7 клас. Геометрія. Сума кутів трикутника

Чи знали ви, що форма трикутника може змінюватися, а сума його кутів завжди залишається незмінною? У цьому уроці ми розкриємо головний секрет будь-якого трикутника — правило 180°. Ви навчитеся швидко знаходити невідомі кути в рівнобедрених та рівносторонніх трикутниках, опануєте метод розв'язання задач через пропорції та дізнаєтеся, як медіана може допомогти в обчисленнях. Перевірте свої сили на практичних прикладах з докладними поясненнями!

Сума кутів трикутника дорівнює 180°.

Завдання 1. Чи існує трикутник з кутами а) 40°, 60° та 30°; б) 80°, 30° та 70°?
Показати відповідь
Розв'язування
а) Так як 40° + 60° + 30° = 130° ≠ 180°, то такого трикутника не існує.
б) Так як 80° + 30° + 70° = 180°, то такий трикутник існує.
Відповідь: не існує; існує.
Завдання 2. В трикутнику два кути дорівнюють 43° та 62°. Знайдіть третій кут трикутника.
Показати відповідь
трикутника, triangle ABC Дано: ∆АВС, ∠A = 43°, ∠B = 62°.
Знайти: ∠C
Розв'язування
Так як сума кутів трикутника дорівнює 180°, то ∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - (43° + 62°) = 180° - 105° = 75°.
Відповідь: 75°.
Завдання 3. В рівнобедреному трикутнику кут при основі дорівнює 35°. Знайдіть кут при вершині трикутника.
Показати відповідь
рівнобедрений трикутник, isosceles triangle ABC Дано: ∆АВС - рівнобедрений, ∠A = 35°.
Знайти: ∠В
Розв'язування
Так як в рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні, то ∠С = ∠А = 35°. Тоді так як сума кутів трикутника дорівнює 180°, то ∠В = 180° - (∠A + ∠С) = 180° - (35° + 35°) = 180° - 70° = 110°.
Відповідь: 110°.
Завдання 4. В рівнобедреному трикутнику кут при вершині дорівнює 35°. Знайдіть кут при основі трикутника.
Показати відповідь
рівнобедрений трикутник, isosceles triangle ABC Дано: ∆АВС - рівнобедрений, ∠В = 35°.
Знайти: ∠А
Розв'язування
Так як сума кутів трикутника дорівнює 180°, то ∠А + ∠С = 180° - ∠В = 180° - 35° = 145°. Так як в рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні, то ∠А = ∠С = (∠А + ∠С) : 2 = 145° : 2 = 72,5°.
Відповідь: 72,5°.
Завдання 5. Знайдіть кут рівностороннього трикутника.
Показати відповідь
рівносторонній трикутник, equilateral triangle ABC Дано: ∆АВС - рівносторонній.
Знайти: ∠A
Розв'язування
Так як трикутник АВС є рівностороннім, то в нього всі 3 кути рівні. Так як сума кутів трикутника дорівнює 180°, то ∠A = 180° : 3 = 60°.
Відповідь: 60°.
Завдання 6. У рівнобедреному трикутнику АВС проведено медіану ВD до основи. Знайдіть кути трикутника АВС, якщо ∠ABD = 44°.
Показати відповідь
рівнобедрений трикутник, isosceles triangle ABCD Дано: ∆АВС - рівнобедрений, BD - медіана, ∠ABD = 44°.
Знайти: ∠A, ∠В, ∠С
Розв'язування
Так як трикутник АВС є рівнобедреним, то його медіана BD, проведена до основи, є бісектрисою, отже ділить кут В навпіл. Тоді ∠В = 2∠ABD = 2·44° = 88°. Так як сума кутів трикутника дорівнює 180°, то ∠А + ∠С = 180° - ∠В = 180° - 88° = 92°. Так як в рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні, то ∠А = ∠С = (∠А + ∠С) : 2 = 92° : 2 = 46°.

Примітка. Кути А та С можна було знайти інакше. Так як трикутник АВС є рівнобедреним, то його медіана BD, проведена до основи, є висотою, отже ∠BDA = 90°. Тоді в трикутнику ABD ∠A = 180° - (∠ABD + ∠BDA) = 180° - (44° + 90°) = 180° - 134° = 46°. Так як в рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні, то ∠C = ∠A = 46°.

Відповідь: 46°, 88°, 46°
Завдання 7. В трикутнику кути пропорційні числам 2, 4 та 3. Знайдіть кути трикутника.
Показати відповідь
трикутника, triangle Дано: ∆АВС, ∠A : ∠B : ∠С = 2 : 4 : 3.
Знайти: ∠A, ∠В, ∠С
Розв'язування
Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює х. Тоді ∠A = 2х, ∠В = 4х, ∠С = 3х. Так як сума кутів трикутника дорівнює 180°, то маємо рівняння:
2х + 4х + 3х = 180°
9х = 180°
х = 180° : 9
х = 20°
Тоді ∠A = 2·20° = 40°, ∠В = 4·20° = 80°, ∠С = 3·20° = 60°.
Відповідь: 40°, 80°, 60°.
Завдання 8. В трикутнику один з кутів на 20° більше другого і на 29° менше третього. Знайдіть кути трикутника.
Показати відповідь
трикутника, triangle Дано: ∆АВС, ∠A = ∠B + 20°, ∠A = ∠С - 29°.
Знайти: ∠A, ∠В, ∠С
Розв'язування
Нехай ∠A = х. Тоді ∠В = ∠A - 20° = х - 20°, ∠С = ∠A + 29° = х + 29°. Так як сума кутів трикутника дорівнює 180°, то маємо рівняння:
х + х - 20° + х + 29° = 180°
х + х + х = 180° + 20° - 29°
3х = 171°
х = 171° : 3
х = 57°
Тоді ∠A = 57°, ∠В = 57° - 20° = 37°, ∠С = 57° + 29° = 86°.
Відповідь: 57°, 37°, 86°.