Перейти до основного вмісту

7 клас. Геометрія. Прямокутні трикутники та їх властивості

Трикутник називається прямокутним, якщо один з його кутів прямий.

В прямокутному трикутнику сторона, яка лежить проти прямого кута, називається гіпотенузою, а дві інші сторони – катетами.

прямокутний трикутник, right triangles

Властивості прямокутних трикутників:

  • Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°. ∠А + ∠В = 90°.
  • Гіпотенуза прямокутного трикутника більша за будь-який з його катетів. АВ > AC, AB > BC.
  • Катет прямокутного трикутника, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи. Якщо ∠А = 30°, АВ = 20 см, то ВС = 10 см.
  • Якщо катет прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи, то кут, що лежить проти цього катета, дорівнює 30°. Якщо АВ = 10 см, ВС = 5 см, то ∠А = 30°.
  • У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи. CD = AB : 2.
  • У прямокутному трикутнику середина гіпотенузи рівновіддалена від його вершин. DА = DВ = DС

Ознаки рівності прямокутних трикутників:

  • Якщо катети одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катетам іншого, то такі трикутники рівні між собою.
  • Якщо катет і гіпотенуза одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катету і гіпотенузі іншого, то такі трикутники рівні між собою.
  • Якщо катет і прилеглий до нього гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катету і прилеглому до нього куту іншого, то такі трикутники рівні між собою.
  • Якщо катет і протилежний йому кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катету і протилежному йому куту іншого, то такі трикутники рівні між собою.
  • Якщо гіпотенуза і гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі і гострому куту іншого, то такі трикутники рівні між собою.

Приклади

  1. У прямокутному трикутнику один з гострих кутів дорівнює 40°. Знайдіть інший гострий кут трикутника.
    Показати відповідь
    прямокутний трикутник, right triangles
    Дано: ∆АВС - прямокутний, ∠А = 40°.
    Знайти: ∠В
    Розв'язування
    Так як сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°, то ∠В = 90° - ∠А = 90° - 40° = 50°.
    Відповідь: 50°.
  2. У прямокутному трикутнику АВС (∠С = 90°) ∠А = 30°. Знайдіть ВС, якщо АВ = 7 см.
    Показати відповідь
    прямокутний трикутник, right triangles
    Дано: ∆АВС - прямокутний, ∠А = 30°, АВ = 7 см.
    Знайти: ВС
    Розв'язування
    Так як в прямокутному трикутнику катет, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи, то ВС = АВ : 2 = 7 : 2 = 3,5 см.
    Відповідь: 3,5 см.
  3. У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює 10 см. Знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника.
    Показати відповідь
    прямокутний трикутник, right triangles
    Дано: ∆АВС - прямокутний, CD = 10 см - медіана.
    Знайти: АВ
    Розв'язування
    Так як в прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи, то АВ = 2 CD = 2 ⋅ 10 = 20 см.
    Відповідь: 20 см.
  4. Бісектриса прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, утворює з нею кут 63°. Знайдіть гострі кути трикутника.
    Показати відповідь
    прямокутний трикутник, right triangles
    Дано: ∆АВС - прямокутний, CD - бісектриса, ∠ CDA = 63°.
    Знайти: ∠A, ∠B
    Розв'язування
    Так як CD - бісектриса, то ∠ACD = ∠ACB : 2 = 90° : 2 = 45°. Так як в трикутнику сума кутів дорівнює 180°, то в трикутнику ACD ∠A = 180° - (∠ACD + ∠CDA) = 180° - (45° + 63°) = 180° - 108° = 72°. Так як в прямокутному трикутнику сума гострих кутів дорівнює 90°, то ∠В = 90° - ∠А = 90° - 72° = 18°.
    Відповідь: 72°, 18°.
  5. У прямокутному трикутнику гострі кути відносяться як 3 : 7. Знайдіть гострі кути трикутника.
    прямокутний трикутник, right triangles
    Дано: ∆АВС - прямокутний, ∠А : ∠В = 3 : 7.
    Знайти: ∠A, ∠B
    Розв'язування
    Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює х. Тоді ∠A = 3х, ∠B = 7х. Так як сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°, то маємо рівняння:
    3х + 7х = 90°
    10х = 90°
    х = 90° : 10
    х = 9°
    Тоді ∠A = 3 ⋅ 9° = 27°, ∠B = 7 ⋅ 9° = 63°.
    Відповідь: 27°, 63°.
⇐Попередня тема Повернутись до переліку тем ⇒Наступна тема

