Тригонометричні вирази

Тригонометричні вирази — один із найбільш змістовних розділів математики, що вивчає властивості періодичних функцій та співвідношення між аргументами. Розуміння цієї теми є обов’язковим для абітурієнтів, адже завдання з тригонометрії щорічно входять до структури НМТ, вимагаючи від учнів не лише знання великої кількості формул, а й вміння бачити логічні зв’язки між ними для ефективного спрощення виразів.

На цій сторінці ви знайдете повний перелік необхідних формул — від основної тотожності та значень табличних кутів до формул подвійного аргументу та зведення. Практична частина містить розбір тестових завдань, де ми наочно продемонструємо, як правильно визначати знаки функцій у різних чвертях одиничного кола, як працювати з оберненими тригонометричними функціями та як уникати типових помилок при перетвореннях.

---

Функція	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°
sin	0	\frac{1}{2}	\frac{\sqrt{2}}{2}	\frac{\sqrt{3}}{2}	1	0	-1
cos	1	\frac{\sqrt{3}}{2}	\frac{\sqrt{2}}{2}	\frac{1}{2}	0	-1	0
tg	0	\frac{\sqrt{3}}{3}	1	\sqrt{3}	—	0	—
сtg	—	\sqrt{3}	1	\frac{\sqrt{3}}{3}	0	—	0

Знаходження значень невідомих тригонометричних функцій за відомими:
sin²α + cos²α = 1
tgα·ctgα = 1
1 + tg²α = \frac{1}{cos^2\alpha}
1 + ctg²α = \frac{1}{sin^2\alpha}
tgα = \frac{sin\alpha}{cos\alpha}
ctgα = \frac{cos\alpha}{sin\alpha}
Тригонометричні функції суми кутів:
sin(α + β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ
sin(α-β) = sinα · cosβ-cosα · sinβ
cos(α + β) = cosα · cosβ-sinα · sinβ
cos(α-β) = cosα · cosβ + sinα · sinβ
tg(α + β) = \frac{tg\alpha + tg\beta}{1-tg\alpha{tg\beta}}
tg(α-β) = \frac{tg\alpha-tg\beta}{1 + tg\alpha{tg\beta}}
Формули зведення:
1. Визначити знак функції для даного кута.

Функція	(0,90°)	(90°,180°)	(180°,270°)	(270°,360°)
sin	+	+	-	-
cos	+	-	-	+
tg,ctg	+	-	+	-

2. Якщо перехід здійснено через π, 2π функцію залишаємо; якщо ні - то замінюємо на відповідну з пари (sin,cos), (tg,ctg)
Тригонометричні функції подвійного аргументу:
sin2α = 2sinα · cosα
cos2α = cos²α-sin²α
cos(α-β) = cosα · cosβ + sinα · sinβ
tg2α = \frac{2tg\alpha}{1-tg^2\alpha}
Cума та різниця тригонометричних функцій:
sinα + sinβ = 2sin\frac{\alpha + \beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}
sinα-sinβ = 2sin\frac{\alpha-\beta}{2}cos\frac{\alpha + \beta}{2}
cosα + cosβ = 2cos\frac{\alpha + \beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}
cosα-cosβ = -2sin\frac{\alpha + \beta}{2}sin\frac{\alpha-\beta}{2}
Формули половинного аргументу:
sin²\frac{\alpha}{2} = \frac{1-cos\alpha}{2}
cos²\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + cos\alpha}{2}
tg²\frac{\alpha}{2}"> = \frac{1-cos\alpha}{1 + cos\alpha}

Завдання 1. Укажіть вираз, тотожно рівний виразу (cosx-sinx)².

cos2x

cos2x-sin2x

cos2x-1

1-sin2x

1

Показати відповідь

Г.
(cosx - sinx)² = cos²x - 2 ∙ cosx ∙ sinx + sin²x = 1 - sin2x.

---

Завдання 2. \frac{7-(sin^2\beta + cos^2\beta)}{3sin^2\beta + 3cos^2\beta} = ?

\frac{7}{6}

\frac{7}{3}

\frac{8}{3}

12

2

Показати відповідь

Д.
\frac{7-(sin^2\beta + cos^2\beta)}{3sin^2\beta + 3cos^2\beta} = \frac{7-1}{3(sin^2\beta + cos^2\beta)} = \frac{6}{3} = 2.

Завдання 3. sin²2x=

2sin²x

4sin²x

4sin²xcos²x

2sin²xcos²x

sin4x²

Показати відповідь

В.
sin²2x=(2sinxcosx)²=4sin²xcos²x.

