Числові множини. Множина дійсних чисел

Розглянемо множини, елементами яких є числа, з якими ми зустрічаємося.

Перші числа, якими почало користуватися людство, це числа 1, 2, 3 і т.д., які використовують для підрахунку предметів. Такі числа називають натуральними. Відповідно множина, утворена з таких чисел, називається множиною натуральних чисел і позначається N.

Як з’ясувалося, натуральних чисел не достатньо для обчислень, тому що потрібно мати спеціальне число для позначення відсутності предметів (число 0). Поява від’ємних чисел полегшила підрахунки коштів. В ситуації, коли не тільки немає грошей, але ще й винен їх, легко позначається знаком "-". Якщо до множини натуральних чисел додати їм протилежні та число 0, то утвориться нова множина, яка називається множиною цілих чисел і позначається Z.

Розглянемо торт, який поділено на 8 частин, з яких ми взяли 3 частини. Як показати, скільки торта залишилося? Для цього застосовують раціональні числа, тобто числа виду p/q, де p - ціле число, а q - натуральне. Такі числа утворюють множину раціональних чисел, яка позначається Q.

Розглянемо прямокутний трикутник зі сторонами 1 та 2. За теоремою Піфагора гіпотенуза цього трикутника дорівнює числу, квадрат якого дорівнює 5. Такого раціонального числа не існує. Числа, які не є раціональними, тобто їх не можна представити у вигляді p/q, де p - ціле число, а q - натуральне, утворюють множину ірраціональних чисел.

Перші множини є вкладеними, тобто множина N є підмножиною множини Z, множина Z є підмножиною множини Q. Проте множини раціональних та ірраціональних чисел не пов’язані. Тому наступна множина - множина дійсних чисел являє собою множину, елементи якої є або раціональним або ірраціональним числом. Позначається множина дійсних чисел буквою R.

Схематично співвідношення між множинами можна показати так

Додатковий матеріал

Є і інші числові множини. У зв’язку з необхідністю працювати з числами, квадрат яких може бути від’ємним, з’явилася множина комплексних чисел , яку можна собі уявити як впорядковану пару дійсних чисел. Крім того, існує множина чисел, які представляють у вигляді впорядкованої четвірки чисел. Такі числа називають кватерніонами.