Текстові задачі— це практичне застосування математики, де успіх залежить не лише від обчислювальних навичок, а й від уміння правильно побудувати математичну модель. На цій сторінці ми розглядаємо алгоритми розв'язання ключових типів завдань: на рух (за течією та проти), на роботу, на вартість товарівта задачі на пропорційний поділ. Ви навчитеся перетворювати складні умови на зрозумілі рівняння та системи.
Для ефективної підготовки до іспитів ми підготували великий практичний блок, що включає актуальні приклади з НМТ та ЗНО. Ви зможете покроково розібрати логіку знаходження оптимальної вартості доставки, розрахунку швидкості велосипедистів та аналізу графіків залежностей. Кожне завдання супроводжується детальним розв’язанням, що допоможе учням уникати помилок при читанні умов та виборі формул.
Завдання 1. Микола частує свою родину фруктовим салатом із яблук, бананів й апельсинів. Для приготування однієї порції салату потрібно 1 банан, 2 апельсини та 3 яблука. Скільки апельсинів використав Микола, якщо він приготував за цим рецептом салат із 24 фруктів?
4
5
8
12
18
Показати відповідь
В.
Нехай Микола приготував х порцій салату. Тоді він використав х бананів, 2х апельсинів та 3х яблук. Всього використав х + 2х + 3х фруктів, що дорівнює 24 за умовою. Маємо рівняння:
х + 2х + 3х = 24
6х = 24
х = 24 : 6
х = 4.
Отже апельсинів використано 2 ∙ 4 = 8 штук.
Завдання 2. У магазині канцтоварів ручка коштує 6 грн, а набір із двох ручок - 10 грн. Яку найбільшу кількість ручок можна купити в цьому магазині на суму до 58 грн?
Нехай Микола приготував х порцій салату. Тоді він використав х бананів, 2х апельсинів та 3х яблук. Всього використав х + 2х + 3х фруктів, що дорівнює 24 за умовою. Маємо рівняння:
х + 2х + 3х = 24
6х = 24
х = 24 : 6
х = 4.
Отже апельсинів використано 2 ∙ 4 = 8 штук.
8
9
10
11
12
Показати відповідь
Г.
Якщо брати дві ручки окремо, то це буде коштувати 2 ∙ 6 = 12 грн. Так як набір коштує дешевше, то вигідніше брати якомога більше наборів. 58 : 10 = 5,8, тому можна взяти 5 наборів (це буде 2 ∙ 5 = 10 ручок) на суму 5 ∙ 10 = 50 грн. Тоді залишиться 58 - 50 = 8 грн і можна купити ще 1 ручку за 6 грн. Тому найбільше можна купити 10 + 1 = 11 ручок.
Якщо брати дві ручки окремо, то це буде коштувати 2 ∙ 6 = 12 грн. Так як набір коштує дешевше, то вигідніше брати якомога більше наборів. 58 : 10 = 5,8, тому можна взяти 5 наборів (це буде 2 ∙ 5 = 10 ручок) на суму 5 ∙ 10 = 50 грн. Тоді залишиться 58 - 50 = 8 грн і можна купити ще 1 ручку за 6 грн. Тому найбільше можна купити 10 + 1 = 11 ручок.
Завдання 3. У під’їзді шістнадцятиповерхового будинку на першому поверсі розташовано 6 квартир, а на кожному з решти поверхів — по 8. На якому поверсі квартира №31, якщо квартири №1 і далі пронумеровано послідовно від першого до останнього поверху?
3
4
5
6
Показати відповідь
В.
На першому поверсі маємо 6 квартир; на 1 та другому - 6 + 8 = 14 квартир; на 1-3 поверхах - 14 + 8 = 22 квартири; на 1-4 поверхах - 22 + 8 = 30 квартир. Тоді квартира №31 знаходиться на 5 поверсі.
Завдання 4. Із заглибленням у надра Землі температура порід підвищується в середньому на 3 °С щокожні 100 м. Прилад на першому рівні ствола шахти показує температуру породи +12°С. За якою формулою можна визначити температуру t (у °С) породи на глибині, що на h м нижче від першого рівня?
На першому поверсі маємо 6 квартир; на 1 та другому - 6 + 8 = 14 квартир; на 1-3 поверхах - 14 + 8 = 22 квартири; на 1-4 поверхах - 22 + 8 = 30 квартир. Тоді квартира №31 знаходиться на 5 поверсі.
t=12+\frac{3h}{100}
t=12-\frac{3h}{100}
t=3+\frac{100h}{12}
t=3+\frac{100}{12h}
t=12+\frac{100h}{3}
Показати відповідь
А.
Так як температура змінюється кожні 100 м, то потрібно висоту ділити на 100. Кожного разу температура змінюється на 3, тому результат ділення множимо на 3. Так як початкове значення 12 і потім воно збільшується, попередній результат додаємо до 12. Маємоt=12+\frac{3h}{100}.
Завдання 5. Для місцевості, що лежить на рівні моря, нормальний атмосферний тиск становить 760 мм. рт. ст. Із підняттям на кожні 100 метрів угору атмосферний тиск знижується на 10 мм. рт. ст. Укажіть з-поміж наведених формулу, за якою визначають атмосферний тиск р (у мм. рт. ст.) на висоті h метрів над рівнем моря.
Так як температура змінюється кожні 100 м, то потрібно висоту ділити на 100. Кожного разу температура змінюється на 3, тому результат ділення множимо на 3. Так як початкове значення 12 і потім воно збільшується, попередній результат додаємо до 12. Маємоt=12+\frac{3h}{100}.
p=\frac{760\cdot100}{10h}
p=760-\frac{100h}{10}
p=760+\frac{10h}{100}
p=760+\frac{100h}{10}
p=760-\frac{10h}{100}
Показати відповідь
Д.
Щоб порахувати, скільки разів у висоту входить 100, потрібно висоту поділити на 100. За кожен раз тиск знижується на 10, тому отриманий результат множимо на 10. Маємо\frac{10h}{100}. Так як тиск знижується, то від початкового (760) потрібно віднімати отримане. Маємо остаточноp=760-\frac{10h}{100}.
Завдання 6. За 6 однакових конвертів заплатили 3 грн. Скільки всього таких конвертів можна купити за 12 грн?
Щоб порахувати, скільки разів у висоту входить 100, потрібно висоту поділити на 100. За кожен раз тиск знижується на 10, тому отриманий результат множимо на 10. Маємо\frac{10h}{100}. Так як тиск знижується, то від початкового (760) потрібно віднімати отримане. Маємо остаточноp=760-\frac{10h}{100}.
6
24
30
36
Показати відповідь
Б.
12 грн розбиваємо на 4 рази по 3 грн, тому можна купити 4 · 6 = 24 конверти.
Завдання 7. На графіку відображено зміну робочої температури двигуна легкового автомобіля протягом 10 хвилин з моменту його запуску. Визначте за графіком кількість хвилин, протягом якої робоча температура двигуна була не більшою за 50°С.
12 грн розбиваємо на 4 рази по 3 грн, тому можна купити 4 · 6 = 24 конверти.
7
4
3
2
Показати відповідь
В.
За графіком температура була не більше 50°С від початку до 3 хвилин.
Завдання 8. Група з 15 школярів у супроводі трьох дорослих планує автобусну екскурсію в заповідник. Оренда автобуса для екскурсії коштує 800 грн. Вартість вхідного квитка в заповідник становить 20 грн для школяра й 50 грн – для дорослого. Якої мінімальної суми грошей достатньо для проведення цієї екскурсії?
За графіком температура була не більше 50°С від початку до 3 хвилин.
1050 грн
1150 грн
1250 грн
870 грн
Показати відповідь
В.
За 15 школярів потрібно заплатити 15 · 20 = 300 грн. За 3 дорослих потрібно заплатити 3 · 50 = 150 грн. Всього на квитки та автобус потрібно 300 + 150 + 800 = 1250 грн.
Завдання 9. На рисунку зображено графік залежності шляху S (у км), пройденого групою туристів, від часу t (у год). Яке з наведених тверджень є правильним?
