Головна

---

Раді вітати Вас на сторінках нашого сайту. Основне призначення даного сайта - це допомогти учням якісно підготуватися до проходження ЗНО/НМТ з математики. В основу цієї підготовки покладено метод навчання через задачі. Ви відкриваєте набір задач з певної теми, розв'язуєте їх, перевіряєте себе за наданою відповіддю і рухаєтесь далі.

СТРУКТУРА САЙТУ

Онлайн - тести

Тренувальні тести НМТ з математики з відліком часу.

Вам надається 1 година на виконання тесту, після завершення часу можна буде або закінчити виконання, або продовжити. Після 2 годин або завершення тесту буде повідомлено кількість балів за першу годину та загальну; вказано номери, які було розв'язано неправильно.

Перейти до першого тесту

Підготовка до ЗНО/НМТ

Матеріали попередніх ЗНО та НМТ, розділені за темами.

Допоможе Вам якісно підготуватися до випробувань. На початку є теоретичний матеріал, далі пропонуються завдання. Після кожного завдання є кнопка "Відповідь", по натисненню на яку буде показано правильну відповідь, щоб можна було себе перевірити.

Перейти до першої теми

Математичний довідник

Зміст матеріалу з математики.

Підійде всім: учням вивчити або закріпити пройдений матеріал; батькам - пригадати вивчений ними матеріал щоб допомогти дітям розібратися у виконанні вправ. Матеріал розподілений за класами.

Перейти до першої теми

Вчителям

Матеріали для вчителів інформатики та математики.

В даному розділі можна знайти календарне планування з інформатики та математики, перелік чинних програм. Крім того, вчителям математики запропоновано програму, яка дозволяю створювати завдання з розв'язання рівнянь.

Перейти до розділу

Корисні посилання

Надано посилання на освітні ресурси учнів та освітян.

В даному розділі можна знайти посилання на різні види ресурсів. Для учнів випускних класів - це сайти, присвяченні ЗНО та НМТ. Для учнів інших класів - це сайти підтримки вивчення математики.

Перейти до розділу

7 клас. Алгебра. Графік функції

Графіком функції називають фігуру, що складається з усіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати дорівнюють відповідним значенням функції.

Алгоритм побудови графіку довільної функції:

1. Скласти таблицю значень функції для певної кількості значень аргументу (чим більше значень аргументу, тим точніше буде будуватися графік).
2. Позначити точки, координати яких подано в таблиці, на координатній площині.
3. Сполучити точки плавною лінією.

Характеристики графіка функції:

1. Область визначення функції. Для неперервної функції це ліва та права межа графіка по осі абсцис (вісь х)
2. Область значень функції. Для неперервної функції це нижня та верхня межа графіка по осі ординат (вісь у)
3. Нуль функції. Нулем функції є абсциса (х, перша координата) точки перетину графіка функції з віссю абсцис (вісь х).

Оскільки за означенням функції кожному значенню незалежної змінної відповідає єдине значення залежної змінної, то якщо на фігурі на координатній площині якомусь значенню х відповідає декілька значень у, то така фігура не є графіком функції.

Для перевірки чи належить дана точка графіку функції (графік функції проходить ерез дану точку) треба підставити в рівняння функції замість аргумента значення абсциси точки і порівняти отримане значення функції з ординатою точки. Якщо значення функції та ордината точки спіпадають, то точка належить графіку функції. Якщо не співпадають, то точка графіку функції не належить.

Приклади

1. Скласти таблицю для цілих значень аргументу функції y = 2x – 1, де –3 ≤ х ≤ 4 і побудувати графік.
   Розв'язування
   y(-3) = 2 ⋅ (-3) - 1 = - 6 - 1 = - 7.
   y(-2) = 2 ⋅ (-2) - 1 = - 4 - 1 = - 5.
   y(-1) = 2 ⋅ (-1) - 1 = - 2 - 1 = - 3.
   y(0) = 2 ⋅ 0 - 1 = 0 - 1 = - 1.
   y(1) = 2 ⋅ 1 - 1 = 2 - 1 = 1.
   y(2) = 2 ⋅ 2 - 1 = 4 - 1 = 3.
   y(3) = 2 ⋅ 3 - 1 = 6 - 1 = 5.
   y(4) = 2 ⋅ 4 - 1 = 8 - 1 = 7.
   

