Многокутники та паралелограми — це основа планіметрії, яка вимагає глибокого розуміння властивостей паралельних прямих та рівності трикутників. Вміння розпізнавати паралелограм за його ознаками та знання особливостей його діагоналей, кутів і висот є критично важливим для успішного складання НМТ. Особливе місце в цій темі займають правильні многокутники, де симетрія та чіткі формули дозволяють швидко знаходити внутрішні та центральні кути.
На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО, що охоплюють широкий спектр тем: від периметрів і бісектрис до подібності трикутників всередині паралелограма. Ви дізнаєтеся, як працюють властивості вписаних і описаних чотирикутників, та навчитеся застосовувати теорему Піфагора в комбінованих задачах. Тут зібрано все: від базової теорії до складних багатокрокових обчислень.
Властивості чотирикутника
Властивості паралелограма
Завдання 1. Які з наведених тверджень є правильними?- Сума кутів чотирикутника 360°
- Якщо навколо чотирикутника можна описати коло, то в нього сума протилежних кутів дорівнює 180°
- Якщо в чотирикутник можна вписати коло, то в нього суми протилежних сторін рівні
Властивості паралелограма
- Протилежні сторони паралелограма рівні
- Протилежні кути паралелограма рівні
- Сума сусідніх кутів паралелограма 180°
- Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину поділяються навпіл
І. Існує паралелограм, діагональ якого дорівнює сумі двох його сусідніх сторін.
ІІ. Існує паралелограм, один із кутів якого вдвічі більший за інший кут.
ІІІ. Існує паралелограм, діагоналі якого перпендикулярні.
лише ІІ
лише І та ІІІ
лише ІІ та ІІІ
лише І та ІІ
І, ІІ та ІІІ
Показати відповідь
В.
І. Діагональ паралелограма завжди менше суми двох сусідніх сторін. Не є правильним.
ІІ. Так це паралелограм, сусідні кути якого 60° і 120°.
ІІІ. Так, у ромба, який є паралелограмом з рівними сторонами, діагональ перпендикулярні.
Завдання 2. Сума трьох кутів паралелограма дорівнює 280°. Визначте градусну міру більшого кута цього паралелограма.
І. Діагональ паралелограма завжди менше суми двох сусідніх сторін. Не є правильним.
ІІ. Так це паралелограм, сусідні кути якого 60° і 120°.
ІІІ. Так, у ромба, який є паралелограмом з рівними сторонами, діагональ перпендикулярні.
100°
80°
140°
40°
120°
Показати відповідь
А.
Сума чотирьох кутів паралелограма дорівнює 360°. Тому четвертий кут паралелограма дорівнює 360°-280° = 80°. Сума сусідніх кутів паралелограма 180°. Тоді другий кут паралелограма дорівнює 180°-80° = 100°. Більший з отриманих кутів 100°.
Завдання 3. Які з наведених тверджень є правильними?Сума чотирьох кутів паралелограма дорівнює 360°. Тому четвертий кут паралелограма дорівнює 360°-280° = 80°. Сума сусідніх кутів паралелограма 180°. Тоді другий кут паралелограма дорівнює 180°-80° = 100°. Більший з отриманих кутів 100°.
І. Діагоналі будь-якого паралелограма рівні.
ІІ. Протилежні кути будь-якого паралелограма рівні.
ІІІ. Відстані від точки перетину діагоналей будь-якого паралелограма до його протилежних сторін рівні.
лише ІІ
лише І і ІІІ
І, ІІ, ІІІ
лише І і ІІ
лише ІІ і ІІІ
Показати відповідь
Д.
1. Діагоналі паралелограма рівні лише, якщо це прямокутник (квадрат). Хибне твердження.
2. Протилежні кути паралелограма завжди рівні. Правильне твердження.
3. Так. Дані відстані є висотами трикутників, які утворені діагоналями та протилежними сторонами. Ці трикутники у паралелограма рівні, відповідно рівні і відстані.
