Перейти до основного вмісту

Тригонометричні вирази


    Функція0o30o45o60o90o180o 270o
    sin 0 1 0 -1
    cos 1 0 -1 0
    tg 0 1 не існує 0 не існує
    сtg не існує 1 0 не існує 0
    Знаходження значень невідомих тригонометричних функцій за відомими:
    sin2α+cos2α = 1
    tgαctgα = 1
    1+tg2α =
    1+ctg2α =
    tgα =
    ctgα =
    Тригонометричні функції суми кутів:
    sin(α+β) = sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβ
    sin(α-β) = sinα⋅cosβ-cosα⋅sinβ
    cos(α+β) = cosα⋅cosβ-sinα⋅sinβ
    cos(α-β) = cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ
    tg(α+β) =
    tg(α-β) =
    Формули зведення:
    1. Визначити знак функції для даного кута.
    Функція(0,90o)(90o,180o)(180o,270o)(270o,360o)
    sin++--
    cos+--+
    tg,ctg+-+-
    2. Якщо перехід здійснено через π, 2π функцію залишаємо; якщо ні - то замінюємо на відповідну з пари (sin,cos), (tg,ctg)
    Тригонометричні функції подвійного аргументу:
    sin2α = 2sinα⋅cosα
    cos2α = cos2α-sin2α
    cos(α-β) = cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ
    tg2α =
    Cума та різниця тригонометричних функцій:
    sinα+sinβ = 2sincos
    sinα-sinβ = 2sincos
    cosα+cosβ = 2coscos
    cosα-cosβ = -2sinsin
    Формули половинного аргументу:
    sin2 =
    cos2 =
    tg2 =
  1. НМТ 2023. Укажіть вираз, тотожно рівний виразу (cosx-sinx)2.
    АБВГД
    cos2x cos2x-sin2x cos2x-1 1-sin2x 1
    Показати відповідь
    Г.
    Спочатку застосувати формулу скороченого множення.
  2. = ?
    АБВГД
    12 2
    Показати відповідь
    Д.
    Скористатись основною тригонометричною тотожністю.
  3. sin22x=
    АБВГД
    2sin2x 4sin2x 4sin2xcos2x 2sin2xcos2x sin4x2
    Показати відповідь
    В.
    Використати формули подвійного аргументу.
  4. Спростіть вираз 2cos(450o + α) – sinα.
    АБВГД
    sinα –3sinα -2cosα-sinα 2cosα-sinα 3sinα
    Показати відповідь
    Б.
    Використати формули зведення.
  5. = ?
    АБВГД
    sinα cosα 1
    Показати відповідь
    В.
    Розкласти тангенс кута.
  6. Якому проміжку належить значення виразу sin-1?
    АБВГД
    (-∞;-2) [-2;-1) [-1;0) [0;1) [1;+∞)
    Показати відповідь
    Б.
    Скористатись формулами зведення.
  7. Обчисліть значення виразу 4sin2α, якщо 4cos2α = 1.
    АБВГД
    3 4 0
    Показати відповідь
    А.
    Скористатись основною тригонометричною тотожністю.
  8. Спростіть вираз (1+tg2α)sin2α.
    АБВГД
    1 cos2αsin2α cos2α tg2α
    Показати відповідь
    Д.
    Застосувати для виразу у дужках формулу.
  9. Спростіть вираз 2sin2α·ctgα.
    АБВГД
    cos2α 2cos2α 2sin2α sin2α
    Показати відповідь
    Д.
    Розкласти тангенс кута.
  10. = ?
    АБВГД
    -1 ctgα tgα -ctgα 1
    Показати відповідь
    А.
    Скористатись формулами зведення.
  11. Обчисліть значення виразу sinα+sinβ, якщо α-β = 1800.
    АБВГД
    1 0 інша відповідь
    Показати відповідь
    В.
    Виразити α через β.
  12. 1-sinαctgαcosα =
    АБВГД
    cos2α 1-sin2α 0 cos2α sin2α
    Показати відповідь
    Д.
    Розкласти тангенс кута.
  13. 1-sin2α-cos2α =
    АБВГД
    -2 0 1 2cos2α 1+cos2α
    Показати відповідь
    Б.
    Скористатись основною тригонометричною тотожністю.
  14. (1-sin2α)⋅tg2α.
    АБВГД
    sin2α cos2α sin2α ctg2α
    Показати відповідь
    Г.
    Розкласти тангенс кута.
  15. (1-cos2α)⋅ctg2α.
    АБВГД
    cos2α sin2α sin2α tg2α
    Показати відповідь
    А.
    Розкласти котангенс кута.
  16. Спростіть вираз .
    АБВГД
    cos2α sin2α tg2α ctg2α 1
    Показати відповідь
    А.
    Застосувати до знаменника формулу.
  17. Спростіть вираз sin2α(1-ctg2α).
    АБВГД
    cos(2α) tg2α 1 ctg2α -cos(2α)
    Показати відповідь
    Д.
    Розкрити дужки, розкласти котангенс кута.
  18. Яка з наведених рівностей є тотожністю?
    АБВГД
    sin4α+cos4α = 1 sinα+cosα = 1 1+cos2α = sin2α sin2α-1 = cos2α 1-cos2α = sin2α
    Показати відповідь
    Д.
  19. Якщо 2cosα-5sinα = 0, то tgα =
    АБВГД
    - -3 -
    Показати відповідь
    А.
    Поділити ліву і праву частину рівності на cosα.
  20. Обчисліть tgα, якщо 4sinα-cosα = 2cosα-sinα.
    АБВГД
    3
    Показати відповідь
    А.
    Поділити ліву і праву частину рівності на cosα.
  21. Якщо 2sinα = cosα, то tgα =
    АБВГД
    -2 -0,5 0,2 0,5 2
    Показати відповідь
    Г.
    Поділити ліву і праву частину рівності на cosα.
  22. Обчисліть cos4-sin4
    АБВГД
    1 Інша відповідь
    Показати відповідь
    Б.
    Розкласти спочатку за формулами скороченого множення.
  23. Обчисліть значення виразу sin+cos5π.
    АБВГД
    -2 1 0 1 2
    Показати відповідь
    А.
    Скористатись формулами зведення.
  24. Якому проміжку належить значення виразу sin4100?
    АБВГД
    (-1;-) (;1)
    Показати відповідь
    Г.
    Скористатись формулами зведення і обмежити отриманий кут табличними кутами.
  25. На одиничному колі зображено точку Р(-0,8;0,6) і кут α (див. рисунок). Визначте cosα.

