Тригонометричні вирази

Функція	0^o	30^o	45^o	60^o	90^o	180^o	270^o
sin	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1	0	-1
cos	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0	-1	0
tg	0	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$	не існує	0	не існує
сtg	не існує	$\sqrt{3}$	1	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	0	не існує	0

Знаходження значень невідомих тригонометричних функцій за відомими:
sin²α+cos²α = 1
tgαctgα = 1
1+tg²α = $\frac{1}{cos^2\alpha}$
1+ctg²α = $\frac{1}{sin^2\alpha}$
tgα = $\frac{sin\alpha}{cos\alpha}$
ctgα = $\frac{cos\alpha}{sin\alpha}$
Тригонометричні функції суми кутів:
sin(α+β) = sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβ
sin(α-β) = sinα⋅cosβ-cosα⋅sinβ
cos(α+β) = cosα⋅cosβ-sinα⋅sinβ
cos(α-β) = cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ
tg(α+β) = $\frac{tg\alpha+tg\beta}{1-tg\alpha{tg\beta}}$
tg(α-β) = $\frac{tg\alpha-tg\beta}{1+tg\alpha{tg\beta}}$
Формули зведення:
1. Визначити знак функції для даного кута.

Функція	(0,90^o)	(90^o,180^o)	(180^o,270^o)	(270^o,360^o)
sin	+	+	-	-
cos	+	-	-	+
tg,ctg	+	-	+	-

2. Якщо перехід здійснено через π, 2π функцію залишаємо; якщо ні - то замінюємо на відповідну з пари (sin,cos), (tg,ctg)
Тригонометричні функції подвійного аргументу:
sin2α = 2sinα⋅cosα
cos2α = cos²α-sin²α
cos(α-β) = cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ
tg2α = $\frac{2tg\alpha}{1-tg^2\alpha}$
Cума та різниця тригонометричних функцій:
sinα+sinβ = 2sin $\frac{\alpha+\beta}{2}$ cos $\frac{\alpha-\beta}{2}$
sinα-sinβ = 2sin $\frac{\alpha-\beta}{2}$ cos $\frac{\alpha+\beta}{2}$
cosα+cosβ = 2cos $\frac{\alpha+\beta}{2}$ cos $\frac{\alpha-\beta}{2}$
cosα-cosβ = -2sin $\frac{\alpha+\beta}{2}$ sin $\frac{\alpha-\beta}{2}$
Формули половинного аргументу:
sin² $\frac{\alpha}{2}$ = $\frac{1-cos\alpha}{2}$
cos² $\frac{\alpha}{2}$ = $\frac{1+cos\alpha}{2}$
tg² $\frac{\alpha}{2}$ = $\frac{1-cos\alpha}{1+cos\alpha}$

НМТ 2023. Укажіть вираз, тотожно рівний виразу (cosx-sinx)².

А Б В Г Д

cos2x cos2x-sin2x cos2x-1 1-sin2x 1

Показати відповідь
Г.
Спочатку застосувати формулу скороченого множення.

$\frac{7-(sin^2\beta+cos^2\beta)}{3sin^2\beta+3cos^2\beta}$ = ?

А Б В Г Д

$\frac{7}{6}$ $\frac{7}{3}$ $\frac{8}{3}$ 12 2

Показати відповідь
Д.
$\frac{7-(sin^2\beta+cos^2\beta)}{3sin^2\beta+3cos^2\beta}$ = $\frac{7-1}{3(sin^2\beta+cos^2\beta)}$ = $\frac{6}{3}$ = 2.
sin²2x=

А Б В Г Д

2sin²x 4sin²x 4sin²xcos²x 2sin²xcos²x sin4x²

Показати відповідь
В.
sin²2x=(2sinxcosx)²=4sin²xcos²x.
Спростіть вираз 2cos(450^o + α) – sinα.

А Б В Г Д

sinα –3sinα -2cosα-sinα 2cosα-sinα 3sinα

Показати відповідь
Б.
2cos(450^o + α) – sinα = 2cos((360^o+90^o) + α) – sinα = 2cos(90^o + α) – sinα = -2sinα – sinα = -3sinα.
$\frac{cos\alpha{tg\alpha}}{sin^2\alpha}$ = ?

