Перейти до основного вмісту

Многокутники. Паралелограм та його властивості

    Властивості чотирикутника
    • Сума кутів чотирикутника 360o
    • Якщо навколо чотирикутника можна описати коло, то в нього сума протилежних кутів дорівнює 180o
    • Якщо в чотирикутник можна вписати коло, то в нього суми протилежних сторін рівні

    Паралелограм - чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні
    Властивості паралелограма
    • Протилежні сторони паралелограма рівні
    • Протилежні кути паралелограма рівні
    • Сума сусідніх кутів паралелограма 180o
    • Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину поділяються навпіл
  1. НМТ 2024. Які з наведених тверджень є правильними?
    І. Існує паралелограм, діагональ якого дорівнює сумі двох його сусідніх сторін.
    ІІ. Існує паралелограм, один із кутів якого вдвічі більший за інший кут.
    ІІІ. Існує паралелограм, діагоналі якого перпендикулярні.
    АБВГД
    лише ІІ лише І та ІІІ лише ІІ та ІІІ лише І та ІІ І, ІІ та ІІІ
    Показати відповідь
    В.
  2. Сума трьох кутів паралелограма дорівнює 280о. Визначте градусну міру більшого кута цього паралелограма.
    АБВГД
    100о 80о 140о 40о 120о
    Показати відповідь
    А.
    Сума чотирьох кутів паралелограма дорівнює 360о. Тому четвертий кут паралелограма дорівнює 360о-280о=80о. Сума сусідніх кутів паралелограма 180о. Тоді другий кут паралелограма дорівнює 180о-80о=100о. Більший з отриманих кутів 100о.
  3. Які з наведених тверджень є правильними?
    І. Діагоналі будь-якого паралелограма рівні.
    ІІ. Протилежні кути будь-якого паралелограма рівні.
    ІІІ. Відстані від точки перетину діагоналей будь-якого паралелограма до його протилежних сторін рівні.
    АБВГД
    лише ІІ лише І і ІІІ І, ІІ, ІІІ лише І і ІІ лише ІІ і ІІІ
    Показати відповідь
    Д.
    1. Діагоналі паралелограма рівні лише, якщо це прямокутник (квадрат). Хибне твердження.
    2. Протилежні кути паралелограма завжди рівні. Правильне твердження.
    3. Так. Дані відстані є висотами трикутників, які утворені діагоналями та протилежними сторонами. Ці трикутники у паралелограма рівні, відповідно рівні і відстані.
  4. Яке з наведених тверджень є хибним?
    А протилежні сторони паралелограма рівні
    Б сума двох кутів паралелограма, прилеглих до однієї сторони, дорівнює 1800
    В діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл
    Г площа паралелограма дорівнює добутку двох його сусідніх сторін на синус кута між ними
    Д площа паралелограма дорівнює половині добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони
    Показати відповідь
    Д.
    Площа паралелограма дорівнює половині добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони.
  5. На рисунку зображено паралелограм АВСD. Які з наведених тверджень є правильними?
    І. ∠АВС+∠BCD=180o.
    ІІ. АВ=CD.
    III. AC⊥BD.

    АБВГД
    лише І лише ІІ і ІІІ лише І і ІІ лише І і ІІІ лише ІІ
    Показати відповідь
    В.
    І. Сума двох суміжних кутів паралелограма дійсно дорівнює 180o. Правильно.
    ІІ. Протилежні сторони паралелограма дійсно рівні. Правильно.
    ІІІ. Діагоналі паралелограма в загальному випадку не перпендикулярні. Не є правильним.
  6. Довжина сторони АВ паралелограма АВСD дорівнює 10 см, а його периметр — 60 см. Визначте довжину сторони ВС.
    АБВГД
    50 см 40 см 25 см 20 см 6 см
    Показати відповідь
    Г.
    Нехай довжина сторони ВС дорівнює х. Тоді, враховуючи, що протилежні сторони паралелограма рівні, а периметр - це сума всіх сторін, маємо Р=10+х+10+х=20+2х. Підставимо значення периметру і маємо рівняння 20+2х=60, звідки 2х=40 і х=20 см.
  7. Бісектриса гострого кута А паралелограма АВСD ділить сторону ВС на відрізки ВМ=3 см і МС=5 см (див. рисунок). Знайдіть периметр паралелограма ABCD.

