Сутність та принципи дослідницького підходу при вивченні курсу лінійної алгебри в педагогічних ВНЗ

Наукові праці Донецького національного технічного університету, серія Педагогіка, психологія і соціологія – Донецьк: «Вебер» (Донецька філія). Випуск 1, 2007: 434 с. – (с. 253-260)

УДК 378.147:512.5

Дана робота присвячена аналізу дослідницького підходу в процесі вивчення курсу лінійної алгебри та ролі ІКТ в цьому процесі. Розглядаються фактори ефективного використання ІКТ, вимоги до задач в умовах організації дослідницької роботи студентів.

This paper is dedicated to the analysis of the inquiry approach in cource of studying the subject of linear algebra and the role of ICT in this process. Factors of effective use of ICT, demands to the tasks in the conditions of organizing the students’ research work are examined in this paper.

Закони України “Про освіту”, “Про загальну середню освіту”, Державний стандарт базової і повної середньої освіти визначають певні вимоги до освіченості випускників школи. Відповідно до них освіта повинна створювати передумови для всебічного розвитку особистості, формування компетентностей учнів. У державних вимогах до рівня підготовки учнів зростає роль уміння здобувати інформацію з різних джерел, засвоювати, поповнювати та оцінювати її, застосовувати способи пізнавальної і творчої діяльності; передбачається реалізація завдань дослідницького характеру, розроблення педагогічних технологій на основі застосування активних методів навчання.

Це викликає необхідність передбачити у вищих педагогічних навчальних закладах підготовку педагогічних кадрів з урахуванням потреб суспільства. Педагогом повинна бути особа, яка має відповідну освіту, належний рівень професійної підготовки і забезпечує результативність та якість своєї роботи.

Досвід вивчення математичних понять та тверджень свідчать, що важливу роль відіграють проблемно-пошукові методи навчання, якими займалися Лернер І.Я., Махмутова М.І., Скаткін М.Н, Бевз Г.П. та ін.

Дані методи повинні бути використані ще саме тому, що студенти педагогічних ВНЗ повинні не тільки вміти самостійно розв’язувати поставлені завдання. Учителі математики повинні знайомити учнів з шляхами самостійного отримання нових знань, навчити розв’язувати нестандартні задачі та пошукові завдання. Все це зробити зможе лише той, кого самого так навчали.

Таким чином, для ефективного вивчення курсу лінійної алгебри у педагогічних ВНЗ доцільно розробити і впровадити елементи проблемно-пошукових методів. Для цього потрібно визначити зміст матеріалу, який буде викладатися за вказаним підходом, з’ясувати особливості застосування проблемних методів навчання. Для використання дослідницького підходу в курсі лінійної алгебри необхідно виділити нові підходи до вивчення тем і спроектувати вивчення даного курсу з урахуванням особливостей підходу.

Даний підхід передбачає певні складові дослідницької компетентності [11]: будувати моделі поставлених задач, висувати гіпотези та перевіряти їх правильність, з отриманих результатів робити висновки та систематизувати отримані результати. Оволодінню даними компетентностями допомагає і залучення інформаційно-комунікаційних технологій. Їх використанню присвячена велика кількість публікацій, в яких широко висвітлюється роль даних засобів при вивченні математики. Проте недостатньо висвітлена роль ІКТ у процесі фахової підготовки вчителів математики. Крім цього, в літературі звертається увага на те, що перехід до нових технологій навчання – складна задача, яка потребує вирішення цілого комплексу психолого-педагогічних та навчально-методичних проблем: підготовка педагогів до використання в навчальному процесі засобів ІКТ, розробка науково-методичного забезпечення вирішення задач інформатизації навчально-виховного процесу тощо. Даному питанню слід приділити велику увагу, оскільки для ефективного використання ІКТ у навчанні викладачі математики самі повинні володіти ними.

Основним завданням цієї роботи є налаштувати особливості дослідницького підходу до вивчення курсу лінійної алгебри та вказати основні напрямки реалізації даного підходу у курсі вищої математики. Значну увагу приділено особливостям курсів, побудованих на задачах та використанню ІКТ при вивченні матеріалу.

В основі проблемно-пошукових методів навчання лежить ідея про формування пізнавальної активності особистості через створення відповідних дидактичних та психологічних умов. Проблемна ситуація характеризується як активний психічний стан, який виникає при виконанні завдання в умовах пошуку нових знань. Важливою задачею при цьому є виховання мислення, яке здатне не лише володіти певним набором вмінь, але й відкривати нові прийоми, приходити до розв’язання нових завдань. Сутність такого навчання зводиться до активного дослідження поставленої проблеми та самостійного висновку.

