Геометрична прогресія

Геометрична прогресія — це послідовність, де кожне наступне число утворюється шляхом множення попереднього на стале число (знаменник). Якщо арифметична прогресія — це "сходинки" (додавання), то геометрична — це справжній "ліфт" або "гірка" (множення). У тестах НМТ важливо розрізняти зростаючі, спадні та нескінченно спадні прогресії, адже для кожної з них існують свої нюанси обчислень.

На цій сторінці ви знайдете розбір типових завдань: від простих прикладів на різницю сум до складних систем рівнянь та задач на властивість сусідніх членів. Зверніть особливу увагу на нескінченно спадну прогресію — це єдиний випадок у шкільній математиці, де ми можемо "додати" нескінченну кількість чисел і отримати конкретний фінішний результат. Переходьте до завдань нижче, щоб відшліфувати свої навички!

Геометрична прогресія
1. Знаходження n-го члена геометричної прогресії: b_n=b₁⋅q^n-1
2. Знаходження суми перших n членів геометричної прогресії: $S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$
3. Знаходження суми всіх членів спадної геометричної прогресії (|q|<1): $S=\frac{b_1}{1-q}$
4. Співвідношення між сусідніми членами прогресії: (b_n)²=b_n-1⋅b_n+1

НМТ 2024. Сума перших п’яти членів геометричної прогресії (b_n) дорівнює 32, а сума перших чотирьох її членів дорівнює 20. Визначте b₅.

А Б В Г Д

1,6 52 11,4 –12 12

Показати відповідь
Д.
S₅ = b₁ + b₂ + b₃ + b₄ + b₅ S₄ = b₁ + b₂ + b₃ + b₄. Тоді b₅ = S₅ - S₄ = 32 - 20 = 12

У геометричній прогресії (b_n) задано b₃=0,2; b₄= $\frac{3}{4}$ . Знайдіть знаменник цієї прогресії.

А Б В Г Д

$\frac{15}{4}$ $\frac{3}{20}$ $\frac{3}{8}$ $\frac{4}{15}$ $\frac{11}{20}$

Показати відповідь
А.
q= $\frac{b_4}{b_3}=\frac{\frac{3}{4}}{0,2}$ = $\frac{3}{4\cdot0,2}=\frac{3}{0,8}$ = $\frac{3\cdot5}{0,8\cdot5}=\frac{15}{4}$ .
У геометричній прогресії (b_n): b₁= $\frac{1}{2}$ , b₂= $\frac{1}{4}$ . Визначте b₄.

А Б В Г Д

$-\frac{1}{4}$ 2 4 $\frac{1}{16}$ $\frac{1}{32}$

Показати відповідь
Г.
q=b₂:b₁= $\frac{1}{4}:\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\cdot2=\frac{1}{2}$ .
b₄=b₁⋅q^4-1= $\frac{1}{2}\cdot(\frac{1}{2})^3$ = $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{16}$ .
Визначте знаменник геометричної прогресії (b_n), якщо b₉=24; b₆= $\frac{1}{9}$ .

А Б В Г Д

$\frac{2}{\sqrt[3]{3}}$ $-\frac{2}{\sqrt[3]{3}}$ 3 6 -6

Показати відповідь
Г.
Виразимо b₉ через b₆: b₉=b₆⋅q^9-6=b₆⋅q³. Звідси q³= $\frac{b_9}{b_6}=\frac{24}{\frac{1}{9}}$ =24⋅9=8⋅3⋅9=8⋅27=2³⋅3³=(2⋅3)³=6³. Звідси q=6.
Задано геометричну прогресію (b_n), для якої другий член b₂=12 і знаменник q= -2. Знайдіть b₁.

