Тригонометричні вирази — один із найбільш змістовних розділів математики, що вивчає властивості періодичних функцій та співвідношення між аргументами. Розуміння цієї теми є обов’язковим для абітурієнтів, адже завдання з тригонометрії щорічно входять до структури НМТ, вимагаючи від учнів не лише знання великої кількості формул, а й уміння бачити логічні зв’язки між ними для ефективного спрощення виразів.
На цій сторінці ви знайдете повний перелік необхідних формул — від основної тотожності та значень табличних кутів до формул подвійного аргументу та зведення. Практична частина містить розбір тестових завдань, де ми наочно продемонструємо, як правильно визначати знаки функцій у різних чвертях одиничного кола, як працювати з оберненими тригонометричними функціями та як уникати типових помилок при перетвореннях.
| Функція | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| sin | 0 | 12 | √22 | √32 | 1 | 0 | -1 |
| cos | 1 | √32 | √22 | 12 | 0 | -1 | 0 |
| tg | 0 | √33 | 1 | √3 | — | 0 | — |
| сtg | — | √3 | 1 | √33 | 0 | — | 0 |
sin²α + cos²α = 1 tgα·ctgα = 1 1 + tg²α = 1cos²α 1 + ctg²α = 1sin²α tgα = sinαcosα ctgα = cosαsinα
Тригонометричні функції суми кутів:
sin(α + β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ sin(α-β) = sinα · cosβ-cosα · sinβ cos(α + β) = cosα · cosβ-sinα · sinβ cos(α-β) = cosα · cosβ + sinα · sinβ tg(α + β) = tgα + tgβ1 - tgαtgβ tg(α-β) = tgα - tgβ1 + tgαtgβ
Формули зведення:
1. Визначити знак функції для даного кута.
| Функція | (0, 90°) | (90°, 180°) | (180°, 270°) | (270°, 360°) |
|---|---|---|---|---|
| sin | + | + | - | - |
| cos | + | - | - | + |
| tg,ctg | + | - | + | - |
Тригонометричні функції подвійного аргументу:
sin2α = 2sinα · cosα cos2α = cos²α-sin²α tg2α = 2tgα1 - tg²α
Сума та різниця тригонометричних функцій:
sinα + sinβ = 2sinα + β2cosα - β2
sinα-sinβ = 2sinα - β2cosα + β2
cosα + cosβ = 2cosα + β2cosα - β2
cosα-cosβ = -2sinα + β2sinα - β2
Формули половинного аргументу:
sin²α2 = 1 - cosα2 cos²α2 = 1 + cosα2 tg²α2 = 1 - cosα1 + cosα
cos2x
cos2x - sin2x
cos2x - 1
1 - sin2x
1
Показати відповідь
Г.
(cosx - sinx)² = cos²x - 2 ∙ cosx ∙ sinx + sin²x = 1 - sin2x.
(cosx - sinx)² = cos²x - 2 ∙ cosx ∙ sinx + sin²x = 1 - sin2x.
Завдання 2. 7 - (sin²β + cos²β)3sin²β + 3cos²β = ?
76
73
83
12
2
Показати відповідь
Д.
7 - (sin²β + cos²β)3sin²β + 3cos²β = 7 - 13(sin²β + cos²β) = 63 ∙ 1 = 2.
Завдання 3. sin²2x =
7 - (sin²β + cos²β)3sin²β + 3cos²β = 7 - 13(sin²β + cos²β) = 63 ∙ 1 = 2.
2sin²x
4sin²x
4sin²xcos²x
2sin²xcos²x
sin4x²
Показати відповідь
В.
sin²2x = (2sinxcosx)² = 4sin²xcos²x.
Завдання 4. Спростіть вираз 2cos(450° + α) – sinα.
sin²2x = (2sinxcosx)² = 4sin²xcos²x.
sinα
–3sinα
-2cosα - sinα
2cosα - sinα
3sinα
Показати відповідь
Б.
2cos(450° + α) – sinα = 2cos((360° + 90°) + α) – sinα = 2cos(90° + α) – sinα = -2sinα – sinα = -3sinα.
Завдання 5. cosαtgαsin²α = ?
