Перейти до основного вмісту

7 клас. Геометрія. Коло та круг, їх елементи. Дотична до кола

Колом називають геометричну фігуру, яка складається з усіх точок площини, рівновіддалених від даної точки (центр кола).

коло та його елементи, circumference and its elements

Елементи кола:

  • Радіус кола - відрізок, що сполучає центр кола з будь-якою точкою кола. Позначають буквою r.
  • Хорда - відрізок, що сполучає дві точки кола.
  • Діаметр кола - хорда, що проходить через центр кола. Він є найбільшою хордою і ділить перпендикулярні до нього хорди навпіл. Позначають буквою d. d=2r

Кругом називають коло разом з його внутрішньою областю. Елементами круга є відповідні елементи кола цього круга.

круг та його елементи, disk and its elements

Можливі випадки взаємного розміщення прямої і кола:

    взаємне розміщення кола та прямої, relative position of a circle and a line
  • Перетинаються. Пряму, яка має дві спільні точки з колом, називають січною. Відстань від центра кола до січної менша від радіуса.
  • Дотикаються. Пряму, яка має одну спільну точку з колом, називають дотичною. Відстань від центра кола до дотичної дорівнює радіусу.
  • Не перетинаються. Відстань від центра кола до прямої більше за радіус.

Властивості дотичної:

властивості дотичної до кола, properties of tangents to a circle
  • Дотична до кола є перпендикулярною до радіуса, який проведений в точку дотику. АВ⊥ВО.
  • Якщо пряма проходить через кінець радіуса кола і перпендикулярна до цього радіуса, то ця пряма є дотичною до цього кола.
  • Відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола, рівні між собою. АВ = АС.

Приклади

  1. Радіус кола дорівнює 5 см. Знайдіть діаметр кола.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    Так як d = 2r, то d = 2 ⋅ 5 = 10 см.
    Відповідь: 10 см.
  2. Діаметр кола дорівнює 14 см. Знайдіть радіус кола.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    Так як d = 2r, то r = d : 2 = 14 : 2 = 7 см.
    Відповідь: 7 см.
  3. Радіус кола дорівнює 12 см. З'ясуйте, як розміщені дане коло та пряма, яка знаходиться від центра кола на відстані а) 6 см, б) 12 см, в) 14 см.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    а) Так як відстань від центра кола до прямої менше від радіуса, то пряма та коло перетинаються.
    б) Так як відстань від центра кола до прямої дорівнює радіусу, то пряма та коло дотикаються.
    в) Так як відстань від центра кола до прямої більше за радіус, то пряма та коло не перетинаються.
    Відповідь: а) перетинаються, б) дотикаються, в) не перетинаються.
  4. З точки А до кола з центром в точці О проведено дотичну, яка дотикається до кола в точці В. На колі взято точку С так, що ∠CВA = 36°. Знайдіть ∠BОC.
    Показати відповідь
    дотична до кола, tangent to a circle
    Дано: АВ - дотична, ∠CВA = 36°.
    Знайти: ∠BОC
    Розв'язування
    Так як АВ - дотична, то ∠AВО = 90°. Тоді ∠СВО = ∠АВО - ∠СВА = 90° - 36° = 54°. Так ОВ і ОС - радіуси кола, то вони рівні і трикутник ВОС є рівнобедреним з основою ВС. У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні, тому ∠ВСО = ∠СВО = 54°. Так як в трикутнику сума кутів дорівнює 180°, то з трикутника ВОС маємо ∠ВОС = 180° - (∠ВСО + ∠СВО) = 180° - (54° + 54°) = 180° - 108° = 72°.
    Відповідь: 72°.
  5. З точки А до кола з центром в точці О проведено дві дотичні, які дотикається до кола в точках В і С. Доведіть що трикутники АВО та АСО рівні.
    Показати відповідь
    дотична до кола, tangent to a circle
    Дано: АВ і АС - дотичні.
    Довести: ΔАВО = ΔАСО
    Доведення
    Так як АВ і АС - дотичні, то за властивістю дотичних АВ = АС. Так ОВ і ОС - радіуси кола, то ОВ = ОС. Розглянемо трикутники АВО і АСО. В них АВ = АС, ОВ = ОС, АО - спільна сторона. Тоді за третьою ознакою рівності трикутників ΔАВО = ΔАСО.
    Доведено.
⇐Попередня тема Повернутись до переліку тем ⇒Наступна тема

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Завдання. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців – 4х. Разом їх буде 3х + 4х = 7х. Отже, сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців ділиться націло на 7, і лише число 91 задовольняє цій умові. Завдання. НМТ 2026 (демо). Узгодьте вираз (1– 3) із його значенням (А – Д), якщо m = -\frac{4}{3} 1 |𝑚 − 4| 2 4m −1 3 (3𝑚 + 1) 0 А –3 Б 1 В 0 Г 3 Д \frac{16}{3} Показати відповідь 1-Д, 2-А, 3-Б . 1. |-\frac{4}{3}-4|=|-\frac{4}{3}-\frac{12}{3}|=|\frac{-4-12}{3}|=|\frac{-16}{3}|=\frac{16}{3} 2. 4\cdot(-\frac{4}{3})^{-1} = 4\cdot (-\frac{3}{4}) = -3 (при зміні знака степеня дріб перевертається) 3. Кожне число, від'ємне від 0, в нульовій степені д...
3 коментарі
Read more »

