Перейти до основного вмісту

Лінійні, квадратні, дробово-раціональні рівняння

    Лінійні рівняння розв'язуються перенесенням одночленів з невідомим у ліву частину, все інше в праву, і подальшим перенесенням всих чисел в праву частину рівняння так, щоб з лівої сторони залишилося лише невідоме.
  1. НМТ 2023. Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння \frac{x}{18-2x}=\frac{1}{4}.
    АБВГД
    (-∞; -3) [-3; 0) [0; 4) [4; 8) [8; +∞)
    Показати відповідь
    В.
  2. НМТ 2023. Розв'яжіть рівняння 0,01х = -1.
    АБВГД
    -1000 -100 -10 -1 100
    Показати відповідь
    Б.
  3. Укажіть корінь рівняння 1-5х = 0.
    АБВГ
    5 \frac{-1}{5} \frac{1}{5} 4
    Показати відповідь
    В.
    1-5х=0
    5x=1
    x=\frac{1}{5}.
  4. Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння \frac{x}{9-x}=\frac{1}{2}?
    АБВГД
    (-∞;-5] (-5;-2] (-2;2] (2;5] (5;+∞)
    Показати відповідь
    Г.
    \frac{x}{9-x}=\frac{1}{2}
    x⋅2=(9-x)⋅1
    2x=9-x
    2x+x=9
    3x=9
    x=3.
    Даний корінь належить проміжку (2;5].
  5. Період T електромагнітних коливань у коливальному контурі, що складається з послідовно з’єднаних конденсатора ємністю С й котушки з індуктивністю L, обчислюють за формулою Томсона T = 2π\sqrt{LC}. Визначте із цієї формули індуктивність L.
    АБВГД
    L = \frac{T}{2\pi{C}} L = \frac{2\pi{C}}{T} L = \frac{1}{C}\frac{T}{2\pi} L = \frac{4\pi^2C}{T^2} L = \frac{T^2}{4\pi^2C}
    Показати відповідь
    Д.
    T = 2π\sqrt{LC}
    T2 = 4π2LC
    L = \frac{T^2}{4\pi^2C}.
  6. Розв’яжіть рівняння \frac{x}{10} = 2,5.
    АБВГ
    0,25 4 12,5 25
    Показати відповідь
    Г.
    \frac{x}{10} = 2,5
    x = 2,5⋅10
    x = 25.
  7. Укажіть число, що є коренем рівняння \frac{8}{x} = \frac{2}{5}.
    АБВГД
    20 \frac{16}{5} 10 80 \frac{1}{20}
    Показати відповідь
    А.
    За пропорцією х = 8⋅5:2 = 20.
  8. Кінетичну енергію E тіла масою m, яке рухається зі швидкістю v, обчислюють за формулою E = \frac{mv^2}{2}. Виразіть m із цієї формули.
    АБВГД
    m = \frac{2E}{v^2} m = \frac{v^2}{2E} m = \frac{E}{2v^2} m = \frac{2v^2}{E} m = \frac{2}{Ev^2}
    Показати відповідь
    А.
    E = \frac{mv^2}{2}
    2E = mv2
    m = \frac{2E}{v^2}.
  9. Якщо ціна паркету (р) пов’язана із ціною деревини для його виробництва (d) співвідношенням p = 5d+8, то d =
    АБВГД
    \frac{1}{5}p-8 5p-40 \frac{1}{5}(p-8) 5p+40 \frac{1}{5}(p+8)
    Показати відповідь
    В.
    p = 5d+8
    5d = p-8
    d = \frac{1}{5}(p-8).
  10. Якщо числа х і у задовольняють співвідношенню 2у+4 = х, то у =
    АБВГД
    2х-8 8-2х \frac{x-4}{2} \frac{x+4}{2} \frac{4-x}{2}
    Показати відповідь
    В.
    2y+4 = x
    2y = x-4
    y = \frac{x-4}{2}.
  11. Якщо x = t-2, то x2-t2 =
    АБВГД
    4-2t 4-4t 4 -4t-4 2t2+4
    Показати відповідь
    Б.
    x2-t2 = (t-2)2-t2 = t2-4t+4-t2 = -4t+4 = 4-4t.
  12. Якщо m = n-1, то 7-m =
    АБВГД
    n-8 6-n 8-n n-6 6+n
    Показати відповідь
    В.
    7-m = 7-(n-1) = 7-n+1 = 8-n.
  13. Якому проміжку належить корінь рівняння 2х-3 = 4?
    АБВГД
    (-∞;-2) [-2;0) [0;2) [2;4) [4;+∞)