2cos(450° + α) – sinα = 2cos((360° + 90°) + α) – sinα = 2cos(90° + α) – sinα = -2sinα – sinα = -3sinα.
sinα
1sin²α
1sinα
cosα
1
Показати відповідь
В.
cosαtgαsin²α = cosα · sinαcosαsin²α = sinαsin²α = 1sinα.
Завдання 6. Якому проміжку належить значення виразу sin7π6 - 1?
cosαtgαsin²α = cosα · sinαcosαsin²α = sinαsin²α = 1sinα.
(-∞; -2)
[-2; -1)
[-1; 0)
[0; 1)
[1; +∞)
Показати відповідь
Б.
sin7π6 - 1 = sin6π + π6 - 1 = sin(π + π6) - 1 = -sinπ6 - 1 = -0,5 - 1 = -1,5. Дане число належить проміжку [-2;-1).
Завдання 7. Обчисліть значення виразу 4sin²α, якщо 4cos²α = 1.
sin7π6 - 1 = sin6π + π6 - 1 = sin(π + π6) - 1 = -sinπ6 - 1 = -0,5 - 1 = -1,5. Дане число належить проміжку [-2;-1).
3
34
14
4
0
Показати відповідь
А.
Якщо основну тригонометричну тотожність помножити на 4, то маємо 4sin²α + 4cos²α = 4. Підставивши у цю рівність замість 4cos²α 1 отримуємо 4sin²α + 1 = 4. Звідси 4sin²α = 3.
Завдання 8. Спростіть вираз (1 + tg²α)sin²α.
Якщо основну тригонометричну тотожність помножити на 4, то маємо 4sin²α + 4cos²α = 4. Підставивши у цю рівність замість 4cos²α 1 отримуємо 4sin²α + 1 = 4. Звідси 4sin²α = 3.
1tg²α
1
cos²αsin²α
cos²α
tg²α
Показати відповідь
Д.
(1 + tg²α)sin²α = 1cos²α · sin²α = sin²αcos²α = tg²α.
Завдання 9. Спростіть вираз 2sin²α · ctgα.
(1 + tg²α)sin²α = 1cos²α · sin²α = sin²αcos²α = tg²α.
cos2α
2cos2α
2sin³αcosα
2sin2α
sin2α
Показати відповідь
Д.
2sin²α · ctgα = 2sin²α · cosαsinα = 2sinα · cosα = sin2α.
Завдання 10. cos(90° + α)sinα = ?
2sin²α · ctgα = 2sin²α · cosαsinα = 2sinα · cosα = sin2α.
-1
ctgα
tgα
-ctgα
1
Показати відповідь
А.
cos(90° + α)sinα = -sinαsinα = -1.
Завдання 11. Обчисліть значення виразу sinα + sinβ, якщо α - β = 180°.
cos(90° + α)sinα = -sinαsinα = -1.
1
12
0
-12
інша відповідь
Показати відповідь
В.
З рівності α - β = 180° маємо α = 180° + β. За формулами зведення sinα = sin(180° + β) = -sinβ. Тоді sinα + sinβ = -sinβ + sinβ = 0.
Завдання 12. 1 - sinαctgαcosα =
З рівності α - β = 180° маємо α = 180° + β. За формулами зведення sinα = sin(180° + β) = -sinβ. Тоді sinα + sinβ = -sinβ + sinβ = 0.
cos2α
1-sin2α
0
cos²α
sin²α
Показати відповідь
Д.
1 - sinαctgαcosα = 1 - sinα · cosαsinα · cosα = 1 - cosα · cosα = 1 - cos²α = sin²α.
Завдання 13. 1 - sin²α - cos²α =
1 - sinαctgαcosα = 1 - sinα · cosαsinα · cosα = 1 - cosα · cosα = 1 - cos²α = sin²α.
-2
0
1
2cos²α
1 + cos2α
Показати відповідь
Б.
1 - sin²α - cos²α = 1 - (sin²α + cos²α) = 1 - 1 = 0.
Завдання 14. (1 - sin²α) · tg²α.
1 - sin²α - cos²α = 1 - (sin²α + cos²α) = 1 - 1 = 0.
sin2α
cos2α
cos⁴αsin²α
sin²α
ctg²α
Показати відповідь
Г.
(1 - sin²α) · tg²α = cos²α · tg²α = cos²α · sin²αcos²α = sin²α.
