7 клас. Геометрія. Центральні та вписані кути

У чому різниця між центральним та вписаним кутами і як вони пов'язані між собою? У цьому уроці ми вивчимо ключові властивості кутів у колі: від вимірювання дуг до особливих випадків, коли вписаний кут спирається на діаметр. Ви дізнаєтеся, чому кути, що спираються на одну хорду, є рівними, та навчитеся розв'язувати задачі на пошук градусних мір кутів, використовуючи наочні схеми та покрокові розв'язання прикладів.

центральний кут, central angle EABCD

Центральним кутом називають кут з вершиною в центрі кола. Частину кола, яка лежить усередині кута, називають дугою кола, що відповідає цьому центральному куту. На зображенні утворено дві дуги: \stackrel{\frown}{\text{BDC}} та \stackrel{\frown}{\text{BEC}}

Градусною мірою дуги кола називають градусну міру відповідного центрального кута.

Вписаний кут - кут, вершина якого належить колу, а сторони перетинають це коло.

Властивості вписаних кутів:

    центральний та вписаний кути, central and inscribed angles EABCD
  • Вписаний кут вимірюється половиною дуги, на яку спирається (вписаний кут дорівнює половині відповідного центрального кута). ∠BEC = \frac{1}{2}\stackrel{\frown}{\text{BDC}} або ∠BEC = \frac{1}{2}\angle{BAC}.
    • вписані кути, inscribed angles EABCFG
  • Вписані кути, що спираються на одну й ту саму дугу, між собою рівні. ∠BЕC = ∠BFC = ∠BGC.
    • вписаний кут, inscribed angle EACB
  • Вписаний кут, що спирається на діаметр, - прямий. Так як ВЕ - діаметр, то ∠BCE = 90°.
Завдання 1. Знайдіть градусну міру кута, вписаного в коло, якщо відповідний йому центральний кут дорівнює 80°.
Показати відповідь
центральний та вписаний кути, central and inscribed angles Дано: ∠BEC - вписаний, ∠BАC = 80° - центральний.
Знайти: ∠BEC
Розв'язування
Так як вписаний кут дорівнює половині відповідного центрального кута, то ∠BEC = ∠BАC : 2 = 80° : 2 = 40°.
Відповідь: 40°.
Завдання 2. Знайдіть градусну міру центрального кута, якщо відповідний йому вписаний кут дорівнює 60°.
Показати відповідь
центральний та вписаний кути, central and inscribed angles Дано: ∠BEC = 60°- вписаний, ∠BАC - центральний.
Знайти: ∠BАC
Розв'язування

Так як вписаний кут дорівнює половині відповідного центрального кута, то ∠BАC = 2∠BЕC = 2 ·60° = 120°.

Відповідь: 120°.
Завдання 3. Точки C і D лежать по один бік від хорди АВ. Знайдіть градусну міру кута ACВ, якщо градусна міра кута ADB дорівнює 65°.
Показати відповідь
вписані кути, inscribed angles COBAD Дано: ∠ACB, ∠ADB - вписані, ∠ADB = 65°.
Знайти: ∠ACB
Розв'язування

Так як вписані кути, що спираються на одну дугу рівні, тo ∠ACB = ∠ADB = 65°.

Відповідь: 65°.
Завдання 4. Точки C і D лежать по різні боки від хорди АВ. Знайдіть градусну міру кута ACВ, якщо градусна міра кута ADB дорівнює 110°.
Показати відповідь
вписані кути, inscribed angles COBAD Дано: ∠ACB, ∠ADB - вписані, ∠ADB = 110°.
Знайти: ∠ACB
Розв'язування

Так як вписаний кут дорівнює половині відповідної дуги, то градусна міра дуги АСВ дорівнює 2 ·110° = 220°. Тоді градусна міра дуги ADB дорівнює 360° - 220° = 140°. Тоді градусна міра відповідного їх вписаного кута ACB дорівнює 140° : 2 = 70°.

Відповідь: 70°.
Завдання 5. Хорди АС і BD перетинаються в точці Е. Знайдіть градусну міру кута АЕD, якщо градусні міри кутів ВСА та DAC дорівнюють 45° і 60° відповідно.
Показати відповідь
вписані кути, inscribed angles COABDE Дано: АС і BD - хорди, ∠ВСА = 45°, ∠DAC = 60°.
Знайти: ∠АЕD
Розв'язування

Так як вписані кути BCA та BDA спираються на одну дугу, то вони рівні. Тоді ∠ВDА = ∠ВСА = 45°. Так як в трикутнику сума кутів дорівнює 180°, то з трикутника DAE маємо ∠AED = 180° - (∠EDA + ∠DAE) = 180° - (45° + 60°) = 180° - 105° = 75°.

Відповідь: 75°.