   x	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
   y	-7	-5	-3	-1	1	3	5	7

   Графік функції:
   
   Порядок побудови:
   
2. Скласти таблицю для цілих значень аргументу функції y = x² – 2, де –3 ≤ х ≤ 3 і побудувати графік.
   Розв'язування
   y(-3) = (-3)² - 2 = 9 - 2 = 7.
   y(-2) = (-2)² - 2 = 4 - 2 = 2.
   y(-1) = (-1)² - 2 = 1 - 2 = - 1.
   y(0) = 0² - 2 = 0 - 2 = - 2.
   y(1) = 1² - 2 = 1 - 2 = - 1.
   y(2) = 2² - 2 = 4 - 2 = 2.
   y(3) = 3² - 2 = 9 - 2 = 7.
   

   x	-3	-2	-1	0	1	2	3
   y	7	2	-1	-2	-1	2	7

   Графік функції:
   
   Порядок побудови:
   
3. Встановіть, чи належить графіку функції у = 3х - 4 точки А(2;8) і В(1;-1).
   Розв'язування
   А(2;8)
   Підставимо замість аргумента функції х абсцису точки А.
   y(2) = 3 ⋅ 2 - 4 = 6 - 4 = 2. Отримане значення не співпадає з ординатою точки А (2≠8), тому точка А не належить графіку функції.
   В(1;-1)
   Підставимо замість аргумента функції х абсцису точки В.
   y(1) = 3 ⋅ 1 - 4 = 3 - 4 = -1. Отримане значення співпадає з ординатою точки В, тому точка В належить графіку функції.
   
4. 
   За графіком, який зображено на малюнку, знайдіть:
   1. область визначення функції;
   2. область значень функції;
   3. значення у, якщо х = - 3;
   4. значення x, якщо y = 2;
   5. нулі функції;
   6. значення аргументу, за яких функція набуває додатних значень
   7. значення аргументу, за яких функція набуває від'ємних значень
   Розв'язування
   
   1. Аргумент функції змінюється від -5 до 4. Тому область визначення функції –5 ≤ х ≤ 4.
      
   2. Значення функції змінюється від -3 до 6. Тому область значень функції –3 ≤ у ≤ 6.
      
   3. За малюнком, якщо х = -3, то у = - 2.
      
   4. За малюнком, якщо у = 2, то х≈- 1,3; х≈1,6 та х = 4.
      
   5. Графік функції перетинає вісь абсцис у точках (-2;0) та (3;0). Тому нулі функції: х = -2 та х = 3.
      
   6. За малюнком функція набуває додатних значень там, де графік функції лежить вище осі х. Маємо –2 < x < 3 та при 3 < x ≤ 4.
      
   7. За малюнком функція набуває від'ємних значень там, де графік функції лежить нижче осі х. Маємо –5 ≤ x < -2.
      

⇐Попередня тема

Повернутись до переліку тем

7 клас. Алгебра. Функція. Область визначення та область значень функції. Способи задання функції

Функцією (функціональною залежністю) називають залежність, при якій кожному значенню незалежної змінної (аргумент функції) відповідає єдине значення залежної змінної (значення функції).

Характеристики функції:

1. Областю визначення функції називають усі значення, яких може набувати аргумент функції.
2. Областю значень функції називають усі значення, яких може набувати залежна змінна (функція).
3. Нулем функції називають таке значення аргументу, для якого значення функції дорівнює 0. Для знаходження нуля функції треба знайти корені відповідного рівняння.

Способи задання функції:

1. Словесний. Функція задається описом того, як за значенням аргумента знайти значення функції. Наприклад: кожному дійсному числу ставиться у відповідність добуток данного числа та числа 3.
2. Формульний. Функція задається формулою. Наприклад: у = 2х+3. При такому способі можна знайти значення функції для будь-якого аргумента з її області визначення.

   Якщо маємо функцію виду , то це означає, що якщо аргумент функції менше -5, то значення функції треба обчислювати за першим рядком (2х+5), а якщо значення аргумента більше або дорівнює -5, то значення функції треба обчислювати за другим рядком (4х-3).

