Перейти до основного вмісту

7 клас. Геометрія. Прямокутні трикутники та їх властивості

Як легко розв’язувати задачі з прямокутними трикутниками, знаючи лише кілька їхніх секретів? У цьому уроці ми розберемо все: від назв сторін до унікальних властивостей кута 30° та магії медіани, проведеної до гіпотенузи. Ви дізнаєтеся, як швидко доводити рівність трикутників за спеціальними ознаками та опануєте покрокові алгоритми розв’язання задач, що найчастіше зустрічаються на контрольних роботах.

Трикутник називається прямокутним, якщо один з його кутів прямий.

В прямокутному трикутнику сторона, яка лежить проти прямого кута, називається гіпотенузою, а дві інші сторони – катетами.

прямокутний трикутник, right triangles

Властивості прямокутних трикутників:

  • Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°. ∠А + ∠В = 90°.
  • Гіпотенуза прямокутного трикутника більша за будь-який з його катетів. АВ > AC, AB > BC.
  • Катет прямокутного трикутника, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи. Якщо ∠А = 30°, АВ = 20 см, то ВС = 10 см.
  • Якщо катет прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи, то кут, що лежить проти цього катета, дорівнює 30°. Якщо АВ = 10 см, ВС = 5 см, то ∠А = 30°.
  • У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи. CD = AB : 2.
  • У прямокутному трикутнику середина гіпотенузи рівновіддалена від його вершин. DА = DВ = DС

Ознаки рівності прямокутних трикутників:

  • Якщо катети одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катетам іншого, то такі трикутники рівні між собою.
  • Якщо катет і гіпотенуза одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катету і гіпотенузі іншого, то такі трикутники рівні між собою.
  • Якщо катет і прилеглий до нього гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катету і прилеглому до нього куту іншого, то такі трикутники рівні між собою.
  • Якщо катет і протилежний йому кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катету і протилежному йому куту іншого, то такі трикутники рівні між собою.
  • Якщо гіпотенуза і гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі і гострому куту іншого, то такі трикутники рівні між собою.

Приклади

  1. У прямокутному трикутнику один з гострих кутів дорівнює 40°. Знайдіть інший гострий кут трикутника.
    Показати відповідь
    прямокутний трикутник, right triangles
    Дано: ∆АВС - прямокутний, ∠А = 40°.
    Знайти: ∠В
    Розв'язування
    Так як сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°, то ∠В = 90° - ∠А = 90° - 40° = 50°.
    Відповідь: 50°.
  2. У прямокутному трикутнику АВС (∠С = 90°) ∠А = 30°. Знайдіть ВС, якщо АВ = 7 см.
    Показати відповідь
    прямокутний трикутник, right triangles
    Дано: ∆АВС - прямокутний, ∠А = 30°, АВ = 7 см.
    Знайти: ВС
    Розв'язування
    Так як в прямокутному трикутнику катет, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи, то ВС = АВ : 2 = 7 : 2 = 3,5 см.
    Відповідь: 3,5 см.
  3. У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює 10 см. Знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника.
    Показати відповідь
    прямокутний трикутник, right triangles
    Дано: ∆АВС - прямокутний, CD = 10 см - медіана.
    Знайти: АВ
    Розв'язування
    Так як в прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи, то АВ = 2 CD = 2 ⋅ 10 = 20 см.
    Відповідь: 20 см.
  4. Бісектриса прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, утворює з нею кут 63°. Знайдіть гострі кути трикутника.
    Показати відповідь
    прямокутний трикутник, right triangles
    Дано: ∆АВС - прямокутний, CD - бісектриса, ∠ CDA = 63°.
    Знайти: ∠A, ∠B
    Розв'язування
    Так як CD - бісектриса, то ∠ACD = ∠ACB : 2 = 90° : 2 = 45°. Так як в трикутнику сума кутів дорівнює 180°, то в трикутнику ACD ∠A = 180° - (∠ACD + ∠CDA) = 180° - (45° + 63°) = 180° - 108° = 72°. Так як в прямокутному трикутнику сума гострих кутів дорівнює 90°, то ∠В = 90° - ∠А = 90° - 72° = 18°.
    Відповідь: 72°, 18°.
  5. У прямокутному трикутнику гострі кути відносяться як 3 : 7. Знайдіть гострі кути трикутника.
    прямокутний трикутник, right triangles
    Дано: ∆АВС - прямокутний, ∠А : ∠В = 3 : 7.
    Знайти: ∠A, ∠B
    Розв'язування
    Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює х. Тоді ∠A = 3х, ∠B = 7х. Так як сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°, то маємо рівняння:
    3х + 7х = 90°
    10х = 90°
    х = 90° : 10
    х = 9°
    Тоді ∠A = 3 ⋅ 9° = 27°, ∠B = 7 ⋅ 9° = 63°.
    Відповідь: 27°, 63°.
⇐Попередня тема Повернутись до переліку тем ⇒Наступна тема