За 15 школярів потрібно заплатити 15 · 20 = 300 грн. За 3 дорослих потрібно заплатити 3 · 50 = 150 грн. Всього на квитки та автобус потрібно 300 + 150 + 800 = 1250 грн.
Зупинка тривала 4 години
До зупинки туристи пройшли 20 км
Після зупинки туристи пройшли більшу відстань, ніж до зупинки
Туристи зробили зупинку через 4 години після початку руху
Показати відповідь
Г.
Зупинка тривала з 4 до 5 годин після початку руху (горизонтальна ділянка графіка), тому правильна відповідь Г.
Завдання 10. Копіювальна машина робить 3 копії за 4 секунди. Яку максимальну кількість копій можна одержати за 1 хвилину?
Зупинка тривала з 4 до 5 годин після початку руху (горизонтальна ділянка графіка), тому правильна відповідь Г.
45
60
75
80
120
Показати відповідь
А.
В хвилину входить 60 : 4 = 15 проміжків по 4 секунди. За кожен можна зробити 3 копії. Маємо 15 · 3 = 45 копій.
Завдання 11. У супермаркеті проходить акція: купуєш три однакові шоколадки “Спокуса” - таку саму четверту супермаркет надає безкоштовно. Ціна кожної такої шоколадки — 35 грн. Покупець має у своєму розпорядженні 220 грн. Яку максимальну кількість шоколадок “Спокуса” він зможе отримати, узявши участь в акції?
В хвилину входить 60 : 4 = 15 проміжків по 4 секунди. За кожен можна зробити 3 копії. Маємо 15 · 3 = 45 копій.
5
6
7
8
9
Показати відповідь
Г.
Щоб дізнатися, скільки покупець може купити шоколадок, потрібно 220 поділити на 5. Отримаємо 6 з остачею. Отже, покупець купить 6 шоколадок. За кожні 3 він отримає ще 1 додатково. Так як 6 = 3 + 3, то він отримає 1 + 1 = 2 шоколадки додатково. Отже, покупець отримає 6 + 2 = 8 шоколадок.
Завдання 12. Сергій і Петро збирали яблука. Сергій зібрав яблук у 5 разів більше, ніж Петро. Яку частину всіх яблук зібрав Петро?
Щоб дізнатися, скільки покупець може купити шоколадок, потрібно 220 поділити на 5. Отримаємо 6 з остачею. Отже, покупець купить 6 шоколадок. За кожні 3 він отримає ще 1 додатково. Так як 6 = 3 + 3, то він отримає 1 + 1 = 2 шоколадки додатково. Отже, покупець отримає 6 + 2 = 8 шоколадок.
\frac{1}{5}
\frac{1}{6}
\frac{1}{2}
\frac{5}{6}
\frac{4}{5}
Показати відповідь
Б.
Якщо взяти кількість яблук, що зібрав Петро, зах, то кількість яблук, зібраних Сергієм буде5х. Разом вони зібралих + 5х = 6х. Отже Петро зібрав\frac{x}{6x} = \frac{1}{6}.
Завдання 13. Один кілограм яблук коштує на базарі від 9 грн до 12 грн, а один кілограм груш — від 19 грн до 25 грн. Оксана заплатила за куплені на базарі 2 кг яблук та 3 кг груш m гривень. Укажіть нерівність, що виконуватиметься для m.
Якщо взяти кількість яблук, що зібрав Петро, зах, то кількість яблук, зібраних Сергієм буде5х. Разом вони зібралих + 5х = 6х. Отже Петро зібрав\frac{x}{6x} = \frac{1}{6}.
28<m<37
18<m<75
75<m<99
42<m<66
75<m<81
Показати відповідь
В.
Нехай кілограм яблук коштує х грн, а кілограм груш - у грн. Тоді за умовою 9 < х < 12, 19 < у < 25. Потрібно знайти межі для 2х та 3у. Помножимо відповідні нерівності на дані числа і маємо 18 < 2х < 24, 57 < 3у < 75. Разом маємо 18 + 57 < 2х + 3у < 24 + 75, звідки 75 < 2х + 3у < 99.
Завдання 14. Верстат з автоматичним управлінням працює зі сталою продуктивністю і виготовляє 40 деталей за t год (t >5). Укажіть вираз для визначення кількості деталей, які виготовив верстат за 5 год.
Нехай кілограм яблук коштує х грн, а кілограм груш - у грн. Тоді за умовою 9 < х < 12, 19 < у < 25. Потрібно знайти межі для 2х та 3у. Помножимо відповідні нерівності на дані числа і маємо 18 < 2х < 24, 57 < 3у < 75. Разом маємо 18 + 57 < 2х + 3у < 24 + 75, звідки 75 < 2х + 3у < 99.
\frac{t}{8}
\frac{40}{t-5}
\frac{8}{t}
8t
\frac{200}{t}
Показати відповідь
Д.
Якщо за t годин верстат виготовляє 40 деталей, то за 1 годину він виготовить\frac{40}{t}деталей, тоді за 5 годин він виготовить5\sdot\frac{40}{t}=\frac{200}{t}.
Завдання 15. Два фахівці розробили макет рекламного оголошення. За роботу вони отримали 5000 грн, розподіливши гроші таким чином: перший отримав четверту частину зароблених грошей, а другий – решту. Скільки гривень отримав за цю роботу другий фахівець?
Якщо за t годин верстат виготовляє 40 деталей, то за 1 годину він виготовить\frac{40}{t}деталей, тоді за 5 годин він виготовить5\sdot\frac{40}{t}=\frac{200}{t}.
1000 грн
1250 грн
3000 грн
3750 грн
4000 грн
Показати відповідь
Г.
Якщо перший отримав четверту частину всіх грошей, то він отримав\frac{5000}{4}= 1250 грн, тоді другий 5000 - 1250 = 3750 грн.
Завдання 16. З міст А і В, відстань між якими по шосе становить 340 км, одночасно назустріч один одному виїхали автобус і маршрутне таксі зі сталими швидкостями 65 км/год і 80 км/год відповідно. Автобус і маршрутне таксі рухаються без зупинок і ще не зустрілися. За якою формулою можна обчислити відстань S (у км) між автобусом і маршрутним таксі по шосе через t годин після початку руху?
Якщо перший отримав четверту частину всіх грошей, то він отримав\frac{5000}{4}= 1250 грн, тоді другий 5000 - 1250 = 3750 грн.
S = 340-15t
S = 340+145t
S = 15t-340
S = 145t-340
S = 340-145t
Показати відповідь
Д.
Якщо автобус та таксі рухаються назустріч, то швидкість їх зближення дорівнює 65 + 80 = 145 км/год. Отже, за час t вони зблизяться на 145t кілометрів. Початкова відстань між ними була 340 км, отже відстань стане 340 - 145t.
Завдання 17. Поле, площа якого дорівнює 60 га, засіяли горохом і соєю. Горохом засіяли 3/4 площі поля. Скільки всього гектарів поля засіяли соєю?
Якщо автобус та таксі рухаються назустріч, то швидкість їх зближення дорівнює 65 + 80 = 145 км/год. Отже, за час t вони зблизяться на 145t кілометрів. Початкова відстань між ними була 340 км, отже відстань стане 340 - 145t.
10
15
20
24
45
Показати відповідь
Б.
Якщо горохом засіяли\frac{3}{4}поля, то соєю1-\frac{3}{4} = \frac{1}{4}. Отже, соєю засіяли 60 : 4 = 15 га.
Завдання 18. Дві однакові автоматичні лінії виготовляють 16 т шоколадної глазурі за 4 дні. Установіть відповідність між запитаннями (1-4) та правильною відповіддю на нього (А-Д). Уважайте, що кожна лінія виготовляє однакову кількість глазурі щодня.
Якщо горохом засіяли\frac{3}{4}поля, то соєю1-\frac{3}{4} = \frac{1}{4}. Отже, соєю засіяли 60 : 4 = 15 га.