Завдання 4. Яке з наведених тверджень є хибним?1. Діагоналі паралелограма рівні лише, якщо це прямокутник (квадрат). Хибне твердження.
2. Протилежні кути паралелограма завжди рівні. Правильне твердження.
3. Так. Дані відстані є висотами трикутників, які утворені діагоналями та протилежними сторонами. Ці трикутники у паралелограма рівні, відповідно рівні і відстані.
А протилежні сторони паралелограма рівні
Б сума двох кутів паралелограма, прилеглих до однієї сторони, дорівнює 180°
В діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл
Г площа паралелограма дорівнює добутку двох його сусідніх сторін на синус кута між ними
Д площа паралелограма дорівнює половині добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони
Показати відповідь
Д.
Площа паралелограма дорівнюєполовині добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони.
Завдання 5. На рисунку зображено паралелограм АВСD. Які з наведених тверджень є правильними?Площа паралелограма дорівнює
І. ∠АВС + ∠BCD = 180°.
ІІ. АВ = CD.
III. AC⊥BD.
лише І
лише ІІ і ІІІ
лише І і ІІ
лише І і ІІІ
лише ІІ
Показати відповідь
В.
І. Сума двох суміжних кутів паралелограма дійсно дорівнює 180°. Правильно.
ІІ. Протилежні сторони паралелограма дійсно рівні. Правильно.
ІІІ. Діагоналі паралелограма в загальному випадку не перпендикулярні. Не є правильним.
Завдання 6. Довжина сторони АВ паралелограма АВСD дорівнює 10 см, а його периметр — 60 см. Визначте довжину сторони ВС.
І. Сума двох суміжних кутів паралелограма дійсно дорівнює 180°. Правильно.
ІІ. Протилежні сторони паралелограма дійсно рівні. Правильно.
ІІІ. Діагоналі паралелограма в загальному випадку не перпендикулярні. Не є правильним.
50 см
40 см
25 см
20 см
6 см
Показати відповідь
Г.
Нехай довжина сторони ВС дорівнює х. Тоді, враховуючи, що протилежні сторони паралелограма рівні, а периметр - це сума всіх сторін, маємо Р = 10 + х + 10 + х = 20 + 2х. Підставимо значення периметру і маємо рівняння 20 + 2х = 60, звідки 2х = 40 і х = 20 см.
Завдання 7. Бісектриса гострого кута А паралелограма АВСD ділить сторону ВС на відрізки ВМ = 3 см і МС = 5 см (див. рисунок). Знайдіть периметр паралелограма ABCD.
Нехай довжина сторони ВС дорівнює х. Тоді, враховуючи, що протилежні сторони паралелограма рівні, а периметр - це сума всіх сторін, маємо Р = 10 + х + 10 + х = 20 + 2х. Підставимо значення периметру і маємо рівняння 20 + 2х = 60, звідки 2х = 40 і х = 20 см.
18 см
20 см
22 см
24 см
26 см
Показати відповідь
В.
Оскільки АМ - бісектриса, то ∠BAM = ∠DAM. Так як кути ВМА і DAM внутрішні різносторонні, то вони рівні. Таким чином маємо, що ∠BAM = ∠DAM = ∠ВМА. Тоді трикутник АВМ є рівнобедреним і АВ = МВ = 3 см. Так як периметр - це сума всіх сторін, маємо Р = 3 + 8 + 3 + 8 = 22 см.
Завдання 8. У паралелограмі АВСD на стороні АD вибрано точку К. Діагональ АС і відрізок ВK перетинаються в точці О. Визначте довжину сторони ВС, якщо АК = 12 см, ОК = 2 см, ОВ = 3 см.
Оскільки АМ - бісектриса, то ∠BAM = ∠DAM. Так як кути ВМА і DAM внутрішні різносторонні, то вони рівні. Таким чином маємо, що ∠BAM = ∠DAM = ∠ВМА. Тоді трикутник АВМ є рівнобедреним і АВ = МВ = 3 см. Так як периметр - це сума всіх сторін, маємо Р = 3 + 8 + 3 + 8 = 22 см.