Завдання 4. Спростіть вираз 2cos(450° + α) – sinα.

sinα

–3sinα

-2cosα-sinα

2cosα-sinα

3sinα

Показати відповідь

Б.
2cos(450° + α) – sinα = 2cos((360° + 90°) + α) – sinα = 2cos(90° + α) – sinα = -2sinα – sinα = -3sinα.

Завдання 5. \frac{cos\alpha{tg\alpha}}{sin^2\alpha} = ?

sinα

\frac{1}{sin^2\alpha}

\frac{1}{sin\alpha}

cosα

1

Показати відповідь

В.
\frac{cos\alpha{tg\alpha}}{sin^2\alpha} = \frac{cos\alpha\frac{sin\alpha}{cos\alpha}}{sin^2\alpha} = \frac{sin\alpha}{sin^2\alpha} = \frac{1}{sin\alpha}.

Завдання 6. Якому проміжку належить значення виразу sin\frac{7\pi}{6}-1?

(-∞;-2)

[-2;-1)

[-1;0)

[0;1)

[1; + ∞)

Показати відповідь

Б.
sin\frac{7\pi}{6}-1 = sin\frac{6\pi + \pi}{6}-1 = sin(\pi + \frac{\pi}{6})-1 = -sin\frac{\pi}{6}-1 = -0,5-1 = -1,5. Дане число належить проміжку [-2;-1).

Завдання 7. Обчисліть значення виразу 4sin²α, якщо 4cos²α = 1.

3

\frac{3}{4}

\frac{1}{4}

4

0

Показати відповідь

А.
Якщо основну тригонометричну тотожність помножити на 4, то маємо 4sin²α + 4cos²α = 4. Підставивши у цю рівність замість 4cos²α 1 отримуємо 4sin²α + 1 = 4. Звідси 4sin²α = 3.

Завдання 8. Спростіть вираз (1 + tg²α)sin²α.

\frac{1}{tg^2\alpha}

1

cos²αsin²α

cos²α

tg²α

Показати відповідь

Д.
(1 + tg²α)sin²α = \frac{1}{cos^2\alpha}sin²α = \frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha} = tg²α.

Завдання 9. Спростіть вираз 2sin²α·ctgα.

cos2α

2cos2α

\frac{2sin^3\alpha}{cos\alpha}

2sin2α

sin2α

Показати відповідь

Д.
2sin²α·ctgα = 2sin²α·(cosα:sinα) = 2sinα·cosα = sin2α.

Завдання 10. \frac{cos(90^{o} + \alpha)}{sin\alpha} = ?

-1

ctgα

tgα

-ctgα

1

Показати відповідь

А.
\frac{cos(90^{o} + \alpha)}{sin\alpha} = \frac{-sin\alpha}{sin\alpha} = -1.

Завдання 11. Обчисліть значення виразу sinα + sinβ, якщо α-β = 180°.

1

\frac{1}{2}

0

-\frac{1}{2}

інша відповідь

Показати відповідь

В.
З рівності α - β = 180° маємо α = 180° + β. За формулами зведення sinα = sin(180° + β) = -sinβ. Тоді sinα + sinβ = -sinβ + sinβ = 0.

Завдання 12. 1-sinαctgαcosα =

cos2α

1-sin2α

0

cos²α

sin²α

Показати відповідь

Д.
1 - sinαctgαcosα = 1-sinα\frac{cos\alpha}{sin\alpha}cosα = 1-cosα · cosα = 1-cos²α = sin²α.

Завдання 13. 1-sin²α-cos²α =

-2

0

1

2cos²α

1 + cos2α

Показати відповідь

Б.
1 — sin²α - cos²α = 1 - (sin²α + cos²α) = 1 - 1 = 0.

Завдання 14. (1-sin²α) · tg²α.

sin2α

cos2α

\frac{cos^4\alpha}{sin^2\alpha}

sin²α

ctg²α

Показати відповідь

Г.
(1 - sin²α) · tg²α = cos²α · tg²α = cos²α · (sin²α:cos²α) = sin²α.

Завдання 15. (1-cos²α) · ctg²α.

cos²α

sin2α

\frac{sin^4\alpha}{cos^2\alpha}

sin²α

tg²α

Показати відповідь

А.
(1 - cos²α) · ctg²α = sin²α · ctg²α = sin²α · (cos²α:sin²α) = cos²α.

Завдання 16. Спростіть вираз \frac{1}{1 + tg^2\alpha}.

cos²α

sin²α

tg²α

ctg²α

1

Показати відповідь

А.
\frac{1}{1 + tg^2\alpha} = \frac{1}{\frac{1}{cos^2\alpha}} = cos²α.

