Логарифмічні вирази — фундаментальний розділ алгебри, що описує операцію, обернену до піднесення до степеня. Розуміння логарифмів є критично важливим для успішного складання НМТ, оскільки ця тема пронизує значну частину екзаменаційних завдань: від спрощення складних обчислень до розв’язання показникових рівнянь та аналізу поведінки функцій у природничих науках.
На цій сторінці представлено систематизований виклад властивостей логарифмів та практичний блок із детальним розбором завдань НМТ минулих років. Ми розглянемо ключові правила додавання, віднімання та перетворення логарифмів, навчимося впевнено переходити до нової основи, а також розберемо алгоритми оцінювання значень виразів, що дозволить вам швидко знаходити правильні відповіді у тестовій частині іспиту.
Дії з логарифмами
Якщо logₐb = c, то b = aᶜ
logₐa = 1
logₐ1 = 0
logₐb + logₐc = logₐbc
logₐb - logₐc = logₐbc
n · logₐb = logₐbⁿ
1klogₐb = logaᵏb
alogₐN = N
logₐb = 1logba
Завдання 1. НМТ 2024. 2log₆3 + log₆4 =
Якщо logₐb = c, то b = aᶜ
logₐa = 1
logₐ1 = 0
logₐb + logₐc = logₐbc
logₐb - logₐc = logₐbc
n · logₐb = logₐbⁿ
1klogₐb = logaᵏb
alogₐN = N
logₐb = 1logba
log₆10
log₆24
log₆13
2
6
Показати відповідь
Г
2log₆3 + log₆4 = log₆3² + log₆4 = log₆9 + log₆4 = log₆(9∙4) = log₆36 = 2 (оскільки 6² = 36).
Завдання 2. Укажіть проміжок, якому належить значення виразу log0,2125.
2log₆3 + log₆4 = log₆3² + log₆4 = log₆9 + log₆4 = log₆(9∙4) = log₆36 = 2 (оскільки 6² = 36).
(–∞; –3)
[–3; 0)
[0; 3)
[3; 25)
[25; +∞)
Показати відповідь
Б.
log0,2125 = log155³ = log5⁻¹5³ = 3-1log₅5 = - 3. Число -3 належить проміжку [–3; 0).
Завдання 3. До початку речення (1 - 3) доберіть закінчення (А - Д) так, щоб утворилося правильне твердження, якщо n - натуральне число.
log0,2125 = log155³ = log5⁻¹5³ = 3-1log₅5 = - 3. Число -3 належить проміжку [–3; 0).
1 Якщо na = 3, то
2 Якщо 1 + log₃n = log₃a, то
3 Якщо 3ⁿ · 3 = 3ᵃ, то
2 Якщо 1 + log₃n = log₃a, то
3 Якщо 3ⁿ · 3 = 3ᵃ, то
А a = 3n
Б a = n + 1
В a = n + 3
Г a = 3n
Д a = n3
Б a = n + 1
В a = n + 3
Г a = 3n
Д a = n3
Показати відповідь
1 - Д, 2 - А, 3 - Б.
1. За правилом знаходження невідомого елемента пропорції маємо a = n3
2. Так як 1 + log₃n = log₃3 + log₃n = log₃3n, то маємо рівність log₃3n = log₃a, звідки a = 3n.
3. Так як 3ⁿ ∙ 3 = 3ⁿ ∙ 3¹ = 3ⁿ⁺¹, то маємо рівність 3ⁿ⁺¹ = 3ᵃ, звідки a = n + 1.
1. За правилом знаходження невідомого елемента пропорції маємо a = n3
2. Так як 1 + log₃n = log₃3 + log₃n = log₃3n, то маємо рівність log₃3n = log₃a, звідки a = 3n.
3. Так як 3ⁿ ∙ 3 = 3ⁿ ∙ 3¹ = 3ⁿ⁺¹, то маємо рівність 3ⁿ⁺¹ = 3ᵃ, звідки a = n + 1.
