Шлях до математики: кроки успіху: Похідна функції

Правила диференціювання

(C)'=0
(C⋅f(x))'=C⋅f'(x)
(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)
(f(x)⋅g(x))'=f'(x)⋅g(x)+f(x)⋅g'(x)
( $\frac{f(x)}{g(x)}$ )'= $\frac{f'(x)\cdot{g(x)}-f(x)\cdot{g'(x)}}{g^2(x)}$
(f(g(x)))'=f'_g⋅g'_x

Таблиця похідних

(xⁿ)'=nx^n-1
(sinx)'=cosx
(cosx)'=-sinx
(tgx)'= $\frac{1}{cos^2x}$
(ctgx)'= $\frac{-1}{sins^2x}$
(a^x)'=a^xlna
(e^x)'=e^x
(log_ax)'= $\frac{1}{xlna}$
(lnx)'= $\frac{1}{x}$

Укажіть похідну функції f(x)= $\frac{2x-3}{x}$ .

А Б В Г Д

f'(x)= $\frac{3}{x^2}$ f'(x)= $\frac{3}{x}$ f'(x)= $\frac{4x-3}{x^2}$ f'(x)= - $\frac{3}{x^2}$ f'(x)= 2

Відповідь

А.
f'(x)= $\frac{(2x-3)^{'}x-(2x-3)x^{'}}{x^2}$ = $\frac{2\cdot{x}-(2x-3)}{x^2}$ = $\frac{2x-2x+3}{x^2}$ = $\frac{3}{x^2}$
Укажіть похідну функції y= - $\frac{7}{6}$ x⁶+5x⁴-14.

А Б В Г Д

y'= - $\frac{x^7}{6}$ +x⁵-14x y'= -7x⁵+20x³-14 y'= -7x⁵+20x³ y'= -7x⁷+25x⁵ y'= $-\frac{7}{36}$ x⁵+ $\frac{5}{4}$ x³

Відповідь

В.
y'=- $\frac{7}{6}$ ⋅6x^6-1+5⋅4x^4-1-0=-7x⁵+20x³.
Укажіть похідну функції y=sinx-cosx+1.

А Б В Г Д

y'=cosx+sinx+1 y'=cosx-sinx y'= -cosx-sinx+x y'= -cosx-sinx y'=cosx+sinx

Відповідь

Д.
y'=(sinx-cosx+1)'=cosx-(-sinx)=cosx+sinx.

Знайдіть похідну функції y=е^-2х.

А Б В Г Д

y'=е^-2х y'=-2е^-2х y'= -2xе^-2х-1 y'=2е^-2х y'= - $\frac{1}{2}$ е^-2х

Відповідь

Б.
y'=(е^-2х)'=е^-2х⋅(-2x)'=-2е^-2х.
Укажіть похідну функції f(x)=x(x³+1).

А Б В Г Д

f'(x)=4x³+1 f'(x)=4x³ f'(x)=3x² f'(x)=3x²+1 f'(x)= $\frac{x^5}{5}$ + $\frac{x^2}{2}$

Відповідь

А.
y'=(x(x³+1))'=(x⁴+x)'=4x³+1.
Функція f(x) має в точці х₀ похідну f'(х₀)= -4. Визначте значення похідної функції g(x)=2·f(x)+7x-3 в точці х₀.

А Б В Г Д

15 12 -1 -4 -8

Відповідь

В.
g'(x)=(2·f(x)+7x-3)'=2f'(x)+7=2⋅(-4)+7= -8+7= -1.

Застосування похідних

Механічний зміст: похідна функції дорівнює миттєвій швидкості v=s'
Геометричний зміст: похідна функції в точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка функції в цю точку y'=k=tgφ
Рівняння дотичної: у=f'(x₀)(x-x₀)+y₀

Укажіть рівняння прямої, яка може бути дотичною до графіка функції у=f(x) у точці з абсцисою х₀=2, якщо f'(2)= -3.