    Показати відповідь
    Г.
    2х-3 = 4
    2х = 4+3
    2х = 7
    х = 7:2
    х = 3,5
    Даний корінь належить проміжку [2;4).
  14. Яке з наведених чисел є коренем рівняння \frac{5x+8}{3} = 1?
    АБВГД
    1 0 3 -2 -1
    Показати відповідь
    Д.
    \frac{5x+8}{3} = 1
    5х+8 = 3
    5х = 3-8
    5х = -5
    5х = -5:5
    х = -1.
  15. Яке з наведених чисел є коренем рівняння \frac{x}{2}+\frac{x}{3} = 2?
    АБВГД
    0,4 1,2 2,4 5 12
    Показати відповідь
    В.
    \frac{x}{2}+\frac{x}{3} = 2
    \frac{3x+2x}{6} = 2
    \frac{5x}{6} = 2
    5х = 2⋅6
    5х = 12
    х = 12:5
    х = 2,4.
  16. Розв’яжіть рівняння (x+1)(2x-3) = 0.
    АБВГД
    -3; 1 -1,5; 1 -1; \frac{2}{3} -1; 3 -1; 1,5
    Показати відповідь
    Д.
    Добуток дорівнює 0 коли хоча б один із множників дорівнює 0. Маємо х+1 = 0, звідки х = -1 або 2х-3 = 0, звідки 2х = 3 і х = 3:2 = 1,5.
  17. Розв’яжіть рівняння 0,5(3x-4) = \frac{x+1}{4}.
    АБВГД
    \frac{5}{7} \frac{-7}{5} \frac{6}{5} \frac{9}{5} 6
    Показати відповідь
    Г.
    Домножимо ліву та праву частину рівняння на 4, отримаємо:
    4⋅0,5(3x-4) = x+1
    2(3x-4) = x+1
    6x-8 = x+1
    5x = 9
    x = \frac{9}{5}.
  18. Розв’яжіть рівняння \frac{1}{2x} = \frac{1}{2-3x}.
    АБВГД
    -2 -0,4 2,5 0,4 2
    Показати відповідь
    Г.
    Так як з лівої і правої сторони рівняння знаходиться лише по одному дробу, то їх можна одночасно перевернути. Маємо 2х = 2-3х, звідки 2х+3х = 2. Тоді 5х = 2 і х = 2:5 = 0,4. Потрібно перевірити, чи задовольняє дане значення х ОДЗ рівняння. Так як при х = 0,4 ні перший, ні другий знаменник не дорівнює 0, то х = 0,4 є коренем рівняння.
  19. Розв’яжіть рівняння \frac{2}{x} = 5.
    АБВГД
    0,1 10 2,5 0,4 -3
    Показати відповідь
    Г.
    \frac{2}{x} = 5
    \frac{x}{2} = \frac{1}{5}
    x = \frac{2}{5}
    x = 0,4.
  20. Обчисліть суму коренів рівняння х2+3х-4=0.
    АБВГ
    -4 -3 3 4
    Показати відповідь
    Б.
    Так як D=32-4⋅1⋅(-4)=9+16=25, що більше нуля, то рівняння має корені. Тоді сума коренів за теоремою Вієта дорівнює коефіцієнту при х з протилежним значенням, тобто -3.
  21. Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння \frac{3x-2}{x+1} = 7.
    АБВГД
    (-∞;-2] (-2;0] (0;2] (2;4] (4;+∞)
    Показати відповідь
    А.
    \frac{3x-2}{x+1} = 7
    3x-2 = 7(x+1)
    3x-2 = 7x+7
    3x-7x = 7+2
    -4x = 9
    x = 9:(-4)
    x = -2,25
    Дане число належить проміжку (-∞;-2].
    22. Для розв'язування квадратного рівняння ax2+bx+c = 0 спочатку знаходимо дискримінант за формулою D = b2-4ac, після чого корені знаходяться за формулами x1,2 = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}
  22. Розв’яжіть рівняння 2x(x+2) = 5(x+2).
    АБВГД
    -2,5; 2 -2 2,5 -2; 0,4 -2; 2,5
    Показати відповідь
    Д.
    І спосіб. Розкриємо дужки. Маємо: 2x2+4x = 5x+10
    2x2+4x-5x-10 = 0
    2x2-x-10 = 0
    Д = 12-4⋅2⋅(-10) = 1+80 = 81.
    x1 = \frac{1+\sqrt{81}}{2\cdot2} = \frac{1+9}{4} = \frac{10}{4} = 2,5.
    x2 = \frac{1-\sqrt{81}}{2\cdot2} = \frac{1-9}{4} = \frac{-8}{4} = -2.