Завдання 4. Обчисліть log₈16.
12
43
1
8
12
Показати відповідь
Б.
log₈16 = log2³2⁴ = 43log₂2 = 43.
Завдання 5. log₂5 + log₂1,6 =
log₈16 = log2³2⁴ = 43log₂2 = 43.
3
3,3
0,25
4
log₂6,6
Показати відповідь
А.
log₂5 + log₂1,6 = log₂(5 · 1,6) = log₂8 = 3.
Завдання 6. Обчисліть значення виразу log₅49 + 2log₅57.
log₂5 + log₂1,6 = log₂(5 · 1,6) = log₂8 = 3.
0
1
2
4
25
Показати відповідь
В.
log₅49 + 2log₅57 = log₅49 + log₅5²7² = log₅49 + log₅2549 = log₅(49 · 2549) = log₅25 = 2.
Завдання 7. Обчисліть значення виразу log₃45 + log₃900 - log₃500.
log₅49 + 2log₅57 = log₅49 + log₅5²7² = log₅49 + log₅2549 = log₅(49 · 2549) = log₅25 = 2.
14
4
3
27
log₃445
Показати відповідь
Б.
log₃45 + log₃900 - log₃500 = log₃45 · 900500 = log₃45 · 95 = log₃9 · 91 = log₃81 = 4.
Завдання 8. lg25lg5 = ?
log₃45 + log₃900 - log₃500 = log₃45 · 900500 = log₃45 · 95 = log₃9 · 91 = log₃81 = 4.
lg5
5
lg20
2
0,5
Показати відповідь
Г.
lg25lg5 = lg5²lg5 = 2lg5lg5 = 2.
Завдання 9. Обчисліть 36log₆5.
lg25lg5 = lg5²lg5 = 2lg5lg5 = 2.
5
6
10
25
36
Показати відповідь
Г.
36log₆5 = (6²)log₆5 = 62log₆5 = 6log₆5² = 6log₆25 = 25.
Завдання 10. Якщо log₄3 = a, то log₁₆9 = ?
36log₆5 = (6²)log₆5 = 62log₆5 = 6log₆5² = 6log₆25 = 25.
4a
а²
2a
a2
a
Показати відповідь
Д.
log₁₆9 = log4²3² = 22log₄3 = log₄3 = a.
Завдання 11. Обчисліть logₐ√ab, якщо logₐb = 7.
log₁₆9 = log4²3² = 22log₄3 = log₄3 = a.
23
2
3
72
4
Показати відповідь
Д.
logₐ√ab = logₐ(ab)12 = 12logₐ(ab) = 0,5(logₐa + logₐb) = 0,5(1 + 7) = 0,5 · 8 = 4.
Завдання 12. Укажіть проміжок, якому належить число log₅4.
logₐ√ab = logₐ(ab)12 = 12logₐ(ab) = 0,5(logₐa + logₐb) = 0,5(1 + 7) = 0,5 · 8 = 4.
(0; 1)
(1; 2)
(2; 3)
(3; 4)
(4; 5)
Показати відповідь
А.
Оскільки 1 < 4 < 5 і основа логарифма більша за 1, то log₅1 < log₅4 < log₅5. Звідси 0 < log₅4 < 1.
Завдання 13. Укажіть проміжок, якому належить число log₂9.
Оскільки 1 < 4 < 5 і основа логарифма більша за 1, то log₅1 < log₅4 < log₅5. Звідси 0 < log₅4 < 1.
(0; 1)
(1; 2)
(2; 3)
(3; 4)
(4; 5)
Показати відповідь
Г.
Оскільки 8 < 9 < 16 і основа логарифма більша за 1, то log₂8 < log₂9 < log₂16. Звідси 3 < log₂9 < 4.