24 см
18 см
16 см
15 см
8 см
Показати відповідь
Б.
Відрізок ВК є січною для паралельних прямих АК та ВС. Тоді кути АКО та СВО рівні як внутрішні різносторонні. Кути АОК та СОВ рівні як вертикальні. Тоді трикутники АОК та СОВ подібні. З подібності трикутників слідує рівність відношень відповідних сторін. Маємо ВС:АК = ВО:ОК. Підставимо відомі значення. Маємо ВС:12 = 3:2. Звідси ВС = 12 · 3:2 = 18 см.
Завдання 9. На рисунку зображено паралелограм ABCD. Які з наведених тверджень є правильними?І. ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°
ІІ. ∠B + ∠D = 180°
ІІІ. ∠B-∠A>0°
лише І
лише І і ІІ
лише ІІ
лише І і ІІІ
І, ІІ і ІІІ
Показати відповідь
Г.
Так як протилежні кути паралелограма рівні, то ІІ не є правильним.
Так як протилежні кути паралелограма рівні, то ІІ не є правильним.
- Сума внутрішніх кутів n-кутника дорівнює 180° · (n-2)
- Внутрішній кут правильного n-кутника дорівнює 180° · (n-2):n
- Центральний кут правильного n-кутника дорівнює 360°:n
18°
26°
30°
36°
60°
Показати відповідь
Г.
Сума внутрішніх кутів п'ятикутника дорівнює 180° · (5-2) = 180° · 3 = 540°. Оскільки п'ятикутник правильний, то в нього всі кути рівні, тому ∠FAB = ∠ABC = 540°:5 = 108°. Кути KAB і FAB суміжні, тому їх сума дорівнює 180°. Тоді ∠KAB = 180°-∠FAB = 180°-108° = 72°. Аналогічно, ∠KBA = 72°. Так як сума кутів в трикутнику дорівнює 180°, то в трикутнику КАВ ∠AKB = 180°-∠KAB-∠KBA = 180°-72°-72° = 36°.
Завдання 11. Знайдіть градусну міру внутрішнього кута правильного десятикутника.
Сума внутрішніх кутів п'ятикутника дорівнює 180° · (5-2) = 180° · 3 = 540°. Оскільки п'ятикутник правильний, то в нього всі кути рівні, тому ∠FAB = ∠ABC = 540°:5 = 108°. Кути KAB і FAB суміжні, тому їх сума дорівнює 180°. Тоді ∠KAB = 180°-∠FAB = 180°-108° = 72°. Аналогічно, ∠KBA = 72°. Так як сума кутів в трикутнику дорівнює 180°, то в трикутнику КАВ ∠AKB = 180°-∠KAB-∠KBA = 180°-72°-72° = 36°.
18°
36°
72°
144°
162°
Показати відповідь
Г.
Сума внутрішніх кутів десятикутника дорівнює 180° · (10-2) = 180° · 8 = 1440°. Оскільки десятикутник правильний, то в нього всі кути рівні, тому його внутрішній кут дорівнює 1440°:10 = 144°.
Завдання 12. У паралелограмі ABCD з вершини тупого кута В проведено висоти ВК та ВМ (див. рисунок). ВК = 16 см, АК = 12 см, ВМ = 24 см.Сума внутрішніх кутів десятикутника дорівнює 180° · (10-2) = 180° · 8 = 1440°. Оскільки десятикутник правильний, то в нього всі кути рівні, тому його внутрішній кут дорівнює 1440°:10 = 144°.
2. Обчисліть площу паралелограма АBСD (у см²).
Показати відповідь
20; 480.
1. З прямокутного трикутника АВК за теоремою Піфагора АВ² = АК² + ВК² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400. Тоді АВ = 20 см.
2. В паралелограма протилежні сторони рівні, тому CD = АВ = 20 см. Площа паралелограма S = ah = CD · BM = 20 · 24 = 480 см².