    ІІ спосіб. Нехай x+2≠0 (x≠-2). Тоді обидві частини рівняння можна на нього поділити. Отримаємо просте рівняння 2х = 5, звідки х = 2,5. Перевіримо, чи є х = -2 коренем. Підставимо у рівняння, маємо -4⋅0 = 5⋅0, звідки 0 = 0. Оскільки отримали вірну рівність, то х = -2 також є коренем.
  23. Розв’яжіть рівняння х2 = 25x.
    АБВГД
    -5; 5 0; 25 25 -5; 0; 5 -25; 0
    Показати відповідь
    Б.
    х2 = 25x
    х2-25x = 0
    x(x-25) = 0
    x = 0 або х-25 = 0, звідки х = 25.
  24. Розв’яжіть рівняння х2-4х+3 = 0.
    АБВГД
    -4; 3 1; 3 -3; -1 -2; 3 -1; 4
    Показати відповідь
    Б.
    х2-4х+3 = 0
    Д = 42-4⋅1⋅3 = 16-12 = 4.
    x1 = \frac{4+\sqrt{4}}{2\cdot1} = \frac{4+2}{2} = \frac{6}{2} = 3.
    x2 = \frac{4-\sqrt{4}}{2\cdot1} = \frac{4-2}{2} = \frac{2}{2} = 1.
  25. Розв’яжіть рівняння х2-10 = 5х+14.
    АБВГД
    -8; 3 -4; -1 -3; 8 1; 4 0; 5
    Показати відповідь
    В.
    х2-10 = 5х+14
    х2-10-5х-14 = 0
    x2-5x-24 = 0
    Д = 52-4⋅1⋅(-24) = 25+96 = 121.
    x1 = \frac{5+\sqrt{121}}{2\cdot1} = \frac{5+11}{2} = \frac{16}{2} = 8.
    x2 = \frac{5-\sqrt{121}}{2\cdot1} = \frac{5-11}{2} = \frac{-6}{2} = -3.
  26. Обчисліть добуток коренів рівняння х2+6х-55 = 0.
    АБВГД
    -55 55 -6 6 -49
    Показати відповідь
    А.
    І спосіб.
    х2+6х-55 = 0
    Д = 62-4⋅1⋅(-55) = 36+220 = 256.
    x1 = \frac{-6+\sqrt{256}}{2\cdot1} = \frac{-6+16}{2} = \frac{10}{2} = 5.
    x2 = \frac{-6-\sqrt{256}}{2\cdot1} = \frac{-6-16}{2} = \frac{-22}{2} = -11.
    x1⋅x2 = 5⋅(-11) = -55.
    ІІ спосіб.
    х2+6х-55 = 0
    Д = 62-4⋅1⋅(-55) = 36+220 = 256. Оскільки дискримінант більше нуля, то рівняння має два корені і їх добуток отримаємо за теоремою Вієта (добуток коренів квадратного рівняння дорівнює вільному члену рівняння). З умови x1⋅x2 = -55.
  27. Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння х3 = -0,027.
    АБВГД
    (-9;-0,5) (-0,5;-0,25) (-0,25;0) (0;0,25) (0,25;9)
    Показати відповідь
    Б.
    З рівняння х3 = -0,027 маємо х = \sqrt[3]{-0,027} = -0,3. Так як -0,3 більше за -0,5 та менше за -0,25, то корінь належить проміжку(-0,5;-0,25).
  28. Укажіть рівняння, коренем якого є число 2.
    АБВГД
    \frac{1}{x-2} = 0 х2+4 = 0 5x+12 = 2 \frac{3x-6}{x} = 0 x+2 = x
    Показати відповідь
    Г.
    А) Оскільки при х = 2 знаменник перетворюється на 0, а ділити на 0 не можна, то х = 2 не входить ОДЗ рівняння.
    Б) 22+4 = 4+4 = 8≠0
    В) 5⋅2+12 = 10+12 = 22≠2
    Г) \frac{3\cdot2-6}{2} = \frac{6-6}{2} = 0
    Д) 2+2 = 4≠2.
  29. Розв’яжіть рівняння x4-x2-20=0. У відповідь запишіть добуток усіх його дійсних коренів.
    Показати відповідь
    -5.
    Зробимо заміну x2=t, t≥0.
    t2-t-20=0
    D=12-4⋅1⋅(-20)=1+80=81.
    t1=\frac{1+\sqrt{81}}{2\cdot1}=\frac{1+9}{2}=\frac{10}{2}=5
    t2=\frac{1-\sqrt{81}}{2\cdot1}=\frac{1-9}{2}=\frac{-8}{2}= -4
    Другий корінь не задовільняє умові t≥0. Підставимо перший корінь у заміну. Маємо x2=5. Звідси х=\pm\sqrt{5}. Добуток коренів \sqrt{5}\cdot(-\sqrt{5})= -5.
⇐ І.7.
Тригонометричні вирази		 До змісту ⇒ ІІ.2.
Ірраціональні рівняння

