Числові функції. Їх властивості та графіки

При вивченні множин ми бачили, що можна задати зв’язок між множинами, тобто поставити відповідність між елементами двох множин. Така залежність, при якій кожному елементу з однієї множини (множини Х) ставиться у відповідність єдиний елемент з другої множини (множини Y), називається функцією. Зазначимо, що функція не є взаємно однозначною відповідністю: деякому елементу з множини Y може відповідати декілька елементів з множини X. Найчастіше позначається функція записом f, f(x),y, y(x).

Існує декілька способів задання функції.

Формульний. Наприклад, y=2x+4. Перевагою такого способу є те, що можна знайти значення функції в кожній точці. Недоліком є те, що потрібно час на обчислення, відсутня наочність.

Табличний. Задається таблицею, де прописується пара x,y.Перевагою такого способу є те, що дуже швидко знаходиться значення функції в певних точках. Недоліком є те, що не для всіх чисел задано значення.

x	y
2	5
7	11
15	4

Графічний. Перевагою цього способу є те, що наочно видно залежність між х та у, видно зміну значень. Недоліком є те, що неможливо встановити точного значення функції в певній точці.

Словесний. Застосовується тоді, коли функцію важко задати іншими способами.

Чим характеризується кожна функція? По-перше, можна вказати відповідні множини Х та У. Множина Х називається областю визначення функції і позначається D(y), множина Y називається областю значень функції і позначається E(Y).

Приклад 1.

Задано функцію y=4+x². Знайти область визначення та область значень функції.

Розв’язання. Оскільки замість х ми можемо поставити будь-яке дійсне число, то областю визначення функції є всі дійсні числа. Тобто D(y): x∈R (або x∈(-∞;+∞). Оскільки x² може приймати значення від 0 до +∞, то 4+x² може приймати значення від 4 до +∞. Тобто E(y): y∈[4;+∞).

Щоб отримати значення функції в певній точці, достатньо підставити у рівняння функції замість невідомої значення абсциси (х) точки. Відповідно, для того, щоб перевірити, чи належить точка графіку функції, достатньо підставити відповідні значення абсциси та ординати у рівняння. Якщо отримаємо рівність, то точка належить графіку функції, якщо ні - то не належить.

Приклад 2.

Знайти значення функції y=3x²+4x-2 в точці 5.

Розв’язання. у(5)= 3⋅5²+4⋅5-2=3⋅25+20-2=75+20-2=93.

Приклад 3.

Перевірити, чи належать точки (2;12),(3;38) графіку функції y=4x²+2x-4.

Розв’язання. 1) Підставимо замість х число 2, замість у число 12. Отримаємо 12=4⋅2²+2⋅2-4, тобто 12=16. Рівність не вірна, тому точка (2;12) не належить графіку функції.
2) Підставимо замість х число 3, замість у число 38. Отримаємо 38=4⋅3²+2⋅3-4, тобто 38=38. Рівність вірна, тому точка (3;38) належить графіку функції.

Одним зі способів задання функції є графічний, коли показано залежність між множинами. Це дозволяє швидко охопити картину поведінки функції. Тому доцільно для функції будувати її графік. Отже, графік функції y(x) - множина точок координатної площини з координатами (х,у), де х∈D(y), y - відповідне значення функції при даному значенні х.

Властивості функції.

Якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції (якщо x₁<x₂, то y₁<y₂), то така функція називається зростаючою. Якщо ж навпаки, більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції (якщо x₁<x₂, то y₁>y₂), то така функція називається спадною. Графік зростаючої функції виглядає як підйом у гору, а спадної - як спуск з гори.

Функція називається парною, якщо для будь-якого х з її області визначення f(-x)=f(x). Якщо значення функції при протилежних значення аргументу співпадає, то така функція називається парною. Прикладом парної функції є y=x² (y(-x)=(-x)²=x²=y(x)). Графік парної функції симетричний відносно осі ординат.

Якщо ж протилежним значенням аргумента відповідають протилежні значення функції, тобто f(-x)=-f(x), то така функція називається непарною.

Функція називається непарною, якщо для будь-якого х з її області визначення f(-x)=-f(x)

Прикладом непарної функції є y=x³ (y(-x)=(-x)³=-x³=-y(x)). Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.

Зверніть увагу, що є також функції, які не є ні парними, ні непарними. Прикладом такої функції є y=x²+4х (y(-x)=(-x)²+4⋅(-х)=x²-4х. Таке значення не співпадає ні з y(x), ні з -y(x).

Приклад 4.

Дослідити функції на парність та непарність. 1) y=x⁴+3x²+5; 2) y=x³-2x; 3) y=x²+4x.

Розв’язання. 1) y(-x)=(-x)⁴+3(-x)²+5=x⁴+3x²+5=y(x). Функція парна. 2) y(-x)=(-x)³-2(-x)=-x³+2x=-(x³-2x)=-y(x). Функція непарна. 3) y(-x)=(-x)²+4(-x)=x²-4x. y(-x) не дорівнює y(x), y(-x) не дорівнює -y(x). Функція ні парна, ні непарна.

Приклад 5.

Дослідити функції на парність та непарність за її графіком.

Розв’язання. 1) Оскільки графік функції симетричний відносно осі ОУ, то функція парна. 2) Оскільки графік функції не симетричний ні відносно осі ОУ, ні відносно початку координат, то функція ні парна, ні непарна. 3) Оскільки графік функції симетричний відносно початку координат, то функція непарна.