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Комбінаторика

Комбінаторика — це розділ математики, який вчить підраховувати кількість можливих варіантів вибору або розташування об’єктів без їхнього безпосереднього переліку. Розуміння базових правил додавання та множення , а також розрізнення перестановок, розміщень та комбінацій є ключем до розв’язання складних логічних задач та підготовки до вивчення теорії ймовірностей. Для успішного складання іспитів ми підготували комплексний практичний блок , що базується на завданнях НМТ та тестах минулих років. Ви зможете детально розібрати алгоритми формування розкладів, вибору комплектів товарів та створення цифрових кодів. Кожне завдання супроводжується поясненням, яке допоможе вашим учням зрозуміти, коли порядок елементів має значення, а коли — ні. 1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати ...
15 коментарів
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія — це особливий вид числової послідовності, де кожен наступний член відрізняється від попереднього на сталу величину. У шкільному курсі математики та в тестах НМТ ця тема є фундаментальною, оскільки вона поєднує в собі чіткі алгебраїчні алгоритми та вміння моделювати реальні життєві ситуації. Вміння швидко визначати різницю прогресії та застосовувати формули суми дозволяє ефективно розв'язувати як прості тестові вправи, так і складні задачі на розрахунок вартості послуг, планування тренувань або аналіз фінансових накопичень. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО . Ви знайдете детальні пояснення до задач різних рівнів складності: від знаходження першого члена за відомим n-м до визначення параметрів прогресії у прикладних контекстах. Тут зібрано весь необхідний теоретичний мінімум: базові формули n-го члена, два способи обчислення суми перших n членів та характерну властивість середнього арифметичного для сусідніх елементів ряду. Арифмети...
5 коментарів
Read more »

Дійсні числа

Дійсні числа — це база математичної підготовки, що охоплює всі види числових множин: від натуральних до ірраціональних. На цій сторінці ми зібрали ключові ознаки подільності , правила порівняння звичайних дробів та ірраціональних виразів, а також алгоритми роботи зі степенями, що мають нульовий або від’ємний показник. Для ефективної підготовки до іспитів ми підготували великий практичний блок , що включає реальні приклади минулих років. Ви зможете розібрати методи оцінювання значень коренів, округлення чисел та роботу з логарифмами. Кожне завдання має детальне розв’язання, що допоможе учням опанувати навички швидких обчислень без помилок. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців...
3 коментарі
Read more »

Трикутники та їх властивості

Трикутники та їх властивості — це фундамент геометрії, без якого неможливо уявити успішне складання НМТ. Розуміння класифікації трикутників, знання особливостей їхніх медіан, бісектрис та висот дозволяє розв'язувати задачі, які на перший погляд здаються громіздкими. Вміння швидко застосовувати теореми синусів та косинусів, а також знання метричних співвідношень у прямокутному трикутнику є ключем до високого бала на іспиті. На цій сторінці ми розглянемо реальні завдання НМТ та ЗНО , включаючи найсвіжіші демонстраційні варіанти. Ви навчитеся працювати з центрами вписаних і описаних кіл, використовувати властивості середньої лінії та знаходити невідомі елементи фігур через тригонометричні функції. Тут зібрано все: від ознак подібності до складних комбінованих задач на периметри та площі. Види трикутників За кутами Гострокутний - всі кути гострі (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 <a 2 +b 2 ). Прямокутний - один з кутів прямий (якщо a, b, c...
5 коментарів
Read more »

Похідна функції

Похідна функції — один із найпотужніших інструментів математичного аналізу, який дозволяє досліджувати процеси у динаміці та знаходити оптимальні рішення. Вміння обчислювати похідні та розуміти їхній зміст є базовою вимогою НМТ, оскільки ці завдання перевіряють не лише технічні навички роботи з формулами, а й здатність аналізувати швидкість зміни процесів. Розуміння зв'язку між знаком похідної та зростанням або спаданням функції допомагає без помилок досліджувати графіки та знаходити критичні точки. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО , включаючи аналіз демонстраційних варіантів. Ви навчитеся працювати з різними аспектами теми: від механічного змісту (швидкість та прискорення) до геометричного застосування при побудові дотичних. Тут зібрано все необхідне для підготовки: таблиця похідних основних функцій, правила диференціювання складних виразів та покрокові алгоритми знаходження найбільшого і найменшого значень на відрізку. Правила диференціювання (C)...
3 коментарі
Read more »

Рекомендований допис

10 клас. Алгебра і початки аналізу

10 клас. Алгебра і початки аналізу — це вихід на новий рівень математичного мислення. Цього року ви опануєте «математику змін»: від дослідження складних функцій та їхніх властивостей до занурення у світ тригонометрії та перших кроків у диференціальному численні. Ви навчитеся не просто обчислювати, а аналізувати процеси, прогнозувати результати та бачити логіку в найскладніших системах. Ці знання — це фундамент не лише для успішного складання НМТ, а й для розуміння сучасної економіки, фізики та ІТ-технологій. Оберіть тему, і перетворіть складні формули на свій надійний інструмент для підкорення нових інтелектуальних вершин! Тема 1. Множини та функції Множини, операції над множинами Взаємно однозначна відповідність між елементами множин. Рівнопотужні множини Числові множини. Множина дійсних чисел Числові функції. Їх властивості та графіки Властивості і графіки основних видів функцій Оборотні функції. Взаємно обернені функції Побудова графіків функцій за допомогою ...
Дописати коментар