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Завдання. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців – 4х. Разом їх буде 3х + 4х = 7х. Отже, сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців ділиться націло на 7, і лише число 91 задовольняє цій умові. Завдання. НМТ 2026 (демо). Узгодьте вираз (1– 3) із його значенням (А – Д), якщо m = -\frac{4}{3} 1 |𝑚 − 4| 2 4m −1 3 (3𝑚 + 1) 0 А –3 Б 1 В 0 Г 3 Д \frac{16}{3} Показати відповідь 1-Д, 2-А, 3-Б . 1. |-\frac{4}{3}-4|=|-\frac{4}{3}-\frac{12}{3}|=|\frac{-4-12}{3}|=|\frac{-16}{3}|=\frac{16}{3} 2. 4\cdot(-\frac{4}{3})^{-1} = 4\cdot (-\frac{3}{4}) = -3 (при зміні знака степеня дріб перевертається) 3. Кожне число, від'ємне від 0, в нульовій степені д...
3 коментарі
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія 1. Знаходження n-го члена арифметичної прогресії: а n =а 1 +(n-1)d 2. Знаходження суми перших n членів арифметичної прогресії: S n = \frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot{n} або S n = \frac{a_1+a_n}{2}\cdot{n} 3. Співвідношення між сусідніми членами прогресії: 2а n =а n-1 +а n+1 НМТ 2024. В арифметичній прогресії (a n ) відомо, що a 6 – a 1 = –30. Обчисліть значення виразу a 6 – a 4 . А Б В Г Д 12 10 –15 –10 –12 Показати відповідь Д . НМТ 2023. Студент вивчав японську мову за такою методикою: у перший день він запам'ятав 6 ієрогліфів, а кожного наступного дня - на 2 ієрогліфи більше, ніж попереднього. Скільки всього ієрогліфів запам'ятав цей студент за 25 днів від першого дня вивчення японської мови? Показати відповідь 750 . НМТ 2023. Число 27 є членом арифметичної прогресії з різницею d=5. Визначте числа з проміжку (60; 75), що є членами цієї прогресії. У відповідь запишіть суму цих чисел. Показати відповідь 201 . ...
5 коментарів
Read more »