1Скільки тон шоколадної глазурі дві лінії виготовляють за 3 дні?
2За скільки днів одна лінія виготовить 16 т шоколадної глазурі?
3Скільки тон шоколадної глазурі виготовить одна лінія за 2 дні?
4Скільки таких ліній потрібно для виготовлення 48 т шоколадної глазурі за 4 дні?
2За скільки днів одна лінія виготовить 16 т шоколадної глазурі?
3Скільки тон шоколадної глазурі виготовить одна лінія за 2 дні?
4Скільки таких ліній потрібно для виготовлення 48 т шоколадної глазурі за 4 дні?
А2
Б4
В6
Г8
Д12
Б4
В6
Г8
Д12
Показати відповідь
1-Д, 2-Г, 3-Б, 4-В.
Якщо 2 лінії виготовляють 16 т глазурі за 4 дні, то 2 :2= 1 лінія виготовляє 16 :2= 8 т глазурі за 4 дні, тоді 1 лінія виготовляє 8 :/4= 2 т глазурі за 4 :4= 1 день.
1) 1 ·2= 2 лінії виготовляють 2 ·2= 4 т глазурі за 1 день, тоді 2 лінії виготовляють 4 ·3= 12 т глазурі за 1 ·3= 3 дні;
2) 1 лінія виготовляє 2 ·8= 16 т глазурі за 1 ·8= 8 днів;
3) 1 лінія виготовляє 2 ·2= 4 т глазурі за 1 ·2= 2 дні;
4) 1 лінія виготовляє 2 ·4= 8 т глазурі за 1 ·4= 4 дні, тоді 1 ·6= 6 ліній виготовляють 8 ·6= 48 т глазурі за 4 дні.
Завдання 19. З пунктів А і В одночасно по шосе назустріч один одному виїхали два велосипедисти. Вони їхали без зупинок зі сталими швидкостями: перший – зі швидкістю х км/год, другий – зі швидкістю y км/год (x >y). Через t годин (t >1) вони зустрілися в точці С і, не зупиняючись, продовжили рух без зміни напрямків. До кожного запитання (1-4) доберіть правильну відповідь (А-Д).
Якщо 2 лінії виготовляють 16 т глазурі за 4 дні, то 2 :2= 1 лінія виготовляє 16 :2= 8 т глазурі за 4 дні, тоді 1 лінія виготовляє 8 :/4= 2 т глазурі за 4 :4= 1 день.
1) 1 ·2= 2 лінії виготовляють 2 ·2= 4 т глазурі за 1 день, тоді 2 лінії виготовляють 4 ·3= 12 т глазурі за 1 ·3= 3 дні;
2) 1 лінія виготовляє 2 ·8= 16 т глазурі за 1 ·8= 8 днів;
3) 1 лінія виготовляє 2 ·2= 4 т глазурі за 1 ·2= 2 дні;
4) 1 лінія виготовляє 2 ·4= 8 т глазурі за 1 ·4= 4 дні, тоді 1 ·6= 6 ліній виготовляють 8 ·6= 48 т глазурі за 4 дні.
1На скільки кілометрів зменшилася відстань по шосе між велосипедистами через 1 годину після початку руху?
2Чому дорівнює відстань по шосе між пунктами А і В?
3На скільки кілометрів більше проїхав перший велосипедист, ніж другий, за час від початку руху до моменту зустрічі?
4За скільки годин перший велосипедист подолає відстань по шосе від точки С до пункту В?
2Чому дорівнює відстань по шосе між пунктами А і В?
3На скільки кілометрів більше проїхав перший велосипедист, ніж другий, за час від початку руху до моменту зустрічі?
4За скільки годин перший велосипедист подолає відстань по шосе від точки С до пункту В?
А(x+y)t
Б(x-y)t
В\frac{yt}{x}
Г\frac{(x-y)t}{y}
Б(x-y)t
В\frac{yt}{x}
Г\frac{(x-y)t}{y}
Показати відповідь
1-Д, 2-А, 3-Б, 4-В.
1)За 1 годину перший велосипедист проїде х км, а другий у. Тоді разом за 1 годину вони проїдуть х + у;
2) За час t вони подолали xt + yt = (x + y)t км, а оскільки вони зустрілися, то разом вони проїхали всю відстань від А до В;
3) За 1 час перший проїжджає на х - у км більше, тоді до моменту зустрічі (час t) він проїде на (х - у)t км більше;
4) від точки С до точки В буде yt км (відстань, яку проїхав другий велосипедист), тоді час дорівнює\frac{S}{t} = \frac{yt}{x}годин.
Завдання 20. Для приготування дезінфікувального розчину концентрат розводять водою в масовому відношенні 2:7 відповідно, після чого на кожні 10 г води добавляють 1 г ароматичної рідини. Скільки грамів концентрату потрібно для приготування 485 г розчину?
1)За 1 годину перший велосипедист проїде х км, а другий у. Тоді разом за 1 годину вони проїдуть х + у;
2) За час t вони подолали xt + yt = (x + y)t км, а оскільки вони зустрілися, то разом вони проїхали всю відстань від А до В;
3) За 1 час перший проїжджає на х - у км більше, тоді до моменту зустрічі (час t) він проїде на (х - у)t км більше;
4) від точки С до точки В буде yt км (відстань, яку проїхав другий велосипедист), тоді час дорівнює\frac{S}{t} = \frac{yt}{x}годин.
Показати відповідь
100.
Введемо коефіцієнт пропорційності х. Тоді для розчину потрібно 2х г концентрату, 7х г води та 7х : 10 = 0,7х г ароматичної рідини. Маємо рівняння:
2х + 7х + 0,7х = 485
9,7x = 485
x = 485 : 9,7
x = 50
Тоді для приготування 485 г розчину потрібно 2x = 2 · 50 = 100 г концентрату.
Завдання 21. Протягом 40 хвилин уроку учні виступили з трьома доповідями однакової тривалості й показали дві презентації. Показ кожної презентації тривав на 10 хвилин більше, ніж доповідь. Визначте тривалість однієї доповіді (у хв.). Тривалістю пауз між доповідями й презентаціями знехтуйте.
Введемо коефіцієнт пропорційності х. Тоді для розчину потрібно 2х г концентрату, 7х г води та 7х : 10 = 0,7х г ароматичної рідини. Маємо рівняння:
2х + 7х + 0,7х = 485
9,7x = 485
x = 485 : 9,7
x = 50
Тоді для приготування 485 г розчину потрібно 2x = 2 · 50 = 100 г концентрату.
Показати відповідь
4.
Нехай тривалість доповіді дорівнює х хвилин, тоді тривалість презентації х + 10 хвилин. Тоді тривалість 3 доповідей і 2 презентацій дорівнює 3х + 2(х + 10), що зайняло урок тривалістю 40 хвилин. Маємо рівняння:
3х + 2(х + 10) = 40
3х + 2х + 20 = 40
5х = 40 - 20
5x = 20
x = 4.
Тоді тривалість однієї доповіді 4 хвилини.
Завдання 22. Тривалість зеленого сигналу світлофора на 15 с довша за тривалість червоного сигналу й у дванадцять разів довша за тривалість жовтого сигналу. Яка тривалість (у с) червоного сигналу, якщо тривалість зеленого сигналу відноситься до сумарної тривалості червоного й жовтого сигналів як 3 до 2?
Нехай тривалість доповіді дорівнює х хвилин, тоді тривалість презентації х + 10 хвилин. Тоді тривалість 3 доповідей і 2 презентацій дорівнює 3х + 2(х + 10), що зайняло урок тривалістю 40 хвилин. Маємо рівняння:
3х + 2(х + 10) = 40
3х + 2х + 20 = 40
5х = 40 - 20
5x = 20
x = 4.
Тоді тривалість однієї доповіді 4 хвилини.
Показати відповідь
21.
