Перейти до основного вмісту

7 клас. Геометрія. Рівнобедрений та рівносторонній трикутники, їх властивості та ознаки

Види трикутників за сторонами:

  • Різносторонній - трикутник, у якого всі сторони різної довжини.
  • Рівнобедрений - трикутник, у якого дві сторони рівні.
  • Рівносторонній - трикутник, у якого всі сторони рівні.

Рівні сторони рівнобедреного трикутника називають бічними сторонами, а його третю сторону - основою. На малюнку рівнобедреного трикутника АВ і ВС - бічні сторони, АС - основа.

рівнобедрений трикутник, isosceles triangle

Властивості рівнобедреного трикутника:

  • У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні. На малюнку ∠А = ∠С.
  • У рівнобедреному трикутнику бісектриса, проведена до основи, є медіаною і висотою. Якщо BD - бісектриса, то ВD - висота та медіана.
  • У рівнобедреному трикутнику медіана, проведена до основи, є бісектрисою і висотою. Якщо BD - медіана, то ВD - висота та бісектрисою.
  • У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до основи, є медіаною і бісектрисою. Якщо BD - висота, то ВD - бісектриса та медіана.

Відповідні ознаки рівнобедреного трикутника:

  • Якщо в трикутнику два кути рівні, то він рівнобедрений. Якщо ∠А = ∠С, то ∆АВС рівнобедрений.
  • Якщо в трикутнику бісектриса, проведена до основи, є медіаною або/та висотою, то він рівнобедрений.
  • Якщо в трикутнику медіана, проведена до основи, є бісектрисою або/та висотою, то він рівнобедрений.
  • Якщо в трикутнику висота, проведена до основи, є медіаною або/та бісектрисою, то він рівнобедрений.
рівносторонній трикутник, equilateral triangle

Властивості рівностороннього трикутника:

  • У рівносторонньому трикутнику всі кути рівні. На малюнку ∠А = ∠В = ∠С.
  • У рівносторонньому трикутнику будь-яка бісектриса є медіаною і висотою. Якщо BD - бісектриса, то ВD - висота та медіана.
  • У рівносторонньому трикутнику будь-яка медіана є бісектрисою і висотою. Якщо BD - медіана, то ВD - висота та бісектрисою.
  • У рівносторонньому трикутнику будь-яка висота є медіаною і бісектрисою. Якщо BD - висота, то ВD - бісектриса та медіана.
  • Периметр рівностороннього трикутника зі стороною a знаходиться за формулою P = 3a.

Відповідні ознаки рівностороннього трикутника:

  • Якщо в трикутнику всі кути рівні, то він рівносторонній. Якщо ∠А = ∠В = ∠С, то ∆АВС рівносторонній.
  • Якщо в трикутнику хоча б дві бісектриси є медіанами або/та висотами, то він рівносторонній.
  • Якщо в трикутнику хоча б дві медіани є бісектрисами або/та висотами, то він рівносторонній.
  • Якщо в трикутнику хоча б дві висоти є медіанами або/та бісектрисами, то він рівносторонній.

