7 клас. Геометрія. Рівнобедрений та рівносторонній трикутники, їх властивості та ознаки

Види трикутників за сторонами:

• Різносторонній - трикутник, у якого всі сторони різної довжини.
• Рівнобедрений - трикутник, у якого дві сторони рівні.
• Рівносторонній - трикутник, у якого всі сторони рівні.

Рівні сторони рівнобедреного трикутника називають бічними сторонами, а його третю сторону - основою. На малюнку рівнобедреного трикутника АВ і ВС - бічні сторони, АС - основа.

Властивості рівнобедреного трикутника:

• У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні. На малюнку ∠А = ∠С.
• У рівнобедреному трикутнику бісектриса, проведена до основи, є медіаною і висотою. Якщо BD - бісектриса, то ВD - висота та медіана.
• У рівнобедреному трикутнику медіана, проведена до основи, є бісектрисою і висотою. Якщо BD - медіана, то ВD - висота та бісектрисою.
• У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до основи, є медіаною і бісектрисою. Якщо BD - висота, то ВD - бісектриса та медіана.

Відповідні ознаки рівнобедреного трикутника:

• Якщо в трикутнику два кути рівні, то він рівнобедрений. Якщо ∠А = ∠С, то ∆АВС рівнобедрений.
• Якщо в трикутнику бісектриса, проведена до основи, є медіаною або/та висотою, то він рівнобедрений.
• Якщо в трикутнику медіана, проведена до основи, є бісектрисою або/та висотою, то він рівнобедрений.
• Якщо в трикутнику висота, проведена до основи, є медіаною або/та бісектрисою, то він рівнобедрений.

Властивості рівностороннього трикутника:

• У рівносторонньому трикутнику всі кути рівні. На малюнку ∠А = ∠В = ∠С.
• У рівносторонньому трикутнику будь-яка бісектриса є медіаною і висотою. Якщо BD - бісектриса, то ВD - висота та медіана.
• У рівносторонньому трикутнику будь-яка медіана є бісектрисою і висотою. Якщо BD - медіана, то ВD - висота та бісектрисою.
• У рівносторонньому трикутнику будь-яка висота є медіаною і бісектрисою. Якщо BD - висота, то ВD - бісектриса та медіана.
• Периметр рівностороннього трикутника зі стороною a знаходиться за формулою P = 3a.

Відповідні ознаки рівностороннього трикутника:

• Якщо в трикутнику всі кути рівні, то він рівносторонній. Якщо ∠А = ∠В = ∠С, то ∆АВС рівносторонній.
• Якщо в трикутнику хоча б дві бісектриси є медіанами або/та висотами, то він рівносторонній.
• Якщо в трикутнику хоча б дві медіани є бісектрисами або/та висотами, то він рівносторонній.
• Якщо в трикутнику хоча б дві висоти є медіанами або/та бісектрисами, то він рівносторонній.

Приклади

1. Знайдіть периметр рівнобедреного трикутника, бічна сторона якого 5 см, а основа 4 см.
   

   Дано: ∆АВС - рівнобедрений, АВ = 5 см, АС = 4 см.
   Знайти: P_∆АВС
   
   Розв'язування
   Так як трикутник АВС є рівнобедреним, то його бічні сторони рівні. Тому ВС = АВ = 5 см. P_∆АВС = AB + BC + AC = 5 + 5 + 4 = 14 см.
   Відповідь: 14 см.
2. Основа рівнобедреного трикутника на 4 см більше від його бічної сторони. Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 22 см.
   

   Дано: ∆АВС - рівнобедрений, АС = АВ + 4, P_∆АВС = 22 см.
   Знайти: AB, BC, AC
   
   Розв'язування
   Нехай бічна сторона трикутника дорівнює х. Тоді, так як бічні сторони рівнобедреного трикутника рівні, то АВ = ВС = х см, за умовою АС = х + 4 см. Так як P_∆АВС = AB + BC + AC, то маємо рівняння:
   х + х + х + 4 = 22
   х + х + х = 22 - 4
   3х = 18
   х = 18 : 3
   х = 6
   Тоді АВ = ВС = 6 см, АС = 6 + 4 = 10 см.
   Відповідь: 6 см, 6 см та 10 см.
3. Знайдіть периметр рівностороннього трикутника, сторона якого дорівнює 12 дм.
   

   Дано: ∆АВС - рівносторонній, АВ = 12 дм.
   Знайти: P_∆АВС
   
   Розв'язування
   Так як трикутник АВС є рівностороннім, то P_∆АВС = 3AB = 3 ⋅12 = 36 дм.
   Відповідь: 36 дм.
4. Знайдіть сторону рівностороннього трикутника, периметр якого дорівнює 6 м.
   

   Дано: ∆АВС - рівносторонній, P_∆АВС = 6 м.
   Знайти: АВ
   
   Розв'язування
   Так як трикутник АВС є рівностороннім, то P_∆АВС = 3AB. Звідси АВ = P_∆АВС : 3 = 6 : 3 = 2 м.
   Відповідь: 2 м.
5. У рівнобедреному трикутнику АВС проведено висоту ВD до основи довжиною 12 см. Знайдіть периметр трикутника АВС, якщо периметр трикутника ABD дорівнює 30 см.
   

   Дано: ∆АВС - рівнобедрений, BD = 12 см - висота, P_∆АВD = 30 см.
   Знайти: P_∆АВС
   
   Розв'язування
   Так як трикутник АВС є рівнобедреним, то його висота BD, проведена до основи, є медіаною. Тому точка D - є серединою сторони АС і АС = 2AD. Так як трикутник АВС - рівнобедрений, то ВС = АВ. Тоді P_∆АВС = AB + BC + AC = АВ + АВ + 2AD = 2AB + 2AD = 2(AB + AD). Але з формули P_∆АВD = AB + BD + AD маємо, що AB + AD = P_∆АВD - BD = 30 - 12 = 18 см. Тоді P_∆АВС = 2 ⋅ 18 = 36 см.
   Відповідь: 36 см.

⇐Попередня тема

Повернутись до переліку тем

⇒Наступна тема