Програма НМТ з математики

Числа і вирази

Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та іррраціональні), порівняння чисел та дії з ними. Числові множини та співвідношення між ними

• властивості дій з дійсними числами;
• порівняння дійсних чисел;
• ознаки подільності чисел на 2, 3, 5, 9, 10;
• правила знаходження найбільшого спільного дільника та найменшого спільного кратного чисел;
• правила округлення цілих чисел і десяткових дробів;
• означення кореня n-го степеня та арифметичного кореня n-го степеня;
• властивості коренів;
• означення степеня з натуральним, цілим та раціональним показниками, їхні властивості;
• числові проміжки;
• модуль дійсного числа та його властивості.

Відношення та пропорції. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі

• відношення, пропорції;
• основна властивість пропорції;
• означення відсотка;
• правила виконання відсоткових розрахунків.

Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їх перетворення

• означення тотожно рівних виразів, тотожного перетворення виразу, тотожності;
• означення одночлена та многочлена;
• правила додавання, віднімання і множення одночленів та многочленів;
• формули скороченого множення;
• розклад многочлена на множники;
• означення дробового раціонального виразу;
• правила виконання дій з дробовими раціональними виразами;
• означення та властивості логарифма;
• основна логарифмічна тотожність
• означення синуса, косинуса, тангенса числового аргументу;
• основні співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу;
• формули зведення;
• формули додавання та наслідки з них.

Рівняння, нерівності та їхні системи

Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння. Лінійні, квадратні, показникові, логарифмічні нерівності. Системи лінійних рівнянь і нерівностей. Системи квадратних рівнянь. Розв'язування текстових задач за допомогою рівнянь та їх систем

• рівняння з однією змінною, означення кореня (розв'язку) рівняння з однією змінною;
• нерівність з однією змінною, означення розв'язку нерівності з однією змінною;
• означення розв'язку системи рівнянь, основні методи розв'язування систем;
• методи розв'язування раціональних, ірраціональних, показникових, логарифмічних, тригонометричних рівнянь;
• методи розв'язування лінійних, квадратних, раціональних, показникових, логарифмічних нерівностей.

Функції

Числові послідовності

• означення арифметичної та геометричної прогресій;
• формули n-го члена арифметичної та геометричної прогресій;
• формули суми n перших членів арифметичної та геометричної прогресій.

Функціональна залежність. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їхні основні властивості

• означення функції, області визначення, області значення функції, графік функції;
• способи задання функцій, основні властивості та графіки функцій.

Похідна функції, її геометричний та фізичний зміст. Таблиця похідних та правила диференціювання

• означення похідної функції в точці;
• фізичний та геометричний зміст похідної;
• таблиця похідних функцій;
• правила знаходження похідної суми, добутку, частки двох функцій.

Дослідження функції за допомогою похідної. Побудова графіків функцій.

• достатня умова зростання (спадання) функції на проміжку;
• екстремуми функції;
• означення найбільшого і найменшого значень функції.

Первісна та визначений інтеграл. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур

• означення первісної функції, визначеного інтеграла, криволінійної трапеції;
• таблиця первісних функцій;
• правила знаходження первісних.

Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики

Перестановки, комбінації, розміщення (без повторень). Комбінаторні правила суми та добутку. Ймовірність випадкової події. Вибіркові характеристики.

• означення перестановки, комбінації, розміщень (без повторень);
• комбінаторні правила суми та добутку;
• класичне означення ймовірності події;
• означення вибіркових характеристик рядів даних (розмаху вибірки, моди, медіани, середнього значення);
• графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичної інформації.

Планіметрія

Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості

• поняття точки та прямої, променя, відрізка, ламаної, кута;
• аксіоми планіметрії;
• суміжні та вертикальні кути, бісектриса кута;
• властивості суміжних та вертикальних кутів;
• паралельні та перпендикулярні прямі;
• відстань між паралельними прямими;
• перпендикуляр і похила, серединний перпендикуляр, відстань від точки до прямої;
• ознака паралельності прямих;
• теорема Фалеса, узагальнена теорема Фалеса.

Коло та круг

• коло, круг та їхні елементи;
• центральні, вписані кути та їхні властивості;
• дотична до кола та її властивості.

Трикутники

• види трикутників та їхні основні властивості;
• ознаки рівності трикутників;
• медіана, бісектриса, висота трикутника та їхні властивості;
• теорема про суму кутів трикутника;
• нерівність трикутника;
• середня лінія трикутника та її властивості;
• коло, описане навколо трикутника, і коло, вписане в трикутник;
• теорема Піфагора;
• співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника;
• теорема синусів;
• теорема косинусів;
• подібні трикутники, ознаки подібності трикутників.

Чотирикутники

• чотирикутник та його елементи;
• паралелограм, його властивості й ознаки;
• прямокутник, ромб, квадрат та їхні властивості;
• трапеція, середня лінія трапеції та її властивості;
• вписані в коло та описані навколо кола многокутники;
• сума кутів чотирикутника.

Многокутники

• многокутник та його елементи;
• периметр многокутника;
• правильний многокутник та його властивості;
• вписані в коло та описані навколо кола многокутники.

Геометричні величини та їх вимірювання

• довжина відрізка, кола та його дуги;
• величина кута, вимірювання кутів;
• формули для обчислення площі трикутника, паралелограма, ромба, квадрата, трапеції, правильного многокутника, круга, сектора.

Координати та вектори на площині

• прямокутна система координат на площині, координати точки;
• формула для обчислення відстані між двома точками та формула для обчислення координат середини відрізка;
• рівняння прямої та кола;
• поняття вектора, нульового вектора, модуля вектора, колінеарні вектори, протилежні вектори, рівні вектори, координати вектора;
• додавання, віднімання векторів, множення вектора на число;
• кут між векторами;
• скалярний добуток векторів.

Геометричні перетворення

• основні види та зміст геометричних перетворень на площині (рух, симетрія відносно точки та відносно прямої, поворот, паралельне перенесення);
• рівність фігур.

Стереометрія

Прямі та площини у просторі

• аксіоми стереометрії;
• взаємне розміщення прямих у просторі, прямої та площини у просторі, площин у просторі;
• паралельність прямих, прямої та площини, площин;
• паралельне проектування;
• перпендикулярність прямих, прямої та площини, двох площин;
• теорема про три перпендикуляри;
• відстань від точки до площини, від прямої до паралельної їй площини, між паралельними площинами;
• кут між прямими, прямою та площиною, площинами.

Многогранники, тіла обертання

• двогранний кут;
• многогранники та їхні елементи, основні види многогранників: призма, паралелепіпед, піраміда;
• тіла обертання, основні види тіл і поверхонь обертання: циліндр, конус, куля, сфера;
• перерізи многогранників;
• перерізи циліндра і конуса: осьові перерізи, перерізи площинами, паральненими їхнім основам;
• переріз кулі площиною;
• формули для обчислення площ поверхонь, та об'ємів призми та піраміди;
• формули для обчислення об'ємів циліндра, конуса, кулі
• формули для обчислення площі сфери.

Координати та вектори у просторі

• прямокутна система координат у просторі, координати точки;
• формула для обчислення відстані між двома точками та формула для обчислення координат середини відрізка;
• поняття вектора, модуль вектора, колінеарні вектори, рівні вектори, координати вектора;
• додавання, віднімання векторів, множення вектора на число;
• скалярний добуток векторів;
• кут між векторами;
• формула для обчислення кута між векторами;
• симетрія відносно початку координат та координатних площин.