7 клас. Геометрія. Основні задачі на побудову

Хочете навчитися будувати ідеальні геометричні фігури, маючи лише циркуль та лінійку без поділок? У цьому посібнику ми розберемо основні алгоритми: від побудови трикутника за трьома сторонами до створення паралельних прямих та вписаних кіл. Крок за кроком ви опануєте мистецтво класичної геометрії, навчитеся проводити точні бісектриси та серединні перпендикуляри, а наприкінці побачите реальний приклад розв’язання комплексної задачі! Дивіться анімовані підказки, щоб зрозуміти кожен рух циркуля!

Задачі на побудову – задачі, в яких треба описати порядок побудови за допомогою циркуля та лінійки для отримання заданої фігури з доведенням, що побудована фігура є шуканою. Для побудови лінійка використовується як без поділок, лише для проведення прямих і з'єднання точок. Циркуль використовується для проведення кіл (дуг) та відкладання відрізків заданої довжини (ніжки циркуля ставляться у кінцях заданого відрізку і потім відміряється шуканий відрізок від заданої точки).

Найпростіші побудови:

Побудова 1. Побудова трикутника за трьома даними сторонами a, b, c. Порядок побудови: побудова трикутника за трьома даними сторонами, constructing a triangle from three given sides Показати побудову abc G H I
  1. На довільній прямій відкладаємо відрізок GH довжиною AB = a.
  2. Будуємо дугу з центром в т.G і радіусом CD = b.
  3. Будуємо дугу з центром в т.H і радіусом EF = с.
  4. Знаходимо точку перетину кіл - т. I
  5. Проводимо відрізок GI
  6. Проводимо відрізок IH
  7. Трикутник GIH - шуканий
Побудова 2. Побудова кута, що дорівнює заданому. Порядок побудови: побудова кута, що дорівнює заданому; constructing an angle equal to a given one Показати побудову BAC E F G H I
  1. На даному куті будуємо дугу з центром в т.А і довільним радіусом.
  2. Знаходимо точки E і F перетину дуги зі сторонами кута.
  3. Проводимо відрізок EF.
  4. Будуємо довільну пряму, на ній точку G і будуємо з цієї точки трикутник GIH, сторони якого дорівнюють довжинам АE, EF і AF (за алгоритмом побудови трикутника за двома трьома даними сторонами)
  5. Кут IGH - шуканий
Побудова 3. Побудова бісектриси нерозгорнутого кута. Порядок побудови: побудова бісектриси нерозгорнутого кута; constructing the Bisector of a Given Angle Показати побудову BAC F G H
  1. Будуємо дугу з центром в т.А і довільним радіусом R.
  2. Знаходимо точки F і G перетину дуги зі сторонами кута.
  3. Будуємо дугу з центром в т.F і тим же радіусом R.
  4. Будуємо дугу з центром в т.G і тим же радіусом R.
  5. Знаходимо точку перетину побудованих кіл H.
  6. Проводимо відрізок AH.
  7. Відрізок AH - шуканий
Побудова 4. Побудова прямої, що проходить через дану точку А перпендикулярно до даної прямої. Порядок побудови: побудова прямої, що проходить через дану точку А перпендикулярно до даної прямої; constructing a perpendicular line through point A to a given line Показати побудову A E F G
  1. Будуємо дугу з центром в т.A і довільним радіусом R.
  2. Знаходимо точки E і F перетину дуги з прямою
  3. Будуємо дугу з центром в т.E і тим же радіусом R.
  4. Будуємо дугу з центром в т.F і тим же радіусом R.
  5. Знаходимо точку перетину побудованих дуг G.
  6. Проводимо пряму CG
  7. Пряма CG - шукана
Побудова 5. Побудова серединного перпендикуляра до даного відрізка (побудова середини даного відрізка). Порядок побудови: побудова серединного перпендикуляра до даного відрізка; сonstructing the perpendicular bisector of a line segment Показати побудову AB E D
  1. Будуємо дугу з центром в т.A і радіусом більше половини даного відрізка.
  2. Будуємо дугу з центром в т.B і таким же радіусом.
  3. Знаходимо точки перетину побудованих дуг E і D.
  4. Проводимо пряму ED.
  5. Побудована пряма ED - шуканий серединний перпендикуляр. Якщо треба середина відрізка ВС, то це точка F перетину ED та AВ.
Побудова 6. Побудова прямої, що проходить через дану точку С паралельно даній прямій. Порядок побудови: побудова прямої, паралельної даній; constructing a line parallel to a given one Показати побудову C E F G
  1. Будуємо дугу з центром в т.C і довільним радіусом R (більшим за відстань до прямої).
  2. Знаходимо точки E і F перетину побудованої дуги з прямою.
  3. Будуємо дугу з центром в т.F і тим же радіусом R.
  4. Будуємо дугу з центром в т.C і радіусом EF.
  5. Знаходимо точку G перетину даних дуг.
  6. Проводимо пряму CG.
  7. Побудована пряма CG - шукана.

Приклад

Побудуйте рівносторонній трикутник та впишіть у нього коло.

Порядок побудови:
  1. Будуємо трикутник АВС з трьома рівними сторонами.
  2. Знаходимо точку D - середину АС.
  3. Проводимо медіану BD.
  4. Знаходимо точку E - середину BC.
  5. Проводимо медіану AE.
  6. Знаходимо точку О - точку перетину медіан BD і AE.
  7. Будуємо коло з центром в точці О і радіусом OD.
побудова кола, вписаного в трикутник; constructing the incircle of a given triangle Показати побудову ABC D E O Доведення. Побудований трикутник АВС є рівностороннім за побудовою. Так як трикутник є рівностороннім, то його медіани BD і AE є бісектрисами. Тому точка О іх перетину є центром вписаного кола. Так як трикутник є рівностороннім, то його медіани BD і AE є висотами. Тому радіус кола OD лежить на перпендикулярі до сторони АВ, тому точка D є точкою дотику кола і сторони АВ.