На цій сторінці ми розберемо квадратні рівняння: класичні завдання, які розв'язуються через дискримінант або швидку теорему Вієта. Ви також знайдете приклади біквадратних рівнянь, що зводяться до квадратних через заміну змінної.
Для розв'язування квадратного рівняння ax² + bx + c = 0 спочатку знаходимо дискримінант за формулою D = b² - 4ac, після чого:
- якщо D > 0, то маємо два різних корені, які обчислюються за формулами x₁ = - b - √D2a, x₂ = - b + √D2a;
- якщо D = 0, то маємо два однакових корені, які обчислюються за формулою x = - b2a;
- якщо D < 0, то рівняння коренів не має.
Завдання 1. Обчисліть суму коренів рівняння х² + 3х - 4=0.
- якщо D > 0, то маємо два різних корені, які обчислюються за формулами x₁ = - b - √D2a, x₂ = - b + √D2a;
- якщо D = 0, то маємо два однакових корені, які обчислюються за формулою x = - b2a;
- якщо D < 0, то рівняння коренів не має.
Теорема Вієта: Для зведеного квадратного рівняння x² + bx + c = 0 сума коренів дорівнює коефіцієнту при змінній x з протилежним знаком, а їх добуток — вільному члену: x₁ + x₂ = - b, x₁ · x₂ = c
Лайфхак. Якщо в рівнянні ax² + bx + c = 0 сума всіх коефіцієнтів дорівнює нулю (a + b + c = 0) і D > 0, то x₁ = 1, а x₂ = c/a.
-4
-3
3
4
Показати відповідь
Б.
Оскільки D = 3² - 4 · 1 · (-4) = 9 + 16 = 25, що більше нуля, то рівняння має корені. Тоді сума коренів за теоремою Вієта дорівнює коефіцієнту при х з протилежним значенням, тобто -3.
Завдання 2. Розв’яжіть рівняння 2x(x + 2) = 5(x + 2).
Оскільки D = 3² - 4 · 1 · (-4) = 9 + 16 = 25, що більше нуля, то рівняння має корені. Тоді сума коренів за теоремою Вієта дорівнює коефіцієнту при х з протилежним значенням, тобто -3.
-2,5; 2
-2
2,5
-2; 0,4
-2; 2,5
Показати відповідь
Д.
І спосіб. Розкриємо дужки. Маємо: 2x² + 4x = 5x + 10
2x² + 4x - 5x - 10 = 0
2x² - x - 10 = 0
D = (-1)² - 4 · 2 · ( - 10) = 1 + 80 = 81.
x₁ = 1 - √812 · 2 = 1 - 94 = -84 = -2
x₂ = 1 + √812 · 2 = 1 + 94 = 104 = 2,5
ІІ спосіб. Нехай x + 2 ≠ 0 (x ≠ -2). Тоді обидві частини рівняння можна на нього поділити. Отримаємо просте рівняння 2х = 5, звідки х = 2,5. Перевіримо, чи є х = -2 коренем. Підставимо у рівняння, маємо -4 · 0 = 5 · 0, звідки 0 = 0. Оскільки отримали вірну рівність, то х = -2 також є коренем.
Завдання 3. Розв’яжіть рівняння х² = 25x.
І спосіб. Розкриємо дужки. Маємо: 2x² + 4x = 5x + 10
2x² + 4x - 5x - 10 = 0
2x² - x - 10 = 0
D = (-1)² - 4 · 2 · ( - 10) = 1 + 80 = 81.
x₁ = 1 - √812 · 2 = 1 - 94 = -84 = -2
x₂ = 1 + √812 · 2 = 1 + 94 = 104 = 2,5
ІІ спосіб. Нехай x + 2 ≠ 0 (x ≠ -2). Тоді обидві частини рівняння можна на нього поділити. Отримаємо просте рівняння 2х = 5, звідки х = 2,5. Перевіримо, чи є х = -2 коренем. Підставимо у рівняння, маємо -4 · 0 = 5 · 0, звідки 0 = 0. Оскільки отримали вірну рівність, то х = -2 також є коренем.
-5; 5
0; 25
25
-5; 0; 5
-25; 0
Показати відповідь
Б.
х² = 25x
х² - 25x = 0
x(x - 25) = 0
x = 0 або х - 25 = 0, звідки х = 25.