А Б В Г Д

sinα $\frac{1}{sin^2\alpha}$ $\frac{1}{sin\alpha}$ cosα 1

Показати відповідь
В.
$\frac{cos\alpha{tg\alpha}}{sin^2\alpha}$ = $\frac{cos\alpha\frac{sin\alpha}{cos\alpha}}{sin^2\alpha}$ = $\frac{sin\alpha}{sin^2\alpha}$ = $\frac{1}{sin\alpha}$ .
Якому проміжку належить значення виразу sin $\frac{7\pi}{6}$ -1?

А Б В Г Д

(-∞;-2) [-2;-1) [-1;0) [0;1) [1;+∞)

Показати відповідь
Б.
sin $\frac{7\pi}{6}$ -1 = sin $\frac{6\pi+\pi}{6}$ -1 = sin(π+ $\frac{\pi}{6}$ )-1 = -sin $\frac{\pi}{6}$ -1 = -0,5-1 = -1,5. Дане число належить проміжку [-2;-1).
Обчисліть значення виразу 4sin²α, якщо 4cos²α = 1.

А Б В Г Д

3 $\frac{3}{4}$ $\frac{1}{4}$ 4 0

Показати відповідь
А.
Якщо основну тригонометричну тотожність помножити на 4, то маємо 4sin²α+4cos²α = 4. Підставивши у цю рівність замість 4cos²α 1 отримуємо 4sin²α+1 = 4. Звідси 4sin²α = 3.

Спростіть вираз (1+tg²α)sin²α.

А Б В Г Д

$\frac{1}{tg^2\alpha}$ 1 cos²αsin²α cos²α tg²α

Показати відповідь
Д.
(1+tg²α)sin²α = $\frac{1}{cos^2\alpha}$ sin²α = $\frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}$ = tg²α.
Спростіть вираз 2sin²α·ctgα.

А Б В Г Д

cos2α 2cos2α $\frac{2sin^3\alpha}{cos\alpha}$ 2sin2α sin2α

Показати відповідь
Д.
2sin²α·ctgα = 2sin²α·(cosα:sinα) = 2sinα·cosα = sin2α.
$\frac{cos(90^{o}+\alpha)}{sin\alpha}$ = ?

А Б В Г Д

-1 ctgα tgα -ctgα 1

Показати відповідь
А.
$\frac{cos(90^{o}+\alpha)}{sin\alpha} = \frac{-sin\alpha}{sin\alpha}$ = -1.
Обчисліть значення виразу sinα+sinβ, якщо α-β = 180⁰.

А Б В Г Д

1 $\frac{1}{2}$ 0 $-\frac{1}{2}$ інша відповідь

Показати відповідь
В.
З рівності α-β = 180⁰ маємо α = 180⁰+β. За формулами зведення sinα = sin(180⁰+β) = -sinβ. Тоді sinα+sinβ = -sinβ+sinβ = 0.
1-sinαctgαcosα =

А Б В Г Д

cos2α 1-sin2α 0 cos²α sin²α

Показати відповідь
Д.
1-sinαctgαcosα = 1-sinα $\frac{cos\alpha}{sin\alpha}$ cosα = 1-cosα⋅cosα = 1-cos²α = sin²α.
1-sin²α-cos²α =

А Б В Г Д

-2 0 1 2cos²α 1+cos2α

Показати відповідь
Б.
1-sin²α-cos²α = 1-(sin²α+cos²α) = 1-1 = 0.
(1-sin²α)⋅tg²α.

А Б В Г Д

sin2α cos2α $\frac{cos^4\alpha}{sin^2\alpha}$ sin²α ctg²α

Показати відповідь
Г.
(1-sin²α)⋅tg²α = cos²α⋅tg²α = cos²α⋅(sin²α:cos²α) = sin²α.
(1-cos²α)⋅ctg²α.

А Б В Г Д

cos²α sin2α $\frac{sin^4\alpha}{cos^2\alpha}$ sin²α tg²α

Показати відповідь
А.
(1-cos²α)⋅ctg²α = sin²α⋅ctg²α = sin²α⋅(cos²α:sin²α) = cos²α.
Спростіть вираз $\frac{1}{1+tg^2\alpha}$ .