Нехай тривалість жовтого сигналу х, тоді тривалість зеленого сигналу 12х, а тривалість червоного сигналу 12х - 15. Тоді сумарна тривалість червоного і жовтого сигналів 12х - 15 + х = 13х - 15. З умови маємо, що 12х : (13х - 15) = 3 : 2. Звідси за пропорцією:
12х · 2 = (13x - 15) · 3
24x = 39x - 45
24x - 39x = -45
-15x = -45
x = -45 : (-15)
x = 3.
Тоді тривалість червоного сигналу 12 · 3 - 15 = 36 - 15 = 21.
Завдання 23. Відстань між двома містами велосипедист долає за 2 години, а пішохід – за 6 годин. Уважайте, що швидкості велосипедиста і пішохода є сталими протягом усього шляху.Нехай тривалість жовтого сигналу х, тоді тривалість зеленого сигналу 12х, а тривалість червоного сигналу 12х - 15. Тоді сумарна тривалість червоного і жовтого сигналів 12х - 15 + х = 13х - 15. З умови маємо, що 12х : (13х - 15) = 3 : 2. Звідси за пропорцією:
12х · 2 = (13x - 15) · 3
24x = 39x - 45
24x - 39x = -45
-15x = -45
x = -45 : (-15)
x = 3.
Тоді тривалість червоного сигналу 12 · 3 - 15 = 36 - 15 = 21.
1. Визначте відстань між містами (у км), якщо швидкість велосипедиста на 12 км/год більша за швидкість пішохода.
2. Пішохід і велосипедист одночасно вирушили назустріч один одному з цих двох міст. Через скільки годин після початку руху вони зустрінуться?
Показати відповідь
36; 1,5.
1) Якщо позначити швидкість пішохода за х, то швидкість велосипедиста буде х + 12. Заповнимо табличку руху відомими значеннями і обчислимо стовпчик відстані за формулою S = vt. Маємо
Оскільки це однакові відстані (відстань між містами), то маємо рівняння: 2(х + 12) = 6х
2x + 24 = 6x
2x - 6x = - 24
- 4x = - 24
x = - 24 : (- 4)
х = 6
Отже, швидкість пішохода 6 км/год і відстань між містами дорівнює 6 · 6 = 36 км;
2) Маємо швидкість велосипедиста 6 + 12 = 18 км/год. Тоді швидкість зближення vзбл= vп+ vв= 6 + 18 = 24 км/год. Щоб зустрітись, їм треба подолати відстань між містами, тобто 36 км. t = S : v = 36 : 24 = 1,5 години.
Завдання 24. У кінотеатрі квиток на вечірній сеанс на 15 грн дорожчий за квиток на ранковий сеанс. Вартість чотирьох квитків на ранковий сеанс на 220 грн менша за вартість шістьох квитків на вечірній сеанс. Скільки гривень коштує один квиток на ранковий сеанс? Уважайте, що на кожному із сеансів квитки на всі місця коштують однаково.
1) Якщо позначити швидкість пішохода за х, то швидкість велосипедиста буде х + 12. Заповнимо табличку руху відомими значеннями і обчислимо стовпчик відстані за формулою S = vt. Маємо
Велосип.
Пішохід
Пішохід
2(х+12)
6х
6х
х+12
х
х
2
6
6
2x + 24 = 6x
2x - 6x = - 24
- 4x = - 24
x = - 24 : (- 4)
х = 6
Отже, швидкість пішохода 6 км/год і відстань між містами дорівнює 6 · 6 = 36 км;
2) Маємо швидкість велосипедиста 6 + 12 = 18 км/год. Тоді швидкість зближення vзбл= vп+ vв= 6 + 18 = 24 км/год. Щоб зустрітись, їм треба подолати відстань між містами, тобто 36 км. t = S : v = 36 : 24 = 1,5 години.
Показати відповідь
65.
Нехай вартість квитка на ранковий сеанс дорівнює х грн. Тоді на вечірній сеанс квиток коштує х + 15 грн. Вартість чотирьох квитків на ранковий сеанс дорівнює 4х, а шістьох квитків на вечірній 6(х + 15). Різниця між ними 220 грн. Отже, маємо рівняння:
6(x + 15) - 4x = 220
6x + 90 - 4x = 220
6x - 4x = 220 - 90
2x = 130
x = 130 : 2
x = 65 (грн).
Завдання 25. Рекламна пауза на телевізійному каналі триває 15 хвилин. За цей час показують по одному разу 10 рекламних роликів однакової тривалості та трейлер фільму. Відомо, що якби цей трейлер показували на початку й наприкінці рекламної паузи, то решти часу вистачило б якраз на показ 8 таких рекламних роликів. Скільки секунд триває показ трейлера цього фільму? Уважайте, що між показами рекламних роликів та трейлера фільму немає пауз.
Нехай вартість квитка на ранковий сеанс дорівнює х грн. Тоді на вечірній сеанс квиток коштує х + 15 грн. Вартість чотирьох квитків на ранковий сеанс дорівнює 4х, а шістьох квитків на вечірній 6(х + 15). Різниця між ними 220 грн. Отже, маємо рівняння:
6(x + 15) - 4x = 220
6x + 90 - 4x = 220
6x - 4x = 220 - 90
2x = 130
x = 130 : 2
x = 65 (грн).
Показати відповідь
150.
За 15 хвилин показують або 1 трейлер та 10 роликів, або 2 трейлери та 8 роликів. Отже, отже показ трейлеру займає стільки ж часу, скільки і 2 ролики. Тому за час для показу 10 роликів можна показати 10 : 2 = 5 трейлерів. Отже, за 15 хвилин можна показати 1 + 5 = 6 трейлерів. Тоді показ одного трейлеру триває 15 · 60 : 6 = 150 с.
Завдання 26. У таблиці наведено тарифи на доставку вантажу за маршрутом N службою кур’єрської доставки. Будь-яку кількість вантажів можна об’єднувати в один, маса якого дорівнює сумі мас об’єднаних вантажів. Жодних додаткових платежів за об’єднання вантажів чи доставку вантажу, окрім указаних в таблиці, немає.
За 15 хвилин показують або 1 трейлер та 10 роликів, або 2 трейлери та 8 роликів. Отже, отже показ трейлеру займає стільки ж часу, скільки і 2 ролики. Тому за час для показу 10 роликів можна показати 10 : 2 = 5 трейлерів. Отже, за 15 хвилин можна показати 1 + 5 = 6 трейлерів. Тоді показ одного трейлеру триває 15 · 60 : 6 = 150 с.
до 50
51-7576-100101-150
51-7576-100101-150
100
110205310
110205310
1. За яку найменшу суму грошей Р (у грн) можна доставити цією службою за маршрутом N три вантажі, маси яких становлять 31 кг, 36 кг та 40 кг?
2. Скільки відсотків становить Р від загальної суми грошей за доставку цих трьох вантажів, якщо кожен з них відправляти окремо?
Показати відповідь
210, 70.
1. Розглянемо всі можливі випадки: якщо перевозити кожен окремо, то вартість доставки 100 + 100 + 100 = 300 грн. Якщо всі разом, то за вагу 31 + 36 + 40 = 107 кг маємо вартість доставки 310 грн. Якщо об'єднати два грузи, то маємо або 31 + 36 = 67 кг і 40 кг, вартість доставки 110 + 100 = 210 грн; або 31 + 40 = 71 кг і 36 кг, вартість доставки 110 + 100 = 210 грн; або 40 + 36 = 76 кг і 31 кг, вартість доставки 205 + 100 = 305 грн. Найменша вартість доставки Р = 210 грн.
2. Знайдемо відсоток 210 від 300 грн. Складемо пропорцію:
300 грн - 100%
210 грн - х%
Звідси маємо х = 210 · 100% :300 = 210 : 3 = 70%.
Завдання 27. У готелі для проживання туристів є одномісні, двомісні та тримісні номери. Їх всього 124. Якщо всі номери в готелі заповнені, то одночасно в ньому проживає 255 туристів. Скільки всього в цьому готелі тримісних номерів, якщо кількість одномісних номерів дорівнює кількості двомісних номерів?