Завдання 15. (1 - cos²α) · ctg²α.
(1 - sin²α) · tg²α = cos²α · tg²α = cos²α · sin²αcos²α = sin²α.
cos²α
sin2α
sin⁴αcos²α
sin²α
tg²α
Показати відповідь
А.
(1 - cos²α) · ctg²α = sin²α · ctg²α = sin²α · cos²αsin²α = cos²α.
Завдання 16. Спростіть вираз 11 + tg²α.
(1 - cos²α) · ctg²α = sin²α · ctg²α = sin²α · cos²αsin²α = cos²α.
cos²α
sin²α
tg²α
ctg²α
1
Показати відповідь
А.
11 + tg²α = 1 : (1 + tg²α) = 1 : 1cos²α = cos²α.
Завдання 17. Спростіть вираз sin²α(1 - ctg²α).
11 + tg²α = 1 : (1 + tg²α) = 1 : 1cos²α = cos²α.
cos(2α)
tg²α
1
ctg²α
-cos(2α)
Показати відповідь
Д.
sin²α(1 - ctg²α) = sin²α - sin²αctg²α = sin²α - sin²α · cos²αsin²α = sin²α - cos²α = -(cos²α - sin²α) = -cos2α.
Завдання 18. Яка з наведених рівностей є тотожністю?
sin²α(1 - ctg²α) = sin²α - sin²αctg²α = sin²α - sin²α · cos²αsin²α = sin²α - cos²α = -(cos²α - sin²α) = -cos2α.
sin⁴α + cos⁴α = 1
sinα + cosα = 1
1 + cos²α = sin²α
sin²α - 1 = cos²α
1-cos²α = sin²α
Показати відповідь
Д.
Випливає з основної тригонометричної тотожності.
Завдання 19. Якщо 2cosα - 5sinα = 0, то tgα =
Випливає з основної тригонометричної тотожності.
25
-25
-3
-52
52
Показати відповідь
А.
З даної рівності маємо 5sinα = 2cosα. Поділивши ліву і праву частину на 5cosα, маємо tgα = 25.
Завдання 20. Обчисліть tgα, якщо 4sinα - cosα = 2cosα - sinα.
З даної рівності маємо 5sinα = 2cosα. Поділивши ліву і праву частину на 5cosα, маємо tgα = 25.
35
13
15
3
53
Показати відповідь
А.
З даної рівності маємо 5sinα = 3cosα. Поділивши ліву і праву частину на 5cosα, маємо tgα = 35.
Завдання 21. Якщо 2sinα = cosα, то tgα =
З даної рівності маємо 5sinα = 3cosα. Поділивши ліву і праву частину на 5cosα, маємо tgα = 35.
-2
-0,5
0,2
0,5
2
Показати відповідь
Г.
Поділивши ліву і праву частину на 2cosα, маємо tgα = 12 = 0,5.
Завдання 22. Обчисліть cos⁴π12 - sin⁴π12.
Поділивши ліву і праву частину на 2cosα, маємо tgα = 12 = 0,5.
1
√32
12
√22
Інша відповідь
Показати відповідь
Б.
cos⁴π12 - sin⁴π12 = (cos²π12)² - (sin²π12)² = (cos²π12 - sin²π12)(cos²π12 + sin²π12) = cos(2 · π12) · 1 = cosπ6 = √32.
Завдання 23. Обчисліть значення виразу sin7π2 + cos5π.
cos⁴π12 - sin⁴π12 = (cos²π12)² - (sin²π12)² = (cos²π12 - sin²π12)(cos²π12 + sin²π12) = cos(2 · π12) · 1 = cosπ6 = √32.
-2
-1
0
1
2
Показати відповідь
А.
sin7π2 + cos5π = sin4π + 3π2 + cos(4π + π) = sin(2π + 3π2) + cosπ = sin3π2 + cosπ = -1 - 1 = -2.
Завдання 24. Якому проміжку належить значення виразу sin410°?
sin7π2 + cos5π = sin4π + 3π2 + cos(4π + π) = sin(2π + 3π2) + cosπ = sin3π2 + cosπ = -1 - 1 = -2.