Первісна функції

Правила інтегрування C⋅f(x)dx=C⋅ f(x)dx (f(x)±g(x))dx= f(x)dx± g(x)dx Таблиця первісних x n dx= +C dx=ln|x|+C sinxdx=-cosx+C cosxdx=sinx+C dx=tgx+C dx= -ctgx+C a x dx= +C e x dx=e x +C Завдання. НМТ 2026 (демо). Позначте формулу для визначення площі S фігури, обмеженої графіками функцій 𝑦 = 2 𝑥 , 𝑦 = 2 та прямою 𝑥 = 0 (див. рисунок). S=\int_{0}^{2}2^x{dx} S=\int_{0}^{1}2^x{dx} S=\int_{0}^{1}(2^x-2){dx} S=\int_{0}^{1}(2-2^x){dx} S=\int_{0}^{2}(2-2^x){dx} Показати відповідь Г . Так як фігура обмежена числами 0 та 1 по осі абсцис, то ці числа є межами інтегрування. На даному проміжку фігура обмежена згори лінією у = 2, знизу лінією 𝑦 = 2 𝑥 . Тоді за формулою обчислення площі фігури S=\int_{0}^{1}(2-2^x){dx} . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції Обчисліть значення виразу . Показати відповідь 31 . Скористатись геометричним змістом визначеного інтеграла. НМТ 2024. Обчисліть інтеграл . Показати відповідь 10 . Ск...
8 коментарів
Read more »

Комбінаторика

1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і І об'єкт і ІІ об'єкт можна a⋅b способами. 3. Перестановки . Якщо з n об'єктів потрібно обрати всі n, то це можна зробити P n =n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n-1)⋅n способами. 4. Розміщення . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання важливий, то це можна зробити = способами. 5. Комбінації . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання не важливий, то це можна зробити = способами. Примітка . Скорочення факторіалів = =5⋅6⋅7=210 Завдання. НМТ 2026 (демо). У квітковому магазині є 12 білих та 25 червоних троянд. Покупець замовив у цьому магазині букет із двох білих троянд й однієї червоної. Скільки всього є варіантів такого вибору? Показати відповідь 1650 . Оскільки порядок вибору листіво...
15 коментарів
Read more »

Функції за графіками

Завдання. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції, що набуває лише додатних значень на всій області визначення? Показати відповідь Д . Якщо графік квадратичної функції набуває лише додатних значень на всій області визначення, то він повинен весь лежати вище осі х. Таккій умові задовольняє тільки графік Д. НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y = x + 2 y = −x 2 Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) ...
13 коментарів
Read more »

Трикутники та їх властивості

Види трикутників За кутами Гострокутний - всі кути гострі (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 <a 2 +b 2 ). Прямокутний - один з кутів прямий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 =a 2 +b 2 ). Тупокутний - один з кутів тупий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 >a 2 +b 2 ). За сторонами Різносторонній - всі сторони різні. Рівнобічний - дві сторони рівні (називаються бічними, третя - основою). Рівносторонній (правильний) - всі сторони рівні. Основні елементи трикутників Медіана - відрізок, який сполучає вершину трикутника з серединою протилежної сторони (ділить сторону навпіл). Медіани трикутника перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться у відношенні 2:1, починаючи від вершини. Висота - відрізок, який проведений з вершини трикутника перпендикулярно до протилежної сторони. Бісектриса - відрізок, який проведено з вершини до протилежної сторони і який ділить к...
5 коментарів
Read more »

Рекомендований допис

Solving Linear Equations with One Variable: A Step-by-Step Guide

An equation is an equality that contains a variable. You are required to find a number that, when substituted for the variable, yields a correct numerical equality (the same numbers on the left and right sides of the equality). In other words, you need to find the solution of the equation . For example, in the equation 2x - 6x + 8 = 7x - 3, we can substitute 1 for the variable x and obtain a correct numerical equality, since 2(1) - 6(1) + 8 = 2 - 6 + 8 = 4 and 7(1) - 3 = 7 - 3 = 4. Therefore, x = 1 is a solution of the equation. When solving equations, we may encounter the following cases: the equation has no solution,one solution, or infinitely many solutions. In this post, we will look at how to solve equations that contain one variable to the first power. Such equations are called linear equations . To solve such equations, you can apply The Subtraction property of equality. If a = b, then a - c =b - c ; The Addition property of equality. If a = b, then a + c = b...
Дописати коментар