3. Табличний. Функція задається таблицею, де деяким значенням аргумента поставлено у відповідність значення функції. Це дозволяє швидко знайти значення аргумента, але в таблиці може не бути потрібних значень аргумента. Наприклад:

   x	-3	0	1	5
   y	-6	0	2	10

4. Графічний. Функція задається за допомогою сукупності точок, абсциси яких належать області визначення функції, а ординати дорівнюють відповідному значенню залежної змінної. При такому способі, як і при табличному, можна дуже швидко знайти значення функції, але воно може бути наближеним. Наприклад: графік функції у = х + 5.
   

Приклади

1. Знайти значення функції y=х² - 2 при значеннях аргументу –4; –1; 0; 1; 2.
   Розв'язування
   y(-4) = (-4)² - 2 = 16 - 2 = 14.
   y(-1) = (-1)² - 2 = 1 - 2 = - 1.
   y(0) = 0² - 2 = 0 - 2 = - 2.
   y(1) = 1² - 2 = 1 - 2 = - 1.
   y(2) = 2² - 2 = 4 - 2 = 2.
2. Скласти таблицю значень функції, заданої формулою y=5х+1, для значень аргументу –2; –1; 0; 1; 2.
   Розв'язування
   y(-2) = 5 ⋅ (-2) + 1 = - 10 + 1 = - 9.
   y(-1) = 5 ⋅ (-1) + 1 = - 5 + 1 = - 4.
   y(0) = 5 ⋅ 0 + 1 = 0 + 1 = 1.
   y(1) = 5 ⋅ 1 + 1 = 5 + 1 = 6.
   y(2) = 5 ⋅ 2 + 1 = 10 + 1 = 11.
   

   x	-2	-1	0	1	2
   y	-9	-4	1	6	11

3. Знайти значень функції при наступних значеннях аргументу: –4; –2; 0.
   Розв'язування
   y(-4) = 2 ⋅ (-4) - 3 = - 8 - 3 = - 11.
   y(-2) = (-2)² + 2 = 4 + 2 = 6.
   y(0) = 0² + 2 = 0 + 2 = 2.
4. Знайти значень аргумента функції y = х + 4, при яких значеннях функції дорівнює –4.
   Розв'язування
   х + 4 = -4
   x = - 4 - 4
   x = - 8.
5. Знайти значень аргумента функції y = х² + 4x, при яких значеннях функції дорівнює 0.
   Розв'язування
   х² + 4x = 0
   x (x + 4) = 0
   x = 0 або х + 4 = 0, звідки х = -4. Маємо 2 відповіді: 0 та -4.
6. Знайти область визначення функцій у = х + 3; ,,,
   Розв'язування
   1) Так як для будь-якого значення аргумента можна обчислити значення виразу х+3, то областю визначення функції у=х+3 є всі числа.
   2) Так як для будь-якого значення аргумента можна обчислити значення виразу х-4 і результат поділити на 8, то областю визначення функції є всі числа.
   3) Так як ділити на 0 не можна, то знаменник дробу не повинен дорівнювати 0. Тому областю визначення функції є всі числа, крім числа 0.
   4) Так як ділити на 0 не можна, то знаменник дробу не повинен дорівнювати 0. Отже значення виразу х+8 не повиненно дорівнювати 0, тобто х≠-8. Тому областю визначення функції є всі числа, крім числа -8.
   5) Так як ділити на 0 не можна, то знаменник дробу не повинен дорівнювати 0. Знайдемо, коли значення виразу х²-16 дорівнює 0.
   х²-16 = 0
   х²-4² = 0
   (х - 4)(x + 4) = 0
   х - 4 = 0
   х = 4
   х + 4 = 0
   х = - 4
   Тоді областю визначення функції є всі числа, крім чисел - 4 та 4.
7. Знайти нулі функції y = 5х + 4.
   Розв'язування
   5х + 4 = 0
   5х = - 4
   х = - 4 : 5
   х = - 0,8
   Отже, нулем функції y = 5х + 4 є число -0,8.
   
8. Знайти нулі функції y = 2х² - 8x.
   Розв'язування
   2х² - 8x = 0
   2x (x - 4) = 0
   2x = 0
   х = 0
   х - 4 = 0
   х = 4.
   Отже, нулями функції y = 2х² - 8x є числа 0 та 4.

⇐Попередня тема

Повернутись до переліку тем

⇒Наступна тема