Перейти до основного вмісту

Дії з ірраціональностями

    Дії з ірраціональностями
    \sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}
    \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}
    \sqrt[b]{\sqrt[c]{a}} = \sqrt[bc]{a}
    \sqrt[b]{a} = \sqrt[bc]{a^c}
    \sqrt{a^2} = |a|

    Завдання. НМТ 2026 (демо). \sqrt[3]{2^3}\cdot\sqrt{36}=

    12
    6\cdot\sqrt[9]{2}
    6\cdot\sqrt[6]{2}
    72
    6\sqrt{2}
    Показати відповідь
    А. \sqrt[3]{2^3}\cdot\sqrt{36}=2\cdot6=12
  1. НМТ 2024. Обчисліть значення виразу 2\sqrt{m+m+m}, якщо m=\frac{1}{27}.
    АБВГД
    \frac{2}{3} 6 \frac{1}{6} \frac{3}{2} \frac{2}{9}
    Показати відповідь
    А.
  2. НМТ 2024. Обчисліть \frac{\sqrt[3]{189}}{\sqrt[3]{7}}
    АБВГД
    3 7 9 21 27
    Показати відповідь
    А.
  3. Укажіть проміжок, якому належить значення виразу (1-\sqrt{2})2.
    АБВГД
    (-3;0) [0;0,5) [0,5;1) [1;2) [2;5)
    Показати відповідь
    Б.
    Так як 2≈1,96, то \sqrt{2}\approx\sqrt{1,96} = 1,4 і 1-\sqrt{2}≈1-1,4 = -0,4. Тоді (1-\sqrt{2})2≈(-0,4)2 = 0,16. Дане значення належить проміжку [0;0,5).
  4. Знайдіть значення виразу \frac{1}{b}-\frac{1}{a}, якщо \frac{\sqrt{3}a-\sqrt{3}b}{ab} = \sqrt{12}.
    АБВГД
    -2 0,5 2 3 6
    Показати відповідь
    В.
    \frac{\sqrt{3}a-\sqrt{3}b}{ab} = \sqrt{3}\cdot\frac{a-b}{ab} = \sqrt{3}(\frac{a}{ab}-\frac{b}{ab}) = \sqrt{3}(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}) = \sqrt{12}. Звідси \frac{1}{b}-\frac{1}{a} = \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{4} = 2.
  5. Якщо F = \frac{GMm}{R^2} і R>0, то R =
    АБВГД
    \sqrt{FGMm} \sqrt{\frac{Mm}{GF}} \sqrt{\frac{GF}{Mm}} \sqrt{\frac{F}{GMm}} \sqrt{\frac{GMm}{F}}
    Показати відповідь
    Д.
    F = \frac{GMm}{R^2}
    R2 = \frac{GMm}{F}
    R = \sqrt{\frac{GMm}{F}}.
  6. Спростіть вираз\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}+\sqrt{(\sqrt{3}+2)^2}.
    АБВГД
    -2\sqrt{3} -4 -2\sqrt{3}+4 4 2\sqrt{3}
    Показати відповідь
    Г.
    \sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}+\sqrt{(\sqrt{3}+2)^2} = |\sqrt{3}-2|+|\sqrt{3}+2| = -\sqrt{3}+2+\sqrt{3}+2 = 4 (так як \sqrt{3}-2<0, то |\sqrt{3}-2| = -\sqrt{3}+2).
  7. Знайдіть значення виразу \frac{\sqrt{9+a^2-6a}}{a-3}, якщо а = 2,5.
    АБВГД
    -1 -0,5 0 0,5 1
    Показати відповідь
    А.
    \frac{\sqrt{9+a^2-6a}}{a-3} = \frac{\sqrt{(a-3)^2}}{a-3} = \frac{|a-3|}{a-3} = \frac{3-a}{a-3} = -1 (так як a-3<0 при а = 2,5, то |a-3| = 3-a).
  8. Спростіть вираз \frac{5}{a-9}:\frac{1}{2\sqrt{a}+6}.
    АБВГД
    \frac{10}{\sqrt{a}-3} \frac{5}{2\sqrt{a}+6} \frac{\sqrt{a}+3}{10} \frac{10}{\sqrt{a}+3} \frac{2\sqrt{a}-6}{5}
    Показати відповідь
    А.