    АБВГД
    -0,8 0,6 0,8 -0,6
    Показати відповідь
    А.
    Використати означення косинуса кута.
  26. Розташуйте в порядку зростання числа: a = tg360, b = tg930, c = tg1800.
    АБВГД
    b; c; a c; b; a a; b; c c; a; b b; a; c
    Показати відповідь
    А.
    Порівняти кожне з чисел з 0.
  27. Укажіть правильну нерівність, якщо a = sin1200, b = cos1200.
    АБВГД
    0<b<a a<0<b a<b<0 0<a<b b<0<a
    Показати відповідь
    Д.
    Порівняти кожне з чисел з 0.
  28. Укажіть нерівність, що виконується для α∈(;π).
    АБВГД
    1-sin2α<0 cosα∙tgα<0 cos2α+sin2α<0 1-cos2α<0 sinα∙ctgα<0
    Показати відповідь
    Д.
    Використати знаки тригонометричних функцій у відповідній чверті.
  29. Відомо, що ctgα<0, cosα>0. Якого значення може набувати sinα?
    АБВГД
    -1 0 1
    Показати відповідь
    Б.
    Використати знаки тригонометричних функцій у відповідній чверті, відкинути значення, що не підходять.
  30. До кожного виразу (1-4) доберіть тотожно йому рівний (А-Д).
    Вираз Тотожно рівний вираз
    1 1-cos2α
    2 2sinαcosα
    3 cos2α-sin2α
    4 (1-sinα)(1+sinα)    		 А cos2α
    Б cos2α
    В sin2α
    Г -cos2α
    Д sin2α
    Показати відповідь
    1-Д, 2-В, 3-Б, 4-А .
    1)-3) Застосувати формули тригонометричних перетворень.
    4) Спочатку застосувати формулу скороченого множення.
  31. Знайдіть значення виразу tgα+ctgα, якщо α = 150.
    Показати відповідь
    4.
    Розкласти тангенс та котангенс кута, звести до спільного множника.
  32. Обчисліть .
    Показати відповідь
    6.
    Виконати заміну . Скласти нове завдання, враховуючи заміну.
  33. Обчисліть значення виразу sin2α, якщо ctgα = .
    Показати відповідь
    -0,8.
    Перетворити вираз і звести до котангенсів.
  34. Обчисліть значення виразу 2sinαcosα, якщо sinα+cosα = 1,2.
    Показати відповідь
    0,44.
    Піднести до квадрату обидві частини рівності.
⇐ І.6.
Логарифмічні вирази		 До змісту ⇒ ІІ.1.
Лінійні, квадратні, дробово-раціональні рівняння