Завдання 4. Розв’яжіть рівняння х² - 4х + 3 = 0.
х² = 25x
х² - 25x = 0
x(x - 25) = 0
x = 0 або х - 25 = 0, звідки х = 25.
-4; 3
1; 3
-3; -1
-2; 3
-1; 4
Показати відповідь
Б.
х² - 4х + 3 = 0
D = (-4)² - 4 · 1 · 3 = 16 - 12 = 4.
І спосіб. x₁ = 4 - √42 · 1 = 4 - 22 = 22 = 1
x₂ = 4 + √42 · 1 = 4 + 22 = 62 = 3
ІІ спосіб. Оскільки D > 0 і сума коефіцієнтів 1 - 4 + 3 = 0, то x₁ = 1, x₂ = 3 : 1 = 3.
Завдання 5. Розв’яжіть рівняння х² - 10 = 5х + 14.
х² - 4х + 3 = 0
D = (-4)² - 4 · 1 · 3 = 16 - 12 = 4.
І спосіб. x₁ = 4 - √42 · 1 = 4 - 22 = 22 = 1
x₂ = 4 + √42 · 1 = 4 + 22 = 62 = 3
ІІ спосіб. Оскільки D > 0 і сума коефіцієнтів 1 - 4 + 3 = 0, то x₁ = 1, x₂ = 3 : 1 = 3.
-8; 3
-4; -1
-3; 8
1; 4
0; 5
Показати відповідь
В.
х² - 10 = 5х + 14
х² - 10 - 5х - 14 = 0
x² - 5x - 24 = 0
D = (-5)² - 4 · 1 · ( - 24) = 25 + 96 = 121.
x₁ = 5 - √1212 · 1 = 5 - 112 = -62 = -3.
x₂ = 5 + √1212 · 1 = 5 + 112 = 162 = 8.
Завдання 6. Обчисліть добуток коренів рівняння х² + 6х - 55 = 0.
х² - 10 = 5х + 14
х² - 10 - 5х - 14 = 0
x² - 5x - 24 = 0
D = (-5)² - 4 · 1 · ( - 24) = 25 + 96 = 121.
x₁ = 5 - √1212 · 1 = 5 - 112 = -62 = -3.
x₂ = 5 + √1212 · 1 = 5 + 112 = 162 = 8.
-55
55
-6
6
-49
Показати відповідь
А.
х² + 6х - 55 = 0
D = 6² - 4 · 1 · ( - 55) = 36 + 220 = 256.
Оскільки дискримінант додатний, то рівняння має два корені і їх добуток отримаємо за теоремою Вієта (добуток коренів квадратного рівняння дорівнює вільному члену рівняння). З умови x₁ · x₂ = - 55.
Завдання 7. Розв’яжіть рівняння x⁴ - x² - 20 = 0. У відповідь запишіть добуток усіх його дійсних коренів.
х² + 6х - 55 = 0
D = 6² - 4 · 1 · ( - 55) = 36 + 220 = 256.
Оскільки дискримінант додатний, то рівняння має два корені і їх добуток отримаємо за теоремою Вієта (добуток коренів квадратного рівняння дорівнює вільному члену рівняння). З умови x₁ · x₂ = - 55.
Показати відповідь
-5.
Зробимо заміну x² = t, t ≥ 0.
t² - t - 20 = 0
D = (-1)² - 4 · 1 · (-20) = 1 + 80 = 81.
t₁ = 1 - √812 · 1 = 1 - 92 = -82 = -4
t₂ = 1 + √812 · 1 = 1 + 92 = 102 = 5
Перший корінь не задовольняє умові t ≥ 0. Підставимо другий корінь у заміну. Маємо x² = 5. Звідси х = ±√5. Добуток коренів √5 · (-√5) = - 5.
Зробимо заміну x² = t, t ≥ 0.
t² - t - 20 = 0
D = (-1)² - 4 · 1 · (-20) = 1 + 80 = 81.
t₁ = 1 - √812 · 1 = 1 - 92 = -82 = -4
t₂ = 1 + √812 · 1 = 1 + 92 = 102 = 5
Перший корінь не задовольняє умові t ≥ 0. Підставимо другий корінь у заміну. Маємо x² = 5. Звідси х = ±√5. Добуток коренів √5 · (-√5) = - 5.
Коментарі