Чим коло відрізняється від круга і які секрети приховує звичайна дотична? У цьому посібнику ми розберемо основні елементи круглих фігур: від радіуса та діаметра до властивостей січних і дотичних. Ви дізнаєтеся, як відстань від центра до прямої визначає їхнє взаємне розміщення, навчитеся застосовувати властивості відрізків дотичних у задачах та зрозумієте логіку взаємозв’язків у колі через наочні приклади та покрокові доведення.
Колом називають геометричну фігуру, яка складається з усіх точок площини, рівновіддалених від даної точки (центр кола).
Елементи кола:
- Радіус кола - відрізок, що сполучає центр кола з будь-якою точкою кола. Позначають буквою r.
- Хорда - відрізок, що сполучає дві точки кола.
- Діаметр кола - хорда, що проходить через центр кола. Він є найбільшою хордою і ділить перпендикулярні до нього хорди навпіл. Позначають буквою d. d=2r
Кругом називають коло разом з його внутрішньою областю. Елементами круга є відповідні елементи кола цього круга.
Можливі випадки взаємного розміщення прямої і кола:
- Перетинаються. Пряму, яка має дві спільні точки з колом, називають січною. Відстань від центра кола до січної менша від радіуса.
- Дотикаються. Пряму, яка має одну спільну точку з колом, називають дотичною. Відстань від центра кола до дотичної дорівнює радіусу.
- Не перетинаються. Відстань від центра кола до прямої більше за радіус.
Властивості дотичної:
- Дотична до кола є перпендикулярною до радіуса, який проведений в точку дотику. АВ⊥ВО.
- Якщо пряма проходить через кінець радіуса кола і перпендикулярна до цього радіуса, то ця пряма є дотичною до цього кола.
- Відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола, рівні між собою. АВ = АС.
Показати відповідь
Розв'язування
Так як d = 2r, то d = 2 · 5 = 10 см.
Відповідь: 10 см.
Завдання 2. Діаметр кола дорівнює 14 см. Знайдіть радіус кола.
Так як d = 2r, то d = 2 · 5 = 10 см.
Відповідь: 10 см.
Показати відповідь
Розв'язування
Так як d = 2r, то r = d : 2 = 14 : 2 = 7 см.
Відповідь: 7 см.
Завдання 3. Радіус кола дорівнює 12 см. З'ясуйте, як розміщені дане коло та пряма, яка знаходиться від центра кола на відстані а) 6 см, б) 12 см, в) 14 см.
Так як d = 2r, то r = d : 2 = 14 : 2 = 7 см.
Відповідь: 7 см.
Показати відповідь
Розв'язування
а) Так як відстань від центра кола до прямої менше від радіуса, то пряма та коло перетинаються.
б) Так як відстань від центра кола до прямої дорівнює радіусу, то пряма та коло дотикаються.
в) Так як відстань від центра кола до прямої більше за радіус, то пряма та коло не перетинаються.
Відповідь: а) перетинаються, б) дотикаються, в) не перетинаються.
Завдання 4. З точки А до кола з центром в точці О проведено дотичну, яка дотикається до кола в точці В. На колі взято точку С так, що ∠CВA = 36°. Знайдіть ∠BОC.а) Так як відстань від центра кола до прямої менше від радіуса, то пряма та коло перетинаються.
б) Так як відстань від центра кола до прямої дорівнює радіусу, то пряма та коло дотикаються.
в) Так як відстань від центра кола до прямої більше за радіус, то пряма та коло не перетинаються.
Відповідь: а) перетинаються, б) дотикаються, в) не перетинаються.
Показати відповідь
Дано: АВ - дотична, ∠CВA = 36°.
Знайти: ∠BОC
Розв'язування
Так як АВ - дотична, то ∠AВО = 90°. Тоді ∠СВО = ∠АВО - ∠СВА = 90° - 36° = 54°. Так ОВ і ОС - радіуси кола, то вони рівні і трикутник ВОС є рівнобедреним з основою ВС. У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні, тому ∠ВСО = ∠СВО = 54°. Так як в трикутнику сума кутів дорівнює 180°, то з трикутника ВОС маємо ∠ВОС = 180° - (∠ВСО + ∠СВО) = 180° - (54° + 54°) = 180° - 108° = 72°.
Відповідь: 72°.
Завдання 5. З точки А до кола з центром в точці О проведено дві дотичні, які дотикається до кола в точках В і С. Доведіть що трикутники АВО та АСО рівні.Знайти: ∠BОC
Розв'язування
Так як АВ - дотична, то ∠AВО = 90°. Тоді ∠СВО = ∠АВО - ∠СВА = 90° - 36° = 54°. Так ОВ і ОС - радіуси кола, то вони рівні і трикутник ВОС є рівнобедреним з основою ВС. У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні, тому ∠ВСО = ∠СВО = 54°. Так як в трикутнику сума кутів дорівнює 180°, то з трикутника ВОС маємо ∠ВОС = 180° - (∠ВСО + ∠СВО) = 180° - (54° + 54°) = 180° - 108° = 72°.
Відповідь: 72°.
Показати відповідь
Дано: АВ і АС - дотичні.
Довести: ∆АВО = ∆АСО
Доведення
Так як АВ і АС - дотичні, то за властивістю дотичних АВ = АС. Так ОВ і ОС - радіуси кола, то ОВ = ОС. Розглянемо трикутники АВО і АСО. В них АВ = АС, ОВ = ОС, АО - спільна сторона. Тоді за третьою ознакою рівності трикутників ∆АВО = ∆АСО.
Доведено.
Довести: ∆АВО = ∆АСО
Доведення
Так як АВ і АС - дотичні, то за властивістю дотичних АВ = АС. Так ОВ і ОС - радіуси кола, то ОВ = ОС. Розглянемо трикутники АВО і АСО. В них АВ = АС, ОВ = ОС, АО - спільна сторона. Тоді за третьою ознакою рівності трикутників ∆АВО = ∆АСО.
Доведено.
Коментарі