Розуміння того, як виглядає графік функції «в обличчя» — це одна з найважливіших навичок у математиці. Кожна функція має свій унікальний «портрет»: пряма лінія, вигнута гіпербола або симетрична парабола. Знаючи основні види функцій та їхні властивості, ви зможете не лише будувати точні графіки, а й з одного погляду на формулу передбачати поведінку функції: чи буде вона зростати, де перетне осі та в яких чвертях розміститься.
На цій сторінці ми детально розберемо три «кити» шкільної алгебри: лінійну функцію, обернену пропорційність та квадратичну функцію. Ви дізнаєтеся, як параметри k, b, a та c керують нахилом прямої чи розмахом гілок параболи, а також як за допомогою дискримінанта миттєво визначити кількість точок перетину з віссю OX. Ці знання стануть вашим надійним фундаментом для підготовки до НМТ та розв'язування складних задач із параметрами.
Розглянемо графіки основних видів функцій.
І. Лінійна функція (пряма пропорційність)
Загальне рівняння лінійної функції y = kx + b. Графіком функції є пряма. Як відомо з курсу планіметрії, через дві точки можна провести лише одну пряму. Тому для побудови графіка функції достатньо обчислити значення функції в двох довільних точках, побудувати ці точки на координатній площині та провести через них пряму. Інколи для розв’язування задач не потрібно знати точне положення цієї прямої, потрібно мати лише ескіз її розміщення. Для цього використовуються властивості цієї функції.
Оскільки у(0) = к ⋅ 0 + b = b, то число b у рівнянні прямої показує, в якій точці графік функції перетинає вісь ОУ. Число k впливає на монотонність функції: при к > 0 функція зростає, при k < 0 функція є спадною. При к = 0 ми отримуємо рівняння y = b, графіком якої є пряма, паралельна осі ОХ.
ІІ. Обернена пропорційність
Загальне рівняння лінійної функції y = k/x. Графіком функції є гіпербола. Дана функція має лише один параметр -к, від якого залежить, в якій чверті розміщено графік. При к > 0 графік функції лежить в І та ІІІ координатних чвертях, при k < 0 графік функції лежить в ІІ та ІV координатних чвертях.
ІІІ. Квадратична функція
Зазвичай розглядають два види квадратичної функції. Загальну y = ax2 + bх + c та її окремий випадок y = ax2. Почнемо з другої. Маючи лише один параметр a, парабола або лежить в І та ІІ координатних чвертях (гілки параболи напрямлені вгору) при а > 0 або в ІІІ та ІV координатних чвертях (гілки параболи напрямлені донизу) при a < 0.
Загальна квадратична функція має три параметри:
- Як і для прямої параметр с визначає точку перетину осі ОУ.
- Як для частинного випадку квадратичної функції параметр а визначає напрямок гілок параболи.
- Параметр b визначає розміщення вершини параболи. Оскільки абсциса вершини параболи знаходиться за формулою х = -b/2a, то якщо а і b одного знаку (їх добуток більше 0), то вершина параболи лежить зліва від осі ОУ, якщо різного знаку (їх добуток менше нуля) - справа.
Дослідити положення параболи можна використовуючи дискримінант відповідного квадратного рівняння. Як відомо, якщо дискримінант квадратного рівняння додатній, то рівняння має два корені; якщо від'ємний - не має коренів; якщо дорівнює 0 - один корінь. Враховуючи те, що корені квадратного рівняння, це ті числа, при яких значення квадратичної функції дорівнюють нулю, то корені - це точки перетину параболи з віссю ОХ. Відповідно, якщо дискримінант квадратного рівняння додатній, то парабола має дві точки перетину з ОХ; якщо від'ємний - не перетинає ОХ; якщо дорівнює 0 - дотикається до осі ОХ.
a > 0 (гілки вгору)
a < 0 (гілки вниз)
Коментарі