А Б В Г Д

24 14 10 -6 -24

Показати відповідь
Г.
Так як b₂=b₁⋅q, то маємо рівняння 12=b₁⋅(-2). Звідси b₁=12:(-2)= -6.
Визначте знаменник геометричної прогресії (b_n), якщо b₉=24; $b_6=-\frac{1}{9}$ .
Показати відповідь
-6.
Виразимо b₉ через b₆: b₉=b₆⋅q^9-6=b₆⋅q³. Звідси q³= $\frac{b_9}{b_6}=\frac{24}{-\frac{1}{9}}$ =24⋅(-9)=8⋅3⋅(-9)=8⋅(-27)=2³⋅(-3)³=(2⋅(-3))³=(-6)³. Звідси q= -6.
Обчисліть суму членів нескінченно спадної геометричної прогресії, у якої b_n=5·3^-n.
Показати відповідь
2,5.
Перетворимо даний вираз. b_n=5⋅3^-n=5⋅ $(\frac{1}{3})^n$ =5⋅ $(\frac{1}{3})^{n-1}\cdot\frac{1}{3}=\frac{5}{3}\cdot(\frac{1}{3})^{n-1}$ . Звідси b₁= $\frac{5}{3}$ , q= $\frac{1}{3}$ . Підставимо дані значення у формули суми членів нескінченно спадної геометричної прогресії S= $\frac{b_1}{1-q}$ і отримаємо S= $\frac{\frac{5}{3}}{1-\frac{1}{3}}$ = $\frac{\frac{5}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{5}{2}$ =2,5.
Знаменник геометричної прогресії дорівнює $\frac{2}{3}$ , а сума чотирьох перших її членів дорівнює 65. Знайдіть перший член цієї прогресії.
Показати відповідь
27.
З формули S_n= $\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$ маємо 65= $\frac{b_1((\frac{2}{3})^4-1)}{\frac{2}{3}-1}$ = $\frac{b_1(\frac{16}{81}-1)}{-\frac{1}{3}}$ = $\frac{b_1(-\frac{65}{81})}{-\frac{1}{3}}$ = $b_1(-\frac{65}{81})\cdot{(-3)}=b_1\frac{65}{27}$ . Домножимо обидві частини рівності на 27 і отримаємо 65⋅27=b₁⋅65. Звідси b₁=27.
Добуток другого та четвертого членів геометричної прогресії дорівнює 36. Усі члени цієї прогресії є додатними.
1. Визначте третій член цієї прогресії.
2. Визначте перший член цієї прогресії, якщо він удвічі більший за другий її член.
Показати відповідь
6;24 .
1. За властивістю членів геомертичної прогресії b₃²=b₂b₄=36. Тоді b₃=6 (за умовою b₃ додатнє)
2. За умовою q=0,5 (другий член це половина першого). Тоді з формули b_n=b₁q^n-1 маємо b₃=b₁q². Підставимо відомі значення, маємо 6=b₁0,5², або 6=0,25b₁. Звідси, помноживши обидві частини рівності на 4, маємо b₁=24.
Четвертий член геометричної прогресії у 8 разів більше за перший член. Сума третього й четвертого членів цієї прогресії на 14 менша за їхній добуток. Визначте перший член прогресії, якщо всі її члени є додатними числами.
Показати відповідь
0,875.
За формулою загального члена геометричної прогресії b₄=b₁q³. Підставимо співвідношення b₄=8b₁ з умови і маємо 8b₁=b₁q³, звідки q³=8 і q=2. Тоді b₃=4b₁. Маємо з умови b₃+b₄=b₃b₄-14, тоді 4b₁+8b₁=4b₁8b₁-14. Нехай b₁=х. Маємо рівняння:
4x+8x=4x⋅8x-14
12x=32x²-14
32x²-12x-14=0
16x²-6x-7=0
D=(-6)²-4⋅16⋅(-7)=36+448=484
x₁= $\frac{6+\sqrt{484}}{2\cdot16}=\frac{6+\sqrt{4\cdot121}}{32}=\frac{6+2\cdot11}{32}=\frac{28}{32}=\frac{7}{8}$ =0,875
x₂= $\frac{6-\sqrt{484}}{2\cdot16}=\frac{6-\sqrt{4\cdot121}}{32}=\frac{6-2\cdot11}{32}=\frac{-16}{32}=-\frac{1}{2}$ . За умовою всі члени прогресії є додатними, тому друге значення не підходить. Маємо b₁=0,875.
Сума другого та четвертого членів зростаючої геометричної прогресії дорівнює 45, а їхній добуток — 324. Визначте перший член цієї прогресії.
Показати відповідь
4,5.
З умови маємо систему $\begin{cases}b_2+b_4=45,\\b_2\cdot{b_4}=324\end{cases}$ . Нехай b₂=x, а b₄=y. Маємо систему $\begin{cases}x+y=45,\\xy=324\end{cases}$ . З першого рівняння маємо x=45-y і підставимо це значення x у друге рівняння. Маємо:
(45-y)y=324
45y-y²=324
y²-45y+324=0
D=45²-4⋅1⋅324=2025-1296=729.
y₁= $\frac{45+\sqrt{729}}{2\cdot1}=\frac{45+27}{2}=\frac{72}{2}$ =36.
y₂= $\frac{45-\sqrt{729}}{2\cdot1}=\frac{45-27}{2}=\frac{18}{2}$ =9.
Тоді x₁=45-36=9, x₂=45-9=36. Повернемося до старої змінної. Маємо два розв'язки. Для першого маємо b₂=9, а b₄=36, а для другого маємо b₂=36, а b₄=9. Так як за умовою прогресія зростаюча, то залишаємо лише перший розв'язок. Тоді, так як b₄=b₂⋅q², то q²= $\frac{b_4}{b_2}=\frac{36}{9}$ =4. Звідси q=2 і b₁=b₂:2=9:2=4,5.
Укажіть ненульове значення х, за якого значення виразів x-8, 3x та 6х є послідовними членами геометричної прогресії?
Показати відповідь
-16.
Оскільки для членів геометричної прогресії правильна рівність (b_n)²=b_n-1⋅b_n+1, то маємо:
(3x)²=(x-8)⋅6x
9x²=6x²-48x
3x²+48x=0
3x(x+16)=0
Звідси маємо х=0 та х= -16. Так як шукаємо ненульове значення, то х= -16.