А Б В Г Д

cos²α sin²α tg²α ctg²α 1

Показати відповідь
А.
$\frac{1}{1+tg^2\alpha} = \frac{1}{\frac{1}{cos^2\alpha}}$ = cos²α.
Спростіть вираз sin²α(1-ctg²α).

А Б В Г Д

cos(2α) tg²α 1 ctg²α -cos(2α)

Показати відповідь
Д.
sin²α(1-ctg²α) = sin²α(1- $\frac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha}$ ) = sin²α⋅ $\frac{sin^2\alpha-cos^2\alpha}{sin^2\alpha}$ = sin²α-cos²α = -(cos²α-sin²α) = -cos2α.
Яка з наведених рівностей є тотожністю?

А Б В Г Д

sin⁴α+cos⁴α = 1 sinα+cosα = 1 1+cos²α = sin²α sin²α-1 = cos²α 1-cos²α = sin²α

Показати відповідь
Д.
Випливає з основної тригонометричної тотожності.
Якщо 2cosα-5sinα = 0, то tgα =

А Б В Г Д

$\frac{2}{5}$ - $\frac{2}{5}$ -3 - $\frac{5}{2}$ $\frac{5}{2}$

Показати відповідь
А.
З даної рівності маємо 5sinα = 2cosα. Поділивши ліву і праву частину на 5cosα, маємо tgα = $\frac{2}{5}$ .
Обчисліть tgα, якщо 4sinα-cosα = 2cosα-sinα.

А Б В Г Д

$\frac{3}{5}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{5}$ 3 $\frac{5}{3}$

Показати відповідь
А.
З даної рівності маємо 5sinα = 3cosα. Поділивши ліву і праву частину на 5cosα, маємо tgα = $\frac{3}{5}$ .
Якщо 2sinα = cosα, то tgα =

А Б В Г Д

-2 -0,5 0,2 0,5 2

Показати відповідь
Г.
Поділивши ліву і праву частину на 2cosα, маємо tgα = $\frac{1}{2}$ = 0,5.
Обчисліть cos⁴ $\frac{\pi}{12}$ -sin⁴ $\frac{\pi}{12}$

А Б В Г Д

1 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ Інша відповідь

Показати відповідь
Б.
cos⁴ $\frac{\pi}{12}$ -sin⁴ $\frac{\pi}{12}$ = cos^2² $\frac{\pi}{12}$ -sin^2² $\frac{\pi}{12}$ = (cos² $\frac{\pi}{12}$ -sin² $\frac{\pi}{12}$ )(cos² $\frac{\pi}{12}$ +sin² $\frac{\pi}{12}$ ) = cos² $\frac{\pi}{12}$ -sin² $\frac{\pi}{12}$ = cos $2\cdot\frac{\pi}{12}$ = cos $\frac{\pi}{6}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .
Обчисліть значення виразу sin $\frac{7\pi}{2}$ +cos5π.

А Б В Г Д

-2 1 0 1 2

Показати відповідь
А.
sin $\frac{7\pi}{2}$ +cos5π = sin $\frac{4\pi+3\pi}{2}$ +cos(4π+π) = sin(2π+ $\frac{3\pi}{2}$ )+cosπ = sin $\frac{3\pi}{2}$ +cosπ = -1-1 = -2.
Якому проміжку належить значення виразу sin410⁰?

А Б В Г Д

(-1;- $\frac{1}{2}$ ) $\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$ $\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ $\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ ( $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ;1)

Показати відповідь
Г.
sin410⁰ = sin(360+50)⁰ = sin50⁰. Оскільки кут 50⁰ належить першій чверті, де функція y = sinα зростаюча, то з нерівності 45⁰<50⁰<60⁰ маємо sin45⁰<sin50⁰<sin60⁰. Отже $\frac{\sqrt{2}}{2}$ <sin410⁰< $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .
На одиничному колі зображено точку Р(-0,8;0,6) і кут α (див. рисунок). Визначте cosα.

А Б В Г Д

-0,8 0,6 0,8 -0,6 $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Показати відповідь
А.
Оскільки cosα відповідає абсцисі (першій координаті) точки P, то cosα = -0,8.
Розташуйте в порядку зростання числа: a = tg36⁰, b = tg93⁰, c = tg180⁰.