Завдання 14. Якому з наведених проміжків належить число log₂13
Оскільки 8 < 9 < 16 і основа логарифма більша за 1, то log₂8 < log₂9 < log₂16. Звідси 3 < log₂9 < 4.
(-∞; -3)
(-3; -1)
(-1; 1)
(1; 3)
(3; +∞)
Показати відповідь
Б.
Оскільки 18 < 13 < 12 і основа логарифма більша за 1, то log₂18 < log₂13 < log₂12. Звідси -3 < log₂13 < -1.
Завдання 15. До кожного виразу (1 - 4) оберіть тотожно йому рівний (А - Д), якщо m>2, m - натуральне число.
Оскільки 18 < 13 < 12 і основа логарифма більша за 1, то log₂18 < log₂13 < log₂12. Звідси -3 < log₂13 < -1.
1 (m + 1)² - m² - 1
2 mcos²α + msin²α
3 100lgm
4 log₂m√2
2 mcos²α + msin²α
3 100lgm
4 log₂m√2
А 0
Б m
В 2m
Г m²
Д 1m
Б m
В 2m
Г m²
Д 1m
Показати відповідь
1 - В, 2 - Б, 3 - Г, 4 - Д.
1) (m + 1)² - m² - 1 = m² + 2m + 1 - m² - 1 = 2m.
2) mcos²α + msin²α = m(cos²α + sin²α) = m.
3) 100lgm = 102lgm = 10lgm² = m².
4) log₂m√2 = log₂21m = 1m.
Завдання 16. Установіть відповідність між виразом (1 - 4) та тотожно рівним йому виразом (А - Д), якщо а > 0, а ≠ 1, m ≠ 0, n ≠ 0, m ≠ - n.
1) (m + 1)² - m² - 1 = m² + 2m + 1 - m² - 1 = 2m.
2) mcos²α + msin²α = m(cos²α + sin²α) = m.
3) 100lgm = 102lgm = 10lgm² = m².
4) log₂m√2 = log₂21m = 1m.
1 n² - m²n + m
2 1n : 1m
3 logaᵐaⁿ
4 n(6m + 1) - m(6n - 1)
2 1n : 1m
3 logaᵐaⁿ
4 n(6m + 1) - m(6n - 1)
А mn
Б mn
В nm
Г n + m
Д n - m
Б mn
В nm
Г n + m
Д n - m
Показати відповідь
1 - Д, 2 - Б, 3 - В, 4 - Г.
1) n² - m²n + m = (n - m)(n + m)n + m = n - m.
2) 1n : 1m = 1n · m = mn
3) logaᵐaⁿ = nmlogₐa = nm
4) n(6m + 1) — m(6n - 1) = 6mn + n - 6mn + m = n + m.
Завдання 17. Нехай а — довільне додатне число. Установіть відповідність між виразом (1 - 4) та тотожно рівним йому виразом (А - Д).
1) n² - m²n + m = (n - m)(n + m)n + m = n - m.
2) 1n : 1m = 1n · m = mn
3) logaᵐaⁿ = nmlogₐa = nm
4) n(6m + 1) — m(6n - 1) = 6mn + n - 6mn + m = n + m.
1 a⁻¹
2 √(-a)²
3 5 : 15a
4 25log₅a
2 √(-a)²
3 5 : 15a
4 25log₅a
А - a
Б 1a
В a
Г a²
Д 25a
Б 1a
В a
Г a²
Д 25a
Показати відповідь
1 - Б, 2 - В, 3 - Д, 4 - Г.
1) a⁻¹ = 1a.
2) √(-a)² = |- a| = a (оскільки a > 0, то |−a| = a).
3) 5 : 15a = 5 · 5a = 25a.
4) 25log₅a = 52log₅a = 5log₅a² = a².
Завдання 18. Установіть відповідність між виразом (1 - 4) та тотожно рівним йому виразом (А - Д), якщо а — довільне додатне число.
1) a⁻¹ = 1a.