    \frac{5}{a-9}:\frac{1}{2\sqrt{a}+6} = \frac{5}{a-9}\cdot \frac{2\sqrt{a}+6}{1} = \frac{5(2\sqrt{a}+6)}{a-9} = \frac{10(\sqrt{a}+3)}{(\sqrt{a}+3)(\sqrt{a}-3)} = \frac{10}{\sqrt{a}-3}.
  9. Спростіть вираз \frac{\sqrt[3]{64}}{64}.
    АБВГД
    \frac{1}{16} \frac{1}{4} \frac{1}{3} 4 16
    Показати відповідь
    А.
    \frac{\sqrt[3]{64}}{64} = \frac{4}{64} = \frac{1}{16}.
  10. Обчисліть \sqrt[4]{16\cdot81}.
    АБВГД
    6 12 18 36 72
    Показати відповідь
    А.
    \sqrt[4]{16\cdot81} = \sqrt[4]{16}\cdot\sqrt[4]{81} = 2⋅3 = 6.
  11. Обчисліть \sqrt{125}\sqrt[5]{32}-5^\frac{1}{2}.
    АБВГД
    11\sqrt{5} 10\sqrt{2}-\sqrt{5} 9 9\sqrt{5} \sqrt[10]{4000}-\sqrt{5}
    Показати відповідь
    Г.
    \sqrt{125}\sqrt[5]{32}-5^\frac{1}{2} = \sqrt{25\cdot5}\cdot2-\sqrt{5} = 5\sqrt{5}\cdot2-\sqrt{5} = 10\sqrt{5}-\sqrt{5} = 9\sqrt{5}.
  12. Спростіть вираз a4⋅\sqrt{a^6}, якщо a≥0.
    АБВГД
    a12 a10 a8 a7 a5
    Показати відповідь
    Г.
    a4⋅\sqrt{a^6} = a4⋅|a3| = a4⋅a3 = a4+3 = a7.
  13. Спростіть вираз \sqrt[3]{\sqrt[4]{a^6}}, якщо a≥0.
    АБВГД
    \sqrt[3]{a^2} \sqrt{a} a^2 \sqrt[6]{a} \sqrt[7]{a^6}
    Показати відповідь
    Б.
    \sqrt[3]{\sqrt[4]{a^6}} = \sqrt[3\cdot4]{a^6} = \sqrt[12]{a^6} = \sqrt[12:6]{|a|^{6:6}} = \sqrt{|a|} = \sqrt{a}.
  14. Спростіть вираз \frac{2\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}.
    АБВГД
    2 \sqrt{2}+1 3+\sqrt{2} 3+2\sqrt{2} 3-\sqrt{2}
    Показати відповідь
    Д.
    \frac{2\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} = \frac{(2\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}-2\sqrt{2}+\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}^2-1^2} = \frac{4-2\sqrt{2}+\sqrt{2}-1}{2-1} = \frac{3-\sqrt{2}}{1} = 3-\sqrt{2}.
  15. Подайте вираз \frac{a}{\sqrt[7]{a}} у вигляді степеня з основою а.
    АБВГД
    a^{-\frac{1}{7}} a-6 a^\frac{1}{7} a7 a^\frac{6}{7}
    Показати відповідь
    Д.
    \frac{a}{\sqrt[7]{a}} = \frac{a}{a^\frac{1}{7}} = a^{1-\frac{1}{7}} = a^\frac{6}{7}.
  16. Нехай m і n – довільні дійсні числа, а – довільне додатне число, а≠1. До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
    Запитання Відповідь на запитання
    1 Якщо (am)n = a4, то
    2 Якщо am⋅an = a4, то
    3 Якщо \sqrt[8]{a^m} = \sqrt{a^n}, то
    4 Якщо \frac{a^n}{a^m} = \frac{1}{a^4}, то    		 А m+n = 4
    Б m-n = 4
    В mn = 4
    Г m = 4n
    Д m = 8n
    Показати відповідь
    1-В, 2-А, 3-Г, 4-Б .
    1) (am)n = amn = a4, тому mn = 4.
    2) am⋅an = am+n = a4, тому m+n = 4
    3) \sqrt[8]{a^m} = a^\frac{m}{8} = \sqrt{a^n} = a^\frac{n}{2}.m = 8⋅n:2 = 4n
    4) \frac{a^n}{a^m} = \frac{1}{a^4}. Звідси an-m = a-4. Тоді m-n = 4.
