7 клас. Геометрія. Коло, вписане в трикутник та описане навколо трикутника

Коло називають вписаним у трикутник, якщо воно дотикається до всіх сторін цього трикутника.

У будь-який трикутник завжди можна вписати коло. Центром кола, вписаного в трикутник, є точка перетину бісектрис цього трикутника.

Для побудови такого кола треба провести дві бісектриси трикутника, точка їх перетину є центром кола. Потім з центра кола провести перпендикуляр до будь-якого сторони, отриманий відрізок буде радіусом кола. Після цього побудувати коло з визначеними центром та радіусом кола.

Коло називають описаним навколо трикутника, якщо воно проходить через усі вершини цього трикутника.

Навколо будь-якого трикутника можна описати коло. Центром кола, описаного навколо трикутника, є точка перетину серединних перпендикулярів до його сторін ( cерединним перпендикуляром до відрізка називають пряму, що проходить через середину відрізка перпендикулярно до нього).

Для побудови такого кола треба знайти середини двох сторін трикутника, через них провести прямі, перпендикулярні до відповідних сторін трикутника, точка їх перетину є центром кола. Після цього побудувати коло з визначеними центром і радіусом відстанню від цента до вершини трикутника.

Приклади

1. В трикутник АВС вписано коло, що дотикається сторін АВ, ВС та АС у точках I, H та Е відповідно. Знайдіть периметр трикутника АВС, якщо ЕС = 6 см, ВН = 4 см, АІ = 7 см.
   

   Дано: ∆АВС, I, H, E - точки дотику вписаного кола, ЕС = 6 см, ВН = 4 см, АІ = 7 см.
   Знайти: P_∆АВС
   
   Розв'язування

   Розглянемо трикутники ОЕС та ОНС. Так як Е та Н - точки дотику, то за властивістю дотичної до кола ∠ОЕС = ∠ОНС = 90° і ці трикутники є прямокутними. Так як О - центр вписаного кола, то ОС - бісектриса кута АСВ і тому ∠ЕСО = ∠НСО. Тоді ∆ОЕС = ∆ОНС за гіпотенузою (ОС - спільна сторона) та гострим кутом. З рівності трикутників слідує рівність відповідних сторін, тому НС = ЕС = 6 см.

   Аналогічно доводимо рівність трикутників ОІА та ОЕА, з чого слідує рівність відповідних сторін і АЕ = АІ = 7 см.

   Аналогічно доводимо рівність трикутників ОНВ та ОІВ, з чого слідує рівність відповідних сторін і ВІ = ВН = 4 см.

   Тоді АВ = АІ + ВІ = 7 + 4 = 11 см, ВС = ВН + НС = 4 + 6 = 10 см, АС = АЕ + ЕС = 7 + 6 = 13 см. P_∆АВС = АВ + ВС + АС = 11 + 10 + 13 = 34 см.

   Відповідь: 34 см.

⇐Попередня тема

Повернутись до переліку тем

⇒Наступна тема