Похідна функції — один із найпотужніших інструментів математичного аналізу, який дозволяє досліджувати процеси у динаміці та знаходити оптимальні рішення. Вміння обчислювати похідні та розуміти їхній зміст є базовою вимогою НМТ, оскільки ці завдання перевіряють не лише технічні навички роботи з формулами, а й здатність аналізувати швидкість зміни величин. Розуміння зв'язку між знаком похідної та зростанням або спаданням функції допомагає без помилок досліджувати графіки та знаходити критичні точки.
На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО, включаючи аналіз демонстраційних варіантів. Ви навчитеся працювати з різними аспектами теми: від механічного змісту (швидкість та прискорення) до геометричного застосування при побудові дотичних. Тут зібрано все необхідне для підготовки: таблиця похідних основних функцій, правила диференціювання складних виразів та покрокові алгоритми знаходження найбільшого і найменшого значень на відрізку.
Правила диференціювання
(C)' = 0
(C · f(x))' = C · f'(x)
(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)
(f(x) · g(x))' = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x)
(f(x)g(x))' = f'(x)· g(x)- f(x) · g'(x)g²(x)
(f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x) Таблиця похідних
(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹
(√x)' = 12√x
(sinx)' = cosx
(cosx)' = -sinx
(tgx)' = 1cos²x
(ctgx)' = -1sin²x
(aˣ)' = aˣlna
(eˣ)' = eˣ
(logₐx)' = 1xlna
(lnx)' = 1x Застосування похідних
Механічний зміст:
v = s'
a = v'
Геометричний зміст:
y' = k = tgα
Рівняння дотичної:
у = f'(x₀)(x-x₀) + y₀
Знаходження найбільшого та найменшого значення функції на відрізку
Завдання 1. НМТ 2026 (демо). Задано функцію f(x) = { 30, x < -2,2x⁴ + x, x ≥ -2. Обчисліть значення виразу f(-3) - f'(2).
(C)' = 0
(C · f(x))' = C · f'(x)
(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)
(f(x) · g(x))' = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x)
(f(x)g(x))' = f'(x)· g(x)- f(x) · g'(x)g²(x)
(f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x) Таблиця похідних
(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹
(√x)' = 12√x
(sinx)' = cosx
(cosx)' = -sinx
(tgx)' = 1cos²x
(ctgx)' = -1sin²x
(aˣ)' = aˣlna
(eˣ)' = eˣ
(logₐx)' = 1xlna
(lnx)' = 1x Застосування похідних
Механічний зміст:
v = s'
a = v'
Геометричний зміст:
y' = k = tgα
Рівняння дотичної:
у = f'(x₀)(x-x₀) + y₀
Знаходження найбільшого та найменшого значення функції на відрізку
- Знайти похідну функції.
- Прирівняти отриманий вираз до 0 і розв'язати відповідне рівняння.
- Підставити у функцію замість x усі критичні точки, що належать заданому відрізку.
- Обчислити значення функції на кінцях відрізка
- Вибрати серед значень, отриманих в п.3 та п.4 найбільше та найменше значення
Показати відповідь
–35.
Так як - 3 < - 2, то f(- 3) = 30. Так як 2 > - 2, то для знаходження значення похідної в точці 2 застосовуємо функцію f(x) = 2x⁴ + x. Знайдемо похідну даної функції. f'(x) = 2 · 4x⁴⁻¹ + 1 = 8x³ + 1. Підставимо в отриману похідну значення х = 2. f'(2) = 8 · 2³ + 1 = 8 · 8 + 1 = 64 + 1 = 65. Тоді 𝑓(-3) - 𝑓'(2) = 30 - 65 = - 35.
Завдання 2. Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом x(t) = 6t², де x(t) - координата точки, t - час. За якою формулою визначають швидкість v(t) цієї матеріальної точки в будь - який момент часу t?
Так як - 3 < - 2, то f(- 3) = 30. Так як 2 > - 2, то для знаходження значення похідної в точці 2 застосовуємо функцію f(x) = 2x⁴ + x. Знайдемо похідну даної функції. f'(x) = 2 · 4x⁴⁻¹ + 1 = 8x³ + 1. Підставимо в отриману похідну значення х = 2. f'(2) = 8 · 2³ + 1 = 8 · 8 + 1 = 64 + 1 = 65. Тоді 𝑓(-3) - 𝑓'(2) = 30 - 65 = - 35.
v(t) = 6t
v(t) = 12t
v(t) = 2t³
v(t) = 6t³
v(t) = 3t
Показати відповідь
Б.
v(t) = s'(t) = (6t²)' = 6 ⋅ 2t = 12t.
