Криві вищих порядків в роботах Д.М. Сінцова

Наумовські читання: Збірник наукових праць. – Харків: ХНПУ, 2005. – Вип. 2.

Дана робота присвячена аналізу деяких праць Д.М. Сінцова, що стосуються кривих вищих порядків.

Розглянемо спочатку роботу Сінцова – «Этюды по теории плоских кривых» [1]. Дану роботу можна умовно поділити на дві частини.

В першій частині автор розглянув книгу E.Loria “Spezielle algebraische u. Transscendente ebene Kurven” та зробив декілька заміток до неї.

Перш за все, Сінцов показав, що між двома кривими, кубічною гіперболою П³_i=1(xcosα_i+ysinα_i-p_i)=a³ (*) та кривою xy(x+y)=a³ (**), яку розглянув J.Alvera, є певний зв’язок. Справді, крива (**) є граничним випадком кубічної гіперболи (*). У цьому випадку прямі, що визначають кубічну гіперболу, розміщені так, що дві з них перпендикулярні, а третя пряма відсікає на них рівні відрізки, довжина яких прямує до 0. Таку залежність Loria не відмітив, він лише показав, що обидві криві мають 3 дійсні точки перетину на нескінченності.

У цій же частині Сінцов показав, що кубічна дуплікатриса x³=l(x²+y²), прямий параболічний лист x³=а(x²-y²) та косий параболічний лист x³=а(x²-y²)+bxy, які розглянув Gohiere de Longchamps, є розбіжними параболами Ньютона, які мають вид ау²=х²(х+с). Цей факт також дає можливість пов’язати ці криві.

Закінчує цю частину Сінцов тим, що вказує на помилки, зроблені в роботі Loria і навіть наводить їх список.

Другу частину Сінцов присвятив вивченню певної цисоїдальної кривої. Спочатку було виведене рівняння даної кривої в різних формах. Далі, для побудови кривої Сінцов визначив області, де не може бути точок кривої, та знайшов асимптоти. Вже той факт, що крива має криволінійну асимптоту, показує, що вона є цікавою. Крім того, для кривої Сінцов знайшов особливі точки, вивів формули еволюти та радіус кривини. Отримані ним результати дають змогу стверджувати, що дана крива є особливою.

Тепер перейдемо до іншої роботи – «Етюди з теорії кривих» [2]. У ній Сінцов вказав на залежність між декартовим листком х³+у³-3аху=0 та штейнеровою гіпоциклоїдою (x²+y²)²+4rx(3y²-x²)+9/2r²(x²+y²)-27/16z⁴=0. Якщо в тангенціальному рівнянні декартового листка w⁴+4a³(u³+v³)w+6a²uvw²+3a⁴u²v²=0 взяти w=-z², u=x, v=y, то ми одержимо рівняння взаємної поляри листка Декарта відносно кола x²+y²-r²=0. Перейшовши до нової системи координат, ми з рівняння листка Декарта отримаємо рівняння штейнерової гіпоциклоїди. І навпаки, якщо з параметричного рівняння штейнерової гіпоциклоїди x=2bcost+bcos2t, y=2bsint-bsin2t знайти рівняння взаємної поляри x²+y²=bx(x²-3y²), то, знову ж, перейшовши до нової системи координат, ми отримаємо рівняння листка Декарта.

З усього цього Сінцов зробив висновок, що уявним точкам листка Декарта відповідають дійсні точки штейнерової гіпоциклоїди і навпаки.

Цей висновок цікавий тим, що декартів листок, в певній мірі, стоїть окремо від інших кривих. Тому вказаний зв’язок надав змогу пов’язати декартів листок з відомими кривими.

Наступна робота - "Этюды по теории плоских кривых" [3]. Її також можна поділити на дві частини.

У першій частині Сінцов розглянув криву (x²+y²)³=ax⁴+20a²x²y²-8a²y⁴ -16a⁴y², яка має назву "мальтійський хрест" і яку розглядав Gaedecke. Сінцов відмітив той факт, що даної кривої у Loria нема. Він також пов’язав цю криву з двома відомими кривими: по-перше, мальтійський хрест є евольвентою астроїди та однією з паралельних їй кривих; по-друге, ортоптичною кривою мальтійського хреста є корноїда (y²+x²)³-r²(5y⁴+6x²y²-3x⁴)+8r⁴y²-4r⁶=0, повернута на 90⁰.

В другій частині автор аналізує роботу Chr. Wienera. В ній було розглянуто 5 можливих випадків взаємного розміщення кривої та еволюти. Сінцов відмічає, що п’ятий випадок (звичайна точка на кривій співпадає з точкою звороту еволюти, радіус кривини в цій точці дорівнює 0) є неможливим. Справді, нехай рівняння кривої ξ=φ(σ), η=ψ(σ). Тоді рівняння інволюти х=ξ+(с-σ)ξ^’, у=η+(с-σ)η^’, де с-σ - радіус кривини інволюти. Нехай с=0, тоді в точці, в якій σ=0, радіус кривини дорівнює 0, х=ξ, у=η, тобто отримуємо потрібний випадок. Але тоді точка звороту буде особливою на інволюті.

Wiener також стверджував, що в точці перегину радіус може бути нескінченним або нулевим. Сінцов ввів обмеження, що радіус дорівнює нулю лише тоді, коли є перехід кривої з однієї сторони дотичної на іншу; але і при цьому точка буде особливою (наприклад: крива у=хе^х2/3).

Якщо тепер узагальнити розглянуті статті, можна зробити висновок, що їх метою було уточнення результатів, отриманих авторами робіт, які розглядав Сінцов. Крім того, слід зауважити, що в проаналізованих роботах Сінцова зовсім немає малюнків.

Література

1. Этюды по теории плоских кривых. І. Несколько замечаний по поводу книги Loria. II. Об одной любопытной циссоидальной кривой. // Наукові записки науково-дослідних математичних катедр України. - 1926. т. ІІ. - с. 71-78.
   
2. Етюди з теорії кривих. ІІІ. Зв’язок декартового листа з штейнеровою гіпоциклоїдою. // Записки Харк. інституту народної освіти (ХІНО). - 1927. - т. ІІ. с. 35-38.
3. Этюды по теории плоских кривых. IV. Мальтийский крест. V-значение радиуса кривизны в обыкновенной точке кривой. - // Сообщения ХМО. - 1928). - ІІ. - с. 77-79.