Функції за графіками

Аналіз функцій за їхніми графіками — це одна з найбільш наочних тем математики, яка вимагає вміння «читати» рисунок і швидко виділяти ключові властивості об'єкта. На НМТ завдання цього типу зустрічаються дуже часто, оскільки вони дозволяють перевірити комплексне розуміння теми: від визначення координат точок перетину з осями до аналізу поведінки складних періодичних процесів. Вміння візуально оцінювати парність, монотонність та область значень функції дозволяє значно зекономити час на іспиті, уникаючи громіздких обчислень. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО . Ви навчитеся працювати з графічними ескізами різних типів: лінійними, квадратичними, тригонометричними та показниковіми функціями. Тут зібрано приклади на знаходження нулів функції, визначення значень у конкретних точках, а також завдання на геометричні перетворення графіків, такі як паралельне перенесення вздовж осей координат. Завдання. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квад...
13 коментарів
Read more »

Похідна функції

Похідна функції — один із найпотужніших інструментів математичного аналізу, який дозволяє досліджувати процеси у динаміці та знаходити оптимальні рішення. Вміння обчислювати похідні та розуміти їхній зміст є базовою вимогою НМТ, оскільки ці завдання перевіряють не лише технічні навички роботи з формулами, а й здатність аналізувати швидкість зміни процесів. Розуміння зв'язку між знаком похідної та зростанням або спаданням функції допомагає без помилок досліджувати графіки та знаходити критичні точки. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО , включаючи аналіз демонстраційних варіантів. Ви навчитеся працювати з різними аспектами теми: від механічного змісту (швидкість та прискорення) до геометричного застосування при побудові дотичних. Тут зібрано все необхідне для підготовки: таблиця похідних основних функцій, правила диференціювання складних виразів та покрокові алгоритми знаходження найбільшого і найменшого значень на відрізку. Правила диференціювання (C)...
3 коментарі
Read more »

Рівняння та нерівності підвищеного рівня (з параметром)

Завдання. НМТ 2026 (демо). За якого найбільшого значення a рівняння 3 x + (4a 2 + 10a) ⋅ 3 -x = 4a + 5 не має коренів?. Показати відповідь -2,5 . 3 x + (4a 2 + 10a) ⋅ 3 -x = 4a + 5 Помножимо обидві частини рівності на 3 x 3 2x + 4a 2 + 10a = (4a + 5)3 x Нехай 3 x = t. Так як 3 x >0, то t >0 t 2 + 4a 2 + 10a = (4a + 5)t t 2 - (4a + 5)t + 4a 2 + 10a = 0 D = (4a + 5) 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ (4a 2 + 10a) = 16a 2 + 40a + 25 - 16a 2 - 40a = 25 t_1 = \frac{4a+5-\sqrt{25}}{2\cdot1} = \frac{4a+5-5}{2} = \frac{4a}{2} = 2a t_2 = \frac{4a+5+\sqrt{25}}{2\cdot1} = \frac{4a+5+5}{2} = \frac{4a+10}{2} = \frac{2(2a+5)}{2} = 2a+5 Рівняння не має коренів, якщо обидва ці корені не відповідають умові t >0, тобто при t ≤ 0. 2a ≤ 0 a ≤ 0 : 2 a ≤ 0 2a + 5 ≤ 0 2a ≤ - 5 a ≤ - 5 : 2 a ≤ - 2,5 Числова пряма з точками t -2,5 0 Отже рівняння не має коренів при a ∈ (-∞ -2,5]. Найбільше значення з цього проміжку ...
1 коментар
Read more »

Рекомендований допис

Solving Linear Equations with One Variable: A Step-by-Step Guide

Struggling with math variables? This step-by-step guide breaks down linear equations into simple, manageable steps. From basic properties of equality to complex examples with fractions, you'll find everything you need to master the basics and gain confidence in your algebra skills. Dive in to see solved examples and test yourself with our interactive quiz at the end! An equation is an equality that contains a variable. You are required to find a number that, when substituted for the variable, yields a correct numerical equality (the same numbers on the left and right sides of the equality). In other words, you need to find the solution of the equation . For example, in the equation 2x - 6x + 8 = 7x - 3, we can substitute 1 for the variable x and obtain a correct numerical equality, since 2(1) - 6(1) + 8 = 2 - 6 + 8 = 4 and 7(1) - 3 = 7 - 3 = 4. Therefore, x = 1 is a solution of the equation. When solving equations, we may encounter the following cases: the equation has no s...
Дописати коментар