Як легко розв’язувати задачі з прямокутними трикутниками, знаючи лише кілька їхніх секретів? У цьому уроці ми розберемо все: від назв сторін до унікальних властивостей кута 30° та магії медіани, проведеної до гіпотенузи. Ви дізнаєтеся, як швидко доводити рівність трикутників за спеціальними ознаками та опануєте покрокові алгоритми розв’язання задач, що найчастіше зустрічаються на контрольних роботах.
Трикутник називається прямокутним, якщо один з його кутів прямий.
У прямокутному трикутнику сторона, яка лежить проти прямого кута, називається гіпотенузою, а дві інші сторони – катетами.
Властивості прямокутних трикутників:
- Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°. ∠А + ∠В = 90°.
- Гіпотенуза прямокутного трикутника більша за будь-який з його катетів. АВ > AC, AB > BC.
- Катет прямокутного трикутника, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи. Якщо ∠А = 30°, АВ = 20 см, то ВС = 10 см.
- Якщо катет прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи, то кут, що лежить проти цього катета, дорівнює 30°. Якщо АВ = 10 см, ВС = 5 см, то ∠А = 30°.
- У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи. CD = AB : 2.
- У прямокутному трикутнику середина гіпотенузи рівновіддалена від його вершин. DА = DВ = DС.
Ознаки рівності прямокутних трикутників:
- Якщо катети одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катетам іншого, то такі трикутники рівні між собою.
- Якщо катет і гіпотенуза одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катету і гіпотенузі іншого, то такі трикутники рівні між собою.
- Якщо катет і прилеглий до нього гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катету і прилеглому до нього куту іншого, то такі трикутники рівні між собою.
- Якщо катет і протилежний йому кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катету і протилежному йому куту іншого, то такі трикутники рівні між собою.
- Якщо гіпотенуза і гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі і гострому куту іншого, то такі трикутники рівні між собою.
Показати відповідь
Дано: ∆АВС - прямокутний, ∠А = 40°.
Знайти: ∠В
Розв'язування
Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°, то ∠В = 90° - ∠А = 90° - 40° = 50°.
Відповідь: 50°.
Завдання 2. У прямокутному трикутнику АВС (∠С = 90°) ∠А = 30°. Знайдіть ВС, якщо АВ = 7 см.Знайти: ∠В
Розв'язування
Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°, то ∠В = 90° - ∠А = 90° - 40° = 50°.
Відповідь: 50°.
Показати відповідь
Дано: ∆АВС - прямокутний, ∠А = 30°, АВ = 7 см.
Знайти: ВС
Розв'язування
Оскільки в прямокутному трикутнику катет, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи, то ВС = АВ : 2 = 7 : 2 = 3,5 см.
Відповідь: 3,5 см.
Завдання 3. У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює 10 см. Знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника.Знайти: ВС
Розв'язування
Оскільки в прямокутному трикутнику катет, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи, то ВС = АВ : 2 = 7 : 2 = 3,5 см.
Відповідь: 3,5 см.
Показати відповідь
Дано: ∆АВС - прямокутний, CD = 10 см - медіана.
Знайти: АВ
Розв'язування
Оскільки в прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи, то АВ = 2 CD = 2 · 10 = 20 см.
Відповідь: 20 см.
Завдання 4. Бісектриса прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, утворює з нею кут 63°. Знайдіть гострі кути трикутника.Знайти: АВ
Розв'язування
Оскільки в прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи, то АВ = 2 CD = 2 · 10 = 20 см.
Відповідь: 20 см.
Показати відповідь
Дано: ∆АВС - прямокутний, CD - бісектриса, ∠ CDA = 63°.
Знайти: ∠A, ∠B
Розв'язування
Оскільки CD - бісектриса, то ∠ACD = ∠ACB : 2 = 90° : 2 = 45°. У трикутнику сума кутів дорівнює 180°, тому в трикутнику ACD ∠A = 180° - (∠ACD + ∠CDA) = 180° - (45° + 63°) = 180° - 108° = 72°. Оскільки в прямокутному трикутнику сума гострих кутів дорівнює 90°, то ∠В = 90° - ∠А = 90° - 72° = 18°.
Відповідь: 72°, 18°.
Завдання 5. У прямокутному трикутнику гострі кути відносяться як 3 : 7. Знайдіть гострі кути трикутника.
Знайти: ∠A, ∠B
Розв'язування
Оскільки CD - бісектриса, то ∠ACD = ∠ACB : 2 = 90° : 2 = 45°. У трикутнику сума кутів дорівнює 180°, тому в трикутнику ACD ∠A = 180° - (∠ACD + ∠CDA) = 180° - (45° + 63°) = 180° - 108° = 72°. Оскільки в прямокутному трикутнику сума гострих кутів дорівнює 90°, то ∠В = 90° - ∠А = 90° - 72° = 18°.
Відповідь: 72°, 18°.
Показати відповідь
Дано: ∆АВС - прямокутний, ∠А : ∠В = 3 : 7.
Знайти: ∠A, ∠B
Розв'язування
Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює х. Тоді ∠A = 3х, ∠B = 7х. Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°, то маємо рівняння:
3х + 7х = 90°
10х = 90°
х = 90° : 10
х = 9°
Тоді ∠A = 3 · 9° = 27°, ∠B = 7 · 9° = 63°.
Відповідь: 27°, 63°.
Знайти: ∠A, ∠B
Розв'язування
Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює х. Тоді ∠A = 3х, ∠B = 7х. Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°, то маємо рівняння:
3х + 7х = 90°
10х = 90°
х = 90° : 10
х = 9°
Тоді ∠A = 3 · 9° = 27°, ∠B = 7 · 9° = 63°.
Відповідь: 27°, 63°.
Коментарі