  17. Обчисліть значення виразу \sqrt{9a^2-24a+16}-\sqrt[3]{27a^3}за а=0,7.
    Показати відповідь
    -0,2.
    \sqrt{9a^2-24a+16}-\sqrt[3]{27a^3}=\sqrt{(3a-4)^2}-3a=|3a-4|-3a=|3⋅0,7-4|-3⋅0,7=|2,1-4|-2,1=|-1,9|-2,1=1,9-2,1= -0,2.
  18. Обчисліть \frac{\sqrt{18-8\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{9+4\sqrt{2}}
    Показати відповідь
    7.
    \frac{\sqrt{18-8\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{9+4\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{18-8\sqrt{2}}{2}}\cdot\sqrt{9+4\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{2(9-4\sqrt{2})}{2}}\cdot\sqrt{9+4\sqrt{2}} =\sqrt{9-4\sqrt{2}}\cdot\sqrt{9+4\sqrt{2}} =\sqrt{(9-4\sqrt{2})(9+4\sqrt{2})} = \sqrt{81-16\cdot2} = \sqrt{81-32} = \sqrt{49} = 7.
  19. Обчисліть значення виразу \frac{3\sqrt{2}-5}{\sqrt{2}-1}+\frac{\sqrt{24}-\sqrt{300}}{\sqrt{3}}
    Показати відповідь
    -9.
    \frac{3\sqrt{2}-5}{\sqrt{2}-1}+\frac{\sqrt{24}-\sqrt{300}}{\sqrt{3}} = \frac{(3\sqrt{2}-5)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}+\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{300}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2}^2+3\sqrt{2}-5\sqrt{2}-5}{\sqrt{2}^2-1^2}+\sqrt{8}-\sqrt{100} = \frac{3\cdot2-2\sqrt{2}-5}{2-1}+\sqrt{4\cdot2}-10 = \frac{1-2\sqrt{2}}{1}+2\sqrt{2}-10 = 1-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}-10 = 1-10 = -9.
  20. Обчисліть значення виразу \frac{53}{8-\sqrt{11}}+\frac{2}{\sqrt{13}+\sqrt{11}}-\frac{9}{\sqrt{13}+2}.
    Показати відповідь
    10.
    \frac{53}{8-\sqrt{11}}+\frac{2}{\sqrt{13}+\sqrt{11}}-\frac{9}{\sqrt{13}+2} = \frac{53(8+\sqrt{11})}{(8-\sqrt{11})(8+\sqrt{11})}+\frac{2(\sqrt{13}-\sqrt{11})}{(\sqrt{13}+\sqrt{11})(\sqrt{13}-\sqrt{11})}-\frac{9(\sqrt{13}-2)}{(\sqrt{13}+2) (\sqrt{13}-2)} = \frac{53(8+\sqrt{11})}{8^2-\sqrt{11}^2}+\frac{2(\sqrt{13}-\sqrt{11})}{\sqrt{13}^2-\sqrt{11}^2}-\frac{9(\sqrt{13}-2)}{\sqrt{13}^2-2^2} = \frac{53(8+\sqrt{11})}{64-11}+\frac{2(\sqrt{13}-\sqrt{11})}{13-11}-\frac{9(\sqrt{13}-2)}{13-4} =\frac{53(8+\sqrt{11})}{53}+\frac{2(\sqrt{13}-\sqrt{11})}{2}-\frac{9(\sqrt{13}-2)}{9} = (8+\sqrt{11})+(\sqrt{13}-\sqrt{11})-(\sqrt{13}-2) = 8+\sqrt{11}+\sqrt{13}-\sqrt{11}-\sqrt{13}+2 = 8+2 = 10.
  21. Обчисліть значення виразу 20\sqrt{6}-(\frac{4}{\sqrt{2}}+5\sqrt{3})^2.
    Показати відповідь
    -83.
    20\sqrt{6}-(\frac{4}{\sqrt{2}}+5\sqrt{3})^2 = 20\sqrt{6}-(\frac{16}{2}+2\frac{4}{\sqrt{2}}5\sqrt{3}+25\cdot3) = 20\sqrt{6}-(8+\frac{40\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+75) = 20\sqrt{6}-(83+\frac{40\sqrt{3}\sqrt{2}}{2})) = 20\sqrt{6}-(83+20\sqrt{6}) = 20\sqrt{6}-83-20\sqrt{6} = -83.
⇐ І.4.
Дії з дробами та многочленами		 До змісту ⇒ І.6.
Логарифмічні вирази

