Перейти до основного вмісту

7 клас. Геометрія. Зовнішній кут трикутника. Співвідношення між сторонами і кутами трикутника. Нерівність трикутника

Як визначити кути трикутника, не вимірюючи їх, та чи кожні три відрізки можуть стати трикутником? У цьому уроці ми дослідимо магію зовнішнього кута, дізнаємося, чому він завжди дорівнює сумі своїх "сусідів", та опануємо золоте правило співвідношення сторін і кутів. Ви навчитеся миттєво перевіряти можливість існування трикутника за допомогою нерівності сторін та розв’язувати геометричні головоломки за допомогою покрокових прикладів.

Зовнішнім кутом трикутника називають кут, суміжний з кутом цього трикутника.

зовнішній кут трикутника, exterior angle of a triangle

Властивості зовнішнього кута трикутника:

  • Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним. ∠ВCD = ∠A + ∠B
  • Зовнішній кут трикутника більший за будь-який внутрішній кут, не суміжний з ним. ∠ВCD > ∠A, ∠BCD > ∠B

Співвідношення між сторонами і кутами:

  • Проти більшої сторони лежить більший кут.
  • Проти більшого кута лежить більша сторона.
  • Кожна сторона трикутника менша від суми двох інших його сторін. АВ < AC + BC, AC < AB + BC, BC < AB + AC.
  • Кожна зі сторін більша за різницю двох інших його сторін. АВ > |AC - BC|, AC > |AB - BC|, BC > |AB - AC|.

Приклади

  1. У трикутнику АВС ∠А = 45°, ∠В = 62°. Знайдіть зовнішній кут при третій вершині трикутника.
    Показати відповідь
    зовнішній кут трикутника, exterior angle of a triangle
    Дано: ∆АВС, ∠А = 45°, ∠В = 62°.
    Знайти: ∠BCD
    Розв'язування
    Так як зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним, то ∠ВCD = ∠A + ∠B = 45° + 62° = 107°.
    Відповідь: 107°.
  2. У трикутнику АВС зовнішній кут при вершині С дорівнює 120°. Знайдіть ∠А, якщо ∠В = 70°.
    Показати відповідь
    зовнішній кут трикутника, exterior angle of a triangle
    Дано: ∆АВС, ∠BCD = 120°, ∠В = 70°.
    Знайти: ∠A
    Розв'язування
    Так як зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним, то ∠ВCD = ∠A + ∠B. Звідси ∠A = ∠ВCD - ∠B = 120° - 70° = 50°.
    Відповідь: 50°.
  3. У трикутнику АВС зовнішній кут при вершині С дорівнює 140°. Знайдіть два внутрішні кути, не суміжні з ним, якщо їх різниця складає 60°.
    Показати відповідь
    зовнішній кут трикутника, exterior angle of a triangle
    Дано: ∆АВС, ∠BCD = 140°, ∠А - ∠В = 60°.
    Знайти: ∠A, ∠В
    Розв'язування
    З умови маємо, що ∠А - ∠В = 60°. Звідси ∠А = ∠В + 60°. Так як зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним, то ∠A + ∠B = ∠ВCD = 140°. Маємо рівняння:
    ∠A + ∠В = 140°
    ∠В + 60° + ∠В = 140°
    ∠В + ∠В = 140° - 60°
    2∠В = 80°
    ∠В = 80° : 2
    ∠В = 40°
    Тоді ∠А = 40° + 60° = 100°
    Відповідь: 100°, 40°.
  4. У трикутнику АВС ∠A = 49°, ∠В = 64°. Вкажіть найбільшу сторону трикутника.
    Показати відповідь
    трикутник АВС, triangle ABC
    Дано: ∆АВС, ∠A = 49°, ∠В = 64°.
    Знайти: яка сторона найбільша
    Розв'язування
    Так як сума кутів трикутника дорівнює 180°, то ∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - (49° + 64°) = 180° - 113° = 67°. Отже, в трикутнику АВС найбільший кут - кут С. Так як в трикутнику найбільша сторона лежить навпроти найбільшого кута, то найбільша сторона АВ.
    Відповідь: АВ.
  5. Чи існує трикутник зі сторонами 5 см, 4 см та 10 см?
    Показати відповідь
    Розв'язування
    За нерівністю трикутника сума двох сторін завжди більше третьої. В даному випадку 5 + 4 = 9 < 10, тобто нерівність трикутника не виконується і тому такий трикутник не існує.
    Відповідь: не існує.
⇐Попередня тема Повернутись до переліку тем ⇒Наступна тема

