
9x² = 6x²-48x
3x²+48x = 0
3x(x+16) = 0
Звідси маємо х = 0 та х = -16. Так як шукаємо ненульове значення, то х = -16.
Коментарі