Отже, дослідницький підхід базується на наступних положеннях:

• перед студентами послідовно ставляться теоретичні завдання, розв’язання яких дає нові знання;
• навчання на невеликій кількості дослідницьких завдань сприяє залученню студентів у творчу дослідницьку роботу, розвиває логічне мислення;
  
• за допомогою задач, пов’язаних між собою, можна ознайомити студентів з досить складними математичними теоріями;
  
• засвоєння курсу через послідовне розв’язування дослідницьких задач проходить в єдиному процесі надбання нових знань;
  
• розширюються можливості формування специфічної діяльності студентів, спрямованої на самостійне засвоєння нових математичних знань;
  
• за допомогою дослідницького підходу до задач практичного змісту студенти усвідомлюють зв’язок математичних теорій з практикою;
  
• даний підхід відкриває значні можливості для організації диференційованого навчання та індивідуального підходу [7]. 

Зазначимо, що дуже важливою дидактичною характеристикою є те, що курси, побудовані на задачах, не мають розподілу на теоретичний та практичний матеріал. Задачі, що розв’язуються, і є тим курсом, який вивчається. Тому і зміст задачі, і шляхи її розв’язання, спрямовані на оволодіння студентами теоретичними знаннями та практичними вміннями і навичками. Зазначимо, що кожна задача передбачає досягнення не лише однієї, а декількох цілей. Задачі при подібних курсах виконують і навчаючу роль (формування математичних понять за допомогою ретельної роботи над означеннями та властивостями), і розвиваючу (активізують розумову діяльність студентів) [5]. Будь-яка тема курсу складається з серії задач, внаслідок чого досягається повне засвоєння певного математичного змісту. Наприклад, для початкового ознайомлення і опрацювання поняття лінійної комбінації, лінійної залежності та незалежності векторів можна запропонувати наступну групу вправ на доведення [3]:

1. Для того, щоб система векторів, яка складається з одного вектора x, була лінійно-незалежною, необхідно і достатньо, щоб х не був нульовим вектором.
2. Для того, щоб система векторів {x_k}₁^m(m>1) була лінійно незалежною, необхідно і достатньо, щоб жоден з векторів системи не був лінійною комбінацією інших.
3. Кожна підсистема лінійно незалежної системи векторів лінійно незалежна.
   
4. Кожна підсистема системи векторів, яка містить повну систему, також є повною підсистемою.

     Опрацювавши подані задачі, студенти вже краще будуть уявляти собі значення термінів, які вони вивчили.

Можна сформулювати наступні принципи побудови курсу вивчення лінійної алгебри в педагогічних ВНЗ за допомогою задач: групування всього матеріалу навколо деякої основної системи понять (“ядерний матеріал”); формування властивостей протягом тривалого часу шляхом постійного їх використання; розширення функцій задач (не лише як використання теорії, але і як засіб її формування); побудова різних рівнів засвоєння матеріалу (підбір завдань різної складності); послідовне використання зв’язків між означеннями; чітке виділення результатів навчання (які поняття та їх властивості повинні бути вивчені при розв’язуванні задач); формування початкових вмінь та навичок повинно відбуватися на достатньо простих вправах.

При відборі задач потрібно враховувати такі моменти: задачі повинні бути достатньо складними, щоб активізувати мислення, але посильними; задачі повинні складати послідовну серію, від простого до складного, від задач на формування образу поняття до задач на дослідження властивостей; для мотивації опрацювання матеріалу саме в даній послідовності бажано, щоб задачі вимагали використання відомостей, отриманих при розв’язуванні попередніх задач.

Питання, яку частину матеріалу потрібно вивчати таким методом досить складне і потребує окремого дослідження, на якому автор планує зосередити свої наукові дослідження надалі. Зазначимо, що використання серії послідовних задач зумовлює особливість вивчення матеріалу. При дослідницькому підході викладач повинен показувати розв’язання задач в серії, тобто одна за одною. Тому він повинен розв’язувати на заняттях перші задачі, а самостійно студенти будуть досліджувати наступні. Теж стосується і концептуального апарату. На заняттях не можна подавати набір понять, між означеннями яких буде серія послідовних задач для самостійного дослідження.

Проаналізуємо деякі з підручників для відбору задач:

1. Особливістю посібника [1] є те, що до кожного розділу задач подано спочатку літературу з даної теми з вказівками на сторінки. Після літератури подано приклади розв’язування задач і вже потім самі задачі. Більшість вправ мають тренувальний характер.
   
2. Особливістю навчального посібника [2] є те, що кожен розділ починається зі списку означень, які будуть використовуватися у даному розділі. Після цього подано теоретичні відомості з прикладами та набір задач з даної тематики. Посібник містить велику базу завдань для вироблення навичок стандартних дій з поняттями. Крім них, присутня і велика кількість завдань на розуміння поняття.
   
3. Книга [3] відповідає вимогам до задач, описаним вище. Матеріал подається в ньому в зручному порядку: перед кожною серією задач подано декілька означень, які опрацьовуються в даній серії.
   
