7 клас. Геометрія. Прямокутні трикутники та їх властивості

Трикутник називається прямокутним, якщо один з його кутів прямий.

В прямокутному трикутнику сторона, яка лежить проти прямого кута, називається гіпотенузою, а дві інші сторони – катетами.

Властивості прямокутних трикутників:

• Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°. ∠А + ∠В = 90°.
• Гіпотенуза прямокутного трикутника більша за будь-який з його катетів. АВ > AC, AB > BC.
• Катет прямокутного трикутника, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи. Якщо ∠А = 30°, АВ = 20 см, то ВС = 10 см.
• Якщо катет прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи, то кут, що лежить проти цього катета, дорівнює 30°. Якщо АВ = 10 см, ВС = 5 см, то ∠А = 30°.
• У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи. CD = AB : 2.
• У прямокутному трикутнику середина гіпотенузи рівновіддалена від його вершин. DА = DВ = DС

Ознаки рівності прямокутних трикутників:

• Якщо катети одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катетам іншого, то такі трикутники рівні між собою.
• Якщо катет і гіпотенуза одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катету і гіпотенузі іншого, то такі трикутники рівні між собою.
• Якщо катет і прилеглий до нього гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катету і прилеглому до нього куту іншого, то такі трикутники рівні між собою.
• Якщо катет і протилежний йому кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катету і протилежному йому куту іншого, то такі трикутники рівні між собою.
• Якщо гіпотенуза і гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі і гострому куту іншого, то такі трикутники рівні між собою.

Приклади

1. У прямокутному трикутнику один з гострих кутів дорівнює 40°. Знайдіть інший гострий кут трикутника.
   

   Дано: ∆АВС - прямокутний, ∠А = 40°.
   Знайти: ∠В
   
   Розв'язування
   Так як сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°, то ∠В = 90° - ∠А = 90° - 40° = 50°.
   Відповідь: 50°.
2. У прямокутному трикутнику АВС (∠С = 90°) ∠А = 30°. Знайдіть ВС, якщо АВ = 7 см.
   

   Дано: ∆АВС - прямокутний, ∠А = 30°, АВ = 7 см.
   Знайти: ВС
   
   Розв'язування
   Так як в прямокутному трикутнику катет, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи, то ВС = АВ : 2 = 7 : 2 = 3,5 см.
   Відповідь: 3,5 см.
3. У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює 10 см. Знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника.
   

   Дано: ∆АВС - прямокутний, CD = 10 см - медіана.
   Знайти: АВ
   
   Розв'язування
   Так як в прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи, то АВ = 2 CD = 2 ⋅ 10 = 20 см.
   Відповідь: 20 см.
4. Бісектриса прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, утворює з нею кут 63°. Знайдіть гострі кути трикутника.
   

   Дано: ∆АВС - прямокутний, CD - бісектриса, ∠ CDA = 63°.
   Знайти: ∠A, ∠B
   
   Розв'язування
   Так як CD - бісектриса, то ∠ACD = ∠ACB : 2 = 90° : 2 = 45°. Так як в трикутнику сума кутів дорівнює 180°, то в трикутнику ACD ∠A = 180° - (∠ACD + ∠CDA) = 180° - (45° + 63°) = 180° - 108° = 72°. Так як в прямокутному трикутнику сума гострих кутів дорівнює 90°, то ∠В = 90° - ∠А = 90° - 72° = 18°.
   Відповідь: 72°, 18°.
5. У прямокутному трикутнику гострі кути відносяться як 3 : 7. Знайдіть гострі кути трикутника.
   

   Дано: ∆АВС - прямокутний, ∠А : ∠В = 3 : 7.
   Знайти: ∠A, ∠B
   
   Розв'язування
   Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює х. Тоді ∠A = 3х, ∠B = 7х. Так як сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°, то маємо рівняння:
   3х + 7х = 90°
   10х = 90°
   х = 90° : 10
   х = 9°
   Тоді ∠A = 3 ⋅ 9° = 27°, ∠B = 7 ⋅ 9° = 63°.
   Відповідь: 27°, 63°.

⇐Попередня тема

Повернутись до переліку тем

⇒Наступна тема