Похідна функції

Правила диференціювання

1. (C)'=0
2. (C⋅f(x))'=C⋅f'(x)
3. (f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)
4. (f(x)⋅g(x))'=f'(x)⋅g(x)+f(x)⋅g'(x)
5. ()'=
6. (f(g(x)))'=f'_g⋅g'_x
---
Таблиця похідних

1. (xⁿ)'=nx^n-1
2. (sinx)'=cosx
3. (cosx)'=-sinx
4. (tgx)'=
5. (ctgx)'=
6. (a^x)'=a^xlna
7. (e^x)'=e^x
8. (log_ax)'=
9. (lnx)'=
1. НМТ 2023. Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом x(t)=6t², де x(t) - координата точки, t - час. За якою формулою визначають швидкість v(t) цієї матеріальної точки в будь - який момент часу t?

   А	Б	В	Г	Д
   v(t) = 6t	v(t) = 12t	v(t) = 2t3	v(t) = 6t3	v(t) = 3t

   Відповідь

   Б.

---

Правильну відповідь можна дізнатися, натискаючи кнопку Відповідь під завданням. Послуга ознайомлення з повними розв’язаннями завдань з цієї теми коштує 40 грн. Для отримання цієї послуги надішліть зі своєї електронної пошти листа на адресу ssychov@gmail.com з вказівкою теми "3.6. Похідна функції". У відповідь Вам надійде розрахунковий рахунок для переказу коштів. Після оплати надішліть скріншот квитанції і на Вашу адресу надійдуть розв’язки у pdf-форматі. Для перегляду зразка розв’язання натисніть кнопку нижче.

Зразок

2. Укажіть похідну функції f(x)= .

   А	Б	В	Г	Д
   f'(x)=	f'(x)=	f'(x)=	f'(x)= -	f'(x)= 2

   Відповідь

   А.
3. Укажіть похідну функції y= -x⁶+5x⁴-14.

   А	Б	В	Г	Д
   y'= -+x5-14x	y'= -7x5+20x3-14	y'= -7x5+20x3	y'= -7x7+25x5	y'= x5+x3

   Відповідь

   В.
4. Укажіть похідну функції y=sinx-cosx+1.

   А	Б	В	Г	Д
   y'=cosx+sinx+1	y'=cosx-sinx	y'= -cosx-sinx+x	y'= -cosx-sinx	y'=cosx+sinx

   Відповідь

   Д.
5. Знайдіть похідну функції y=е^-2х.

   А	Б	В	Г	Д
   y'=е-2х	y'=-2е-2х	y'= -2xе-2х-1	y'=2е-2х	y'= -е-2х

   Відповідь

   Б.
6. Укажіть похідну функції f(x)=x(x³+1).

   А	Б	В	Г	Д
   f'(x)=4x3+1	f'(x)=4x3	f'(x)=3x2	f'(x)=3x2+1	f'(x)= +

   Відповідь

   А.
7. Функція f(x) має в точці х₀ похідну f'(х₀)= -4. Визначте значення похідної функції g(x)=2·f(x)+7x-3 в точці х₀.

   А	Б	В	Г	Д
   15	12	-1	-4	-8

   Відповідь

   В.
Застосування похідних

1. Механічний зміст: похідна функції дорівнює миттєвій швидкості v=s'
2. Геометричний зміст: похідна функції в точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка функції в цю точку y'=k=tgφ
3. Рівняння дотичної: у=f'(x₀)(x-x₀)+y₀
8. Укажіть рівняння прямої, яка може бути дотичною до графіка функції у=f(x) у точці з абсцисою х₀=2, якщо f'(2)= -3.

   А	Б	В	Г	Д
   y= -x+1	y=3x-2	y=2x+3	y=x-1	y= -3x+2

   Відповідь

   Д.
9. Укажіть рівняння дотичної, проведеної до графіка функції у=f(x) у точці з абсцисою х₀=1, якщо f(х₀)=5, f'(х₀)= 2.

   А	Б	В	Г	Д
   y=1+2(x-5)	y=5+2(x+1)	y=2+5(x-1)	y=2+5(x+1)	y=5+2(x-1)

   Відповідь

   Д.
10. На рисунку зображено графік функції у=f(x) і дотичну до нього в точці з абсцисою х₀. Знайдіть значення f'(х₀).

    

    А	Б	В	Г	Д
    -2	-1	0	1	2

    Відповідь

    Б.
11. Тіло рухається прямолінійно за законом s(t)=t³-2t²+4t (час t вимірюється у секундах, шлях s - в метрах). Визначте прискорення його руху в момент t=10 с.

    А	Б	В	Г	Д
    164 м/с2	60 м/с2	36 м/с2	20 м/с2	10 м/с2

    Відповідь

    В.
12. Знайдіть значення похідної функції f(x)=4cosx+5 у точці х₀=.
    Відповідь

    -4.
13. Обчисліть значення похідної функції y= у точці х₀=3.
    Відповідь

    -0,75.
14. Знайдіть значення похідної функції f(x)= у точці х₀= -2.
    Відповідь

    -0,375.
15. Функція f(x) в точці х₀= 5 має похідну f'(5)= -1. Обчисліть значення похідної функції g(x)=f(x)·x в точці х₀, якщо f(5)=3.
    Відповідь

    -2.
16. Матеріальна точка рухається за законом s(t)=2t²+3t, де s вимірюється в метрах, а t у секундах. Знайдіть значення t (у секундах), при якому миттєва швидкість матеріальної точки дорівнює 76 м/с.
    Відповідь

    18,25.
Знаходження найбільшого та найменшого значення функції на відрізку

1. Знайти похідну функції.
2. Прирівняти отриманий вираз до 0 і розв'язати відповідне рівняння.
3. Підставити в умову замість х точки, які отримали в попередньому пункті (підставляємо лише ті, що входять в проміжок, заданий в умові)
4. Обчислити значення функції на кінцях відрізка
5. Вибрати серед значень, отриманих в п.3 та п.4 найбільше та найменше значення
17. Знайдіть найменше значення функції y=x³-12x на відрізку [0;3].
    Відповідь

    -16.
18. Знайдіть найбільше значення функції y=12x-x³ на відрізку [0;3].
    Відповідь

    16.
19. За якого значення параметра с найменше значення функції y=x⁴-8х²+с на відрізку [-1;3] дорівнює 30?
    Відповідь

    46.
20. Відрізок 12 см завдовжки поділили на дві частини так, що сума площ квадратів, побудованих на цих частинах, стала найменшою. Обчисліть суму площ квадратів.
    Відповідь

    72.
21. Усі вершини трапеції ABCD належать графіку функції у=36-х², побудованому в прямокутній декартовій системі координат. Більша основа AD лежить на осі х. Яку найбільшу площу може мати трапеція ABCD?
    Відповідь

    256.

⇐ІІІ.5. Функція за графіками

До змісту

⇒ІІІ.7. Первісна функції