7 клас. Геометрія. Рівнобедрений та рівносторонній трикутники, їх властивості та ознаки

Чому рівнобедрений трикутник вважають ідеальною фігурою для розв’язування геометричних задач? У цьому уроці ми вивчимо всі його "суперсили": від рівних кутів при основі до унікальної властивості висоти, яка одночасно є медіаною та бісектрисою. Ви навчитеся розрізняти види трикутників за їхніми сторонами, опануєте формули периметра та побачите покрокові розв'язання задач, які допоможуть вам з легкістю виконувати домашні завдання та контрольні роботи.

Види трикутників за сторонами:

  • Різносторонній - трикутник, у якого всі сторони різної довжини.
  • Рівнобедрений - трикутник, у якого дві сторони рівні.
  • Рівносторонній - трикутник, у якого всі сторони рівні.

Рівні сторони рівнобедреного трикутника називають бічними сторонами, а його третю сторону - основою. На малюнку рівнобедреного трикутника АВ і ВС - бічні сторони, АС - основа.

рівнобедрений трикутник, isosceles triangle ABCD

Властивості рівнобедреного трикутника:

  • У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні. На малюнку ∠А = ∠С.
  • У рівнобедреному трикутнику бісектриса, проведена до основи, є медіаною і висотою. Якщо BD - бісектриса, то ВD - висота та медіана.
  • У рівнобедреному трикутнику медіана, проведена до основи, є бісектрисою і висотою. Якщо BD - медіана, то ВD - висота та бісектрисою.
  • У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до основи, є медіаною і бісектрисою. Якщо BD - висота, то ВD - бісектриса та медіана.

Відповідні ознаки рівнобедреного трикутника:

  • Якщо в трикутнику два кути рівні, то він рівнобедрений. Якщо ∠А = ∠С, то ∆АВС рівнобедрений.
  • Якщо в трикутнику бісектриса, проведена до основи, є медіаною або/та висотою, то він рівнобедрений.
  • Якщо в трикутнику медіана, проведена до основи, є бісектрисою або/та висотою, то він рівнобедрений.
  • Якщо в трикутнику висота, проведена до основи, є медіаною або/та бісектрисою, то він рівнобедрений.
рівносторонній трикутник, equilateral triangle ABC

Властивості рівностороннього трикутника:

  • У рівносторонньому трикутнику всі кути рівні. На малюнку ∠А = ∠В = ∠С.
  • У рівносторонньому трикутнику будь-яка бісектриса є медіаною і висотою. Якщо BD - бісектриса, то ВD - висота та медіана.
  • У рівносторонньому трикутнику будь-яка медіана є бісектрисою і висотою. Якщо BD - медіана, то ВD - висота та бісектрисою.
  • У рівносторонньому трикутнику будь-яка висота є медіаною і бісектрисою. Якщо BD - висота, то ВD - бісектриса та медіана.
  • Периметр рівностороннього трикутника зі стороною a знаходиться за формулою P = 3a.

Відповідні ознаки рівностороннього трикутника:

  • Якщо в трикутнику всі кути рівні, то він рівносторонній. Якщо ∠А = ∠В = ∠С, то ∆АВС рівносторонній.
  • Якщо в трикутнику хоча б дві бісектриси є медіанами або/та висотами, то він рівносторонній.
  • Якщо в трикутнику хоча б дві медіани є бісектрисами або/та висотами, то він рівносторонній.
  • Якщо в трикутнику хоча б дві висоти є медіанами або/та бісектрисами, то він рівносторонній.
Завдання 1. Знайдіть периметр рівнобедреного трикутника, бічна сторона якого 5 см, а основа 4 см.
Показати відповідь
рівнобедрений трикутник, isosceles triangle ABC Дано: ∆АВС - рівнобедрений, АВ = 5 см, АС = 4 см.
Знайти: P∆АВС
Розв'язування
Так як трикутник АВС є рівнобедреним, то його бічні сторони рівні. Тому ВС = АВ = 5 см. P∆АВС = AB + BC + AC = 5 + 5 + 4 = 14 см.
Відповідь: 14 см.
Завдання 2. Основа рівнобедреного трикутника на 4 см більше від його бічної сторони. Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 22 см.
Показати відповідь
рівнобедрений трикутник, isosceles triangle ABC Дано: ∆АВС - рівнобедрений, АС = АВ + 4, P∆АВС = 22 см.
Знайти: AB, BC, AC
Розв'язування
Нехай бічна сторона трикутника дорівнює х. Тоді, так як бічні сторони рівнобедреного трикутника рівні, то АВ = ВС = х см, за умовою АС = х + 4 см. Так як P∆АВС = AB + BC + AC, то маємо рівняння:
х + х + х + 4 = 22
х + х + х = 22 - 4
3х = 18
х = 18 : 3
х = 6
Тоді АВ = ВС = 6 см, АС = 6 + 4 = 10 см.
Відповідь: 6 см, 6 см та 10 см.
Завдання 3. Знайдіть периметр рівностороннього трикутника, сторона якого дорівнює 12 дм.
Показати відповідь
рівносторонній трикутник, equilateral triangle ABC Дано: ∆АВС - рівносторонній, АВ = 12 дм.
Знайти: P∆АВС
Розв'язування
Так як трикутник АВС є рівностороннім, то P∆АВС = 3AB = 3 ·12 = 36 дм.
Відповідь: 36 дм.
Завдання 4. Знайдіть сторону рівностороннього трикутника, периметр якого дорівнює 6 м.
Показати відповідь
рівносторонній трикутник, equilateral triangle ABC Дано: ∆АВС - рівносторонній, P∆АВС = 6 м.
Знайти: АВ
Розв'язування
Так як трикутник АВС є рівностороннім, то P∆АВС = 3AB. Звідси АВ = P∆АВС : 3 = 6 : 3 = 2 м.
Відповідь: 2 м.
Завдання 5. У рівнобедреному трикутнику АВС проведено висоту ВD до основи довжиною 12 см. Знайдіть периметр трикутника АВС, якщо периметр трикутника ABD дорівнює 30 см.
Показати відповідь
рівнобедрений трикутник, isosceles triangle ABCD Дано: ∆АВС - рівнобедрений, BD = 12 см - висота, P∆АВD = 30 см.
Знайти: P∆АВС
Розв'язування
Так як трикутник АВС є рівнобедреним, то його висота BD, проведена до основи, є медіаною. Тому точка D - є серединою сторони АС і АС = 2AD. Так як трикутник АВС - рівнобедрений, то ВС = АВ. Тоді P∆АВС = AB + BC + AC = АВ + АВ + 2AD = 2AB + 2AD = 2(AB + AD). Але з формули P∆АВD = AB + BD + AD маємо, що AB + AD = P∆АВD - BD = 30 - 12 = 18 см. Тоді P∆АВС = 2 · 18 = 36 см.
Відповідь: 36 см.