1. Розглянемо всі можливі випадки: якщо перевозити кожен окремо, то вартість доставки 100 + 100 + 100 = 300 грн. Якщо всі разом, то за вагу 31 + 36 + 40 = 107 кг маємо вартість доставки 310 грн. Якщо об'єднати два грузи, то маємо або 31 + 36 = 67 кг і 40 кг, вартість доставки 110 + 100 = 210 грн; або 31 + 40 = 71 кг і 36 кг, вартість доставки 110 + 100 = 210 грн; або 40 + 36 = 76 кг і 31 кг, вартість доставки 205 + 100 = 305 грн. Найменша вартість доставки Р = 210 грн.
2. Знайдемо відсоток 210 від 300 грн. Складемо пропорцію:
300 грн - 100%
210 грн - х%
Звідси маємо х = 210 · 100% :300 = 210 : 3 = 70%.
Показати відповідь
46.
Нехай кількість одномісних номерів х, тоді кількість двомісних також х, кількість трьохмісних позначимо за у. Тоді в усіх номерах живе х + 2 · х + 3 · у = 3х + 3у = 3(х + у) туристів, що дорівнює 255 за умовою. Звідси х + у = 255 : 3 = 85. х + у – це кількість одномісних та трьохмісних номерів. Отже двомісних: 124 - 85 = 39. Тоді одномісних також 39 і трьохмісних буде 85 - 39 = 46.
Завдання 28. Маршрутний автобус, рухаючись зі сталою швидкістю, подолав відстань від міста А до міста В за 5 год, а на зворотний шлях витратив на 30 хв менше. Визначте швидкість (у км/год) автобуса на маршруті від А до В, якщо вона на 8 км/год менша за швидкість на маршруті від В до А. Уважайте, що довжини маршрутів від А до В та від В до А, якими рухався маршрутний автобус, рівні.
Нехай кількість одномісних номерів х, тоді кількість двомісних також х, кількість трьохмісних позначимо за у. Тоді в усіх номерах живе х + 2 · х + 3 · у = 3х + 3у = 3(х + у) туристів, що дорівнює 255 за умовою. Звідси х + у = 255 : 3 = 85. х + у – це кількість одномісних та трьохмісних номерів. Отже двомісних: 124 - 85 = 39. Тоді одномісних також 39 і трьохмісних буде 85 - 39 = 46.
Показати відповідь
72.
Нехай швидкість автобуса від А до В х км/год, тоді від В до А х + 8 км/год. Заповнимо табличку руху відомими значеннями і обчислимо стовпчик відстані за формулою S = vt. Маємо
Оскільки ці відстані рівні, то маємо рівняння
5х = 4,5(х + 8)
5х = 4,5х + 36
5х - 4,5х = 36
0,5х = 36
х = 36 : 0,5
x = 72 км/год.
Завдання 29. Човен проплив 18 км проти течії річки, витративши вдвічі менше часу, ніж на подолання 48 км за течією. Власна швидкість човна є сталою. Визначте власну швидкість човна (у км/год), якщо швидкість течії дорівнює 2,5 км/год.
Нехай швидкість автобуса від А до В х км/год, тоді від В до А х + 8 км/год. Заповнимо табличку руху відомими значеннями і обчислимо стовпчик відстані за формулою S = vt. Маємо
А ⇒ В
В ⇒ А
В ⇒ А
5х
4,5(х+8)
4,5(х+8)
х
х+8
х+8
5
4,5
4,5
5х = 4,5(х + 8)
5х = 4,5х + 36
5х - 4,5х = 36
0,5х = 36
х = 36 : 0,5
x = 72 км/год.
Показати відповідь
17,5.
Нехай власна швидкість човна х км/год. Тоді за течією річки човен пливе зі швидкість х + 2,5, а проти х - 2,5. Заповнимо табличку руху відомими значеннями і обчислимо стовпчик часу за формулою t = S : v. Маємо
Так як час руху проти течії вдвічі менше часу руху за течією, то маємо рівняння:
2\сdot\frac{18}{x-2,5} = \frac{48}{x+2,5}
\frac{36}{x-2,5} = \frac{48}{x+2,5}
36(х + 2,5) = 48(х - 2,5) /поділимо обидві частини рівняння на 12
3(х + 2,5) = 4(х - 2,5)
3х + 7,5 = 4х - 10
3х - 4х = -7,5 - 10
- х = - 17,5
х = 17,5
Отже, власна швидкість човна 17,5 км/год.
Завдання 30. Човен проходить 24 км за течією ріки за 5 годин і 12 км проти течії за 3 години. Визначте швидкість течії ріки (у км/год). Уважайте, що власна швидкість човна та швидкість течії незмінні.
Нехай власна швидкість човна х км/год. Тоді за течією річки човен пливе зі швидкість х + 2,5, а проти х - 2,5. Заповнимо табличку руху відомими значеннями і обчислимо стовпчик часу за формулою t = S : v. Маємо
| Напрямок руху | Відстань | Швидкість | Час |
| За течією | 48 | х+2,5 | \frac{48}{x+2,5} |
| Проти течії | 18 | х-2,5 | \frac{18}{x-2,5} |
2\сdot\frac{18}{x-2,5} = \frac{48}{x+2,5}
\frac{36}{x-2,5} = \frac{48}{x+2,5}
36(х + 2,5) = 48(х - 2,5) /поділимо обидві частини рівняння на 12
3(х + 2,5) = 4(х - 2,5)
3х + 7,5 = 4х - 10
3х - 4х = -7,5 - 10
- х = - 17,5
х = 17,5
Отже, власна швидкість човна 17,5 км/год.
Показати відповідь
0,4.
Нехай швидкість човна х км/год, а швидкість течії – у км/год. Тоді за течією річки човен пливе зі швидкість х + у, а проти х - у. Заповнимо табличку руху відомими значеннями і обчислимо стовпчик відстані за формулою S = vt. Маємо
Маємо систему лінійних рівнянь:
\begin{cases} 5(x+y) = 24;\\3(x-y) = 12\end{cases}
\begin{cases} x+y = 4,8;\\x-y = 4\end{cases}
Віднімемо від першого рівняння системи друге:
х + у - х - (- у) = 4,8 - 4
2у=0,8
y = 0,8 : 2
у = 0,4.
Завдання 31. За течією річки моторний човен проходить 32 км за 1 годину 20 хвилин, а проти течії — проходить 48 км за 3 години. Визначте власну швидкість човна (у км/год). Уважайте, що вона є сталою протягом усього руху.
Нехай швидкість човна х км/год, а швидкість течії – у км/год. Тоді за течією річки човен пливе зі швидкість х + у, а проти х - у. Заповнимо табличку руху відомими значеннями і обчислимо стовпчик відстані за формулою S = vt. Маємо
| Напрямок руху | Відстань | Швидкість | Час |
| За течією | 5(x+y) = 24 | х+у | 5 |
| Проти течії | 3(x-y)=12 | х-у | 3 |
\begin{cases} 5(x+y) = 24;\\3(x-y) = 12\end{cases}
\begin{cases} x+y = 4,8;\\x-y = 4\end{cases}
Віднімемо від першого рівняння системи друге:
х + у - х - (- у) = 4,8 - 4
2у=0,8
y = 0,8 : 2
у = 0,4.
Показати відповідь
20.
Нехай швидкість човна х км/год, а швидкість течії – у км/год. Тоді за течією річки човен пливе зі швидкість х + у, а проти х - у. Заповнимо табличку руху відомими значеннями і обчислимо стовпчик відстані за формулою S = vt. Маємо
Маємо систему рівнянь:
\begin{cases}\frac{4}{3}(x+y)=32;\\3(x-y) = 48\end{cases}
\begin{cases}x+y=32\cdot3:4;\\x-y = 48:3\end{cases}
\begin{cases}x+y=24;\\x-y = 16\end{cases}
Додамо ці дві рівності і отримаємо:
2х = 24 + 16
2x = 40
x = 40 : 2
x = 20.
Отже, власна швидкість човна 20 км/год.