Завдання 17. Спростіть вираз sin²α(1-ctg²α).

cos(2α)

tg²α

1

ctg²α

-cos(2α)

Показати відповідь

Д.
sin²α(1-ctg²α) = sin²α(1-\frac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha}) = sin²α · \frac{sin^2\alpha-cos^2\alpha}{sin^2\alpha} = sin²α-cos²α = -(cos²α-sin²α) = -cos2α.

Завдання 18. Яка з наведених рівностей є тотожністю?

sin⁴α + cos⁴α = 1

sinα + cosα = 1

1 + cos²α = sin²α

sin²α-1 = cos²α

1-cos²α = sin²α

Показати відповідь

Д.
Слідує з основної тригонометричної тотожності.

Завдання 19. Якщо 2cosα-5sinα = 0, то tgα =

\frac{2}{5}

-\frac{2}{5}

-3

-\frac{5}{2}

\frac{5}{2}

Показати відповідь

А.
З даної рівності маємо 5sinα = 2cosα. Поділивши ліву і праву частину на 5cosα, маємо tgα = \frac{2}{5}.

Завдання 20. Обчисліть tgα, якщо 4sinα-cosα = 2cosα-sinα.

\frac{3}{5}

\frac{1}{3}

\frac{1}{5}

3

\frac{5}{3}

Показати відповідь

А.
З даної рівності маємо 5sinα = 3cosα. Поділивши ліву і праву частину на 5cosα, маємо tgα = \frac{3}{5}.

Завдання 21. Якщо 2sinα = cosα, то tgα =

-2

-0,5

0,2

0,5

2

Показати відповідь

Г.
Поділивши ліву і праву частину на 2cosα, маємо tgα = \frac{1}{2} = 0,5.

Завдання 22. Обчисліть cos⁴\frac{\pi}{12}-sin⁴\frac{\pi}{12}

1

\frac{\sqrt{3}}{2}

\frac{1}{2}

\frac{\sqrt{2}}{2}

Інша відповідь

Показати відповідь

Б.
cos⁴\frac{\pi}{12}-sin⁴\frac{\pi}{12} = cos²²\frac{\pi}{12}-sin²²\frac{\pi}{12} = (cos²\frac{\pi}{12}-sin²\frac{\pi}{12})(cos²\frac{\pi}{12} + sin²\frac{\pi}{12}) = cos²\frac{\pi}{12}-sin²\frac{\pi}{12} = cos2\cdot\frac{\pi}{12} = cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Завдання 23. Обчисліть значення виразу sin\frac{7\pi}{2} + cos5π.

-2

1

0

1

2

Показати відповідь

А.
sin\frac{7\pi}{2} + cos5π = sin\frac{4\pi + 3\pi}{2} + cos(4π + π) = sin(2π + \frac{3\pi}{2}) + cosπ = sin\frac{3\pi}{2} + cosπ = -1-1 = -2.

Завдання 24. Якому проміжку належить значення виразу sin410°?

(-1;-\frac{1}{2})

\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)

\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right)

\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)

(\frac{\sqrt{3}}{2};1)

Показати відповідь

Г.
sin410° = sin(360 + 50)° = sin50°. Оскільки кут 50° належить першій чверті, де функція y = sinα зростаюча, то з нерівності 45°<50°<60° маємо sin45°<sin50°<sin60°. Отже \frac{\sqrt{2}}{2}<sin410°<\frac{\sqrt{3}}{2}.

Завдання 25. На одиничному колі зображено точку Р(-0,8;0,6) і кут α (див. рисунок). Визначте cosα.

-0,8

0,6

0,8

-0,6

-\frac{\sqrt{3}}{2}

Показати відповідь

А.
Оскільки cosα відповідає абсцисі (першій координаті) точки P, то cosα = -0,8.

Завдання 26. Розташуйте в порядку зростання числа: a = tg36°, b = tg93°, c = tg180°.

b; c; a

c; b; a

a; b; c

c; a; b

b; a; c

Показати відповідь

А.
c = tg180° = 0. Так як кут 36° належить першій чверті, то tg36°>0. Так як кут 93° належить другій чверті, то tg93°<0. Оскільки за зростанням спочатку йдуть від'ємні числа, потім 0, потім додатні числа, то маємо tg93°; tg180°;tg36°.

Завдання 27. Укажіть правильну нерівність, якщо a = sin120°, b = cos120°.

0<b<a

a<0<b

a<b<0

0<a<b

b<0<a

Показати відповідь

Д.
Так як кут 120° належить другій чверті, то sin120°>0, а cos120°<0. Тоді cos120°<0<sin120°.