А Б В Г Д

b; c; a c; b; a a; b; c c; a; b b; a; c

Показати відповідь
А.
c = tg180⁰ = 0. Так як кут 36⁰ належить першій чверті, то tg36⁰>0. Так як кут 93⁰ належить другій чверті, то tg93⁰<0. Оскільки за зростанням спочатку йдуть від'ємні числа, потім 0, потім додатні числа, то маємо tg93⁰; tg180⁰;tg36⁰.
Укажіть правильну нерівність, якщо a = sin120⁰, b = cos120⁰.

А Б В Г Д

0<b<a a<0<b a<b<0 0<a<b b<0<a

Показати відповідь
Д.
Так як кут 120⁰ належить другій чверті, то sin120⁰>0, а cos120⁰<0. Тоді cos120⁰<0<sin120⁰.
Укажіть нерівність, що виконується для α∈( $\frac{\pi}{2}$ ;π).

А Б В Г Д

1-sin²α<0 cosα∙tgα<0 cos²α+sin²α<0 1-cos²α<0 sinα∙ctgα<0

Показати відповідь
Д.
1-sin²α = cos²α>0. cosα∙tgα = sinα>0 (в другій чверті синус додатній). cos²α+sin²α = 1>0. 1-cos²α = sin²α>0. sinα∙ctgα = cosα<0 (в другій чверті косинус від'ємний).
Відомо, що ctgα<0, cosα>0. Якого значення може набувати sinα?

А Б В Г Д

-1 $-\frac{1}{2}$ 0 $\frac{1}{2}$ 1

Показати відповідь
Б.
Оскільки ctgα<0, cosα>0, то кут належить 4 чверті, де синус від'ємний. Маємо два від'ємних значення -1 та $-\frac{1}{2}$ , але при sinα = -1 cosα = 0 (з основної тригонометричної тотожності), що суперечить умові. Отже sinα = $-\frac{1}{2}$ .
До кожного виразу (1-4) доберіть тотожно йому рівний (А-Д).

Вираз Тотожно рівний вираз

1 1-cos²α
2 2sinαcosα
3 cos²α-sin²α
4 (1-sinα)(1+sinα) А cos²α
Б cos2α
В sin2α
Г -cos2α
Д sin²α

Показати відповідь
1-Д, 2-В, 3-Б, 4-А .
1) 1-cos²α = sin²α.
2) 2sinαcosα = sin2α.
3) cos²α-sin²α = cos2α.
4) (1-sinα)(1+sinα) = 1-sin²α = cos²α.
Знайдіть значення виразу tgα+ctgα, якщо α = 15⁰.
Показати відповідь
4.
tgα+ctgα = $\frac{sin\alpha}{cos\alpha}$ + $\frac{cos\alpha}{sin\alpha}$ = $\frac{sin^2\alpha+cos^2\alpha}{cos\alpha\cdot{sin\alpha}}$ = $\frac{1}{\frac{1}{2}sin(2\cdot\alpha)} = \frac{1}{\frac{1}{2}sin(2\cdot15^0)}$ = $\frac{1}{\frac{1}{2}sin30^0} = \frac{1}{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{4}}$ = 4.
Обчисліть $2\sqrt{13}cos\left(arctg\frac{2}{3}\right)$ .
Показати відповідь
6.
Нехай $arctg\frac{2}{3} = x$ . Тоді ми маємо, що потрібно знайти значення $2\sqrt{13}cosx$ . З першої рівності маємо $\frac{2}{3} = tgx$ . Підставимо це значення у тотожність 1+tg²x = $\frac{1}{cos^2x}$ . Отримаємо:
$1+\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{1}{cos^2x}$
$1+\frac{4}{9} = \frac{1}{cos^2x}$
$\frac{13}{9} = \frac{1}{cos^2x}$
$\frac{9}{13}$ = cos²x
cosx = $\frac{3}{\sqrt{13}}$
Підставивши це значення у завдання маємо $2\sqrt{13}cosx = 2\sqrt{13}\cdot\frac{3}{\sqrt{13}}$ = 6.
Обчисліть значення виразу sin2α, якщо ctgα = $\frac{-1}{2}$ .
Показати відповідь
-0,8.
sin2α = 2sinαcosα = $\frac{2sin\alpha\cdot{cos\alpha}}{1} = \frac{\frac{2sin\alpha\cdot{cos\alpha}}{sin^2\alpha}}{\frac{1}{sin^2\alpha}}$ = $\frac{\frac{2cos\alpha}{sin\alpha}}{1+ctg^2\alpha} = \frac{2ctg\alpha}{1+ctg^2\alpha}$ = $\frac{2\cdot\frac{-1}{2}}{1+\left(\frac{-1}{2}\right)^2} = \frac{-1}{1+\frac{1}{4}}$ = $\frac{-1}{\frac{5}{4}} = -\frac{4}{5}$ = -0,8.
Обчисліть значення виразу 2sinαcosα, якщо sinα+cosα = 1,2.
Показати відповідь
0,44.
sinα+cosα = 1,2. Піднесемо до квадрату обидві частини рівності.
(sinα+cosα)² = 1,2²
sin²α+2sinαcosα+cos²α = 1,44
(sin²α+cos²α)+2sinαcosα = 1,44
1+2sinαcosα = 1,44
2sinαcosα = 1,44-1
2sinαcosα = 0,44.