А Б В Г Д

y= - $\frac{3}{2}$ x+1 y=3x-2 y=2x+3 y= $\frac{3}{2}$ x-1 y= -3x+2

Відповідь

Д.
Значення похідної функції в точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної (коефіцієнту біля х). За умовою це значення дорівнює -3, отже, кутовий коефіцієнт дотичної також -3.
Укажіть рівняння дотичної, проведеної до графіка функції у=f(x) у точці з абсцисою х₀=1, якщо f(х₀)=5, f'(х₀)= 2.

А Б В Г Д

y=1+2(x-5) y=5+2(x+1) y=2+5(x-1) y=2+5(x+1) y=5+2(x-1)

Відповідь

Д.
Рівняння дотичної знаходиться за формулою у=f'(х₀)(х-х₀)+f(х₀). Підставимо у дану формулу значення з умови. Маємо у=2(х-1)+5.
На рисунку зображено графік функції у=f(x) і дотичну до нього в точці з абсцисою х₀. Знайдіть значення f'(х₀).

А Б В Г Д

-2 -1 0 1 2

Відповідь

Б.
Значення похідної функції в точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної (тангенсу кута нахилу дотичної до додатного напрямку осі Ох). За малюнком маємо кут нахилу 135⁰, тангенс кута якого -1. Отже, кутовий коефіцієнт дотичної і значення похідної в точці дотику дорівнює -1.
Тіло рухається прямолінійно за законом s(t)= $\frac{2}{3}$ t³-2t²+4t (час t вимірюється у секундах, шлях s - в метрах). Визначте прискорення його руху в момент t=10 с.

А Б В Г Д

164 м/с² 60 м/с² 36 м/с² 20 м/с² 10 м/с²

Відповідь

В.
v=s'=( $\frac{2}{3}$ t³-2t²+4t)'= $\frac{2}{3}$ ⋅3t²-4t+4=2t²-4t+4.
a=v'=(2t²-4t+4)'=4t-4.
a(10)=4⋅10-4=40-4=36.
Знайдіть значення похідної функції f(x)=4cosx+5 у точці х₀= $\frac{\pi}{2}$ .
Відповідь

-4.
f'(x)=(4cosx+5)'= -4sinx.
f'( $\frac{\pi}{2}$ )= -4sin $\frac{\pi}{2}$ =-4⋅1= -4.
Обчисліть значення похідної функції y= $\sqrt{13-3x}$ у точці х₀=3.
Відповідь

-0,75.
y'=( $\sqrt{13-3x}$ )'=( $(13-3x)^\frac{1}{2}$ )'= $\frac{1}{2}(13-3x)^\frac{-1}{2}$ ⋅(-3)= $\frac{-3}{2\sqrt{13-3x}}$ .
y'(3)= $\frac{-3}{2\sqrt{13-3\cdot3}}=\frac{-3}{2\sqrt{13-9}}$ = $\frac{-3}{2\sqrt{4}}=\frac{-3}{2\cdot2}$ =-0,75.
Знайдіть значення похідної функції f(x)= $\sqrt{10-3x}$ у точці х₀= -2.
Відповідь

-0,375.
f'(x)=( $\sqrt{10-3x}$ )'=( $(10-3x)^\frac{1}{2}$ )'= $\frac{1}{2}(10-3x)^\frac{-1}{2}$ ⋅(-3)= $\frac{-3}{2\sqrt{10-3x}}$ .
f'(-2)= $\frac{-3}{2\sqrt{10-3\cdot(-2)}}=\frac{-3}{2\sqrt{10+6}}$ = $\frac{-3}{2\sqrt{16}}=\frac{-3}{2\cdot4}$ =-0,375.
Функція f(x) в точці х₀= 5 має похідну f'(5)= -1. Обчисліть значення похідної функції g(x)=f(x)·x в точці х₀, якщо f(5)=3.
Відповідь

-2.
g'(x)=(f(x)·x)'=f'(x)·x+f(x)·(x)'=f'(x)·x+f(x).
g'(5)= -1·5+3= -5+3= -2.
Матеріальна точка рухається за законом s(t)=2t²+3t, де s вимірюється в метрах, а t у секундах. Знайдіть значення t (у секундах), при якому миттєва швидкість матеріальної точки дорівнює 76 м/с.
Відповідь

18,25.
v=s'=(2t²+3t)'=4t+3.
76=4t+3
4t=76-3
t=73:4
t=18,25.