Завдання 28. Укажіть нерівність, що виконується для α∈(\frac{\pi}{2};π).

1-sin²α<0

cosα∙tgα<0

cos²α + sin²α<0

1-cos²α<0

sinα∙ctgα<0

Показати відповідь

Д.
1-sin²α = cos²α>0. cosα∙tgα = sinα>0 (в другій чверті синус додатній). cos²α + sin²α = 1>0. 1-cos²α = sin²α>0. sinα∙ctgα = cosα<0 (в другій чверті косинус від'ємний).

Завдання 29. Відомо, що ctgα<0, cosα>0. Якого значення може набувати sinα?

-1

-\frac{1}{2}

0

\frac{1}{2}

1

Показати відповідь

Б.
Оскільки ctgα<0, cosα>0, то кут належить 4 чверті, де синус від'ємний. Маємо два від'ємних значення -1 та -\frac{1}{2}, але при sinα = -1 cosα = 0 (з основної тригонометричної тотожності), що суперечить умові. Отже sinα = -\frac{1}{2}.

Завдання 30. До кожного виразу (1-4) доберіть тотожно йому рівний (А-Д).

1 1-cos²α
2 2sinαcosα
3 cos²α-sin²α
4 (1-sinα)(1 + sinα)

А cos²α
Б cos2α
В sin2α
Г -cos2α
Д sin²α

Показати відповідь

1-Д, 2-В, 3-Б, 4-А.
1) 1-cos²α = sin²α.
2) 2sinαcosα = sin2α.
3) cos²α-sin²α = cos2α.
4) (1-sinα)(1 + sinα) = 1-sin²α = cos²α.

Завдання 31. Знайдіть значення виразу tgα + ctgα, якщо α = 15°.

Показати відповідь

4.
tgα + ctgα = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} + \frac{cos\alpha}{sin\alpha} = \frac{sin^2\alpha + cos^2\alpha}{cos\alpha\cdot{sin\alpha}} = \frac{1}{\frac{1}{2}sin(2\cdot\alpha)} = \frac{1}{\frac{1}{2}sin(2\cdot15^0)} = \frac{1}{\frac{1}{2}sin30^0} = \frac{1}{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4.

Завдання 32. Обчисліть 2\sqrt{13}cos\left(arctg\frac{2}{3}\right).

Показати відповідь

6.
Нехай arctg\frac{2}{3} = x. Тоді ми маємо, що потрібно знайти значення 2\sqrt{13}cosx. З першої рівності маємо \frac{2}{3} = tgx. Підставимо це значення у тотожність 1 + tg²x = \frac{1}{cos^2x}. Отримаємо:
1 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{1}{cos^2x}
1 + \frac{4}{9} = \frac{1}{cos^2x}
\frac{13}{9} = \frac{1}{cos^2x}
\frac{9}{13} = cos²x
cosx = \frac{3}{\sqrt{13}}
Підставивши це значення у завдання маємо 2\sqrt{13}cosx = 2\sqrt{13}\cdot\frac{3}{\sqrt{13}} = 6.

Завдання 33. Обчисліть значення виразу sin2α, якщо ctgα = \frac{-1}{2}.

Показати відповідь

-0,8.
sin2α = 2sinαcosα = \frac{2sin\alpha\cdot{cos\alpha}}{1} = \frac{\frac{2sin\alpha\cdot{cos\alpha}}{sin^2\alpha}}{\frac{1}{sin^2\alpha}} = \frac{\frac{2cos\alpha}{sin\alpha}}{1 + ctg^2\alpha} = \frac{2ctg\alpha}{1 + ctg^2\alpha} = \frac{2\cdot\frac{-1}{2}}{1 + \left(\frac{-1}{2}\right)^2} = \frac{-1}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{-1}{\frac{5}{4}} = -\frac{4}{5} = -0,8.

Завдання 34. Обчисліть значення виразу 2sinαcosα, якщо sinα + cosα = 1,2.

Показати відповідь

0,44.
sinα + cosα = 1,2. Піднесемо до квадрату обидві частини рівності.
(sinα + cosα)² = 1,2²
sin²α + 2sinαcosα + cos²α = 1,44
(sin²α + cos²α) + 2sinαcosα = 1,44
1 + 2sinαcosα = 1,44
2sinαcosα = 1,44-1
2sinαcosα = 0,44.

⇐ І.6.
Логарифмічні вирази До змісту (НМТ/ЗНО) ІІ.1.
Лінійні, квадратні, дробово-раціональні рівняння ⇒