    АБВГД
    18 см 20 см 22 см 24 см 26 см
    Показати відповідь
    В.

    Оскільки АМ - бісектриса, то ∠BAM=∠DAM. Так як кути ВМА і DAM внутрішні різносторонні, то вони рівні. Таким чином маємо, що ∠BAM=∠DAM=∠ВМА. Тоді трикутник АВМ є рівнобедреним і АВ=МВ=3 см. Так як периметр - це сума всіх сторін, маємо Р=3+8+3+8=22 см.
  8. У паралелограмі АВСD на стороні АD вибрано точку К. Діагональ АС і відрізок ВK перетинаються в точці О. Визначте довжину сторони ВС, якщо АК=12 см, ОК=2 см, ОВ=3 см.
    АБВГД
    24 см 18 см 16 см 15 см 8 см
    Показати відповідь
    Б.

    Відрізок ВК є січною для паралельних прямих АК та ВС. Тоді кути АКО та СВО рівні як внутрішні різносторонні. Кути АОК та СОВ рівні як вертикальні. Тоді трикутники АОК та СОВ подібні. З подібності трикутників слідує рівність відношень відповідних сторін. Маємо ВС:АК=ВО:ОК. Підставимо відомі значення. Маємо ВС:12=3:2. Звідси ВС=12⋅3:2=18 см.
  9. На рисунку зображено паралелограм ABCD. Які з наведених тверджень є правильними?
    І. ∠A+∠B+∠C+∠D=3600
    ІІ. ∠B+∠D=1800
    ІІІ. ∠B-∠A>00

    АБВГД
    лише І лише І і ІІ лише ІІ лише І і ІІІ І, ІІ і ІІІ
    Показати відповідь
    Г.
    Так як протилежні кути паралелограма рівні, то ІІ не є правильним
    • Сума внутрішніх кутів n-кутника дорівнює 180o⋅(n-2)
    • Внутрішній кут правильного n-кутника дорівнює 180o⋅(n-2):n
    • Центральний кут правильного n-кутника дорівнює 360o:n
  10. Прямі, що містять сторони правильного п’ятикутника ABCDF, перетинаються у точках K, L, M, N, P. Знайдіть градусну міру кута АКВ.

    АБВГД
    18о 26о 30о 36о 60о
    Показати відповідь
    Г.
    Сума внутрішніх кутів п'ятикутника дорівнює 180о⋅(5-2)=180о⋅3=540о. Оскільки п'ятикутник правильний, то в нього всі кути рівні, тому ∠FAB=∠ABC=540о:5=108о. Кути KAB і FAB суміжні, тому їх сума дорівнює 180о. Тоді ∠KAB=180о-∠FAB=180о-108о=72о. Аналогічно, ∠KBA=72о. Так як сума кутів в трикутнику дорівнює 180о, то в трикутнику КАВ ∠AKB=180о-∠KAB-∠KBA=180о-72о-72о=36о.
  11. Знайдіть градусну міру внутрішнього кута правильного десятикутника.
    АБВГД
    18о 36о 72о 144о 162о
    Показати відповідь
    Г.
    Сума внутрішніх кутів десятикутника дорівнює 180о⋅(10-2)=180о⋅8=1440о. Оскільки десятикутник правильний, то в нього всі кути рівні, тому його внутрішній кут дорівнює 1440о:10=144о.
  12. 2020. У паралелограмі ABCD з вершини тупого кута В проведено висоти ВК та ВМ (див. рисунок). ВК=16 см, АК=12 см, ВМ=24 см.

    1. Визначте довжину сторони AB (у см).
    2. Обчисліть площу паралелограма АBСD (у см2).
    Показати відповідь
    20; 480.
    1. З прямокутного трикутника АВК за теоремою Піфагора АВ2=АК2+ВК2=122+162=144+256=400. Тоді АВ=20 см.
    2. В паралелограма протилежні сторони рівні, тому CD=АВ=20 см. Площа паралелограма S=ah=CD⋅BM=20⋅24=480 см2.
  13. З вершини тупого кута В паралелограма ABCD опущено перпендикуляр ВО на сторону AD. Коло з центром у точці А проходить через вершину В та перетинає сторону AD в точці К. Відомо, що АК=6 см, KD=4 см, АО=5 см.
    1. Визначте периметр паралелограма ABCD (у см).
    2. Обчисліть довжину діагоналі BD (у см).
    Показати відповідь
    32; 6.