Знаходження найбільшого та найменшого значення функції на відрізку

Знайти похідну функції.
Прирівняти отриманий вираз до 0 і розв'язати відповідне рівняння.
Підставити в умову замість х точки, які отримали в попередньому пункті (підставляємо лише ті, що входять в проміжок, заданий в умові)
Обчислити значення функції на кінцях відрізка
Вибрати серед значень, отриманих в п.3 та п.4 найбільше та найменше значення

Знайдіть найменше значення функції y=x³-12x на відрізку [0;3].
Відповідь

-16.
Знайдемо похідну функції у. у'=(x³-12x)'=3x²-12.
Знайдемо критичні точки.3x²-12=0
3x²=12
x²=4
x=±2
Оскільки точка х= -2 не входить в заданий проміжок, то далі її не розглядаємо.
Оскільки найменше значення функція досягає або на межах області визначення, або в критичних точках, то далі просто обчислимо значення функції в критичній точці та на кінцях відрізка.
y(2)=2³-12⋅2=8-24= -16
y(0)=0³-12⋅0=0-0=0
y(3)=3³-12⋅3=27-36= -9
Найменше значення з отриманих -16.
Знайдіть найбільше значення функції y=12x-x³ на відрізку [0;3].
Відповідь

16.
Знайдемо похідну функції у. у'=(12x-x³)'=12-3x².
Знайдемо критичні точки.12-3x²=0
3x²=12
x²=4
x=±2
Оскільки точка х= -2 не входить в заданий проміжок, то далі її не розглядаємо.
Оскільки найбільше значення функція досягає або на межах області визначення, або в критичних точках, то далі просто обчислимо значення функції в критичній точці та на кінцях відрізка.
y(2)=12⋅2-2³=24-8=16
y(0)=12⋅0-0³=0-0=0
y(3)=12⋅3-3³=36-27=9
Найбільше значення з отриманих 16.
За якого значення параметра с найменше значення функції y=x⁴-8х²+с на відрізку [-1;3] дорівнює 30?
Відповідь

46.
Знайдемо похідну функції у. у'=(x⁴-8х²+с)'=4x³-16х.
Знайдемо критичні точки.4x³-16х=0
4x(х²-4)=0
x=0 або х=±2
Оскільки точка х= -2 не входить в заданий проміжок, то далі її не розглядаємо.
Нанесемо отримані точки на координатну пряму та визначимо знак похідної в проміжках.
За властивостями похідної маємо наступну поведінку функції відповідно до знаку похідної:
Отже, найменше значення буде досягатися або в точці -1, або в точці 2.
y(-1)=1-8+c=c-7
y(2)=16-32+c=c-16
З цих двох значення найменше с-16. Оскільки за умовою воно дорівнює 30, то маємо с-16=30, звідки с=46.
Відрізок 12 см завдовжки поділили на дві частини так, що сума площ квадратів, побудованих на цих частинах, стала найменшою. Обчисліть суму площ квадратів.
Відповідь

