Множина — це одне з найбільш фундаментальних понять математики, яке неможливо строго визначити, але дуже легко відчути. Це просто сукупність об’єктів, зібраних разом за певною ознакою: від набору олівців у пеналі до зірок у галактиці. Розуміння того, як множини взаємодіють між собою, дозволяє будувати логічні зв’язки, розв’язувати складні системи нерівностей та навіть організовувати великі масиви даних у програмуванні.
На цій сторінці ми разом із Павлом та його кольоровими олівцями розберемо основні операції: об’єднання та переріз. Ви побачите, як за допомогою діаграм Ейлера-Венна можна легко розплутати заплутані задачі про вподобання учнів, а в розділі додаткового матеріалу дізнаєтеся про «секретні» операції — різницю та симетричну різницю множин. Ці знання стануть вашим головним інструментом для опанування логіки та теорії ймовірностей.
Що ж таке множина? Як виявляється, надати точного визначення неможливо. Можна лише характеризувати. Уявіть собі родину левів у савані або просто набір різнокольорових олівців. Що спільного між ними? Усі вони є частинками одного цілого, що їх об’єднує. Саме таку сукупність об’єктів і називають множиною. Належність елемента а множині А позначається а∈А.
Отже, сподіваємось, для Вас вже поняття множини не становить загадки. Якщо ми з множини виділимо якусь частину, вона також може бути множиною і щоб вирізняти її від початкової множини, її називають підмножиною. Якщо множина А є підмножиною множини B, то це позначається A⊂B або в іншому напрямку B⊃A.
Для наочності множини часто зображують у вигляді кругів або овалів. Тоді, звичайно, підмножини зображувати у вигляді вкладених овалів.
Завдання 1.
Візьмемо множину A - множину учнів 10 класу. Серед учнів візьмемо лише дівчаток і утворимо з них множину B дівчаток класу. В даному випадку B⊂A.
Які ж операції можна здійснювати над множинами? Дізнатися про це нам допоможе Павло.
Він забажав подарувати мамі на день народження малюнок. В шухляді він знайшов багато різних олівців: кольорові та прості, заточені та зламані. Тобто, як мі вже знаємо, з цих олівців можна утворити різні множини, наприклад, множина A - множина кольорових червоних олівців, множина B - множина заточених олівців, множина С - множина зламаних олівців.
Павло подумав, що малювати можна лише заточеними олівцями і взяв їх, але потім подумав, що серед заточених олівців може не виявитися потрібного йому кольору, тоді він вирішив взяти ще всі кольорові олівці, що залишилися і за потреби заточити їх. Отже в нього зібрані олівці, що є або заточеними (множина А), або кольоровими (множина B), або одночасно і заточені і кольорові.
Така сукупність називається об’єднанням множин і позначається A∪B. Схематично позначається об’єднанням кіл. На даному малюнку об’єднанням множин є вся заштрихована частина.
Перебравши всі заточені олівці, він вирішив, що малювати простими олівцями він не буде і відібрав з них лише кольорові. Тобто він залишив олівці, що є одночасно і заточеними (множина А) і кольоровими (множина B). Така сукупність називається перерізом множин і позначається A∩B. Схематично позначається спільною частиною об’єднанням кіл. На малюнку вище перерізом множин є та частина, що має обидва типи штрихування (заштрихована в клітинку).
З об’єднанням і перерізом множин можна було зустрітися, вивчаючи розв’язування нерівностей та їх систем. При розв’язуванні нерівності методом інтервалів до відповіді включають всі заштриховані відрізки координатної прямої, тобто записували об’єднання множин. При розв’язуванні систем нерівностей, до відповіді включають ті частини координатної прямої, яка містить всі види штрихування - переріз множин.
Завдання 2. А = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, В = {2, 4, 6, 8, 10}. Знайти A∪B, A∩B.
Розв’язання. До A∪B включаємо ті елементи, що містяться хоча б в одній з множин. Тоді A∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}. До A∩B відносять ті елементи, що містяться в обох множинах. Тоді A∩B = {2, 4, 6}.
Діаграми Ейлера-Венна часто застосовують для розв’язування наступних задач.
Завдання 3. Кожен учень в класі полюбляє читати книжки: фантастичні, пригодницькі чи історичні. Фантастику полюбляє читати 19 учнів, історичні - 11 учнів, пригодницькі - 17 учнів. Фантастику і історичні книжки полюбляє читати 7 учнів, історичні та пригодницькі - 6 учнів, фантастику та пригодницькі - 11 учнів. Всі 3 види книжок полюбляє читати 4 учня. Скільки учнів у класі?
Розв’язання. Зобразимо множини учнів, що полюбляють читати 3 види книжок у вигляді 3 кругів, що взаємно перетинаються.
Починати потрібно з тих, хто полюбляє все. Оскільки всі книги читають 4 учня, тоді у місце, що знаходиться у всіх трьох колах ставимо число 4.
Тоді перебираємо тих, хто полюбляє по 2 типи:
- фантастику і історичні - 7, з них фантастику, історичні і пригодницькі - 4, тоді тих, хто читає лише фантастику і історичні: 7 - 4 = 3;
- історичні і пригодницьку - 6, з них фантастику, історичні і пригодницькі - 4, тоді тих, хто читає лише історичні і пригодницьку: 6 - 4 = 2;
- фантастику і пригодницьку - 11, з них фантастику, історичні і пригодницькі - 4, тоді тих, хто читає лише фантастику і пригодницьку: 11 - 4 = 7.
Залишилися ті учні, що читають лише книги певного типу.
- фантастику полюбляє 19 учнів, з них лише фантастику і історичні - 3 учня, фантастику і пригодницькі - 7 учнів, фантастику, пригодницькі і історичні - 4 учня. Тоді тих, хто читає лише фантастику: 19 -(3 + 7 + 4) = 5;
- історичні полюбляє 11 учнів, з них лише фантастику і історичні - 3 учня, історичні і пригодницькі - 2 учні, фантастику, пригодницькі і історичні - 4 учня. Тоді тих, хто читає лише історію: 11-(3 + 2 + 4) = 2;
- пригодницькі полюбляє 17 учнів, з них лише пригодницькі і історичні - 2 учня, фантастику і пригодницькі - 7 учнів, фантастику, пригодницькі і історичні - 4 учня. Тоді тих, хто читає лише пригодницькі: 17 - (2 + 7 + 4) = 4. Маємо таке коло.
Додамо всі цифри у діаграмі: 5 + 4 + 2 + 3 + 7 + 2 + 4 = 27 учнів. Отже, у класі навчається 27 учнів
Додатковий матеріал
Крім тих операцій над множинами, що вивчаються в школі, є ще декілька. Повернемося до прикладу з Павлом.
Коли з купки зламаних олівців (множини С) він забрав ще й кольорові (ті, що належать множині А), то залишилася купка, яку можна характеризувати так: всі олівці, що є зламаними, але не є кольоровими. На мові множин: всі елементи множини С, що не належать множині А. Така множина називається різницею множин і позначається С\А.
Коли Павло зупинився лише на заточених кольорових олівцях, то залишилися олівці, які можна характеризувати так: вони або заточені і не кольорові, або кольорові і не заточені. На мові множин: належать або множині А, або множині B, але не належать їм одночасно. Така множина називається симетричною різницею і позначається AΔB.
Коментарі