Розуміння того, як взаємодіють прямі та площини у просторі — це фундамент, на якому тримається вся стереометрія. На відміну від планіметрії, тут з’являються мимобіжні прямі, які ніколи не перетинаються, але й не є паралельними, а паралельність площин потребує перевірки одразу за двома прямими, що перетинаються.
Цей розділ містить повний перелік опорних конспектів та тестових завдань, що максимально наближені до формату НМТ та ЗНО. Ми детально розберемо аксіоми стереометрії, ознаки паралельності та особливості куба як моделі для розв’язання задач. Ви навчитеся безпомилково визначати взаємне розміщення елементів, що є критично важливим для успішного виконання геометричної частини іспиту.
- перетинатися, тоді через них можна провести площину, причому тільки одну
- бути паралельними, якщо вони не перетинаються і лежать в одній площині (ознака паралельності прямих: дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою)
- бути мимобіжними, якщо вони не перетинаються і НЕ лежать в одній площині
- перетинатися
- бути паралельними, (ознака паралельності прямої та площини: якщо пряма, що не лежить в площині, паралельна якій-небудь прямій, що лежить у цій площині, то пряма та площина паралельні)
- перетинатися
- бутипаралельними, (ознака паралельності площин: якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом прямим іншої площини, то ці площини паралельні)
- три точки, що не лежать на одній прямій
- пряму та точку, що не лежить на цій прямій
- дві прямі, що перетинаються
- дві прямі, що паралельні
- НМТ 2024. На рисунку зображено куб ABCDA1B1C1D1. Укажіть із-поміж наведених пряму, паралельну площині грані AA1B1B.
А Б В Г Д BC C1D BD CB1 A1B Показати відповідьБ.
Із побудованих прямих паралельна лівій грані куба виявилась лише пряма C1D. - У просторі задано пряму m і точку А, яка не належить m. Які з наведених тверджень є правильними?
І. Через точку А і пряму m можна провести лише одну площину.
ІІ. Через точку А можна провести лише одну площину, паралельну прямій m.
ІІІ. Через точку А можна провести лише одну площину, перпендикулярну до прямої m.А Б В Г Д лише І і ІІ лише І і ІІІ лише ІІІ лише ІІ і ІІІ І, ІІ і ІІІ Показати відповідьБ.
І. За аксіомою через пряму і точку, що не належить даній прямій, можна провести площину, причому тільки одну. Є правильним.
ІІ. Через точку можна провести безліч площин, паралельних даній прямій. Не є правильним.
ІІІ. Дійсно, через точку А можна провести лише одну площину, перпендикулярну до прямої m. Є правильним. - Прямі a і b мимобіжні. Які з наведених тверджень є правильними?
І. Прямі a та b перетинаються.
ІІ. Прямі a та b лежать в одній площині.
ІІІ. Існує пряма, паралельна прямій a, що перетинає пряму b.А Б В Г Д лише І лише ІІ лише І та ІІ лише ІІІ І, ІІ та ІІІ Показати відповідьГ.
І. Якщо прямі a і b перетинаються, то вони лежать в одній площині, тоді вони не можуть бути мимобіжними (мимобіжні прямі не лежать в одній площині). Не є правильним.
ІІ. Якщо прямі a і b лежать в одній площині, тоді вони не можуть бути мимобіжними (мимобіжні прямі не лежать в одній площині). Не є правильним.
ІІІ. На прямій b завжди можна взяти довільну точку, а через довільну точку завжди можна провести пряму, паралельну іншій прямій. Є правильним. - Які з наведених тверджень є правильними?
І. Через дві прямі, що перетинаються, можна провести лише одну площину.
ІІ. Через точку, що не належить площині, можна провести безліч прямих, паралельних цій площині.
ІІІ. Якщо дві різні площини паралельні одній і тій самій прямій, то вони паралельні між собою.А Б В Г Д лише І лише І і ІІ лише І і ІІІ лише ІІ і ІІІ І, ІІ і ІІІ Показати відповідьБ.