2) √(-a)² = |- a| = a (оскільки a > 0, то |−a| = a).
3) 5 : 15a = 5 · 5a = 25a.
4) 25log₅a = 52log₅a = 5log₅a² = a².
1 (3a³)²
2 3√27a⁶
3 27a⁶9a³
4 32 + log₃a³
2 3√27a⁶
3 27a⁶9a³
4 32 + log₃a³
А 9a⁶
Б 9a³
В 9a⁵
Г 3a³
Д 3a²
Б 9a³
В 9a⁵
Г 3a³
Д 3a²
Показати відповідь
1 - А, 2 - Д, 3 - Г, 4 - Б.
1) (3a³)² = 3²a3 · 2 = 9a⁶.
2) 3√27a⁶ = 3a6 : 3 = 3a²
3) 27a⁶9a³ = 3a⁶⁻³ = 3a³
4) 32 + log₃a³ = 3² · 3log₃a³ = 9a³.
Завдання 19. До кожного початку речення (1 - 4), де а>0, b>0, доберіть його закінчення (А - Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
1) (3a³)² = 3²a3 · 2 = 9a⁶.
2) 3√27a⁶ = 3a6 : 3 = 3a²
3) 27a⁶9a³ = 3a⁶⁻³ = 3a³
4) 32 + log₃a³ = 3² · 3log₃a³ = 9a³.
1 Якщо log₂a = 2log₂b, то
2 Якщо a³ = 8b³, то
3 Якщо √a = 2√b, то
4 Якщо 2ᵃ = 4·2ᵇ, то
2 Якщо a³ = 8b³, то
3 Якщо √a = 2√b, то
4 Якщо 2ᵃ = 4·2ᵇ, то
А a = 2b
Б a = 2 + b
В a = 4b
Г a = b²
Д a = 3b
Б a = 2 + b
В a = 4b
Г a = b²
Д a = 3b
Показати відповідь
1 - Г, 2 - А, 3 - В, 4 - Б.
1) log₂a = 2log₂b
log₂a = log₂b²
a = b².
2) a³ = 8b³
a³ = (2b)³
a = 2b
3) √a = 2√b
a = 4b (піднесли обидві частини рівності до квадрату)
4) 2ᵃ = 4·2ᵇ
2ᵃ = 2²·2ᵇ
2ᵃ = 2²⁺ᵇ
a = 2 + b.
Завдання 20. Обчисліть 4001 - log₂₀4.
1) log₂a = 2log₂b
log₂a = log₂b²
a = b².
2) a³ = 8b³
a³ = (2b)³
a = 2b
3) √a = 2√b
a = 4b (піднесли обидві частини рівності до квадрату)
4) 2ᵃ = 4·2ᵇ
2ᵃ = 2²·2ᵇ
2ᵃ = 2²⁺ᵇ
a = 2 + b.
Показати відповідь
25.
4001 - log₂₀4 = 400¹ : 400log₂₀4 = 400 : 202log₂₀4 = 400 : 20log₂₀16 = 400 : 16 = 25.
Завдання 21. Обчисліть значення виразу 170 · 23log₂7.
4001 - log₂₀4 = 400¹ : 400log₂₀4 = 400 : 202log₂₀4 = 400 : 20log₂₀16 = 400 : 16 = 25.
Показати відповідь
4,9.
170 · 23log₂7 = 170 · 2log₂7³ = 170 · 7³ = 7³70 = 7²10 = 4910 = 4,9.
Завдання 22. Обчисліть значення виразу logₐ500 - logₐ4, якщо log₅a = 14.
170 · 23log₂7 = 170 · 2log₂7³ = 170 · 7³ = 7³70 = 7²10 = 4910 = 4,9.
Показати відповідь
12.
logₐ500 - logₐ4 = logₐ5004 = logₐ125 = logₐ5³ = 3logₐ5. Оскільки log₅a = 14, то logₐ5 = 4. Маємо logₐ500 - logₐ4 = 3logₐ5 = 3 · 4 = 12.