Завдання 3. Укажіть похідну функції f(x) = 2x - 3x.
v(t) = s'(t) = (6t²)' = 6 ⋅ 2t = 12t.
f'(x) = 3x²
f'(x) = 3x
f'(x) = 4x - 3x²
f'(x) = -3x²
f'(x) = 2
Показати відповідь
А.
f'(x) = (2x - 3)'x - (2x - 3)x'x² = 2 · x - (2x - 3)x² = 2x - 2x + 3x² = 3x².
Завдання 4. Укажіть похідну функції y = -76x⁶ + 5x⁴ - 14.
f'(x) = (2x - 3)'x - (2x - 3)x'x² = 2 · x - (2x - 3)x² = 2x - 2x + 3x² = 3x².
y' = -x⁷6 + x⁵ - 14x
y' = -7x⁵ + 20x³ - 14
y' = -7x⁵ + 20x³
y' = -7x⁷ + 25x⁵
y' = -736x⁵ + 54x³
Показати відповідь
В.
y' = -76 · 6x⁶⁻¹ + 5 · 4x⁴⁻¹ - 0 = -7x⁵ + 20x³.
Завдання 5. Укажіть похідну функції y = sinx - cosx + 1.
y' = -76 · 6x⁶⁻¹ + 5 · 4x⁴⁻¹ - 0 = -7x⁵ + 20x³.
y' = cosx + sinx + 1
y' = cosx - sinx
y' = -cosx - sinx + x
y' = -cosx - sinx
y' = cosx + sinx
Показати відповідь
Д.
y' = (sinx - cosx + 1)' = cosx - (-sinx) = cosx + sinx.
Завдання 6. Знайдіть похідну функції y = e⁻²ˣ.
y' = (sinx - cosx + 1)' = cosx - (-sinx) = cosx + sinx.
y' = e⁻²ˣ
y' = -2e⁻²ˣ
y' = -2xe⁻²ˣ⁻¹
y' = 2e⁻²ˣ
y' = -½e⁻²ˣ-2х
Показати відповідь
Б.
y' = (e⁻²ˣ)' = e⁻²ˣ · (-2x)' = -2e⁻²ˣ.
Завдання 7. Укажіть похідну функції f(x) = x(x³ + 1).
y' = (e⁻²ˣ)' = e⁻²ˣ · (-2x)' = -2e⁻²ˣ.
f'(x) = 4x³ + 1
f'(x) = 4x³
f'(x) = 3x²
f'(x) = 3x² + 1
f'(x) = x⁵5 + x²2
Показати відповідь
А.
y' = (x(x³ + 1))' = (x⁴ + x)' = 4x³ + 1.
Завдання 8. Функція f(x) має в точці х₀ похідну f'(х₀) = -4. Визначте значення похідної функції g(x) = 2 · f(x) + 7x - 3 в точці х₀.
y' = (x(x³ + 1))' = (x⁴ + x)' = 4x³ + 1.
15
12
-1
-4
-8
Показати відповідь
В.
g'(x) = (2 · f(x) + 7x - 3)' = 2f'(x) + 7 = 2 · (-4) + 7 = -8 + 7 = -1.
Завдання 9. Укажіть рівняння прямої, яка може бути дотичною до графіка функції у = f(x) у точці з абсцисою х₀ = 2, якщо f'(2) = -3.
g'(x) = (2 · f(x) + 7x - 3)' = 2f'(x) + 7 = 2 · (-4) + 7 = -8 + 7 = -1.
y = -32x + 1
y = 3x - 2
y = 2x + 3
y = 32x - 1
y = -3x + 2
Показати відповідь
Д.
Похідна функції в точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної (коефіцієнту біля х). За умовою це значення дорівнює -3, отже, кутовий коефіцієнт дотичної також -3.
Завдання 10. Укажіть рівняння дотичної, проведеної до графіка функції у = f(x) у точці з абсцисою х₀ = 1, якщо f(х₀) = 5, f'(х₀) = 2.
Похідна функції в точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної (коефіцієнту біля х). За умовою це значення дорівнює -3, отже, кутовий коефіцієнт дотичної також -3.
y = 1 + 2(x - 5)
y = 5 + 2(x + 1)
y = 2 + 5(x - 1)
y = 2 + 5(x + 1)
y = 5 + 2(x - 1)
Показати відповідь
Д. Рівняння дотичної знаходиться за формулою у = f'(х₀)(х - х₀) + f(х₀). Підставимо у дану формулу значення з умови. Маємо у = 2(х - 1) + 5.