Завдання 13. З вершини тупого кута В паралелограма ABCD опущено перпендикуляр ВО на сторону AD. Коло з центром у точці А проходить через вершину В та перетинає сторону AD в точці К. Відомо, що АК = 6 см, KD = 4 см, АО = 5 см.1. З прямокутного трикутника АВК за теоремою Піфагора АВ² = АК² + ВК² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400. Тоді АВ = 20 см.
2. В паралелограма протилежні сторони рівні, тому CD = АВ = 20 см. Площа паралелограма S = ah = CD · BM = 20 · 24 = 480 см².
1. Визначте периметр паралелограма ABCD (у см).
2. Обчисліть довжину діагоналі BD (у см).
Показати відповідь
32; 6.
2. В прямокутному трикутнику АВО за теоремою Піфагора OB² = AB²-AO² = 6²-5² = 36-25 = 11. Так як АК = 6 см, а АО = 5 см, то ОК = АК-АО = 6-5 = 1 см. OD = OK + KD = 1 + 4 = 5 см. В прямокутному трикутнику OBD за теоремою Піфагора BD² = BO² + OD² = 11 + 5² = 11 + 25 = 36. Звідси BD = 6 см.
Завдання 14. Сума градусних мір двох кутів паралелограма дорівнює 150°. Знайдіть градусну міру більшого кута паралелограма.
2. В прямокутному трикутнику АВО за теоремою Піфагора OB² = AB²-AO² = 6²-5² = 36-25 = 11. Так як АК = 6 см, а АО = 5 см, то ОК = АК-АО = 6-5 = 1 см. OD = OK + KD = 1 + 4 = 5 см. В прямокутному трикутнику OBD за теоремою Піфагора BD² = BO² + OD² = 11 + 5² = 11 + 25 = 36. Звідси BD = 6 см.
Показати відповідь
105
Оскільки сума двох сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180°, то дано суму протилежних кутів. Так як у паралелограма протилежні кути рівні, то маємо один з суміжних кутів паралелограма 150°:2 = 75°. Тоді другий кут паралелограма дорівнює 180°-75° = 105°.
Завдання 15. Діагональ АС та висота ВР паралелограма ABCD перетинаються в точці К (див. рисунок). Відомо, що АВ = 12, ∠BAD = 60°, ВК:КР = 4:1.Оскільки сума двох сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180°, то дано суму протилежних кутів. Так як у паралелограма протилежні кути рівні, то маємо один з суміжних кутів паралелограма 150°:2 = 75°. Тоді другий кут паралелограма дорівнює 180°-75° = 105°.
1. Визначте довжину відрізка АР.
2. Обчисліть периметр паралелограма ABCD.
Показати відповідь
6; 72.
2. Нехай коефіцієнт пропорційності відрізків дорівнює х. Тоді ВК = 4х, РК = х. Так як маємо паралельні прямі АР та ВС і січну АС, то кути РАК та ВСК рівні (як внутрішні різносторонні), кути АРК та ВРК рівні (90°). Тоді трикутники АРК та СВК подібні і для подібних трикутників маємо АР:СВ = РК:ВК. Підставимо відомі значення і отримаємо 6:СВ = х:4х. Звідси СВ = 6 · 4x:x = 24. Периметр паралелограма Р = 2(АВ + ВС) = 2(12 + 24) = 72.
2. Нехай коефіцієнт пропорційності відрізків дорівнює х. Тоді ВК = 4х, РК = х. Так як маємо паралельні прямі АР та ВС і січну АС, то кути РАК та ВСК рівні (як внутрішні різносторонні), кути АРК та ВРК рівні (90°). Тоді трикутники АРК та СВК подібні і для подібних трикутників маємо АР:СВ = РК:ВК. Підставимо відомі значення і отримаємо 6:СВ = х:4х. Звідси СВ = 6 · 4x:x = 24. Периметр паралелограма Р = 2(АВ + ВС) = 2(12 + 24) = 72.
Коментарі