На цій сторінці ми розглянемо дробово-раціональні рівняння: задачі, де невідоме стоїть у знаменнику. Тут ми навчимося використовувати властивість пропорції та завжди пам'ятати про область допустимих значень (ОДЗ).
Завдання 1. Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння x18 - 2x = 14.
(-∞; -3)
[-3; 0)
[0; 4)
[4; 8)
[8; +∞)
Показати відповідь
В.
x18 - 2x = 14
ОДЗ: 18 - 2x ≠ 0
2x ≠ 18
x ≠ 18 : 2
x ≠ 9
За основною властивістю пропорції маємо:
4 ∙ х = (18 - 2x) ∙ 1
4x = 18 - 2x
4x + 2x = 18
6x = 18
x = 18 : 6
x = 3.
Отримане число належить ОДЗ та проміжку [0; 4).
x18 - 2x = 14
ОДЗ: 18 - 2x ≠ 0
2x ≠ 18
x ≠ 18 : 2
x ≠ 9
За основною властивістю пропорції маємо:
4 ∙ х = (18 - 2x) ∙ 1
4x = 18 - 2x
4x + 2x = 18
6x = 18
x = 18 : 6
x = 3.
Отримане число належить ОДЗ та проміжку [0; 4).
Завдання 2. Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння x9 - x = 12?
(-∞; -5]
(-5; -2]
(-2; 2]
(2; 5]
(5; +∞)
Показати відповідь
Г.
x9 - x = 12
ОДЗ: 9 - x ≠ 0
x ≠ 9
x · 2 = (9 - x) · 1
2x = 9 - x
2x + x = 9
3x = 9
x = 3.
Отриманий корінь належить ОДЗ та проміжку (2; 5].
Завдання 3. Укажіть число, що є коренем рівняння 8x = 25.
x9 - x = 12
ОДЗ: 9 - x ≠ 0
x ≠ 9
x · 2 = (9 - x) · 1
2x = 9 - x
2x + x = 9
3x = 9
x = 3.
Отриманий корінь належить ОДЗ та проміжку (2; 5].
20
165
10
80
120
Показати відповідь
А.
8x = 25
ОДЗ: x ≠ 0
За основною властивістю пропорції маємо:
2х = 8 · 5
2x = 40
x = 40 : 2
x = 20. Отриманий корінь задовольняє ОДЗ.
Завдання 4. Розв’яжіть рівняння 12x = 12 - 3x.
8x = 25
ОДЗ: x ≠ 0
За основною властивістю пропорції маємо:
2х = 8 · 5
2x = 40
x = 40 : 2
x = 20. Отриманий корінь задовольняє ОДЗ.
-2
-0,4
2,5
0,4
2
Показати відповідь
Г.
12x = 12 - 3x
ОДЗ: 2x ≠ 0 та 2 - 3x ≠ 0
Маємо x ≠ 0 та x ≠ ⅔
Якщо обидві частини рівності є дробами, то їх можна одночасно перевернути. Маємо
2х = 2 - 3х
2х + 3х = 2
5х = 2
х = 2 : 5
x = 0,4. Отриманий корінь задовольняє ОДЗ.
Завдання 5. Розв’яжіть рівняння 2x = 5.
12x = 12 - 3x
ОДЗ: 2x ≠ 0 та 2 - 3x ≠ 0
Маємо x ≠ 0 та x ≠ ⅔
Якщо обидві частини рівності є дробами, то їх можна одночасно перевернути. Маємо
2х = 2 - 3х
2х + 3х = 2
5х = 2
х = 2 : 5
x = 0,4. Отриманий корінь задовольняє ОДЗ.
0,1
10
2,5
0,4
-3
Показати відповідь
Г.
2x = 5
ОДЗ: x ≠ 0
2 = 5x
x = 2 : 5
x = 0,4. Отриманий корінь задовольняє ОДЗ.
Завдання 6. Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння 3x - 2x + 1 = 7.
2x = 5
ОДЗ: x ≠ 0
2 = 5x
x = 2 : 5
x = 0,4. Отриманий корінь задовольняє ОДЗ.
(-∞; -2]
(-2; 0]
(0; 2]
(2; 4]
(4; +∞)
Показати відповідь
А.
3x - 2x + 1 = 7
ОДЗ: x + 1 ≠ 0, тому х ≠ -1
3x - 2 = 7(x + 1)
3x - 2 = 7x + 7
3x - 7x = 7 + 2
-4x = 9
x = 9 : (-4)
x = -2,25
Отриманий корінь задовольняє ОДЗ та належить проміжку (-∞; -2].
Завдання 7. Укажіть рівняння, коренем якого є число 2.
3x - 2x + 1 = 7
ОДЗ: x + 1 ≠ 0, тому х ≠ -1
3x - 2 = 7(x + 1)
3x - 2 = 7x + 7
3x - 7x = 7 + 2
-4x = 9
x = 9 : (-4)
x = -2,25
Отриманий корінь задовольняє ОДЗ та належить проміжку (-∞; -2].
1x - 2 = 0
х² + 4 = 0
5x + 12 = 2
3x - 6x = 0
x + 2 = x
Показати відповідь
Г.
А) Оскільки при х = 2 знаменник перетворюється на 0, а ділити на 0 не можна, то х = 2 не входить в ОДЗ рівняння.
Б) 2² + 4 = 4 + 4 = 8 ≠ 0
В) 5 · 2 + 12 = 10 + 12 = 22 ≠ 2
Г) 3 · 2 - 62 = 6 - 62 = 0
Д) 2 + 2 = 4 ≠ 2.
А) Оскільки при х = 2 знаменник перетворюється на 0, а ділити на 0 не можна, то х = 2 не входить в ОДЗ рівняння.
Б) 2² + 4 = 4 + 4 = 8 ≠ 0
В) 5 · 2 + 12 = 10 + 12 = 22 ≠ 2
Г) 3 · 2 - 62 = 6 - 62 = 0
Д) 2 + 2 = 4 ≠ 2.
Коментарі