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Завдання. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців – 4х. Разом їх буде 3х + 4х = 7х. Отже, сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців ділиться націло на 7, і лише число 91 задовольняє цій умові. Завдання. НМТ 2026 (демо). Узгодьте вираз (1– 3) із його значенням (А – Д), якщо m = -\frac{4}{3} 1 |𝑚 − 4| 2 4m −1 3 (3𝑚 + 1) 0 А –3 Б 1 В 0 Г 3 Д \frac{16}{3} Показати відповідь 1-Д, 2-А, 3-Б . 1. |-\frac{4}{3}-4|=|-\frac{4}{3}-\frac{12}{3}|=|\frac{-4-12}{3}|=|\frac{-16}{3}|=\frac{16}{3} 2. 4\cdot(-\frac{4}{3})^{-1} = 4\cdot (-\frac{3}{4}) = -3 (при зміні знака степеня дріб перевертається) 3. Кожне число, від'ємне від 0, в нульовій степені д...
3 коментарі
Read more »

Первісна функції

Правила інтегрування C⋅f(x)dx=C⋅ f(x)dx (f(x)±g(x))dx= f(x)dx± g(x)dx Таблиця первісних x n dx= +C dx=ln|x|+C sinxdx=-cosx+C cosxdx=sinx+C dx=tgx+C dx= -ctgx+C a x dx= +C e x dx=e x +C Завдання. НМТ 2026 (демо). Позначте формулу для визначення площі S фігури, обмеженої графіками функцій 𝑦 = 2 𝑥 , 𝑦 = 2 та прямою 𝑥 = 0 (див. рисунок). S=\int_{0}^{2}2^x{dx} S=\int_{0}^{1}2^x{dx} S=\int_{0}^{1}(2^x-2){dx} S=\int_{0}^{1}(2-2^x){dx} S=\int_{0}^{2}(2-2^x){dx} Показати відповідь Г . Так як фігура обмежена числами 0 та 1 по осі абсцис, то ці числа є межами інтегрування. На даному проміжку фігура обмежена згори лінією у = 2, знизу лінією 𝑦 = 2 𝑥 . Тоді за формулою обчислення площі фігури S=\int_{0}^{1}(2-2^x){dx} . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції Обчисліть значення виразу . Показати відповідь 31 . Скористатись геометричним змістом визначеного інтеграла. НМТ 2024. Обчисліть інтеграл . Показати відповідь 10 . Ск...
8 коментарів
Read more »

Комбінаторика

1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і І об'єкт і ІІ об'єкт можна a⋅b способами. 3. Перестановки . Якщо з n об'єктів потрібно обрати всі n, то це можна зробити P n =n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n-1)⋅n способами. 4. Розміщення . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання важливий, то це можна зробити = способами. 5. Комбінації . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання не важливий, то це можна зробити = способами. Примітка . Скорочення факторіалів = =5⋅6⋅7=210 Завдання. НМТ 2026 (демо). У квітковому магазині є 12 білих та 25 червоних троянд. Покупець замовив у цьому магазині букет із двох білих троянд й однієї червоної. Скільки всього є варіантів такого вибору? Показати відповідь 1650 . Оскільки порядок вибору листіво...
15 коментарів
Read more »

Функції за графіками

Завдання. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції, що набуває лише додатних значень на всій області визначення? Показати відповідь Д . Якщо графік квадратичної функції набуває лише додатних значень на всій області визначення, то він повинен весь лежати вище осі х. Таккій умові задовольняє тільки графік Д. НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y = x + 2 y = −x 2 Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) ...
13 коментарів
Read more »

Трикутники та їх властивості

Види трикутників За кутами Гострокутний - всі кути гострі (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 <a 2 +b 2 ). Прямокутний - один з кутів прямий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 =a 2 +b 2 ). Тупокутний - один з кутів тупий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 >a 2 +b 2 ). За сторонами Різносторонній - всі сторони різні. Рівнобічний - дві сторони рівні (називаються бічними, третя - основою). Рівносторонній (правильний) - всі сторони рівні. Основні елементи трикутників Медіана - відрізок, який сполучає вершину трикутника з серединою протилежної сторони (ділить сторону навпіл). Медіани трикутника перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться у відношенні 2:1, починаючи від вершини. Висота - відрізок, який проведений з вершини трикутника перпендикулярно до протилежної сторони. Бісектриса - відрізок, який проведено з вершини до протилежної сторони і який ділить к...
5 коментарів
Read more »

Рекомендований допис

Solving Linear Equations with One Variable: A Step-by-Step Guide

An equation is an equality that contains a variable. You are required to find a number that, when substituted for the variable, yields a correct numerical equality (the same numbers on the left and right sides of the equality). In other words, you need to find the solution of the equation . For example, in the equation 2x - 6x + 8 = 7x - 3, we can substitute 1 for the variable x and obtain a correct numerical equality, since 2(1) - 6(1) + 8 = 2 - 6 + 8 = 4 and 7(1) - 3 = 7 - 3 = 4. Therefore, x = 1 is a solution of the equation. When solving equations, we may encounter the following cases: the equation has no solution,one solution, or infinitely many solutions. In this post, we will look at how to solve equations that contain one variable to the first power. Such equations are called linear equations . To solve such equations, you can apply The Subtraction property of equality. If a = b, then a - c =b - c ; The Addition property of equality. If a = b, then a + c = b...
Дописати коментар