4. Кожний параграф задачника [4] починається з означень та достатньо детального розв’язання декількох типових вправ. Крім цього висвітлені теоретичні основи розв’язання окремих вправ.
   
5. У збірнику задач [6] перед кожним набором завдань подано основні означення та відомості з відповідного розділу лінійної алгебри. Відмітимо, що в збірнику пропонуються задачі лише на закріплення навичок роботи з математичними об’єктами (наприклад множення матриць) і зовсім відсутні задачі на засвоєння певних властивостей даних об’єктів. Такий збірник можна застосовувати для оволодіння технікою математичних дій з об’єктами.
   
6. У книзі [8] по кожній темі пропонуються теоретичні відомості (подані без доведення) та питання, на які потрібно відповісти, щоб засвоїти теоретичний матеріал.
   
7. Навчальний посібник [9] відрізняється від усіх інших тим, що в ньому всі задачі мають прикладне значення. Ця особливість сприятиме мотивації вивчення розділів лінійної алгебри. На жаль, у підручнику відсоток задач з лінійної алгебри досить малий.
   
8. Збірник [10] також можна застосувати для відбору задач. В ньому є як прості задачі на оволодіння технікою роботи з поняттями та математичними об’єктами, так і дослідницькі, на з’ясування певних властивостей.
   
9. У посібнику [13] можна знайти велику кількість вправ. Їх розв’язання сприяє більш міцному оволодінню та усвідомленню понять, які студенти вивчають.
   

Одним із засобів впровадження дослідницького підходу у навчання є використання ІКТ. Їх залучення дає змогу ефективно використати проблемні методи при навчанні.

Особливими перевагами ІКТ при здійсненні дослідницького підходу є наступні: використання математичних пакетів спрямоване на індивідуальну роботу студента; знімає психологічне навантаження, оскільки студент почуває себе впевнено, коли працює над завданням і має такого сильного помічника, як комп’ютер; можливість отримання знань з використанням мережі Інтернет (дистанційне навчання); використання різноманітних таких потужних пакетів як Maple, Derive, MathCAD, Mathematica, Gran, DG, Cabri дає змогу досліджувати багато галузей математики. Опанувавши ІКТ, майбутній вчитель зможе ознайомити з їх використанням учнів та залучити їх до дослідницької роботи.

При проведенні дослідницьких робіт з ІКТ студент повинен розуміти їх особливості ІКТ. Актуальним є питання: як потрібно будувати структуру дослідницького підходу при використанні інформаційно-комунікаційних технологій? Оскільки даний підхід передбачає постановку проблеми та розв’язання її, то можна сказати, що використання комп’ютера часто дозволяє швидко зробити висновки щодо відповіді. Отже, залучення ІКТ до розв’язання проблеми сприяє швидкому ознайомленню з матеріалом. Але чи є користь від такої роботи? Адже швидко отримати теоретичні відомості ми могли б і розкривши підручник. Отже, при дослідницькому підході ІКТ повинні виступати не як головне знаряддя отримання знань, а як помічник, який при потребі завжди готовий прийти на допомогу. Якщо студент хоче не просто знайти відповідь на питання, а одержати знання, то потрібно активно працювати над його вирішенням. Прикладні пакети при цьому використовуються як засіб підтвердження чи спростування гіпотез студента, як універсальний довідник, і, звичайно, безпосередньо як обчислювальна машина.

Зазначимо, що потрібно визначити, яку частину матеріалу для самостійної роботи слід виконати за допомогою ІКТ. Здавалося б, тут не може бути іншої відповіді крім залучення ІКТ для всіх задач. Якщо прикладні пакети дозволяють швидко робити допоміжні вправи і студенту потрібно лише вирішувати, що саме він повинен зробити, то, дійсно, відповідь є однозначною. Але, на наш погляд, це не зовсім так. Ми повинні навчити людину бути активною у дослідженні, а не виконувати роль „пасивного дослідника”, який лише спостерігає, як замість нього основну роботу виконує ІКТ. Періодично студент повинен самостійно, вручну, проводити обчислення, будувати графіки і математичні об’єкти, проводити аналіз, щоб добре розуміти сутність того, що виконує програма.

Хотілося б звернути увагу ще на те, що в літературі можна зустріти думку, що якби дослідники спочатку знали про невірність їх гіпотез, то вони б не витрачали зусилля та час на доведення неможливого, а витрачали б цей час іншим чином. Згадаємо „три відомі математичні проблеми античності”: трисекція кута, подвоєння куба, квадратура круга. Як було доведено, дані проблеми не можна точно розв’язати за допомогою циркуля та лінійки, проте наслідком роботи над цими задачами було відкриття конічних перерізів та деяких кривих [12].