Завдання 23. Обчисліть log₂18 + log₅25.
logₐ500 - logₐ4 = logₐ5004 = logₐ125 = logₐ5³ = 3logₐ5. Оскільки log₅a = 14, то logₐ5 = 4. Маємо logₐ500 - logₐ4 = 3logₐ5 = 3 · 4 = 12.
Показати відповідь
-1.
log₂18 + log₅25 = -3 + 2 = -1.
Завдання 24. Обчисліть log₃18 - log₃2.
log₂18 + log₅25 = -3 + 2 = -1.
Показати відповідь
2.
log₃18 - log₃2 = log₃182 = log₃9 = 2.
Завдання 25. Обчисліть значення виразу (12)log₆2 · 3log₆12.
log₃18 - log₃2 = log₃182 = log₃9 = 2.
Показати відповідь
0,5.
(12)log₆2 · 3log₆12 = (2⁻¹)log₆2 · 3log₆2⁻¹ = 2-log₆2 · 3-log₆2 = (2 · 3)-log₆2 = 6-log₆2 = 6log₆2⁻¹ = 2⁻¹ = 12 = 0,5.
Завдання 26. Обчисліть log₃₂8 - 32log₇3.
(12)log₆2 · 3log₆12 = (2⁻¹)log₆2 · 3log₆2⁻¹ = 2-log₆2 · 3-log₆2 = (2 · 3)-log₆2 = 6-log₆2 = 6log₆2⁻¹ = 2⁻¹ = 12 = 0,5.
Показати відповідь
-48,4.
log₃₂8 - 32log₇3 = log2⁵2³ - 32log₃7 = 35log₂2 - 3log₃7² = 35 - 7² = 0,6 - 49 = -48,4.
Завдання 27. Обчисліть (√20)2 + log₂₀16.
log₃₂8 - 32log₇3 = log2⁵2³ - 32log₃7 = 35log₂2 - 3log₃7² = 35 - 7² = 0,6 - 49 = -48,4.
Показати відповідь
80.
(√20)2 + log₂₀16 = (√20)² · (√20)log₂₀16 = 20 · (√20)log₂₀4² = 20 · (√20)2log₂₀4 = 20 · ((√20)²)log₂₀4 = 20 · 20log₂₀4 = 20 · 4 = 80.
Завдання 28. Обчисліть 125 · 9log₃√14 + 0,5.
(√20)2 + log₂₀16 = (√20)² · (√20)log₂₀16 = 20 · (√20)log₂₀4² = 20 · (√20)2log₂₀4 = 20 · ((√20)²)log₂₀4 = 20 · 20log₂₀4 = 20 · 4 = 80.
Показати відповідь
1,68.
125 · 9log₃√14 + 0,5 = 125 · 32(log₃√14 + 0,5) = 125 · 32log₃√14 + 1 = 125 · 3log₃(√14)² + 1 = 125 · 3log₃14 · 3¹ = 125 · 14 · 3 = 4225 = 168100 = 1,68.
Завдання 29. Якщо додатні числа х і у задовольняють умову xy = 14, то125 · 9log₃√14 + 0,5 = 125 · 32(log₃√14 + 0,5) = 125 · 32log₃√14 + 1 = 125 · 3log₃(√14)² + 1 = 125 · 3log₃14 · 3¹ = 125 · 14 · 3 = 4225 = 168100 = 1,68.
1.x + yy =
2. log₂x - log₂y =
Показати відповідь
1,25; -2.
1. x + yy = xy + yy = 14 + 1 = 0,25 + 1 = 1,25.
2. log₂x - log₂y = log₂xy = log₂14 = -2.
1. x + yy = xy + yy = 14 + 1 = 0,25 + 1 = 1,25.
2. log₂x - log₂y = log₂xy = log₂14 = -2.
Коментарі