Завдання 32. Шлях від пристані А до пристані В теплохід, що рухається за течією річки, долає за 2 години. На зворотний шлях він витрачає на 15 хвилин більше. Швидкість течії річки дорівнює 2 км/год, власна швидкість теплохода є сталою. Визначте власну швидкість теплохода (у км/год).
Нехай швидкість човна х км/год, а швидкість течії – у км/год. Тоді за течією річки човен пливе зі швидкість х + у, а проти х - у. Заповнимо табличку руху відомими значеннями і обчислимо стовпчик відстані за формулою S = vt. Маємо
| Напрямок руху | Відстань | Швидкість | Час |
| За течією | \frac{4}{3}(x+y)=32 | х+у | 1 год. 20 хв.=1\frac{1}{3} = \frac{4}{3} |
| Проти течії | 3(x-y)=48 | х-у | 3 |
\begin{cases}\frac{4}{3}(x+y)=32;\\3(x-y) = 48\end{cases}
\begin{cases}x+y=32\cdot3:4;\\x-y = 48:3\end{cases}
\begin{cases}x+y=24;\\x-y = 16\end{cases}
Додамо ці дві рівності і отримаємо:
2х = 24 + 16
2x = 40
x = 40 : 2
x = 20.
Отже, власна швидкість човна 20 км/год.
Показати відповідь
34.
Нехай власна швидкість теплохода х. Тоді при русі за течією швидкість теплохода х + 2 км/год, а проти течії х - 2 км/год. На зворотний шлях теплохід витрачає на 15 хвилин більше, тобто на 0,25 години. Заповнимо табличку руху відомими значеннями і обчислимо стовпчик відстані за формулою S = vt. Маємо
Оскільки відстані в обох напрямках рівні, то маємо рівняння:
2(х + 2) = 2,25(х - 2)
2x + 4 = 2,25x - 4,5
2x - 2,25x = - 4,5 - 4
- 0,25x = - 8,5
x = - 8,5 : (- 0,25)
x = 34
Отже, власна швидкість теплохода 34 км/год.
Завдання 33. Батьки разом із двома дітьми: Марійкою (4 роки) та Богданом (7 років) – збираються провести вихідний день у парку атракціонів. Батьки дозволяють кожній дитині відвідати не більше трьох атракціонів і кожний атракціон – лише по одному разу. Відомо, що на атракціони «Електричні машинки» і «Веселі гірки» допускають лише дітей старше 6 років. На «Паровозик» Богдан не піде. Для відвідування будь-якого атракціону необхідно купити квиток для кожної дитини. Скориставшись таблицею, визначте максимальну суму коштів (у грн), що витратять батьки на придбання квитків для дітей.
Нехай власна швидкість теплохода х. Тоді при русі за течією швидкість теплохода х + 2 км/год, а проти течії х - 2 км/год. На зворотний шлях теплохід витрачає на 15 хвилин більше, тобто на 0,25 години. Заповнимо табличку руху відомими значеннями і обчислимо стовпчик відстані за формулою S = vt. Маємо
| Напрямок | Відстань | Швидкість | Час |
| За течією | 2(х+2) | х+2 | 2 |
| Проти течії | 2,25(х-2) | х-2 | 2,25 |
2(х + 2) = 2,25(х - 2)
2x + 4 = 2,25x - 4,5
2x - 2,25x = - 4,5 - 4
- 0,25x = - 8,5
x = - 8,5 : (- 0,25)
x = 34
Отже, власна швидкість теплохода 34 км/год.
| Назва атракціону | Вартість 1 квитка для 1 дитини, грн |
| Веселі гірки | 17 |
| Паровозик | 16 |
| Електричні машинки | 20 |
| Карусель | 12 |
| Батут | 15 |
| Дитяча рибалка | 8 |
| Лебеді | 13 |
Показати відповідь
96.
Обираємо за найбільшою вартістю, відкидаючи те, що не підходить за умовою. Богдан піде на «Електричні машинки», «Веселі гірки», «Батут» (20 + 17 + 15 = 52 грн), Марійка піде на «Паровозик», «Батут», «Лебеді» (16 + 15 + 13 = 44 грн). Разом 52 + 44 = 96 грн.
Завдання 34. Петро, Микола та Василь уранці відвідали кафе і кожен із них замовив собі на сніданок бутерброд та гарячий напій. Відомо, що Василь не п’є чорного чаю, а Микола замовив собі бутерброд з шинкою. Скориставшись таблицею, визначте, скільки грошей (у грн) буде коштувати Миколі, Василю і Петру разом найдешевше замовлення в цьому кафе.
Обираємо за найбільшою вартістю, відкидаючи те, що не підходить за умовою. Богдан піде на «Електричні машинки», «Веселі гірки», «Батут» (20 + 17 + 15 = 52 грн), Марійка піде на «Паровозик», «Батут», «Лебеді» (16 + 15 + 13 = 44 грн). Разом 52 + 44 = 96 грн.
| Страви | Ціна, грн |
| Бутерброд із сиром | 7.00 |
| Бутерброд із шинкою | 15.00 |
| Бутерброд із рибою | 17.00 |
| Кава з молоком | 13.00 |
| Кава | 12.00 |
| Чай чорний | 8.00 |
| Чай зелений | 9.00 |
Показати відповідь
54.
Обираємо за найменшою вартістю, відкидаючи те, що не підходить за умовою. Петро: бутерброд із сиром та чорний чай (7 + 8 = 15 грн), Микола: бутерброд із шинкою та чорний чай (15 + 8 = 23 грн), Василь: бутерброд із сиром та зелений чай 7 + 9 = 16 грн). Разом: 15 + 23 + 16 = 54.
Завдання 35. Лідія редагує 80 сторінок рукопису у 8 разів швидше, ніж Максим редагує 480 сторінок. Скільки сторінок відредагує Максим за той самий час, за який Лідія відредагує 320 сторінок? Уважайте, що продуктивність роботи і Лідії, і Максима є сталою.
Обираємо за найменшою вартістю, відкидаючи те, що не підходить за умовою. Петро: бутерброд із сиром та чорний чай (7 + 8 = 15 грн), Микола: бутерброд із шинкою та чорний чай (15 + 8 = 23 грн), Василь: бутерброд із сиром та зелений чай 7 + 9 = 16 грн). Разом: 15 + 23 + 16 = 54.
Показати відповідь
240.
Так як Лідія редагує у 8 разів швидше, то за час, коли Максим редагує 480 сторінок Лідія редагує 80 · 8 = 640 сторінок. Тоді коли Лідія редагує 320 сторінок (вдвічі менше від 640), Максим редагує 240 сторінок (вдвічі менше від 480).
Завдання 36. У майстерні мали виготовляти 240 стільців за n днів, причому щодня планували виробляти однакову кількість стільців. Однак, на прохання замовника, завдання виконали на 2 дні раніше запланованого терміну. Для цього довелося денну норму виготовлення збільшити на 4 стільці. Визначте n.
Так як Лідія редагує у 8 разів швидше, то за час, коли Максим редагує 480 сторінок Лідія редагує 80 · 8 = 640 сторінок. Тоді коли Лідія редагує 320 сторінок (вдвічі менше від 640), Максим редагує 240 сторінок (вдвічі менше від 480).
Показати відповідь
12.
Нехай щодня планували виробляти х стільців. Заповнимо табличку роботи відомими значеннями і обчислимо продуктивність за формулою Продуктивність=Обсяг:Час. Маємо
Маємо систему рівнянь:
\begin{cases}xn = 240;\\(x+4)(n-2)=240\end{cases}
\begin{cases}xn = 240;\\xn-2x+4n-8=240\end{cases}
\begin{cases}xn = 240;\\240-2x+4n-8=240\end{cases}
\begin{cases}xn = 240;\\2x=4n-8\end{cases}
\begin{cases}xn = 240;\\x=2n-4\end{cases}
Підставимо значення х з другого рівняння в перше і отримаємо:
(2n - 4) · n = 240
2n2- 4n - 240 = 0
n2- 2n - 120 = 0
D = 22- 4 · 1 · (- 120) = 4 + 480 = 484
x_1=\frac{2+\sqrt{484}}{2\cdot1}=\frac{2+22}{2}=12
x_2\frac{2-\sqrt{484}}{2\cdot1}=\frac{2-22}{2}=-10(сторонній корінь)
Маємо n = 12.