72.
Нехай перша частина х, тоді друга частина 12-х. Складемо функцію у, яка відображає суму площ квадратів, побудованих на цих частинах. у=х²+(12-х)²=х²+144-24x+х²=2х²-24x+144. Знайдемо похідну функції y. у'=(2х²-24x+144)'=4x-24.
Знайдемо критичні точки.4x-24=0
4x=24
x=6
При х більше 6 похідна має додатний знак (функція зростає); при х менше 6 знак похідної від'ємний (функція спадає). Отже точка х=6 є точкою мінімуму. При цьому відрізки розбиті на дві рівні частини довжиною 6 см. Площа кожного квадрата тоді 36 см², а сума - 72 см².
Усі вершини трапеції ABCD належать графіку функції у=36-х², побудованому в прямокутній декартовій системі координат. Більша основа AD лежить на осі х. Яку найбільшу площу може мати трапеція ABCD?
Відповідь

256.
Побудуємо графік функції та розмістимо на ньому вершини трапеції.
Тоді координати точки А (-6;0), точки D (6;0). Нехай абсциса точки С дорівнює х. Тоді координати точки С (х;36-х²), а точки В (-х;36-х²) (маємо рівнобічну трапецію). Тоді основи трапеції ВС=2х, AD=12, а висота 36-х². За формулою площі трапеції маємо S=(BC+AD)⋅h:2=(2x+12)⋅(36-х²):2=(x+6)(36-х²)=36x-x³+216-6x². Знайдемо похідну функції S'=36-3x²-12x=-3(x²+4x-12). Знайдемо нулі похідної. -3(x²+4x-12)=0
x²+4x-12=0
D=4²-4⋅1⋅(-12)=16+48=64
x₁= $\frac{-4+\sqrt{64}}{2\cdot1}=\frac{-4+8}{2}=\frac{4}{2}$ =2
x₂= $\frac{-4-\sqrt{64}}{2\cdot1}=\frac{-4-8}{2}=\frac{-12}{2}$ =-6.
Функція S набуває найбільшого значення в тій точці, де похідна змінює свій знак з "+" на "-". Так як графіком похідної є парабола, гілки якої спрямовані униз, то вона змінює свій знак з "+" на "-" у більшій з двох точок перетину. Отже, площа бути мати найбільшого значення при х=2. Тоді S=(2+6)(36-4)=8⋅32=256.

⇐ІІІ.5.
Функція за графіками

До змісту

⇒ІІІ.7.
Первісна функції

Шлях до математики: кроки успіху

Пошук матеріалів

Похідна функції

3 коментарі:

А	Б	В	Г	Д
f'(x)= $\frac{3}{x^2}$	f'(x)= $\frac{3}{x}$	f'(x)= $\frac{4x-3}{x^2}$	f'(x)= - $\frac{3}{x^2}$	f'(x)= 2

А	Б	В	Г	Д
y'= - $\frac{x^7}{6}$ +x⁵-14x	y'= -7x⁵+20x³-14	y'= -7x⁵+20x³	y'= -7x⁷+25x⁵	y'= $-\frac{7}{36}$ x⁵+ $\frac{5}{4}$ x³

А	Б	В	Г	Д
y'=cosx+sinx+1	y'=cosx-sinx	y'= -cosx-sinx+x	y'= -cosx-sinx	y'=cosx+sinx

А	Б	В	Г	Д
y'=е^-2х	y'=-2е^-2х	y'= -2xе^-2х-1	y'=2е^-2х	y'= - $\frac{1}{2}$ е^-2х

А	Б	В	Г	Д
f'(x)=4x³+1	f'(x)=4x³	f'(x)=3x²	f'(x)=3x²+1	f'(x)= $\frac{x^5}{5}$ + $\frac{x^2}{2}$

А	Б	В	Г	Д
y= - $\frac{3}{2}$ x+1	y=3x-2	y=2x+3	y= $\frac{3}{2}$ x-1	y= -3x+2

А	Б	В	Г	Д
y=1+2(x-5)	y=5+2(x+1)	y=2+5(x-1)	y=2+5(x+1)	y=5+2(x-1)

А	Б	В	Г	Д
164 м/с²	60 м/с²	36 м/с²	20 м/с²	10 м/с²