Взаємно однозначна відповідність — це математичний спосіб ідеального «поєднання» елементів. Уявіть ситуацію, де кожному ключу відповідає рівно один замок, а кожному замку — рівно один ключ. Такий зв'язок дозволяє нам порівнювати потужність множин, навіть якщо ми не маємо змоги перерахувати всі їхні елементи. Це фундамент, на якому будується сучасне розуміння нескінченності в математиці.
На цій сторінці ми розберемо три способи встановлення такої відповідності: від простого опису словами до формул та наочних графічних побудов. Ви дізнаєтеся, як геометричні методи допомагають порівнювати точки на прямій та колі, а також зрозумієте різницю між еквівалентними та зліченними множинами. Приклади з життя (про саджанці) та абстрактні задачі (про кола) допоможуть відчути різницю між «кількістю» та «потужністю» нескінченних множин.
Розглянемо множину натуральних чисел та квартири у багатоповерховому будинку. Ми знаємо, що яку б квартиру ми не взяли, вона має лише один номер і навпаки, який би ми номер не взяли, він відповідає лише одній квартирі. В цьому випадку кажуть, що між множиною натуральних чисел та множиною квартир встановлена взаємно однозначна відповідність.
Отже, взаємно однозначна відповідність - відповідність між елементами двох множин А і В, при якій кожному елементу множини А поставлено у відповідність єдиний елемент множини В, а кожен елемент множини В є відповідним деякому єдиному елементу множини А.
Яким же чином можна встановити взаємно однозначної відповідності?
І спосіб - словесний. Встановлення взаємно однозначної відповідності відбувається за допомогою опису того, як пов’язані елементи між собою.
ІІ спосіб - формульний. Встановлення взаємно однозначної відповідності відбувається за допомогою формули, яка показує зв’язок між елементами множин (а∈А, b∈B, b=2·a+4).
ІІІ спосіб - графічний. Встановлення відповідності демонструється на малюнку, де показано, як точці з деякої множини ставиться у відповідність єдина точка з іншої множини.
На даному малюнку продемонстровано встановлення відповідності між точками прямої та точками півкола. Для встановлення такої відповідності достатньо з’єднати відрізком дану точку прямої з центром кола. Тоді точка перетину побудованого відрізка з півколом буде відповідати даній точці прямій. Оскільки ми завжди матимемо лише одну точку перетину прямої, і для кожної точки прямої можна побудувати такий відрізок, то даним способом встановлено взаємно однозначну відповідність.
Множини, між якими можна встановити взаємно однозначну відповідність, називають еквівалентними.
Встановлення відповідності дозволяє нам порівнювати множини. Замість того, щоб рахувати кількість елементів в обох множинах, достатньо встановити між ними відповідність.
Завдання 1. Ви забажали створити фруктовий садочок. Ви підготували лунки і принесли саджанці. Як встановити, чи не забагато чи замало лунок зроблено? Достатньо біля кожної лунки покласти саджанець і тоді все з’ясується. Якщо саджанців не вистачило, то кількість лунок більше ніж саджанців; якщо залишилися зайві саджанці, то лунок менше; і лише коли в кожній лунці є саджанець і більше саджанців у вас не залишилося, тоді їх порівну (множина лунок еквівалентна множині саджанців).
Таким же чином можна порівнювати і ті множини, кількість елементів яких нескінченна.
Завдання 2. Чого більше - натуральних чисел чи кіл з центром у початку координат? Кількість елементів в обох множинах необмежена. Але якщо кожному натуральному числу поставити у відповідність коло з радіусом, що дорівнює цьому натуральному числу, то виявиться, що це не взаємно однозначна відповідність: крім тих кіл, що "зарезервовані" натуральними числами, є ще кола, радіуси яких не є натуральні числа. Отже, множина кіл більше за множину натуральних чисел.
Оскільки для нескінченних множин поняття "кількість" не існує, то характеристикою таких множин є поняття "потужність". Відповідно еквівалентні множини можна назвати рівнопотужними.
Додатковий матеріал
У прикладі 2 показано, що між множиною кіл та натуральними числами неможливо встановити взаємно однозначну відповідність. Проте існують множини, елементам яких можна поставити у відповідність натуральні числа. Тобто кожному елементу множини ставляться послідовно у відповідність числа 1, 2, 3 і т.д. Тобто ми "перелічуємо" елементи множини. Тому такі множини називають зліченними. Наприклад, множина квадратів, сторони яких є натуральними числами.
Коментарі