    1. AD=AK+KD=6+4=10 см. Так як АВ і АК - радіуси кола, то вони рівні і АВ=АК=6 см. Периметр паралелограма Р=2(АВ+АD)=2(10+6)=32 см.
    2. В прямокутному трикутнику АВО за теоремою Піфагора OB2=AB2-AO2=62-52=36-25=11. Так як АК=6 см, а АО=5 см, то ОК=АК-АО=6-5=1 см. OD=OK+KD=1+4=5 см. В прямокутному трикутнику OBD за теоремою Піфагора BD2=BO2+OD2=11+52=11+25=36. Звідси BD=6 см.
  14. Сума градусних мір двох кутів паралелограма дорівнює 150o. Знайдіть градусну міру більшого кута паралелограма.
    Показати відповідь
    105
    Оскільки сума двох сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180o, то дано суму протилежних кутів. Так як у паралелограма протилежні кути рівні, то маємо один з суміжних кутів паралелограма 150o:2=75o. Тоді другий кут паралелограма дорівнює 180o-75o=105o.
  15. Діагональ АС та висота ВР паралелограма ABCD перетинаються в точці К (див. рисунок). Відомо, що АВ=12, ∠BAD=60o, ВК:КР=4:1.
    1. Визначте довжину відрізка АР.
    2. Обчисліть периметр паралелограма ABCD.

    Показати відповідь
    6; 72.

    1. З прямокутного трикутника АВР AP=ABcosA=12⋅cos60o=12⋅0,5=6.
    2. Нехай коефіцієнт пропорційності відрізків дорівнює х. Тоді ВК=4х, РК=х. Так як маємо паралельні прямі АР та ВС і січну АС, то кути РАК та ВСК рівні (як внутрішні різносторонні), кути АРК та ВРК рівні (90o). Тоді трикутники АРК та СВК подібні і для подібних трикутників маємо АР:СВ=РК:ВК. Підставимо відомі значення і отримаємо 6:СВ=х:4х. Звідси СВ=6⋅4x:x=24. Периметр паралелограма Р=2(АВ+ВС)=2(12+24)=72.
⇐V.2.
Трикутники та їх властивості		 До змісту ⇒V.4.
Прямокутник та його властивості

Коментарі

Анонім каже…
Велике дякую за Вашу роботу!
17 травня 2021 р. о 17:32
Анонім каже…
Так, дякую !
24 липня 2022 р. о 19:14
Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Завдання. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців – 4х. Разом їх буде 3х + 4х = 7х. Отже, сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців ділиться націло на 7, і лише число 91 задовольняє цій умові. Завдання. НМТ 2026 (демо). Узгодьте вираз (1– 3) із його значенням (А – Д), якщо m = -\frac{4}{3} 1 |𝑚 − 4| 2 4m −1 3 (3𝑚 + 1) 0 А –3 Б 1 В 0 Г 3 Д \frac{16}{3} Показати відповідь 1-Д, 2-А, 3-Б . 1. |-\frac{4}{3}-4|=|-\frac{4}{3}-\frac{12}{3}|=|\frac{-4-12}{3}|=|\frac{-16}{3}|=\frac{16}{3} 2. 4\cdot(-\frac{4}{3})^{-1} = 4\cdot (-\frac{3}{4}) = -3 (при зміні знака степеня дріб перевертається) 3. Кожне число, від'ємне від 0, в нульовій степені д...
3 коментарі
Read more »

Комбінаторика

1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і І об'єкт і ІІ об'єкт можна a⋅b способами. 3. Перестановки . Якщо з n об'єктів потрібно обрати всі n, то це можна зробити P n =n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n-1)⋅n способами. 4. Розміщення . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання важливий, то це можна зробити = способами. 5. Комбінації . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання не важливий, то це можна зробити = способами. Примітка . Скорочення факторіалів = =5⋅6⋅7=210 Завдання. НМТ 2026 (демо). У квітковому магазині є 12 білих та 25 червоних троянд. Покупець замовив у цьому магазині букет із двох білих троянд й однієї червоної. Скільки всього є варіантів такого вибору? Показати відповідь 1650 . Оскільки порядок вибору листіво...
15 коментарів
Read more »