Завдання 11. На рисунку зображено графік функції у = f(x) і дотичну до нього в точці з абсцисою х₀. Знайдіть значення f'(х₀).
-2
-1
0
1
2
Показати відповідь
Б.
Значення похідної функції в точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної (тангенсу кута нахилу дотичної до додатного напрямку осі Ох). За малюнком маємо кут нахилу 135°, тангенс кута якого -1. Отже, кутовий коефіцієнт дотичної і значення похідної в точці дотику дорівнює -1.
Завдання 12. Тіло рухається прямолінійно за законом s(t) = ⅔t³ - 2t² + 4t (час t вимірюється у секундах, шлях s - в метрах). Визначте прискорення його руху в момент t = 10 с.
Значення похідної функції в точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної (тангенсу кута нахилу дотичної до додатного напрямку осі Ох). За малюнком маємо кут нахилу 135°, тангенс кута якого -1. Отже, кутовий коефіцієнт дотичної і значення похідної в точці дотику дорівнює -1.
164 м/с²
60 м/с²
36 м/с²
20 м/с²
10 м/с²
Показати відповідь
В.
v = s' = (⅔t³ - 2t² + 4t)' = ⅔ · 3t² - 4t + 4 = 2t² - 4t + 4.
a = v' = (2t² - 4t + 4)' = 4t - 4.
a(10) = 4 · 10 - 4 = 40 - 4 = 36.
Завдання 13. Знайдіть значення похідної функції f(x) = 4cosx + 5 у точці х₀ = π2.
v = s' = (⅔t³ - 2t² + 4t)' = ⅔ · 3t² - 4t + 4 = 2t² - 4t + 4.
a = v' = (2t² - 4t + 4)' = 4t - 4.
a(10) = 4 · 10 - 4 = 40 - 4 = 36.
Показати відповідь
-4.
f'(x) = (4cosx + 5)' = -4sinx.
f'(π2) = -4sinπ2 = -4 · 1 = -4.
Завдання 14. Обчисліть значення похідної функції y = √13 - 3x у точці х₀ = 3.
f'(x) = (4cosx + 5)' = -4sinx.
f'(π2) = -4sinπ2 = -4 · 1 = -4.
Показати відповідь
-0,75.
y' = (√13 - 3x)' = 12√13 - 3x · (-3) = -32√13 - 3x.
y'(3) = -32√13 - 3 · 3 = -32√13 - 9 = -32√4 = -¾ = -0,75.
Завдання 15. Знайдіть значення похідної функції f(x) = √10 - 3x у точці х₀ = -2.
y' = (√13 - 3x)' = 12√13 - 3x · (-3) = -32√13 - 3x.
y'(3) = -32√13 - 3 · 3 = -32√13 - 9 = -32√4 = -¾ = -0,75.
Показати відповідь
-0,375.
f'(x) = (√10 - 3x)' = 12√10 - 3x · (-3) = -32√10 - 3x.
f'(-2) = -32√10 - 3 · (-2) = -32√10 + 6 = -32√16 = -⅜ = -0,375.
Завдання 16. Функція f(x) в точці х₀ = 5 має похідну f'(5) = -1. Обчисліть значення похідної функції g(x) = f(x) · x в точці х₀, якщо f(5) = 3.
f'(x) = (√10 - 3x)' = 12√10 - 3x · (-3) = -32√10 - 3x.
f'(-2) = -32√10 - 3 · (-2) = -32√10 + 6 = -32√16 = -⅜ = -0,375.
Показати відповідь
-2.
g'(x) = (f(x) · x)' = f'(x) · x + f(x) · (x)' = f'(x) · x + f(x).
g'(5) = -1 · 5 + 3 = -5 + 3 = -2.
Завдання 17. Матеріальна точка рухається за законом s(t) = 2t² + 3t, де s вимірюється в метрах, а t у секундах. Знайдіть значення t (у секундах), при якому миттєва швидкість матеріальної точки дорівнює 76 м/с.
g'(x) = (f(x) · x)' = f'(x) · x + f(x) · (x)' = f'(x) · x + f(x).
g'(5) = -1 · 5 + 3 = -5 + 3 = -2.
Показати відповідь
18,25.
v = s' = (2t² + 3t)' = 4t + 3.
76 = 4t + 3
4t = 76 - 3
t = 73 : 4
t = 18,25.
Завдання 18. Знайдіть найменше значення функції y = x³ - 12x на відрізку [0; 3].
v = s' = (2t² + 3t)' = 4t + 3.
76 = 4t + 3
4t = 76 - 3
t = 73 : 4
t = 18,25.
Показати відповідь
-16.