(-1; -12)
(-12; 12)
(12; √22)
(√22; √32)
(√32; 1)
Показати відповідь
Г.
sin410° = sin(360° + 50°) = sin50°. Оскільки кут 50° належить першій чверті, де функція y = sinα зростаюча, то з нерівності 45° < 50° < 60° маємо sin45° < sin50° < sin60°. Отже √22 < sin410° < √32.
Завдання 25. На одиничному колі зображено точку Р(-0,8;0,6) і кут α (див. рисунок). Визначте cosα.
sin410° = sin(360° + 50°) = sin50°. Оскільки кут 50° належить першій чверті, де функція y = sinα зростаюча, то з нерівності 45° < 50° < 60° маємо sin45° < sin50° < sin60°. Отже √22 < sin410° < √32.
-0,8
0,6
0,8
-0,6
-√32
Показати відповідь
А.
Оскільки cosα відповідає абсцисі (першій координаті) точки P, то cosα = -0,8.
Завдання 26. Розташуйте в порядку зростання числа: a = tg36°, b = tg93°, c = tg180°.
Оскільки cosα відповідає абсцисі (першій координаті) точки P, то cosα = -0,8.
b; c; a
c; b; a
a; b; c
c; a; b
b; a; c
Показати відповідь
А.
c = tg180° = 0. Оскільки кут 36° належить першій чверті, то tg36° > 0. Оскільки кут 93° належить другій чверті, то tg93° < 0. Оскільки за зростанням спочатку йдуть від'ємні числа, потім 0, потім додатні числа, то маємо tg93°; tg180°; tg36°.
Завдання 27. Укажіть правильну нерівність, якщо a = sin120°, b = cos120°.
c = tg180° = 0. Оскільки кут 36° належить першій чверті, то tg36° > 0. Оскільки кут 93° належить другій чверті, то tg93° < 0. Оскільки за зростанням спочатку йдуть від'ємні числа, потім 0, потім додатні числа, то маємо tg93°; tg180°; tg36°.
0 < b < a
a < 0 < b
a < b < 0
0 < a < b
b < 0 < a
Показати відповідь
Д.
Так як кут 120° належить другій чверті, то sin120° > 0, а cos120° < 0. Тоді cos120° < 0 < sin120°.
Завдання 28. Укажіть нерівність, що виконується для α∈(π2; π).
Так як кут 120° належить другій чверті, то sin120° > 0, а cos120° < 0. Тоді cos120° < 0 < sin120°.
1 - sin²α < 0
cosα ∙ tgα < 0
cos²α + sin²α < 0
1 - cos²α < 0
sinα ∙ ctgα < 0
Показати відповідь
Д.
1 - sin²α = cos²α > 0. cosα ∙ tgα = sinα > 0 (у другій чверті синус додатний). cos²α + sin²α = 1 > 0. 1 - cos²α = sin²α > 0. sinα ∙ ctgα = cosα < 0 (у другій чверті косинус від'ємний).
Завдання 29. Відомо, що ctgα < 0, cosα > 0. Якого значення може набувати sinα?
1 - sin²α = cos²α > 0. cosα ∙ tgα = sinα > 0 (у другій чверті синус додатний). cos²α + sin²α = 1 > 0. 1 - cos²α = sin²α > 0. sinα ∙ ctgα = cosα < 0 (у другій чверті косинус від'ємний).
-1
-12
0
12
1
Показати відповідь
Б.
Оскільки ctgα < 0, cosα > 0, то кут належить 4 чверті, де синус від'ємний. Серед наведених варіантів є два від'ємні значення: −1 та -12, але при sinα = -1 cosα = 0 (з основної тригонометричної тотожності), що суперечить умові. Отже sinα = -12.
Завдання 30. До кожного виразу (1-4) доберіть тотожно йому рівний (А-Д).
Оскільки ctgα < 0, cosα > 0, то кут належить 4 чверті, де синус від'ємний. Серед наведених варіантів є два від'ємні значення: −1 та -12, але при sinα = -1 cosα = 0 (з основної тригонометричної тотожності), що суперечить умові. Отже sinα = -12.