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Завдання 1. НМТ. Маса протона наближено дорівнює 1,67 ∙ 10 −27 кг. Визначте наближену масу (кг) 100 протонів. 167 ∙ 10 −25 1,67 ∙ 10 −25 1,67 ∙ 10 −29 1,67 ∙ 10 −2700 1,67 ∙ 10 25 Показати відповідь Б . 100 ∙ 1,67 ∙ 10 −27 = 1,67 ∙ 100 ∙ 10 −27 = 1,67 ∙ 10 2 ∙ 10 −27 = 1,67 ∙ 10 2 + (-27) = 1,67 ∙ 10 −25 (використали властивість множення степенів з однаковими основами). Завдання 2. НМТ. Узгодьте вираз (1–3) із твердженням (А − Д) щодо значення цього виразу. 1 \frac{\pi}{3} 2 sin(\frac{7\pi}{2}) 3 π cos 90° А є ірраціональним числом Б є натуральним числом В є цілим від’ємним числом Г є раціональним числом, що не є цілим Д дорівнює 0 Показати відповідь 1-А, 2-В, 3-Б . 1. Є ірраціональним числом. 2. sin(\frac{7\pi}{2}) = sin(\frac{7\pi}{2} - 2\pi) = sin(\frac{7\pi}{2} - \frac{4\pi}{2}) = sin(\frac{3\pi}{2}) = - 1 (використали властивість періодичності функції sinx). -1 є цілим від’ємним числом. 3. π cos 90° = π 0 = 1. 1 є натуральни...
3 коментарі
Read more »

Первісна функції

Правила інтегрування C⋅f(x)dx=C⋅ f(x)dx (f(x)&pm;g(x))dx= f(x)dx&pm; g(x)dx Таблиця первісних x n dx= +C dx=ln|x|+C sinxdx=-cosx+C cosxdx=sinx+C dx=tgx+C dx= -ctgx+C a x dx= +C e x dx=e x +C НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції Обчисліть значення виразу . Відповідь 31 . Скористатись геометричним змістом визначеного інтеграла. НМТ 2024. Обчисліть інтеграл . Відповідь 10 . Скористатись формулою скороченого множення. НМТ 2023. Якщо функція F(x)=x 3 +4 є однією з первісних функції f(x), то f(x)= А Б В Г Д 3x 2 +4 3x 2 3x 2x 2 Відповідь Б . Яка з наведених функцій є первісною для функції f(x)=х -4 ? А Б В Г Д F(x)= F(x)= F(x)= F(x)= F(x)= Відповідь Д . Функція F(x)=10x 5 -4 є первісною функції f(x). Укажіть функцію G(x), яка також є первісною функції f(x). А Б В Г Д G(x)= 10x 5 +7 G(x)= 2x 6 -4x G(x)=50x 6 G(x)=50x 4 G(x)= x 5 -4 Відповідь А . Якщо ...
8 коментарів
Read more »

Функції за графіками

НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y = x + 2 y = −x 2 Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) так, щоб утворилося правильне твердження. Початок речення Закінчення речення 1 Найбільше значення функції y = f(x) на відрізку [1; 9] дорівнює 2 Найменше значення функції y = f(x) на відрізку [1; 3] дорівнює 3 Найбільше ціле значення x, за якого справджується нерівність f(x)<0, дорівнює А −1. Б 9. В 6. Г 7. Д 5. Показати відпові...
13 коментарів
Read more »

Комбінаторика

1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і І об'єкт і ІІ об'єкт можна a⋅b способами. 3. Перестановки . Якщо з n об'єктів потрібно обрати всі n, то це можна зробити P n =n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n-1)⋅n способами. 4. Розміщення . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання важливий, то це можна зробити = способами. 5. Комбінації . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання не важливий, то це можна зробити = способами. Примітка . Скорочення факторіалів = =5⋅6⋅7=210 НМТ 2024. Заступник директора школи складає розклад уроків для 10-го класу. Він запланував на понеділок шість уроків з таких предметів: геометрія, біологія, англійська мова, хімія, фізична культура, географія. Скільки всього існує різних варіантів розкладу уроків на ц...
15 коментарів
Read more »

Модуль дійсного числа

Дії з модулем Якщо a ≥ 0, то |a| = a (|5| = 5) Якщо a < 0, то |a| = - a (|- 5| = 5) Якщо |x| = a, то х = &pm;a Якщо |x|<a, то х&in;(- a; a) Якщо |x|>a, то х&in;(- ∞; - a)∪(a; + ∞) Завдання 1. НМТ. Яке з наведених чисел є розв’язком нерівності |−2x − 3| > 5? –2 –1 0 1 2 Показати відповідь Д . |−2x − 3| > 5 - 2х - 3 > 5 - 2х > 5 + 3 - 2х > 8 х < 8 : (-2) х < - 4 - 2х - 3 < -5 - 2х < -5 + 3 - 2х < - 2 х > - 2 : (- 2) х > 1 Числова пряма з точками x -4 1 х є (- ∞; - 4) U (1; + ∞). Із запропонованих варіантів підходить лише 2. Завдання 2. НМТ. Яке з наведених чисел є коренем рівняння |3x + 2| = 2? \frac{4}{3} - \frac{4}{3} \frac{3}{2} - \frac{2}{3} - \frac{1}{3} Показати відповідь Б . |3x + 2| = 2 3х + 2 = 2 3х = 2 - 2 3х = 0 х = 0 3х + 2 = - 2 3х = - 2 - 2 3х = - 4 х = - 4/3 З отриманих коренів в наведених є - \frac{4}{3}. Завдання 3. |1 - \sqrt{3}| = - 1 - \sqrt{3} \sqrt{3}...
1 коментар
Read more »