Завдання 37. Автобус вирушив з міста А до міста В, відстань між якими становить 150 км. Через 30 хв із міста А до міста В тією самою дорогою вирушив автомобіль, швидкість якого в1\frac{1}{5}рази більша за швидкість автобуса. Скільки часу (у год) витратив на дорогу з міста А до міста В автомобіль, якщо він прибув до міста В одночасно з автобусом? Уважайте, що автобус та автомобіль рухалися зі сталими швидкостями.
Нехай щодня планували виробляти х стільців. Заповнимо табличку роботи відомими значеннями і обчислимо продуктивність за формулою Продуктивність=Обсяг:Час. Маємо
| Виготовлення | Обсяг | Продуктивність | Час |
| План | xn=240 | x | n |
| Фактично | (x+4)(n-2)=240 | x+4 | n-2 |
\begin{cases}xn = 240;\\(x+4)(n-2)=240\end{cases}
\begin{cases}xn = 240;\\xn-2x+4n-8=240\end{cases}
\begin{cases}xn = 240;\\240-2x+4n-8=240\end{cases}
\begin{cases}xn = 240;\\2x=4n-8\end{cases}
\begin{cases}xn = 240;\\x=2n-4\end{cases}
Підставимо значення х з другого рівняння в перше і отримаємо:
(2n - 4) · n = 240
2n2- 4n - 240 = 0
n2- 2n - 120 = 0
D = 22- 4 · 1 · (- 120) = 4 + 480 = 484
x_1=\frac{2+\sqrt{484}}{2\cdot1}=\frac{2+22}{2}=12
x_2\frac{2-\sqrt{484}}{2\cdot1}=\frac{2-22}{2}=-10(сторонній корінь)
Маємо n = 12.
Показати відповідь
2,5.
Нехай швидкість автобуса х км/год. Тоді швидкість автомобіля1\frac{1}{5}x = \frac{6x}{5}. Заповнимо табличку руху відомими значеннями і обчислимо стовпчик часу за формулою t = S:v. Маємо
Оскільки автомобіль виїхав на 30 хв = 0,5 години пізніше, а прибув одночасно з автобусом, то різниця часу їх руху дорівнює 0,5. Отже, маємо рівняння:
\frac{150}{x}-\frac{125}{x}= 0,5
\frac{25}{x}= 0,5
x = 25 : 0,5
х = 50
Отже, автобус проїжджає весь шлях за 150 : 50 = 3 години, а автомобіль за 3 - 0,5 = 2,5 години.
Завдання 38. Вартість Р (у грн) поїздки на таксі обчислюють за формулою:
P = \begin{cases}P_{min}+2,4\cdot(S-6)+0,5t,S>6,\\P_{min},S\le6,\end{cases}, де S – відстань (у км), яку проїхало таксі під час поїздки, Pmin– мінімальна вартість поїздки (у грн), t – час (у хв.) протягом якого швидкість таксі не перевищувала 5 км/год. Користуючись формулою, обчисліть вартість поїздки (у грн) на таксі, якщо S = 10,5 км, Pmin= 28 грн, t = 12 хв.
Нехай швидкість автобуса х км/год. Тоді швидкість автомобіля1\frac{1}{5}x = \frac{6x}{5}. Заповнимо табличку руху відомими значеннями і обчислимо стовпчик часу за формулою t = S:v. Маємо
| Транспорт | Відстань | Швидкість | Час |
| Автобус | 150 | х | \frac{150}{x} |
| Автомобіль | 150 | \frac{6x}{5} | \frac{150}{\frac{6x}{5}} = \frac{125}{x} |
\frac{150}{x}-\frac{125}{x}= 0,5
\frac{25}{x}= 0,5
x = 25 : 0,5
х = 50
Отже, автобус проїжджає весь шлях за 150 : 50 = 3 години, а автомобіль за 3 - 0,5 = 2,5 години.
Показати відповідь
44,8.
З умови маємо, що при S = 10,5 >6 потрібно підставляти у перший вираз. Тоді Р = 28 + 2,4 · (10,5 - 6) + 0,5 · 12 = 44,8.
Завдання 39. Скільки кілограмів 5-відсоткового розчину солі потрібно додати до 3 кілограмів 12-відсоткового розчину солі, щоб одержати 9-відсотковий розчин солі?
З умови маємо, що при S = 10,5 >6 потрібно підставляти у перший вираз. Тоді Р = 28 + 2,4 · (10,5 - 6) + 0,5 · 12 = 44,8.
Показати відповідь
2,25.
Складемо таблицю за умовами задачі (середній стовпчик обчислюється за формулою mречовини= mрозчину·%вмісту:100, а маси нижнього рядку обчислюються додаванням верхніх).
Тоді за тією ж формулою маємо 0,05х + 0,36 = (х+3) · 9 : 100. Розв'яжемо це рівняння.
0,05х + 0,36 = (х+3) · 9 : 100
100(0,05х + 0,36) = (х+3) · 9
5х + 36 = 9х + 27
5х - 9x = 27 - 36
-4x = -9
x = - 9 : (- 4)
x = 2,25.
Завдання 40. Маємо два водно-сольових розчини. Концентрація солі в першому розчині становить 0,25, а в другому – 0,4. На скільки більше треба взяти кілограмів одного розчину, ніж другого, щоб отримати розчин масою 50 кілограмів, концентрація солі в якому – 0,34?
Складемо таблицю за умовами задачі (середній стовпчик обчислюється за формулою mречовини= mрозчину·%вмісту:100, а маси нижнього рядку обчислюються додаванням верхніх).
| Розчини | mрозчину | mречовини | %вмісту |
| І | х | 0,05х | 5 |
| ІІ | 3 | 0,36 | 12 |
| ІІІ (разом) | х+3 | 0,05х+0,36 | 9 |
0,05х + 0,36 = (х+3) · 9 : 100
100(0,05х + 0,36) = (х+3) · 9
5х + 36 = 9х + 27
5х - 9x = 27 - 36
-4x = -9
x = - 9 : (- 4)
x = 2,25.
Показати відповідь
10.
Складемо таблицю за умовами задачі (середній стовпчик обчислюється за формулою mречовини= mрозчину·%вмісту:100, а маси нижнього рядку обчислюються додаванням верхніх).
Маємо систему рівнянь:
\begin{cases}x+y = 50;\\0,25x+0,4y = 50\cdot0,34\end{cases}
\begin{cases}x+y = 50;\\0,25x+0,4y = 17 |\cdot4\end{cases}
\begin{cases}x+y = 50;\\x+1,6y = 68\end{cases}
Віднімемо від другого рівняння перше:
х + 1,6у - х - у = 68 - 50
0,6у = 18
у = 18 : 0,6
y = 30
Тоді х = 50 - 30 = 20. У відповідь пишемо 30 - 20 = 10.
Завдання 41. 4 кг огірків і 5 кг помідорів коштували 44 гривні. Після того як огірки подорожчали на 50%, а помідори подешевшали на 40%, за 4 кг огірків і 5 кг помідорів заплатили 39 гривень. Знайдіть початкову вартість х одного кілограма огірків і початкову вартість у одного кілограма помідорів. У відповідь запишіть суму х+у (у грн).
Складемо таблицю за умовами задачі (середній стовпчик обчислюється за формулою mречовини= mрозчину·%вмісту:100, а маси нижнього рядку обчислюються додаванням верхніх).
| Розчини | mрозчину | mречовини | %вмісту |
| І | х | 0,25х | 25 |
| ІІ | y | 0,4y | 40 |
| ІІІ (разом) | х+у=50 | 0,25x+0,4y = 50·0,34 | 34 |
\begin{cases}x+y = 50;\\0,25x+0,4y = 50\cdot0,34\end{cases}
\begin{cases}x+y = 50;\\0,25x+0,4y = 17 |\cdot4\end{cases}
\begin{cases}x+y = 50;\\x+1,6y = 68\end{cases}
Віднімемо від другого рівняння перше:
х + 1,6у - х - у = 68 - 50
0,6у = 18
у = 18 : 0,6
y = 30
Тоді х = 50 - 30 = 20. У відповідь пишемо 30 - 20 = 10.
