7 клас. Геометрія. Основні задачі на побудову

Задачі на побудову – задачі, в яких треба описати порядок побудови за допомогою циркуля та лінійки для отримання заданої фігури з доведенням, що побудована фігура є шуканою. Для побудови лінійка використовується як без поділок, лише для проведення прямих і з'єднання точок. Циркуль використовується для проведення кіл (дуг) та відкладання відрізків заданої довжини (ніжки циркуля ставляться у кінцях заданого відрізку і потім відміряється шуканий відрізок від заданої точки).

Найпростіші побудови:

• Побудова трикутника за трьома даними сторонами a, b, c. Порядок побудови:
  
  1. На довільній прямій відкладаємо відрізок GH довжиною AB = a.
  2. Будуємо коло з центром в т.G і радіусом CD = b.
  3. Будуємо коло з центром в т.H і радіусом EF = с.
  4. Знаходимо точку перетину кіл - т. I
  5. Проводимо відрізок GI
  6. Проводимо відрізок IH
  7. Трикутник GIH - шуканий
• Побудова кута, що дорівнює заданому. Порядок побудови:
  
  1. На даному куті будуємо коло з центром в т.А і довільним радіусом.
  2. Знаходимо точки E і F перетину кола зі сторонами кута.
  3. Проводимо відрізок EF.
  4. Будуємо з точки O трикутник OHG, сторони якого OH, HG,OG дорівнюють довжинам АE, EF і AF відповідно (за алгоритмом побудови трикутника за двома трьома даними сторонами)
  5. Кут HOG - шуканий
• Побудова бісектриси нерозгорнутого кута. Порядок побудови:
  
  1. Будуємо коло з центром в т.А і довільним радіусом R.
  2. Знаходимо точки F і G перетину кола зі сторонами кута.
  3. Будуємо коло з центром в т.F і тим же радіусом R.
  4. Будуємо коло з центром в т.G і тим же радіусом R.
  5. Знаходимо точку перетину побудованих кіл H.
  6. Проводимо відрізок AH.
  7. Відрізок AH - шуканий
• Побудова прямої, що проходить через дану точку А перпендикулярно до даної прямої. Порядок побудови:
  
  1. Будуємо коло з центром в т.C і довільним радіусом R.
  2. Знаходимо точки E і F перетину кола зі сторонами кута
  3. Будуємо коло з центром в т.E і тим же радіусом R.
  4. Будуємо коло з центром в т.F і тим же радіусом R.
  5. Знаходимо точку перетину побудованих кіл G.
  6. Проводимо пряму CG
  7. Пряма CG - шукана
• Побудова серединного перпендикуляра до даного відрізка (побудова середини даного відрізка). Порядок побудови:
  
  1. Будуємо коло з центром в т.A і радіусом більше половини даного відрізка.
  2. Будуємо коло з центром в т.B і таким же радіусом.
  3. Знаходимо точки перетину побудованих кіл E і D.
  4. Проводимо пряму ED.
  5. Побудована пряма ED - шуканий серединний перпендикуляр. Якщо треба середина відрізка ВС, то це точка F перетину ED та AВ.
• Побудова прямої, що проходить через дану точку С паралельно даній прямій. Порядок побудови:
  
  1. Будуємо коло з центром в т.C і довільним радіусом R (більшим за відстань до прямої).
  2. Знаходимо точки E і F перетину побудованого кола з прямою.
  3. Будуємо коло з центром в т.F і тим же радіусом R.
  4. Будуємо коло з центром в т.C і радіусом EF.
  5. Знаходимо точку G перетину даних кіл.
  6. Проводимо пряму CG.
  7. Побудована пряма CG - шукана.

Приклад

Побудуйте рівносторонній трикутник та впишіть у нього коло. Порядок побудови:

1. Будуємо трикутник АВС з трьома рівними сторонами.
2. Знаходимо точку D - середину АС.
3. Проводимо медіану BD.
4. Знаходимо точку E - середину BC.
5. Проводимо медіану AE.
6. Знаходимо точку О - точку перетину медіан BD і AE.
7. Будуємо коло з центром в точці О і радіусом OD.

Доведення. Побудований трикутник АВС є рівностороннім за побудовою. Так як трикутник є рівностороннім, то його медіани BD і AE є бісектрисами. Тому точка О іх перетину є центром вписаного кола. Так як трикутник є рівностороннім, то його медіани BD і AE є висотами. Тому радіус кола OD лежить на перпендикулярі до сторони АВ, тому точка D є точкою дотику кола і сторони АВ.

⇐Попередня тема

Повернутись до переліку тем