7 клас. Геометрія. Зовнішній кут трикутника. Співвідношення між сторонами і кутами трикутника. Нерівність трикутника

Як визначити кути трикутника, не вимірюючи їх, та чи кожні три відрізки можуть стати трикутником? У цьому уроці ми дослідимо магію зовнішнього кута, дізнаємося, чому він завжди дорівнює сумі своїх "сусідів", та опануємо золоте правило співвідношення сторін і кутів. Ви навчитеся миттєво перевіряти можливість існування трикутника за допомогою нерівності сторін та розв’язувати геометричні головоломки за допомогою покрокових прикладів.

Зовнішнім кутом трикутника називають кут, суміжний з кутом цього трикутника.

зовнішній кут трикутника, exterior angle of a triangle ABCD

Властивості зовнішнього кута трикутника:

  • Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним. ∠ВCD = ∠A + ∠B
  • Зовнішній кут трикутника більший за будь-який внутрішній кут, не суміжний з ним. ∠ВCD > ∠A, ∠BCD > ∠B

Співвідношення між сторонами і кутами:

  • Проти більшої сторони лежить більший кут.
  • Проти більшого кута лежить більша сторона.
  • Кожна сторона трикутника менша від суми двох інших його сторін. АВ < AC + BC, AC < AB + BC, BC < AB + AC.
  • Кожна зі сторін більша за різницю двох інших його сторін. АВ > |AC - BC|, AC > |AB - BC|, BC > |AB - AC|.
Завдання 1. У трикутнику АВС ∠А = 45°, ∠В = 62°. Знайдіть зовнішній кут при третій вершині трикутника.
Показати відповідь
зовнішній кут трикутника, exterior angle of a triangle Дано: ∆АВС, ∠А = 45°, ∠В = 62°.
Знайти: ∠BCD
Розв'язування
Так як зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним, то ∠ВCD = ∠A + ∠B = 45° + 62° = 107°.
Відповідь: 107°.
Завдання 2. У трикутнику АВС зовнішній кут при вершині С дорівнює 120°. Знайдіть ∠А, якщо ∠В = 70°.
Показати відповідь
зовнішній кут трикутника, exterior angle of a triangleДано: ∆АВС, ∠BCD = 120°, ∠В = 70°.
Знайти: ∠A
Розв'язування
Так як зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним, то ∠ВCD = ∠A + ∠B. Звідси ∠A = ∠ВCD - ∠B = 120° - 70° = 50°.
Відповідь: 50°.
Завдання 3. У трикутнику АВС зовнішній кут при вершині С дорівнює 140°. Знайдіть два внутрішні кути, не суміжні з ним, якщо їх різниця складає 60°.
Показати відповідь
зовнішній кут трикутника, exterior angle of a triangleДано: ∆АВС, ∠BCD = 140°, ∠А - ∠В = 60°.
Знайти: ∠A, ∠В
Розв'язування
З умови маємо, що ∠А - ∠В = 60°. Звідси ∠А = ∠В + 60°. Так як зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним, то ∠A + ∠B = ∠ВCD = 140°. Маємо рівняння:
∠A + ∠В = 140°
∠В + 60° + ∠В = 140°
∠В + ∠В = 140° - 60°
2∠В = 80°
∠В = 80° : 2
∠В = 40°
Тоді ∠А = 40° + 60° = 100°
Відповідь: 100°, 40°.
Завдання 4. У трикутнику АВС ∠A = 49°, ∠В = 64°. Вкажіть найбільшу сторону трикутника.
Показати відповідь
трикутника, triangle ABCДано: ∆АВС, ∠A = 49°, ∠В = 64°.
Знайти: яка сторона найбільша
Розв'язування
Так як сума кутів трикутника дорівнює 180°, то ∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - (49° + 64°) = 180° - 113° = 67°. Отже, в трикутнику АВС найбільший кут - кут С. Так як в трикутнику найбільша сторона лежить навпроти найбільшого кута, то найбільша сторона АВ.
Відповідь: АВ.
Завдання 5. Чи існує трикутник зі сторонами 5 см, 4 см та 10 см?
Показати відповідь
Розв'язування
За нерівністю трикутника сума двох сторін завжди більше третьої. В даному випадку 5 + 4 = 9 < 10, тобто нерівність трикутника не виконується і тому такий трикутник не існує.
Відповідь: не існує.