Показати відповідь
9,5.
Нехай вартість 1 кг огірків х грн, а 1 кг помідорів у грн. Складемо таблицю за умовами задачі.
Маємо систему рівнянь:
\begin{cases}4x+5y = 44;\\6x+3y = 39 |:3\end{cases}
\begin{cases}4x+5y = 44;\\2x+y = 13 |\cdot2\end{cases}
\begin{cases}4x+5y = 44;\\4x+2y = 26 \end{cases}
Віднімемо від першого рівняння друге і отримаємо
4х + 5у - 4х - 2у = 44 - 26
3у = 18
у = 18 : 3
y = 6 грн.
Підставимо це значення у у перше рівняння і отримаємо:
4х + 30 = 44
4х = 44 - 30
4x = 14
х = 14 : 4
x = 3,5 грн
Тоді у відповідь записуємо 3,5 + 6 = 9,5.
Завдання 42. Двоє робітників, працюючи разом, можуть скосити траву на ділянці за 2 години 6 хвилин. Скільки часу (у годинах) витратить на скошування трави на цій ділянці другий робітник, працюючи самостійно, якщо йому потрібно на виконання цього завдання на 4 години більше, ніж першому робітникові?
Нехай вартість 1 кг огірків х грн, а 1 кг помідорів у грн. Складемо таблицю за умовами задачі.
| Товар | Ціна | Вартість покупки | Нова ціна | Вартість покупки |
| Огірки | х | 4х | 1,5х | 1,5х·4=6x |
| Помідори | y | 5y | у-0,4у = 0,6у | 0,6у·5=3у |
| Разом | 4x+5y = 44 | 6x+3y = 39 |
\begin{cases}4x+5y = 44;\\6x+3y = 39 |:3\end{cases}
\begin{cases}4x+5y = 44;\\2x+y = 13 |\cdot2\end{cases}
\begin{cases}4x+5y = 44;\\4x+2y = 26 \end{cases}
Віднімемо від першого рівняння друге і отримаємо
4х + 5у - 4х - 2у = 44 - 26
3у = 18
у = 18 : 3
y = 6 грн.
Підставимо це значення у у перше рівняння і отримаємо:
4х + 30 = 44
4х = 44 - 30
4x = 14
х = 14 : 4
x = 3,5 грн
Тоді у відповідь записуємо 3,5 + 6 = 9,5.
Показати відповідь
7.
Нехай перший робітник виконає завдання за х годин. Тоді другий виконає його за х + 4 години. Заповнимо табличку роботи відомими значеннями і обчислимо продуктивність за формулою Продуктивність=Обсяг:Час. Маємо
\frac{1}{x}+\frac{1}{x+4}=\frac{1}{2,1}
\frac{x+4+x}{x(x+4)}=\frac{10}{21}
\frac{2x+4}{x(x+4)}=\frac{10}{21}
За пропорцією маємо:
21(2x + 4) = 10x(x + 4)
42x + 84 = 10x2+ 40x
10x2- 2x - 84 = 0
5x2- x - 42 = 0 (поділили на 2 обидві частини рівняння)
D=12- 4 · 5 · (- 42) = 1 + 840 = 841
x_1=\frac{1+\sqrt{841}}{2\cdot5}=\frac{1+29}{10}=3
x_2=\frac{1-\sqrt{841}}{2\cdot5}=\frac{1-29}{10}= -2,8 (сторонній корінь)
Маємо х = 3, тоді другий робітник виконає завдання за 3 + 4 = 7 годин.
Завдання 43. З першої труби порожній басейн наповнюють водою на 40 хвилин швидше, ніж з другої. Скільки часу (у хвилинах) потрібно для наповнення порожнього басейну з першої труби, якщо з обох труб порожній басейн наповнюють за 21 хвилину? Уважайте, що швидкості наповнення басейну водою з кожної труби є сталими.
Нехай перший робітник виконає завдання за х годин. Тоді другий виконає його за х + 4 години. Заповнимо табличку роботи відомими значеннями і обчислимо продуктивність за формулою Продуктивність=Обсяг:Час. Маємо
| Робітники | Обсяг | Продуктивність | Час |
| І | 1 | \frac{1}{x} | х |
| ІІ | 1 | \frac{1}{x+4} | х+4 |
| Разом | 1 | \frac{1}{x}+\frac{1}{x+4}=\frac{1}{2,1} | 2 год. 6 хв. = 2,1 год. |
\frac{x+4+x}{x(x+4)}=\frac{10}{21}
\frac{2x+4}{x(x+4)}=\frac{10}{21}
За пропорцією маємо:
21(2x + 4) = 10x(x + 4)
42x + 84 = 10x2+ 40x
10x2- 2x - 84 = 0
5x2- x - 42 = 0 (поділили на 2 обидві частини рівняння)
D=12- 4 · 5 · (- 42) = 1 + 840 = 841
x_1=\frac{1+\sqrt{841}}{2\cdot5}=\frac{1+29}{10}=3
x_2=\frac{1-\sqrt{841}}{2\cdot5}=\frac{1-29}{10}= -2,8 (сторонній корінь)
Маємо х = 3, тоді другий робітник виконає завдання за 3 + 4 = 7 годин.
Показати відповідь
30.
Нехай з першої труби наповнюють басейн за х хвилин, тоді з другої – за х+40. Заповнимо табличку роботи відомими значеннями і обчислимо продуктивність за формулою Продуктивність=Обсяг:Час. Маємо
Маємо рівняння:
\frac{1}{x}+\frac{1}{x+40} = \frac{1}{21}
\frac{x+40+x}{x(x+40)} = \frac{1}{21}
\frac{2x+40}{x(x+40)} = \frac{1}{21}
За пропорцією маємо:
21(2x + 40) = x(x + 40) · 1
42x + 840 = x2+ 40x
x2- 2x - 840 = 0
D = 22- 4 · 1 · (- 840) = 4 + 4 · 840 = 4(1 + 840) = 4 · 841
x_1=\frac{2+\sqrt{4\cdot841}}{2\cdot1}=\frac{2+2\cdot29}{2} = \frac{2+58}{2}=30
x_2=\frac{2-\sqrt{4\cdot841}}{2\cdot1}=\frac{2-2\cdot29}{2} = \frac{2-58}{2}= -28(сторонній корінь)
Маємо х = 30.
Нехай з першої труби наповнюють басейн за х хвилин, тоді з другої – за х+40. Заповнимо табличку роботи відомими значеннями і обчислимо продуктивність за формулою Продуктивність=Обсяг:Час. Маємо
| Труба | Обсяг | Продуктивність | Час |
| І | 1 | \frac{1}{x} | х |
| ІІ | 1 | \frac{1}{x+40} | х+40 |
| Разом | 1 | \frac{1}{x}+\frac{1}{x+40}=\frac{1}{21} | 21 |
\frac{1}{x}+\frac{1}{x+40} = \frac{1}{21}
\frac{x+40+x}{x(x+40)} = \frac{1}{21}
\frac{2x+40}{x(x+40)} = \frac{1}{21}
За пропорцією маємо:
21(2x + 40) = x(x + 40) · 1
42x + 840 = x2+ 40x
x2- 2x - 840 = 0
D = 22- 4 · 1 · (- 840) = 4 + 4 · 840 = 4(1 + 840) = 4 · 841
x_1=\frac{2+\sqrt{4\cdot841}}{2\cdot1}=\frac{2+2\cdot29}{2} = \frac{2+58}{2}=30
x_2=\frac{2-\sqrt{4\cdot841}}{2\cdot1}=\frac{2-2\cdot29}{2} = \frac{2-58}{2}= -28(сторонній корінь)
Маємо х = 30.
Коментарі