Числові множини — це ієрархічна система, яка відображає еволюцію людського мислення: від простого підрахунку предметів до складних математичних моделей. Кожна нова множина виникала тоді, коли попередньої ставало замало для розв'язання практичних задач — чи то розподілу майна, чи то обчислення довжини діагоналі квадрата. Розуміння структури цих множин дозволяє чітко бачити межі застосування математичних правил та операцій.
На цій сторінці ми пройдемо шлях від натуральних чисел (N) до всеосяжної множини дійсних чисел (R). Ми з'ясуємо, як цілі числа «поглинають» натуральні, чому раціональні та ірраціональні числа разом утворюють неперервну числову пряму, і навіть зазирнемо за межі шкільної програми — у світ комплексних чисел та кватерніонів. Схематичні діаграми допоможуть вам наочно запам'ятати, як ці математичні світи вкладені один в одного.
Розглянемо множини, елементами яких є числа, з якими ми зустрічаємося.
Перші числа, якими почало користуватися людство, це числа 1, 2, 3 і т.д., які використовують для підрахунку предметів. Такі числа називають натуральними. Відповідно множина, утворена з таких чисел, називається множиною натуральних чисел і позначається N.
Як з’ясувалося, натуральних чисел недостатньо для обчислень, тому що потрібно мати спеціальне число для позначення відсутності предметів (число 0). Поява від’ємних чисел полегшила підрахунки коштів. В ситуації, коли не тільки немає грошей, але ще й винен їх, легко позначається знаком "-". Якщо до множини натуральних чисел додати їм протилежні та число 0, то утвориться нова множина, яка називається множиною цілих чисел і позначається Z.
Розглянемо торт, який поділено на 8 частин, з яких ми взяли 3 частини. Як показати, скільки торта залишилося? Для цього застосовують раціональні числа, тобто числа виду p/q, де p - ціле число, а q - натуральне. Такі числа утворюють множину раціональних чисел, яка позначається Q.
Розглянемо прямокутний трикутник зі сторонами 1 та 2. За теоремою Піфагора гіпотенуза цього трикутника дорівнює числу, квадрат якого дорівнює 5. Такого раціонального числа не існує. Числа, які не є раціональними, тобто їх не можна представити у вигляді p/q, де p - ціле число, а q - натуральне, утворюють множину ірраціональних чисел, яка позначається I.
Перші множини є вкладеними, тобто множина N є підмножиною множини Z, множина Z є підмножиною множини Q. Проте множини раціональних та ірраціональних чисел не перетинаються. Тому наступна множина - множина дійсних чисел являє собою множину, елементи якої є або раціональним, або ірраціональним числом. Позначається множина дійсних чисел буквою R.
Схематично співвідношення між множинами можна показати так
Додатковий матеріал
Є і інші числові множини. У зв’язку з необхідністю працювати з числами, квадрат яких може бути від’ємним, з’явилася множина комплексних чисел, яку можна собі уявити як впорядковану пару дійсних чисел. Крім того, існує множина чисел, які представляють у вигляді впорядкованої четвірки чисел. Такі числа називають кватерніонами.
Коментарі