Знайдемо похідну функції у. у' = (x³ - 12x)' = 3x² - 12.
Знайдемо критичні точки. 3x² - 12 = 0
3x² = 12
x² = 4
x = ±2
Оскільки точка х = -2 не входить в заданий проміжок, то далі її не розглядаємо.
Оскільки найменшого значення функція досягає або на межах області визначення, або в критичних точках, то далі просто обчислимо значення функції в критичній точці та на кінцях відрізка.
y(2) = 2³ - 12 · 2 = 8 - 24 = -16
y(0) = 0³ - 12 · 0 = 0 - 0 = 0
y(3) = 3³ - 12 · 3 = 27 - 36 = -9
Найменше значення з отриманих -16.
Завдання 19. Знайдіть найбільше значення функції y = 12x - x³ на відрізку [0; 3].
Знайдемо похідну функції у. у' = (x³ - 12x)' = 3x² - 12.
Знайдемо критичні точки. 3x² - 12 = 0
3x² = 12
x² = 4
x = ±2
Оскільки точка х = -2 не входить в заданий проміжок, то далі її не розглядаємо.
Оскільки найменшого значення функція досягає або на межах області визначення, або в критичних точках, то далі просто обчислимо значення функції в критичній точці та на кінцях відрізка.
y(2) = 2³ - 12 · 2 = 8 - 24 = -16
y(0) = 0³ - 12 · 0 = 0 - 0 = 0
y(3) = 3³ - 12 · 3 = 27 - 36 = -9
Найменше значення з отриманих -16.
Показати відповідь
16.
Знайдемо похідну функції у. у' = (12x - x³)' = 12 - 3x².
Знайдемо критичні точки. 12 - 3x² = 0
3x² = 12
x² = 4
x = ±2
Оскільки точка х = -2 не входить в заданий проміжок, то далі її не розглядаємо.
Оскільки найбільшого значення функція досягає або на межах області визначення, або в критичних точках, то далі просто обчислимо значення функції в критичній точці та на кінцях відрізка.
y(2) = 12 · 2 - 2³ = 24 - 8 = 16
y(0) = 12 · 0 - 0³ = 0 - 0 = 0
y(3) = 12 · 3 - 3³ = 36 - 27 = 9
Найбільше значення з отриманих 16.
Завдання 20. За якого значення параметра с найменше значення функції y = x⁴ - 8х² + с на відрізку [-1; 3] дорівнює 30?
Знайдемо похідну функції у. у' = (12x - x³)' = 12 - 3x².
Знайдемо критичні точки. 12 - 3x² = 0
3x² = 12
x² = 4
x = ±2
Оскільки точка х = -2 не входить в заданий проміжок, то далі її не розглядаємо.
Оскільки найбільшого значення функція досягає або на межах області визначення, або в критичних точках, то далі просто обчислимо значення функції в критичній точці та на кінцях відрізка.
y(2) = 12 · 2 - 2³ = 24 - 8 = 16
y(0) = 12 · 0 - 0³ = 0 - 0 = 0
y(3) = 12 · 3 - 3³ = 36 - 27 = 9
Найбільше значення з отриманих 16.
Показати відповідь
46.
Знайдемо похідну функції у. у' = (x⁴ - 8х² + с)' = 4x³ - 16х.
Знайдемо критичні точки. 4x³ - 16х = 0
4x(х² - 4) = 0
x = 0 або х = ±2
Оскільки точка х = -2 не входить в заданий проміжок, то далі її не розглядаємо.
y(0) = 0 - 0 + c = c
y(2) = 16 - 32 + c = c - 16
y(-1) = 1 - 8 + c = c - 7
y(3) = 81 - 72 + c = c + 9
З цих значень найменше с - 16. Оскільки за умовою воно дорівнює 30, то маємо с - 16 = 30, звідки с = 46.
Завдання 21. Відрізок 12 см завдовжки поділили на дві частини так, що сума площ квадратів, побудованих на цих частинах, стала найменшою. Обчисліть суму площ квадратів.
Знайдемо похідну функції у. у' = (x⁴ - 8х² + с)' = 4x³ - 16х.
Знайдемо критичні точки. 4x³ - 16х = 0
4x(х² - 4) = 0
x = 0 або х = ±2
Оскільки точка х = -2 не входить в заданий проміжок, то далі її не розглядаємо.
y(0) = 0 - 0 + c = c
y(2) = 16 - 32 + c = c - 16
y(-1) = 1 - 8 + c = c - 7
y(3) = 81 - 72 + c = c + 9
З цих значень найменше с - 16. Оскільки за умовою воно дорівнює 30, то маємо с - 16 = 30, звідки с = 46.