І. Через прямі, що перетинаються, можна провести площину, і причому лише одну. Є правильним.
ІІ. Через точку, що не належить площині, можна провести єдину площину, паралельну даній. Тоді всі прямі, що лежать в цій площині, будуть паралельні іншій площині. Є правильним.
ІІІ. Якщо пряма паралельна спільній прямій двох площин, що перетинаються, то вона паралельна цим площинам. Отже маємо випадок, коли пряма паралельна двом площинам, а вони між собою не паралельні. Не є правильним. - У просторі задано паралельні прямі m і n. Які з наведених тверджень є правильними?
І. Існує площина, що містить обидві прямі m і n.
ІІ. Існує пряма, що перетинає обидві прямі m і n.
ІІІ. Існує точка, що належить обом прямим m і n.А Б В Г Д лише І лише ІІ лише ІІ та ІІІ лише ІІІ лише І та ІІ Показати відповідьД.
І. Оскільки в просторі прямі називаються паралельними, якщо вони не перетинаються і лежать в одній площині, то така площина існує. Є правильним.
ІІ. Так як прямі паралельні, то вони лежать в одній площині. А на площині завжди є пряма, що перетинає паралельні прямі. Є правильним.
ІІІ. Оскільки в просторі прямі називаються паралельними, якщо вони не перетинаються і лежать в одній площині, то вони не мають спільної точки. Не є правильним. - Які з наведених тверджень правильні?
І. Якщо коло має з площиною дві спільні точки, то всі точки кола належать цій площині.
ІІ. Якщо три вершини паралелограма належать площині, то всі точки паралелограма належать цій площині.
ІІІ. Якщо круг і площина мають три спільні точки, то всі точки круга належать цій площині.
А Б В Г Д лише ІІ лише ІІІ лише І та ІІ лише І і ІІІ лише ІІ і ІІІ Показати відповідьА.
Так як за аксіомою через три точки можна провести лише одну площину, то плоска фігура належить площині, якщо вона має з нею 3 спільні точки.
І. Маємо лише 2 спільні точки, то коло перетинає площину. Не є правильним.
ІІ. Оскільки маємо 3 спільні точки, то паралелограм лежить в цій площині. Є правильним.
ІІІ. Три спільні точки круга можуть лежати на одній прямій (наприклад, діаметр круга), тоді круг лише перетинає площину. Не є правильним. - Точка А належить площині α. Які з наведених тверджень є правильними?
І. Через точку А можна провести пряму, перпендикулярну до площини α.
ІІ. Через точку А можна провести площину, перпендикулярну до площини α.
ІІІ. Через точку А можна провести площину, паралельну площині α.А Б В Г Д лише І лише ІІ та ІІІ лише ІІ лише І та ІІ І, ІІ та ІІІ Показати відповідьГ.
І. Є правильним.
ІІ. Є правильним.
ІІІ. Не є правильним (оскільки площини матимуть спільну точку, то вони співпадають). - Пряма b не має спільних точок з площиною α. Які з наведених тверджень є правильними?
І. Через пряму b можна провести лише одну площину, перпендикулярну до площини α.
ІІ. Через пряму b можна провести лише одну площину, паралельну площині α.
ІІІ. У площині α можна провести лише одну пряму, паралельну прямій b.А Б В Г Д лише І лише ІІ лише І і ІІ лише ІІ і ІІІ І, ІІ і ІІІ Показати відповідьВ.
І. Є правильним.
ІІ. Є правильним.
ІІІ. Не є правильним (якщо пряма а в площині паралельна прямій b, то і всі інші прямі площини, що паралельні прямій а, також будуть паралельні прямій b, тому таких прямих безліч). - У просторі задано пряму b і точку А, що не належить цій прямій. Скільки всього існує різних площин, які проходять через точку А і не мають спільних точок з прямою b?
А Б В Г Д жодної лише одна лише дві лише три безліч Показати відповідьД.
