7 клас. Геометрія. Взаємне розміщення двох кіл

Як можуть розташовуватися два кола на площині? Вони можуть перетинатися, торкатися одне одного або взагалі не мати спільних точок. У цьому уроці ми розберемо всі 6 варіантів розміщення кіл через прості формули та наочні схеми. Ви дізнаєтеся, що таке концентричні кола, чим зовнішній дотик відрізняється від внутрішнього, та навчитеся миттєво визначати положення фігур.

Можливі випадки взаємного розміщення кіл:

  • O₁O₂ > r₁ + r₂. Якщо відстань між центрами кіл більше суми радіусів кіл, то кола не перетинаються.
    • кола не перетинаються, circles do not intersect CDO₁r₁r₂O₂
  • O₁O₂ < r₁ - r₂. Якщо відстань між центрами кіл менше різниці радіусів кіл, то кола не перетинаються. кола не перетинаються, circles do not intersect ABO₁r₁r₂O₂
  • Якщо відстань між центрами кіл дорівнює 0 (центри співпадають), то кола не перетинаються і називаються концентричними. концентричні кола, concentric circles ABO₁r₁r₂O₂
  • O₁O₂ = r₁ + r₂. Якщо відстань між центрами кіл дорівнює сумі радіусів кіл, то кола мають зовнішній дотик. зовнішній дотик кіл, external tangency of circles BO₁r₁r₂O₂
  • O₁O₂ = r₁ - r₂. Якщо відстань між центрами кіл дорівнює різниці радіусів кіл, то кола мають внутрішній дотик. внутрішній дотик кіл, internal tangency of circles BO₁r₁r₂O₂
  • r₁ - r₂< O₁O₂ < r₁ + r₂. Якщо відстань між центрами кіл менше суми радіусів кіл, але більше їх різниці, то кола перетинаються. перетин кіл, intersection of circles ABO₁r₁r₂O₂
Завдання 1. Знайдіть відстань між центрами двох кіл, що мають зовнішній дотик, якщо їх радіуси дорівнюють 5 см і 8 см.
Показати відповідь
зовнішній дотик кіл, external tangency of circles Дано: r₂ = 8 см, r₁ = 5 см.
Знайти: O₁O₂
Розв'язування

Так як кола мають зовнішній дотик, то O₁O₂ = r₁ + r₂ = 5 + 8 = 13 см.

Відповідь: 13 см.
Завдання 2. Відстань між центрами двох кіл, що мають зовнішній дотик, дорівнює 12 см. Знайдіть радіуси цих кіл, якщо вони відносяться як 4 : 2.
Показати відповідь
зовнішній дотик кіл, external tangency of circles Дано: O₁O₂ = 12 см, r₂ : r₁ = 4 : 2.
Знайти: r₁, r₂
Розв'язування

Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює х. Тоді r₁ = 2х, r₂ = 4х. Так як кола мають зовнішній дотик, то O₁O₂ = r₁ + r₂. Маємо рівняння:
2x + 4x = 12
6x = 12
x = 12 : 6
x = 2.

Тоді r₁ = 2 ·2 = 4 см, r₂ = 4 ·2 = 8 см.

Відповідь: 4 см, 8 см.
Завдання 3. Знайдіть відстань між центрами двох кіл, що мають внутрішній дотик, якщо їх радіуси дорівнюють 4 см і 10 см.
Показати відповідь
внутрішній дотик кіл, internal tangency of circles Дано: r₂ = 4 см, r₁ = 10 см.
Знайти: O₁O₂
Розв'язування

Так як кола мають внутрішній дотик, то O₁O₂ = r₁ - r₂ = 10 - 4 = 6 см.

Відповідь: 6 см.
Завдання 4. Відстань між центрами двох кіл, що мають внутрішній дотик, дорівнює 12 см. Знайдіть радіуси цих кіл, якщо вони відносяться як 7 : 3.
Показати відповідь
внутрішній дотик кіл, internal tangency of circles Дано: O₁O₂ = 12 см, r₁ : r₂ = 7 : 3.
Знайти: r₁, r₂
Розв'язування

Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює х. Тоді r₁ = 7х, r₂ = 3х. Так як кола мають внутрішній дотик, то O₁O₂ = r₁ - r₂. Маємо рівняння:
7x - 3x = 12
4x = 12
x = 12 : 4
x = 3.

Тоді r₁ = 7 ·3 = 21 см, r₂ = 3 ·3 = 9 см.

Відповідь: 21 см, 9 см.
Завдання 5. Визначте взаємне розміщення двох кіл, якщо відстань між їх центрами O₁O₂ = 8 см, а радіуси кіл дорівнюють: а) 6 см та 2 см; б) 4 см та 5 см; в) 4 см та 2 см; г) 13 см та 4 см; д) 13 см та 5 см.
Показати відповідь

Розв'язування

а) Так як r₁ + r₂ = 6 + 2 = 8 = O₁O₂, то кола мають зовнішній дотик.

б) Так як r₁ + r₂ = 4 + 5 = 9 > O₁O₂, r₂ - r₁ = 5 - 4 = 1 < O₁O₂, то кола перетинаються.

в) Так як r₁ + r₂ = 4 + 2 = 6 < O₁O₂, то кола не перетинаються.

г) Так як r₁ - r₂ = 13 - 4 = 9 > O₁O₂, то кола не перетинаються.

д) Так як r₁ - r₂ = 13 - 5 = 8 = O₁O₂, то кола мають внутрішній дотик.

Відповідь: а) мають зовнішній дотик; б) перетинаються; в) не перетинаються; г) не перетинаються; д) мають внутрішній дотик.