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Комбінаторика

Комбінаторика — це розділ математики, який вчить підраховувати кількість можливих варіантів вибору або розташування об’єктів без їхнього безпосереднього переліку. Розуміння базових правил додавання та множення , а також розрізнення перестановок, розміщень та комбінацій є ключем до розв’язання складних логічних задач та підготовки до вивчення теорії ймовірностей. Для успішного складання іспитів ми підготували комплексний практичний блок , що базується на завданнях НМТ та тестах минулих років. Ви зможете детально розібрати алгоритми формування розкладів, вибору комплектів товарів та створення цифрових кодів. Кожне завдання супроводжується поясненням, яке допоможе вашим учням зрозуміти, коли порядок елементів має значення, а коли — ні. 1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати ...
15 коментарів
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія — це особливий вид числової послідовності, де кожен наступний член відрізняється від попереднього на сталу величину. У шкільному курсі математики та в тестах НМТ ця тема є фундаментальною, оскільки вона поєднує в собі чіткі алгебраїчні алгоритми та вміння моделювати реальні життєві ситуації. Вміння швидко визначати різницю прогресії та застосовувати формули суми дозволяє ефективно розв'язувати як прості тестові вправи, так і складні задачі на розрахунок вартості послуг, планування тренувань або аналіз фінансових накопичень. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО . Ви знайдете детальні пояснення до задач різних рівнів складності: від знаходження першого члена за відомим n-м до визначення параметрів прогресії у прикладних контекстах. Тут зібрано весь необхідний теоретичний мінімум: базові формули n-го члена, два способи обчислення суми перших n членів та характерну властивість середнього арифметичного для сусідніх елементів ряду. Арифмети...
5 коментарів
Read more »

Дійсні числа

Дійсні числа — це база математичної підготовки, що охоплює всі види числових множин: від натуральних до ірраціональних. На цій сторінці ми зібрали ключові ознаки подільності , правила порівняння звичайних дробів та ірраціональних виразів, а також алгоритми роботи зі степенями, що мають нульовий або від’ємний показник. Для ефективної підготовки до іспитів ми підготували великий практичний блок , що включає реальні приклади минулих років. Ви зможете розібрати методи оцінювання значень коренів, округлення чисел та роботу з логарифмами. Кожне завдання має детальне розв’язання, що допоможе учням опанувати навички швидких обчислень без помилок. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців...
3 коментарі
Read more »

Трикутники та їх властивості

Трикутники та їх властивості — це фундамент геометрії, без якого неможливо уявити успішне складання НМТ. Розуміння класифікації трикутників, знання особливостей їхніх медіан, бісектрис та висот дозволяє розв'язувати задачі, які на перший погляд здаються громіздкими. Вміння швидко застосовувати теореми синусів та косинусів, а також знання метричних співвідношень у прямокутному трикутнику є ключем до високого бала на іспиті. На цій сторінці ми розглянемо реальні завдання НМТ та ЗНО , включаючи найсвіжіші демонстраційні варіанти. Ви навчитеся працювати з центрами вписаних і описаних кіл, використовувати властивості середньої лінії та знаходити невідомі елементи фігур через тригонометричні функції. Тут зібрано все: від ознак подібності до складних комбінованих задач на периметри та площі. Види трикутників За кутами Гострокутний - всі кути гострі (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 <a 2 +b 2 ). Прямокутний - один з кутів прямий (якщо a, b, c...
5 коментарів
Read more »

Похідна функції

Похідна функції — один із найпотужніших інструментів математичного аналізу, який дозволяє досліджувати процеси у динаміці та знаходити оптимальні рішення. Вміння обчислювати похідні та розуміти їхній зміст є базовою вимогою НМТ, оскільки ці завдання перевіряють не лише технічні навички роботи з формулами, а й здатність аналізувати швидкість зміни процесів. Розуміння зв'язку між знаком похідної та зростанням або спаданням функції допомагає без помилок досліджувати графіки та знаходити критичні точки. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО , включаючи аналіз демонстраційних варіантів. Ви навчитеся працювати з різними аспектами теми: від механічного змісту (швидкість та прискорення) до геометричного застосування при побудові дотичних. Тут зібрано все необхідне для підготовки: таблиця похідних основних функцій, правила диференціювання складних виразів та покрокові алгоритми знаходження найбільшого і найменшого значень на відрізку. Правила диференціювання (C)...
3 коментарі
Read more »

Рекомендований допис

10 клас. Алгебра і початки аналізу

10 клас. Алгебра і початки аналізу — це вихід на новий рівень математичного мислення. Цього року ви опануєте «математику змін»: від дослідження складних функцій та їхніх властивостей до занурення у світ тригонометрії та перших кроків у диференціальному численні. Ви навчитеся не просто обчислювати, а аналізувати процеси, прогнозувати результати та бачити логіку в найскладніших системах. Ці знання — це фундамент не лише для успішного складання НМТ, а й для розуміння сучасної економіки, фізики та ІТ-технологій. Оберіть тему, і перетворіть складні формули на свій надійний інструмент для підкорення нових інтелектуальних вершин! Тема 1. Множини та функції Множини, операції над множинами Взаємно однозначна відповідність між елементами множин. Рівнопотужні множини Числові множини. Множина дійсних чисел Числові функції. Їх властивості та графіки Властивості і графіки основних видів функцій Оборотні функції. Взаємно обернені функції Побудова графіків функцій за допомогою ...
Дописати коментар