7 клас. Геометрія. Зовнішній кут трикутника. Співвідношення між сторонами і кутами трикутника. Нерівність трикутника

Зовнішнім кутом трикутника називають кут, суміжний з кутом цього трикутника.

Властивості зовнішнього кута трикутника:

• Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним. ∠ВCD = ∠A + ∠B
• Зовнішній кут трикутника більший за будь-який внутрішній кут, не суміжний з ним. ∠ВCD > ∠A, ∠BCD > ∠B

Співвідношення між сторонами і кутами:

• Проти більшої сторони лежить більший кут.
• Проти більшого кута лежить більша сторона.
• Кожна сторона трикутника менша від суми двох інших його сторін. АВ < AC + BC, AC < AB + BC, BC < AB + AC.
• Кожна зі сторін більша за різницю двох інших його сторін. АВ > |AC - BC|, AC > |AB - BC|, BC > |AB - AC|.

Приклади

1. У трикутнику АВС ∠А = 45°, ∠В = 62°. Знайдіть зовнішній кут при третій вершині трикутника.
   

   Дано: ∆АВС, ∠А = 45°, ∠В = 62°.
   Знайти: ∠BCD
   
   Розв'язування
   Так як зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним, то ∠ВCD = ∠A + ∠B = 45° + 62° = 107°.
   Відповідь: 107°.
2. У трикутнику АВС зовнішній кут при вершині С дорівнює 120°. Знайдіть ∠А, якщо ∠В = 70°.
   

   Дано: ∆АВС, ∠BCD = 120°, ∠В = 70°.
   Знайти: ∠A
   
   Розв'язування
   Так як зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним, то ∠ВCD = ∠A + ∠B. Звідси ∠A = ∠ВCD - ∠B = 120° - 70° = 50°.
   Відповідь: 50°.
3. У трикутнику АВС зовнішній кут при вершині С дорівнює 140°. Знайдіть два внутрішні кути, не суміжні з ним, якщо їх різниця складає 60°.
   

   Дано: ∆АВС, ∠BCD = 140°, ∠А - ∠В = 60°.
   Знайти: ∠A, ∠В
   
   Розв'язування
   З умови маємо, що ∠А - ∠В = 60°. Звідси ∠А = ∠В + 60°. Так як зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним, то ∠A + ∠B = ∠ВCD = 140°. Маємо рівняння:
   ∠A + ∠В = 140°
   ∠В + 60° + ∠В = 140°
   ∠В + ∠В = 140° - 60°
   2∠В = 80°
   ∠В = 80° : 2
   ∠В = 40°
   Тоді ∠А = 40° + 60° = 100°
   Відповідь: 100°, 40°.
4. У трикутнику АВС ∠A = 49°, ∠В = 64°. Вкажіть найбільшу сторону трикутника.
   

   Дано: ∆АВС, ∠A = 49°, ∠В = 64°.
   Знайти: яка сторона найбільша
   
   Розв'язування
   Так як сума кутів трикутника дорівнює 180°, то ∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - (49° + 64°) = 180° - 113° = 67°. Отже, в трикутнику АВС найбільший кут - кут С. Так як в трикутнику найбільша сторона лежить навпроти найбільшого кута, то найбільша сторона АВ.
   Відповідь: АВ.
5. Чи існує трикутник зі сторонами 5 см, 4 см та 10 см?
   Розв'язування
   За нерівністю трикутника сума двох сторін завжди більше третьої. В даному випадку 5 + 4 = 9 < 10, тобто нерівність трикутника не виконується і тому такий трикутник не існує.
   Відповідь: не існує.

⇐Попередня тема

Повернутись до переліку тем

⇒Наступна тема