Отже, на дослідницьку діяльність потрібно відводити значну частину матеріалу, і лише частину даного матеріалу досліджувати із залученням ІКТ.

Наведемо шляхи застосування ІКТ при дослідницькому підході:

• Надати попередні відомості з теорії („ядерний матеріал”). Це можна організувати: за допомогою презентацій, створених по конкретним темам; з використанням довідника (web-сторінка або електронний підручник).
  
• Запропонувати систему задач для розв’язання. Тут можна використати такі ж елементи, що і у попередньому пункті. Крім цього потрібно відмітити, що електронні курси або оболонки для розв’язування задач містять відповідний набір завдань, як незмінних, так і таких, що генеруються під час роботи.
• Продемонструвати розв’язання задач. Для цього можна використати вказані вище презентації, інтерактивні довідники. Цікаве здійснення цього пункту пропонують оболонки для розв’язування задач. В них, якщо студент на якомусь певному кроці не може продовжити розв’язання, то він може взяти допомогу комп’ютера, який зробить за нього певний крок.
  
• Перевірити результати. Для перевірки результату вивчення теми можна розробити велику кількість тестів різного виду, можна використати оболонки для розв’язання задач. При цьому слід звернути увагу на те, що деякі тренажери у разі використання електронної допомоги студентом повідомляють про це викладача, відмітивши те місце, яке було зроблено не самостійно.
  
• Виконання допоміжних арифметичних чи логічних операцій. Для цього можна використати широкий спектр прикладних програм.

    Підводячи висновки до роботи можна визначити наступні положення:

• При розробці вивчення курсу лінійної алгебри в педагогічних ВНЗ, побудованого на задачах, потрібно перш за все визначити частину курсу, яка буде викладатися на основі дослідницького підходу. Ця частина не повинна бути надто об’ємною.
  
• Відбір завдань, які будуть використовуватися для ознайомлення студентів з матеріалом курсу повинен бути ретельним з урахуванням певних вимог.
  
• Частину завдань доцільно розв’язати з використанням ІКТ, але не зловживати ними для уникнення негативних явищ.
  

Подальший напрямок продовження даної роботи автор вбачає у реалізації вказаних вище особливостей на прикладі курсу лінійної алгебри, побудованого на задачах. Крім цього, необхідно розглянути весь курс математики у педагогічних ВНЗ з метою з’ясування, які саме предмети, їх частини будуть викладатися за допомогою даного підходу з тим, щоб вивчення курсу, побудованого на задачах, не співпадало з аналогічними варіантами дослідницького підходу іншого курсу вищої математики у часі, щоб не перевантажувати студентів такою достатньо складною формою навчання.

Література:

1. Алгебра и теория чисел. Практикум: В 2-х ч./ Завало С.Т., Левищенко С.С., Пылаев В.В., Рокицкий И.А. К.: Вища школа. Головное изд-во, 1983. – Ч.1. – 232 с.
2. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре: Учеб. пособие/Под ред. Д.В. Беклемишева. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит.,1987. – 496 с.
3. Глазман И.М., Любич И.И. Конечномерный линейный анализ в задачах. – М., Наука, 1969. – 476 с.
4. Глухов М.М., Солодовников А.С. Задачник-практикум по высшей алгебре. Изд-е 2-е, доп. – М., Просвещение, 1969. – 276 с.
5. Жовнір Я.М., Євдокимов В.І. 500 задач з методики викладання математики: Навч. посібник. – Х.: Основа, 1997. – 392 с.
6. Збірник задач з лінійної алгебри та аналітичної геометрії (Руданський Ю.К., Костробій П.П., Уханська Д.В., Батюк Ю.Р., Бойцун С.А., Гук В.М., Білонова Д.М., Слюсарчук О.З.). – Львів: Видавництво “Бескид Біт”, 2002. – 256 с.
7. Коваленко В.Г., Тесленко І.Ф. Проблемний підхід до навчання математики: Метод. Посібник. – К.: Рад. шк., 1985. – 88 с.
8. Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах: Учеб. пособие для студентов вузов по спец. «Физика» и «Прикл. математика». – М.: Высш. шк., 1985. – 120 с.
9. Михайленко В.М., Антонюк Р.А. Сборник прикладных задач по высшей математике: Учеб. пособие. – К.: Выща шк., 1990. – 167 с.
10. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. изд 5-е, – М., Наука, 1974. –384 с.
11. Раков С.А. Математична освіта: компетентнісний підхід з використанням ІКТ: Монографія. – Х.: Факт, 2005. – 360 с.
12. Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. Пер. с нем. - 5-е изд., испр. – М.: Наука, Гл. ред. физ-мат. лит., 1990. – 256 с.
13. Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. [Учеб. пособие для физ.-мат. факультетов пед. ин-тов]. – Мн.: Выш. школа, 1982. – 223 с.