Приклади

  1. Знайдіть периметр рівнобедреного трикутника, бічна сторона якого 5 см, а основа 4 см.
    Показати відповідь
    рівнобедрений трикутник, isosceles triangle
    Дано: ∆АВС - рівнобедрений, АВ = 5 см, АС = 4 см.
    Знайти: P∆АВС
    Розв'язування
    Так як трикутник АВС є рівнобедреним, то його бічні сторони рівні. Тому ВС = АВ = 5 см. P∆АВС = AB + BC + AC = 5 + 5 + 4 = 14 см.
    Відповідь: 14 см.
  2. Основа рівнобедреного трикутника на 4 см більше від його бічної сторони. Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 22 см.
    Показати відповідь
    рівнобедрений трикутник, isosceles triangle
    Дано: ∆АВС - рівнобедрений, АС = АВ + 4, P∆АВС = 22 см.
    Знайти: AB, BC, AC
    Розв'язування
    Нехай бічна сторона трикутника дорівнює х. Тоді, так як бічні сторони рівнобедреного трикутника рівні, то АВ = ВС = х см, за умовою АС = х + 4 см. Так як P∆АВС = AB + BC + AC, то маємо рівняння:
    х + х + х + 4 = 22
    х + х + х = 22 - 4
    3х = 18
    х = 18 : 3
    х = 6
    Тоді АВ = ВС = 6 см, АС = 6 + 4 = 10 см.
    Відповідь: 6 см, 6 см та 10 см.
  3. Знайдіть периметр рівностороннього трикутника, сторона якого дорівнює 12 дм.
    Показати відповідь
    рівносторонній трикутник, equilateral triangle
    Дано: ∆АВС - рівносторонній, АВ = 12 дм.
    Знайти: P∆АВС
    Розв'язування
    Так як трикутник АВС є рівностороннім, то P∆АВС = 3AB = 3 ⋅12 = 36 дм.
    Відповідь: 36 дм.
  4. Знайдіть сторону рівностороннього трикутника, периметр якого дорівнює 6 м.
    Показати відповідь
    рівносторонній трикутник, equilateral triangle
    Дано: ∆АВС - рівносторонній, P∆АВС = 6 м.
    Знайти: АВ
    Розв'язування
    Так як трикутник АВС є рівностороннім, то P∆АВС = 3AB. Звідси АВ = P∆АВС : 3 = 6 : 3 = 2 м.
    Відповідь: 2 м.
  5. У рівнобедреному трикутнику АВС проведено висоту ВD до основи довжиною 12 см. Знайдіть периметр трикутника АВС, якщо периметр трикутника ABD дорівнює 30 см.
    рівнобедрений трикутник, isosceles triangle
    Дано: ∆АВС - рівнобедрений, BD = 12 см - висота, P∆АВD = 30 см.
    Знайти: P∆АВС
    Розв'язування
    Так як трикутник АВС є рівнобедреним, то його висота BD, проведена до основи, є медіаною. Тому точка D - є серединою сторони АС і АС = 2AD. Так як трикутник АВС - рівнобедрений, то ВС = АВ. Тоді P∆АВС = AB + BC + AC = АВ + АВ + 2AD = 2AB + 2AD = 2(AB + AD). Але з формули P∆АВD = AB + BD + AD маємо, що AB + AD = P∆АВD - BD = 30 - 12 = 18 см. Тоді P∆АВС = 2 ⋅ 18 = 36 см.
    Відповідь: 36 см.
⇐Попередня тема Повернутись до переліку тем ⇒Наступна тема

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Завдання. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців – 4х. Разом їх буде 3х + 4х = 7х. Отже, сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців ділиться націло на 7, і лише число 91 задовольняє цій умові. Завдання. НМТ 2026 (демо). Узгодьте вираз (1– 3) із його значенням (А – Д), якщо m = -\frac{4}{3} 1 |𝑚 − 4| 2 4m −1 3 (3𝑚 + 1) 0 А –3 Б 1 В 0 Г 3 Д \frac{16}{3} Показати відповідь 1-Д, 2-А, 3-Б . 1. |-\frac{4}{3}-4|=|-\frac{4}{3}-\frac{12}{3}|=|\frac{-4-12}{3}|=|\frac{-16}{3}|=\frac{16}{3} 2. 4\cdot(-\frac{4}{3})^{-1} = 4\cdot (-\frac{3}{4}) = -3 (при зміні знака степеня дріб перевертається) 3. Кожне число, від'ємне від 0, в нульовій степені д...
3 коментарі
Read more »