Через точку у просторі можна провести безліч площин. Через точку А і пряму b можна провести лише одну площину. Тому залишається безліч площин, що проходять через точку А і не проходять через пряму b. - Задано дві мимобіжні прямі a і b. Скільки існує різних площин, які проходять через пряму a та є паралельними прямій b?
А Б В Г Д жодної одна дві три безліч Показати відповідьБ.
Через точку на прямій а проводимо пряму, паралельну прямій b. Через проведену пряму та пряму а можна провести лише одну площину. - На рисунку зображено куб ABCDA1B1C1D1. Укажіть серед поданих нижче пряму, що утворює з CD1 пару мимобіжних прямих.
А Б В Г Д А1В C1D CВ1 АВ CD Показати відповідьГ.
А) прямі паралельні;
Б) прямі перетинаються;
В) прямі перетинаються;
Г) прямі мимобіжні;
Д) прямі перетинаються. - На рисунку зображено куб ABCDA1B1C1D1. Яка з наведених прямих паралельна площині (AA1B1)?
А Б В Г Д BC BD C1D CB1 A1B Показати відповідьВ.
А) пряма перетинає площину;
Б) пряма перетинає площину;
В) пряма паралельна площині (вона паралельна прямій B1А, що лежить в цій площині);
Г) пряма перетинає площину;
Д) пряма лежить в площині. - Площини α і β паралельні. Які з наведених тверджень є правильними?
І. Існує пряма, що лежить і в площині α, і в площині β.
ІІ. Якщо пряма перпендикулярна до площини α, то вона перпендикулярна до площини β.
ІІІ. Якщо пряма лежить у площині α, то вона паралельна будь-якій прямій у площині β.
А Б В Г Д лише І лише І та ІІ лише ІІ лише ІІ та ІІІ лише ІІІ Показати відповідьВ.
І. Не є правильним.
ІІ. Є правильним.
ІІІ. Не є правильним (прямі можуть бути мимобіжними). - Відрізок АВ перетинає площину α в точці О. Проекції відрізків АО і ВО на цю площину дорівнюють 5 см і 20 см відповідно. Знайдіть довжину відрізка АВ, якщо АО=8 см.
А Б В Г Д 10 см 22 см 32 см 40 см 52 см Показати відповідьГ.Так як ОМ і ОК - проекції, то трикутники АМО і ВКО прямокутні. ∠КОВ=∠МОА як вертикальні. Тоді трикутники ВКО і АМО подібні. Для подібних трикутників відношення відповідних сторін рівні. Маємо КО:ОМ=ВО:ОА. Підставимо відомі значення. 20:5=ВО:8. Звідси ВО=20:5⋅8=32. Тоді АВ=АО+ОВ=8+32=40 см.
- З вершини В квадрата ABCD проведено перпендикуляр SB до площини цього квадрата (див. рисунок). Які з наведених тверджень є правильними?
І. ∠SBA=90o.
ІІ. ∠SAD=∠SDA
III. ∠SAD=90o.
А Б В Г Д лише І лише І і ІІ лише І і ІІІ лише ІІІ І, ІІ і ІІІ Показати відповідьВ.
І. Так як SB перпендикуляр до площини, то кут між SB і прямою BA, що лежить в цій площині, прямий. Правильно
ІІ. Не є правильним.
ІІІ. Так як ABCD квадрат, то AD⊥АВ, який є проекцією SA, тому за теоремою про три перпендикуляри шуканий кут прямий. Правильно. - На рисунку зображено куб ABCDA1B1C1D1. Установіть відповідність між парою прямих (1-4) та їх взаємним розташуванням (А-Д).
Прямі Взаємне розташування 1 АС й СС1
2 AB1 і CD1
3 АС й СD1
4 AB1 і C1DА прямі паралельні
Б прямі мимобіжні
В прямі перетинаються й утворюють прямий кут
Г прямі перетинаються й утворюють кут 45o
Д прямі перетинаються й утворюють кут 60oПоказати відповідь1-В, 2-Б, 3-Д, 4-А.