Коментарі

Анонім каже…
Дякую
, потужна розробка!
19 жовтня 2025 р. о 19:25
Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Завдання. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців – 4х. Разом їх буде 3х + 4х = 7х. Отже, сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців ділиться націло на 7, і лише число 91 задовольняє цій умові. Завдання. НМТ 2026 (демо). Узгодьте вираз (1– 3) із його значенням (А – Д), якщо m = -\frac{4}{3} 1 |𝑚 − 4| 2 4m −1 3 (3𝑚 + 1) 0 А –3 Б 1 В 0 Г 3 Д \frac{16}{3} Показати відповідь 1-Д, 2-А, 3-Б . 1. |-\frac{4}{3}-4|=|-\frac{4}{3}-\frac{12}{3}|=|\frac{-4-12}{3}|=|\frac{-16}{3}|=\frac{16}{3} 2. 4\cdot(-\frac{4}{3})^{-1} = 4\cdot (-\frac{3}{4}) = -3 (при зміні знака степеня дріб перевертається) 3. Кожне число, від'ємне від 0, в нульовій степені д...
3 коментарі
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія 1. Знаходження n-го члена арифметичної прогресії: а n =а 1 +(n-1)d 2. Знаходження суми перших n членів арифметичної прогресії: S n = \frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot{n} або S n = \frac{a_1+a_n}{2}\cdot{n} 3. Співвідношення між сусідніми членами прогресії: 2а n =а n-1 +а n+1 НМТ 2024. В арифметичній прогресії (a n ) відомо, що a 6 – a 1 = –30. Обчисліть значення виразу a 6 – a 4 . А Б В Г Д 12 10 –15 –10 –12 Показати відповідь Д . НМТ 2023. Студент вивчав японську мову за такою методикою: у перший день він запам'ятав 6 ієрогліфів, а кожного наступного дня - на 2 ієрогліфи більше, ніж попереднього. Скільки всього ієрогліфів запам'ятав цей студент за 25 днів від першого дня вивчення японської мови? Показати відповідь 750 . НМТ 2023. Число 27 є членом арифметичної прогресії з різницею d=5. Визначте числа з проміжку (60; 75), що є членами цієї прогресії. У відповідь запишіть суму цих чисел. Показати відповідь 201 . ...
5 коментарів
Read more »

Рівняння та нерівності підвищеного рівня (з параметром)