Первісна функції

Правила інтегрування C⋅f(x)dx=C⋅ f(x)dx (f(x)±g(x))dx= f(x)dx± g(x)dx Таблиця первісних x n dx= +C dx=ln|x|+C sinxdx=-cosx+C cosxdx=sinx+C dx=tgx+C dx= -ctgx+C a x dx= +C e x dx=e x +C Завдання. НМТ 2026 (демо). Позначте формулу для визначення площі S фігури, обмеженої графіками функцій 𝑦 = 2 𝑥 , 𝑦 = 2 та прямою 𝑥 = 0 (див. рисунок). S=\int_{0}^{2}2^x{dx} S=\int_{0}^{1}2^x{dx} S=\int_{0}^{1}(2^x-2){dx} S=\int_{0}^{1}(2-2^x){dx} S=\int_{0}^{2}(2-2^x){dx} Показати відповідь Г . Так як фігура обмежена числами 0 та 1 по осі абсцис, то ці числа є межами інтегрування. На даному проміжку фігура обмежена згори лінією у = 2, знизу лінією 𝑦 = 2 𝑥 . Тоді за формулою обчислення площі фігури S=\int_{0}^{1}(2-2^x){dx} . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції Обчисліть значення виразу . Показати відповідь 31 . Скористатись геометричним змістом визначеного інтеграла. НМТ 2024. Обчисліть інтеграл . Показати відповідь 10 . Ск...
8 коментарів
Read more »

Комбінаторика

1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і І об'єкт і ІІ об'єкт можна a⋅b способами. 3. Перестановки . Якщо з n об'єктів потрібно обрати всі n, то це можна зробити P n =n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n-1)⋅n способами. 4. Розміщення . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання важливий, то це можна зробити = способами. 5. Комбінації . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання не важливий, то це можна зробити = способами. Примітка . Скорочення факторіалів = =5⋅6⋅7=210 Завдання. НМТ 2026 (демо). У квітковому магазині є 12 білих та 25 червоних троянд. Покупець замовив у цьому магазині букет із двох білих троянд й однієї червоної. Скільки всього є варіантів такого вибору? Показати відповідь 1650 . Оскільки порядок вибору листіво...
15 коментарів
Read more »

Функції за графіками

Завдання. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції, що набуває лише додатних значень на всій області визначення? Показати відповідь Д . Якщо графік квадратичної функції набуває лише додатних значень на всій області визначення, то він повинен весь лежати вище осі х. Таккій умові задовольняє тільки графік Д. НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y = x + 2 y = −x 2 Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) ...
13 коментарів
Read more »

Трикутники та їх властивості

Види трикутників За кутами Гострокутний - всі кути гострі (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 <a 2 +b 2 ). Прямокутний - один з кутів прямий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 =a 2 +b 2 ). Тупокутний - один з кутів тупий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 >a 2 +b 2 ). За сторонами Різносторонній - всі сторони різні. Рівнобічний - дві сторони рівні (називаються бічними, третя - основою). Рівносторонній (правильний) - всі сторони рівні. Основні елементи трикутників Медіана - відрізок, який сполучає вершину трикутника з серединою протилежної сторони (ділить сторону навпіл). Медіани трикутника перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться у відношенні 2:1, починаючи від вершини. Висота - відрізок, який проведений з вершини трикутника перпендикулярно до протилежної сторони. Бісектриса - відрізок, який проведено з вершини до протилежної сторони і який ділить к...
5 коментарів
Read more »

Рекомендований допис

Solving Linear Equations with One Variable: A Step-by-Step Guide

An equation is an equality that contains a variable. You are required to find a number that, when substituted for the variable, yields a correct numerical equality (the same numbers on the left and right sides of the equality). In other words, you need to find the solution of the equation . For example, in the equation 2x - 6x + 8 = 7x - 3, we can substitute 1 for the variable x and obtain a correct numerical equality, since 2(1) - 6(1) + 8 = 2 - 6 + 8 = 4 and 7(1) - 3 = 7 - 3 = 4. Therefore, x = 1 is a solution of the equation. When solving equations, we may encounter the following cases: the equation has no solution,one solution, or infinitely many solutions. In this post, we will look at how to solve equations that contain one variable to the first power. Such equations are called linear equations . To solve such equations, you can apply The Subtraction property of equality. If a = b, then a - c =b - c ; The Addition property of equality. If a = b, then a + c = b...
Дописати коментар