1) Прямі перетинаються й утворюють прямий кут.
2) Прямі мимобіжні.
3) Дані прямі є сторонами ∆ACD1. Так як всі його сторони - діагоналі граней куба, то вони рівні і трикутник є рівностороннім, тому кут між його сторонами дорівнює 60o.
4) Прямі паралельні. - На рисунку зображено куб ABCDA1B1C1D1.Установіть відповідність між початком речення (1-3) та його закінченням (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
Початок речення Закінчення речення 1 Точка С1 симетрична точці А1 відносно площини
2 Пряма АD паралельна площині
3 Пряма СC1 є прямою перетину площин (ВВ1С1) таА (АА1В1)
Б (DD1C1)
В (А1B1C1)
Г (АА1D1)
Д (BB1D1)Показати відповідь1-Д, 2-В, 3-Б.
1) Площина симетрії точок С і С1 розміщена посередині між ними перпендикулярно до відрізка СС1. Це площина (ВВ1D1).
2) Пряма AD паралельна площині (А1В1С1).
3) СС1 є спільною прямою площин (ВВ1С1) та (DD1C1). - На рисунку зображено куб ABCDA1B1C1D1. До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
Початок речення Закінчення речення 1 Пряма СВ
2 Пряма СD1
3 Пряма АС
4 Пряма А1ВА паралельна площині AA1B1В
Б перпендикулярна площині AA1B1В
В належить площині AA1B1В
Г паралельна площині AA1B1В
Д має з площиною AA1B1В кут 45oПоказати відповідь1-Б, 2-А, 3-Д, 4-В.
1) Дана пряма перпендикулярна до площини.
2) Дана пряма паралельна прямій ВA1, а отже і площині AA1B1В.
3) Так як діагональ квадрата має з його стороною кут 45o, то пряма АС має з площиною AA1B1В кут 45o.
4) Дана пряма належить площині. - На рисунку зображено куб ABCDA1B1C1D1. Установіть відповідність між заданими кутами (1-4) та їхніми градусними мірами (А-Д).
Кут Градусна міра кута 1 кут між прямими АА1 і DC1
2 кут між прямими BD і A1C1
3 кут між прямими АB1 і A1D
4 кут між прямими BB1 і DD1А 0o
Б 30o
В 45o
Г 60o
Д 90oПоказати відповідь1-В, 2-Д, 3-Г, 4-А.
1) Дані прямі мимобіжні. Оскільки AA1||DDC1, то кут між прямими АА1 і DC1 дорівнює куту між прямими DD1 і DC1. А в квадраті кут між стороною та діагоналлю дорівнює 45o.
2) Дані прямі мимобіжні. Оскільки A1C1||АС, то кут між прямими BD і A1C1 дорівнює куту між прямими BD і AC. А в квадраті кут між діагоналями дорівнює 90o.
3) Дані прямі мимобіжні. Оскільки AВ1||DC1, то кут між прямими АB1 і A1D дорівнює куту між прямими DC1 і A1D. ∆DA1C1 є рівностороннім (його сторони це діагоналі однакових квадратів). Тоді шуканий кут дорівнює 60o.
4) Дані прямі паралельні, тому кут між ними дорівнює 0o. - ABCDA1B1C1D1 – прямокутний паралелепіпед. Кожній площині (1-4), що виділена кольором, поставте у відповідність паралельну їх пряму (А-Д).
Площина Пряма 1 АВ1С1 (рис. 1)
2 DD1C1 (рис. 2)
3 AA1C1 (рис. 3)
4 AB1D1 (рис. 4)А BC
Б A1D
В A1B
Г BD
Д DD1Показати відповідь1-А, 2-В, 3-Д, 4-Г.
1) BC.
2) A1B (лежить в площині, паралельній даній площині).
3) DD1.
4) BD.
Прямі у просторі можуть:
Коментарі