Завдання. НМТ 2026 (демо). За якого найбільшого значення a рівняння 3 x + (4a 2 + 10a) ⋅ 3 -x = 4a + 5 не має коренів?. Показати відповідь -2,5 . 3 x + (4a 2 + 10a) ⋅ 3 -x = 4a + 5 Помножимо обидві частини рівності на 3 x 3 2x + 4a 2 + 10a = (4a + 5)3 x Нехай 3 x = t. Так як 3 x >0, то t >0 t 2 + 4a 2 + 10a = (4a + 5)t t 2 - (4a + 5)t + 4a 2 + 10a = 0 D = (4a + 5) 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ (4a 2 + 10a) = 16a 2 + 40a + 25 - 16a 2 - 40a = 25 t_1 = \frac{4a+5-\sqrt{25}}{2\cdot1} = \frac{4a+5-5}{2} = \frac{4a}{2} = 2a t_2 = \frac{4a+5+\sqrt{25}}{2\cdot1} = \frac{4a+5+5}{2} = \frac{4a+10}{2} = \frac{2(2a+5)}{2} = 2a+5 Рівняння не має коренів, якщо обидва ці корені не відповідають умові t >0, тобто при t ≤ 0. 2a ≤ 0 a ≤ 0 : 2 a ≤ 0 2a + 5 ≤ 0 2a ≤ - 5 a ≤ - 5 : 2 a ≤ - 2,5 Числова пряма з точками t -2,5 0 Отже рівняння не має коренів при a &in; (-∞ -2,5]. Найбільше значення з цього проміжку ...
1 коментар
Read more »

Функції за графіками

Завдання. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції, що набуває лише додатних значень на всій області визначення? Показати відповідь Д . Якщо графік квадратичної функції набуває лише додатних значень на всій області визначення, то він повинен весь лежати вище осі х. Таккій умові задовольняє тільки графік Д. НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y=\sqrt{x} y = x + 2 y = −x 2 y=\frac{1}{x} Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3)...
13 коментарів
Read more »

Похідна функції

Правила диференціювання (C)'=0 (C⋅f(x))'=C⋅f'(x) (f(x)&pm;g(x))'=f'(x)&pm;g'(x) (f(x)⋅g(x))'=f'(x)⋅g(x)+f(x)⋅g'(x) ( \frac{f(x)}{g(x)} )'= \frac{f'(x)\cdot{g(x)}-f(x)\cdot{g'(x)}}{g^2(x)} (f(g(x)))'=f' g ⋅g' x Таблиця похідних (x n )'=nx n-1 (sinx)'=cosx (cosx)'=-sinx (tgx)'= \frac{1}{cos^2x} (ctgx)'= \frac{-1}{sins^2x} (a x )'=a x lna (e x )'=e x (log a x)'= \frac{1}{xlna} (lnx)'= \frac{1}{x} Завдання. НМТ 2026 (демо). Задано функцію 𝑓(𝑥)={\footnotesize\begin{cases}30,x\lt-2,\\[-0.2em] 2x^4+x,x\ge-2\end{cases}} . Обчисліть значення виразу 𝑓(-3) - 𝑓'(2). Показати відповідь –35 . Так як - 3 < - 2, то f(- 3) = 30. Так як 2 > - 2, то для знаходження значення похідної в точці 2 застосовуємо функцію f(x) = 2x 4 + x. Знайдемо похідну даної функції. f'(x) = 2 ⋅ 4 x 4 - 1 + 1 = 8x 3 + 1. Підставимо в отриману похідну значення х = 2. f'(2) ...
3 коментарі
Read more »

Рекомендований допис

Solving Linear Equations with One Variable: A Step-by-Step Guide

Struggling with math variables? This step-by-step guide breaks down linear equations into simple, manageable steps. From basic properties of equality to complex examples with fractions, you'll find everything you need to master the basics and gain confidence in your algebra skills. Dive in to see solved examples and test yourself with our interactive quiz at the end! An equation is an equality that contains a variable. You are required to find a number that, when substituted for the variable, yields a correct numerical equality (the same numbers on the left and right sides of the equality). In other words, you need to find the solution of the equation . For example, in the equation 2x - 6x + 8 = 7x - 3, we can substitute 1 for the variable x and obtain a correct numerical equality, since 2(1) - 6(1) + 8 = 2 - 6 + 8 = 4 and 7(1) - 3 = 7 - 3 = 4. Therefore, x = 1 is a solution of the equation. When solving equations, we may encounter the following cases: the equation has no s...
Дописати коментар