1 1 - cos²α
2 2sinαcosα
3 cos²α - sin²α
4 (1 - sinα)(1 + sinα)
2 2sinαcosα
3 cos²α - sin²α
4 (1 - sinα)(1 + sinα)
А cos²α
Б cos2α
В sin2α
Г -cos2α
Д sin²α
Б cos2α
В sin2α
Г -cos2α
Д sin²α
Показати відповідь
1-Д, 2-В, 3-Б, 4-А.
1) 1 - cos²α = sin²α.
2) 2sinαcosα = sin2α.
3) cos²α - sin²α = cos2α.
4) (1 - sinα)(1 + sinα) = 1 - sin²α = cos²α.
Завдання 31. Знайдіть значення виразу tgα + ctgα, якщо α = 15°.
1) 1 - cos²α = sin²α.
2) 2sinαcosα = sin2α.
3) cos²α - sin²α = cos2α.
4) (1 - sinα)(1 + sinα) = 1 - sin²α = cos²α.
Показати відповідь
4.
tgα + ctgα = sinαcosα + cosαsinα = sin²α + cos²αcosα · sinα = 1cosα · sinα = 22sinαcosα = 2sin2α
2sin(2 · 15°) = 2sin30° = 2 : 12 = 2 · 2 = 4.
Завдання 32. Обчисліть 2√13cos(arctg23).
tgα + ctgα = sinαcosα + cosαsinα = sin²α + cos²αcosα · sinα = 1cosα · sinα = 22sinαcosα = 2sin2α
2sin(2 · 15°) = 2sin30° = 2 : 12 = 2 · 2 = 4.
Показати відповідь
6.
Нехай arctg23 = x. Тоді ми маємо, що потрібно знайти значення 2√13cosx. З першої рівності маємо 23 = tgx. Підставимо це значення у тотожність 1 + tg²x = 1cos²x. Отримаємо:
1 + (23)² = 1cos²x
1 + 49 = 1cos²x
99 + 49 = 1cos²x
139 = 1cos²x
913 = cos²x
cosx = 3√13
Підставивши це значення у завдання маємо 2√13cosx = 2√13 · 3√13 = 6.
Завдання 33. Обчисліть значення виразу sin2α, якщо ctgα = -12.
Нехай arctg23 = x. Тоді ми маємо, що потрібно знайти значення 2√13cosx. З першої рівності маємо 23 = tgx. Підставимо це значення у тотожність 1 + tg²x = 1cos²x. Отримаємо:
1 + (23)² = 1cos²x
1 + 49 = 1cos²x
99 + 49 = 1cos²x
139 = 1cos²x
913 = cos²x
cosx = 3√13
Підставивши це значення у завдання маємо 2√13cosx = 2√13 · 3√13 = 6.
Показати відповідь
-0,8.
sin2α = 2sinαcosα = 2sinα · cosα1 = 2sinα · cosαcos²α1cos²α = 2sinαcosα1 + tg²α = 2tgα1 + tg²α. Оскільки ctgα = -12, то tgα = 1 : ctgα = -2. Маємо sin2α = 2 · (-2)1 + (-2)² = -41 + 4 = -45 = -0,8.
Завдання 34. Обчисліть значення виразу 2sinαcosα, якщо sinα + cosα = 1,2.
sin2α = 2sinαcosα = 2sinα · cosα1 = 2sinα · cosαcos²α1cos²α = 2sinαcosα1 + tg²α = 2tgα1 + tg²α. Оскільки ctgα = -12, то tgα = 1 : ctgα = -2. Маємо sin2α = 2 · (-2)1 + (-2)² = -41 + 4 = -45 = -0,8.
Показати відповідь
0,44.
sinα + cosα = 1,2. Піднесемо до квадрату обидві частини рівності.
(sinα + cosα)² = 1,2²
sin²α + 2sinαcosα + cos²α = 1,44
(sin²α + cos²α) + 2sinαcosα = 1,44
1 + 2sinαcosα = 1,44
2sinαcosα = 1,44 - 1
2sinαcosα = 0,44.
sinα + cosα = 1,2. Піднесемо до квадрату обидві частини рівності.
(sinα + cosα)² = 1,2²
sin²α + 2sinαcosα + cos²α = 1,44
(sin²α + cos²α) + 2sinαcosα = 1,44
1 + 2sinαcosα = 1,44
2sinαcosα = 1,44 - 1
2sinαcosα = 0,44.
Коментарі