⇐ І.6.
Логарифмічні вирази

До змісту

⇒ ІІ.1.
Лінійні, квадратні, дробово-раціональні рівняння

Шлях до математики: кроки успіху

Шукати в цьому блозі

Тригонометричні вирази

Коментарі

Популярні публікації

Дійсні числа

Арифметична прогресія

Комбінаторика

Функції за графіками

Трикутники та їх властивості

Рекомендований допис

Solving Linear Equations with One Variable: A Step-by-Step Guide

А	Б	В	Г	Д
sinα	$\frac{1}{sin^2\alpha}$	$\frac{1}{sin\alpha}$	cosα	1

А	Б	В	Г	Д
$\frac{1}{tg^2\alpha}$	1	cos²αsin²α	cos²α	tg²α

А	Б	В	Г	Д
cos2α	2cos2α	$\frac{2sin^3\alpha}{cos\alpha}$	2sin2α	sin2α

А	Б	В	Г	Д
1	$\frac{1}{2}$	0	$-\frac{1}{2}$	інша відповідь

А	Б	В	Г	Д
sin2α	cos2α	$\frac{cos^4\alpha}{sin^2\alpha}$	sin²α	ctg²α

А	Б	В	Г	Д
cos²α	sin2α	$\frac{sin^4\alpha}{cos^2\alpha}$	sin²α	tg²α

А	Б	В	Г	Д
sin⁴α+cos⁴α = 1	sinα+cosα = 1	1+cos²α = sin²α	sin²α-1 = cos²α	1-cos²α = sin²α

А	Б	В	Г	Д
$\frac{2}{5}$	- $\frac{2}{5}$	-3	- $\frac{5}{2}$	$\frac{5}{2}$

А	Б	В	Г	Д
$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{5}$	3	$\frac{5}{3}$

А	Б	В	Г	Д
(-1;- $\frac{1}{2}$ )	$\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$	$\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$	$\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$	( $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ;1)

А	Б	В	Г	Д
cos2x	cos2x-sin2x	cos2x-1	1-sin2x	1

А	Б	В	Г	Д
$\frac{7}{6}$	$\frac{7}{3}$	$\frac{8}{3}$	12	2

А	Б	В	Г	Д
2sin²x	4sin²x	4sin²xcos²x	2sin²xcos²x	sin4x²

А	Б	В	Г	Д
sinα	–3sinα	-2cosα-sinα	2cosα-sinα	3sinα

А	Б	В	Г	Д
1-sin²α<0	cosα∙tgα<0	cos²α+sin²α<0	1-cos²α<0	sinα∙ctgα<0

Вираз	Тотожно рівний вираз
1 1-cos²α 2 2sinαcosα 3 cos²α-sin²α 4 (1-sinα)(1+sinα)	А cos²α Б cos2α В sin2α Г -cos2α Д sin²α