Показати відповідь
72.
Нехай перша частина х, тоді друга частина 12 - х. Складемо функцію у, яка відображає суму площ квадратів, побудованих на цих частинах. у = х² + (12 - х)² = х² + 144 - 24x + х² = 2х² - 24x + 144. Знайдемо похідну функції y. у' = (2х² - 24x + 144)' = 4x - 24.
Знайдемо критичні точки. 4x - 24 = 0
4x = 24
x = 6
При х більше 6 похідна має додатний знак (функція зростає); при х менше 6 знак похідної від'ємний (функція спадає). Отже точка х = 6 є точкою мінімуму. При цьому відрізки розбиті на дві рівні частини довжиною 6 см. Площа кожного квадрата тоді 36 см², а сума - 72 см².
Завдання 22. Усі вершини трапеції ABCD належать графіку функції у = 36 - х², побудованому в прямокутній декартовій системі координат. Більша основа AD лежить на осі х. Яку найбільшу площу може мати трапеція ABCD?
Нехай перша частина х, тоді друга частина 12 - х. Складемо функцію у, яка відображає суму площ квадратів, побудованих на цих частинах. у = х² + (12 - х)² = х² + 144 - 24x + х² = 2х² - 24x + 144. Знайдемо похідну функції y. у' = (2х² - 24x + 144)' = 4x - 24.
Знайдемо критичні точки. 4x - 24 = 0
4x = 24
x = 6
При х більше 6 похідна має додатний знак (функція зростає); при х менше 6 знак похідної від'ємний (функція спадає). Отже точка х = 6 є точкою мінімуму. При цьому відрізки розбиті на дві рівні частини довжиною 6 см. Площа кожного квадрата тоді 36 см², а сума - 72 см².
Показати відповідь
256.
Побудуємо графік функції та розмістимо на ньому вершини трапеції. Маємо графік параболи, вершина якої знаходиться в точці (0; 36) і яка перетинає вісь x в точках з х = ±6. Тоді координати точки А (-6; 0), точки D (6;0). Нехай абсциса точки С дорівнює х. Тоді координати точки С (х; 36 - х²), а точки В (-х; 36 - х²) (маємо рівнобічну трапецію). Тоді основи трапеції ВС = 2х, AD = 12, а висота 36 - х². За формулою площі трапеції маємо S = (BC + AD) · h : 2 = (2x + 12) · (36 - х²) : 2 = (x + 6)(36 - х²) = 36x - x³ + 216 - 6x². Знайдемо похідну функції S' = 36 - 3x² - 12x = -3(x² + 4x - 12). Знайдемо нулі похідної. -3(x² + 4x - 12) = 0
x² + 4x - 12 = 0
D = 4² - 4 · 1 · (-12) = 16 + 48 = 64
x₁ = -4 - √642 · 1 = -4 - 82 = -122 = -6
x₂ = -4 + √642 · 1 = -4 + 82 = 42 = 2
За властивостями похідної маємо наступну поведінку функції відповідно до знаку похідної: Маємо точку максимуму х = 2. Отже, найбільшу площу трапеція має при x = 2. Тоді S = (2 + 6)(36 - 4) = 8 · 32 = 256.
Побудуємо графік функції та розмістимо на ньому вершини трапеції. Маємо графік параболи, вершина якої знаходиться в точці (0; 36) і яка перетинає вісь x в точках з х = ±6. Тоді координати точки А (-6; 0), точки D (6;0). Нехай абсциса точки С дорівнює х. Тоді координати точки С (х; 36 - х²), а точки В (-х; 36 - х²) (маємо рівнобічну трапецію). Тоді основи трапеції ВС = 2х, AD = 12, а висота 36 - х². За формулою площі трапеції маємо S = (BC + AD) · h : 2 = (2x + 12) · (36 - х²) : 2 = (x + 6)(36 - х²) = 36x - x³ + 216 - 6x². Знайдемо похідну функції S' = 36 - 3x² - 12x = -3(x² + 4x - 12). Знайдемо нулі похідної. -3(x² + 4x - 12) = 0
x² + 4x - 12 = 0
D = 4² - 4 · 1 · (-12) = 16 + 48 = 64
x₁ = -4 - √642 · 1 = -4 - 82 = -122 = -6
x₂ = -4 + √642 · 1 = -4 + 82 = 42 = 2
За властивостями похідної маємо наступну поведінку функції відповідно до знаку похідної: Маємо точку максимуму х = 2. Отже, найбільшу площу трапеція має при x = 2. Тоді S = (2 + 6)(36 - 4) = 8 · 32 = 256.
Коментарі