7 клас. Геометрія. Взаємне розміщення двох кіл

Можливі випадки взаємного розміщення кіл:

• Якщо відстань між центрами кіл більше суми радіусів кіл, то кола не перетинаються. O₁O₂ > r₁ + r₂.
  
• Якщо відстань між центрами кіл менше різниці радіусів кіл, то кола не перетинаються. O₁O₂ < r₁ - r₂.
  
• Якщо відстань між центрами кіл дорівнює 0 (центри співпадають), то кола не перетинаються і називаються концентричними.
  
• Якщо відстань між центрами кіл дорівнює сумі радіусів кіл, то кола мають зовнішній дотик. O₁O₂ = r₁ + r₂.
  
• Якщо відстань між центрами кіл дорівнює різниці радіусів кіл, то кола мають внутрішній дотик. O₁O₂ = r₁ - r₂.
  
• Якщо відстань між центрами кіл менше суми радіусів кіл, але більше їх різниці, то кола перетинаються. r₁ - r₂< O₁O₂ < r₁ + r₂.
  

Приклади

1. Знайдіть відстань між центрами двох кіл, що мають зовнішній дотик, якщо іх радіуси дорівнюють 5 см і 8 см.
   

   Дано: r₂ = 5 см, r₁ = 8 см.
   Знайти: O₁O₂
   
   Розв'язування

   Так як кола мають зовнішній дотик, то O₁O₂ = r₁ + r₂ = 5 + 8 = 13 см.

   Відповідь: 13 см.
2. Відстань між центрами двох кіл, що мають зовнішній дотик, дорівнює 12 см. Знайдіть радіуси цих кіл, якщо вони відносяться як 4 : 2.
   

   Дано: O₁O₂ = 12 см, r₁ : r₂ = 4 : 2.
   Знайти: r₁, r₂
   
   Розв'язування

   Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює х. Тоді r₁ = 4х, r₂ = 2х. Так як кола мають зовнішній дотик, то O₁O₂ = r₁ + r₂. Маємо рівняння:
   4x + 2x = 12
   6x = 12
   x = 12 : 6
   x = 2.

   Тоді r₁ = 4 ⋅2 = 8 см, r₂ = 2 ⋅2 = 4 см.

   Відповідь: 8 см, 4 см.
3. Знайдіть відстань між центрами двох кіл, що мають внутрішній дотик, якщо іх радіуси дорівнюють 4 см і 10 см.
   

   Дано: r₂ = 4 см, r₁ = 10 см.
   Знайти: O₁O₂
   
   Розв'язування

   Так як кола мають внутрішній дотик, то O₁O₂ = r₁ - r₂ = 10 - 4 = 6 см.

   Відповідь: 6 см.
4. Відстань між центрами двох кіл, що мають внутрішній дотик, дорівнює 12 см. Знайдіть радіуси цих кіл, якщо вони відносяться як 7 : 3.
   

   Дано: O₁O₂ = 12 см, r₁ : r₂ = 7 : 3.
   Знайти: r₁, r₂
   
   Розв'язування

   Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює х. Тоді r₁ = 7х, r₂ = 3х. Так як кола мають внутрішній дотик, то O₁O₂ = r₁ - r₂. Маємо рівняння:
   7x - 3x = 12
   4x = 12
   x = 12 : 4
   x = 3.

   Тоді r₁ = 7 ⋅3 = 21 см, r₂ = 3 ⋅3 = 9 см.

   Відповідь: 21 см, 9 см.
5. Визначте взаємне розміщення двох кіл, якщо відстань між їх центрами O₁O₂ = 8 см, а радіуси кіл дорівнюють: а) 6 см та 2 см; б) 4 см та 5 см; в) 4 см та 2 см; г) 13 см та 4 см; д) 13 см та 5 см.
   Розв'язування

   а) Так як r₁ + r₂ = 6 + 2 = 8 = O₁O₂, то кола мають зовнішній дотик.

   б) Так як r₁ + r₂ = 4 + 5 = 9 > O₁O₂, r₂ - r₁ = 5 - 4 = 1 < O₁O₂, то кола перетинаються.

   в) Так як r₁ + r₂ = 4 + 2 = 6 < O₁O₂, то кола не перетинаються.

   г) Так як r₁ - r₂ = 13 - 4 = 9 > O₁O₂, то кола не перетинаються.

   д) Так як r₁ - r₂ = 13 - 5 = 8 = O₁O₂, то кола мають внутрішній дотик.

   Відповідь: а) мають зовнішній дотик; б) перетинаються; в) не перетинаються; г) не перетинаються; д) мають внутрішній дотик.

⇐Попередня тема

Повернутись до переліку тем

⇒Наступна тема