Рівняння та нерівності підвищеного рівня (з параметром)

Завдання. НМТ 2026 (демо). За якого найбільшого значення a рівняння 3 x + (4a 2 + 10a) ⋅ 3 -x = 4a + 5 не має коренів?. Показати відповідь -2,5 . 3 x + (4a 2 + 10a) ⋅ 3 -x = 4a + 5 Помножимо обидві частини рівності на 3 x 3 2x + 4a 2 + 10a = (4a + 5)3 x Нехай 3 x = t. Так як 3 x >0, то t >0 t 2 + 4a 2 + 10a = (4a + 5)t t 2 - (4a + 5)t + 4a 2 + 10a = 0 D = (4a + 5) 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ (4a 2 + 10a) = 16a 2 + 40a + 25 - 16a 2 - 40a = 25 t_1 = \frac{4a+5-\sqrt{25}}{2\cdot1} = \frac{4a+5-5}{2} = \frac{4a}{2} = 2a t_2 = \frac{4a+5+\sqrt{25}}{2\cdot1} = \frac{4a+5+5}{2} = \frac{4a+10}{2} = \frac{2(2a+5)}{2} = 2a+5 Рівняння не має коренів, якщо обидва ці корені не відповідають умові t >0, тобто при t ≤ 0. 2a ≤ 0 a ≤ 0 : 2 a ≤ 0 2a + 5 ≤ 0 2a ≤ - 5 a ≤ - 5 : 2 a ≤ - 2,5 Числова пряма з точками t -2,5 0 Отже рівняння не має коренів при a ∈ (-∞ -2,5]. Найбільше значення з цього проміжку ...
1 коментар
Read more »

Функції за графіками

Завдання. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції, що набуває лише додатних значень на всій області визначення? Показати відповідь Д . Якщо графік квадратичної функції набуває лише додатних значень на всій області визначення, то він повинен весь лежати вище осі х. Таккій умові задовольняє тільки графік Д. НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y = x + 2 y = −x 2 Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) ...
13 коментарів
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія 1. Знаходження n-го члена арифметичної прогресії: а n =а 1 +(n-1)d 2. Знаходження суми перших n членів арифметичної прогресії: S n = або S n = 3. Співвідношення між сусідніми членами прогресії: 2а n =а n-1 +а n+1 НМТ 2024. В арифметичній прогресії (a n ) відомо, що a 6 – a 1 = –30. Обчисліть значення виразу a 6 – a 4 . А Б В Г Д 12 10 –15 –10 –12 Показати відповідь Д . НМТ 2023. Студент вивчав японську мову за такою методикою: у перший день він запам'ятав 6 ієрогліфів, а кожного наступного дня - на 2 ієрогліфи більше, ніж попереднього. Скільки всього ієрогліфів запам'ятав цей студент за 25 днів від першого дня вивчення японської мови? Показати відповідь 750 . НМТ 2023. Число 27 є членом арифметичної прогресії з різницею d=5. Визначте числа з проміжку (60; 75), що є членами цієї прогресії. У відповідь запишіть суму цих чисел. Показати відповідь 201 . Задано арифметичну прогресію (a n ), у якій різниця d...
5 коментарів
Read more »

Рекомендований допис

Solving Linear Equations with One Variable: A Step-by-Step Guide

An equation is an equality that contains a variable. You are required to find a number that, when substituted for the variable, yields a correct numerical equality (the same numbers on the left and right sides of the equality). In other words, you need to find the solution of the equation . For example, in the equation 2x - 6x + 8 = 7x - 3, we can substitute 1 for the variable x and obtain a correct numerical equality, since 2(1) - 6(1) + 8 = 2 - 6 + 8 = 4 and 7(1) - 3 = 7 - 3 = 4. Therefore, x = 1 is a solution of the equation. When solving equations, we may encounter the following cases: the equation has no solution,one solution, or infinitely many solutions. In this post, we will look at how to solve equations that contain one variable to the first power. Such equations are called linear equations . To solve such equations, you can apply The Subtraction property of equality. If a = b, then a - c =b - c ; The Addition property of equality. If a = b, then a + c = b...
Дописати коментар