Аналіз функцій за їхніми графіками — це одна з найбільш наочних тем математики, яка вимагає вміння «читати» рисунок і швидко виділяти ключові властивості об'єкта. На НМТ завдання цього типу зустрічаються дуже часто, оскільки вони дозволяють перевірити комплексне розуміння теми: від визначення координат точок перетину з осями до аналізу поведінки складних періодичних процесів. Вміння візуально оцінювати парність, монотонність та область значень функції дозволяє значно зекономити час на іспиті, уникаючи громіздких обчислень.
На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО. Ви навчитеся працювати з графічними ескізами різних типів: лінійними, квадратичними, тригонометричними та показниковими функціями. Тут зібрано приклади на знаходження нулів функції, визначення значень у конкретних точках, а також завдання на геометричні перетворення графіків, такі як паралельне перенесення вздовж осей координат.
Завдання 1. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції, що набуває лише додатних значень на всій області визначення?
Показати відповідь
Д. Якщо графік квадратичної функції набуває лише додатних значень на всій області визначення, то він повинен весь лежати вище осі х. Такій умові задовольняє тільки графік Д.
Завдання 2. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію.
y = log4x
y=\sqrt{x}
y = x + 2
y = −x2
y=\frac{1}{x}
Показати відповідь
В.
Якщо побудувати ескізи усіх запропонованих графіків функцій, то через дану точку проходить лише графік функції у = х + 2.
Завдання 3. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)?
лише в І та ІІ
лише в ІІ та ІІІ
лише в ІІІ та ІV
лише в І та ІV
у всіх чвертях
Показати відповідь
Г.
Перетворення у f(x-a), де a>0, переносить графік на a одиниць праворуч. Тоді сама ліва точка графіка переноситься в точку з абсцисою - 3 + 4 = 1, отже графік y = f(x – 4) лежить повністю в правій половині координатної площини, тобто в I та IV координатних чвертях.
Завдання 4. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
Перетворення у f(x-a), де a>0, переносить графік на a одиниць праворуч. Тоді сама ліва точка графіка переноситься в точку з абсцисою - 3 + 4 = 1, отже графік y = f(x – 4) лежить повністю в правій половині координатної площини, тобто в I та IV координатних чвертях.
1 Найбільше значення функції y = f(x) на відрізку [1; 9] дорівнює
2 Найменше значення функції y = f(x) на відрізку [1; 3] дорівнює
3 Найбільше ціле значення x, за якого справджується нерівність f(x)<0, дорівнює
2 Найменше значення функції y = f(x) на відрізку [1; 3] дорівнює
3 Найбільше ціле значення x, за якого справджується нерівність f(x)<0, дорівнює
А −1.
Б 9.
В 6.
Г 7.
Д 5.
Б 9.
В 6.
Г 7.
Д 5.
Показати відповідь
1-Г, 2-Д, 3-В.
1. 7
2. 5
3. Маємо проміжок(5;7), найбільше ціле з нього 6
Завдання 5. У прямокутній декартовій системі координат на площині зображено замкнену ламану ABCA, де A(–1; 0), B(0; 1), C(1; 0). Узгодьте функцію (1–3) з кількістю (А – Д) спільних точок її графіка та ламаної ABCA.
1. 7
2. 5
3. Маємо проміжок(5;7), найбільше ціле з нього 6
1 y = 0
2 y = 1 – x2
3 y = cosx
2 y = 1 – x2
3 y = cosx
А жодної
Б лише одна
В лише дві
Г лише три
Д безліч
Б лише одна
В лише дві
Г лише три
Д безліч
Показати відповідь
1-Д, 2-Г, 3-Б.
1. Безліч (відрізок від А до С)
2. Три (т. А, В, С)
3. Одна (т. В)
Завдання 6. На рисунку зображено графік функції y=f(x), визначеної на проміжку [-2;4]. Цей графік перетинає вісь х в одній із зазначених точок. Укажіть цю точку.
2. Три (т. А, В, С)
3. Одна (т. В)
(4; 0)
(3; 4)
(0; 3)
(3; 0)
(0; 4)
Показати відповідь
Г.
Графік перетинає вісь х у точці, в якій х=3. Тоді маємо точку перетину (3; 0).
Завдання 7. На рисунку зображено графік функції y=f(x), визначеної на проміжку [-3;3]. Укажіть нуль цієї функції.
Графік перетинає вісь х у точці, в якій х=3. Тоді маємо точку перетину (3; 0).
-3
-2
0
3
4
Показати відповідь
Б.
На графіку нулем функції є абсциса точки перетину графіка функції з віссю Ох. Точкою перетину є (-2; 0), отже нуль функції -2.
На графіку нулем функції є абсциса точки перетину графіка функції з віссю Ох. Точкою перетину є (-2; 0), отже нуль функції -2.
Завдання 8. На рисунку зображено графік функції y=f(x), визначеної на відрізку [-3;3]. Одна з наведених точок, абсциса якої є від’ємним числом, а ордината — додатним, належить цьому графіку. Укажіть цю точку.
(2;-2)
(-1;2)
(-3;-2)
(-2;2)
(1;2)
Показати відповідь
Б.
Так як абсциса є від'ємним числом, а ордината додатним, то шукаємо точку з першим від'ємним числом і другим додатним. Це або Б або Г. З цих двох точок на графіку лежить лише (-1;2).
Завдання 9. На рисунку зображено графік функції y=f(x), визначеної на відрізку [-7;7]. Користуючись рисунком, знайдіть f(2).
Так як абсциса є від'ємним числом, а ордината додатним, то шукаємо точку з першим від'ємним числом і другим додатним. Це або Б або Г. З цих двох точок на графіку лежить лише (-1;2).
-4
0
6
2
5
Показати відповідь
Д.
Нам потрібно знайти точку на графіку, у якої абсциса дорівнює 2. Це точка з координатами (2;5).
Завдання 10. На рисунку зображено графік функції y=f(x), визначеної на проміжку [-4;5]. Точка (х0;-2) належить графіку цієї функції. Визначте абсцису х0 цієї точки.
3
2
0
-2
-3
Показати відповідь
Д.
Нам потрібно знайти точку на графіку, у якої ордината дорівнює -2. Це точка координатами (-3;-2).
Завдання 11. На рисунку зображено графік функції y=f(x), визначеної на проміжку [-2;4]. Цей графік перетинає вісь у в одній із зазначених точок. Укажіть цю точку.
Завдання 6. На рисунку зображено графік функції y=f(x), визначеної на проміжку [-2;4]. Цей графік перетинає вісь х в одній із зазначених точок. Укажіть цю точку.
(4;0)
(3;4)
(0;3)
(3;0)
(0;4)
Показати відповідь
Д.
Графік перетинає вісь у у точці, в якій у=4. Тоді маємо точку перетину(0;4).
Завдання 12. На рисунку зображено графік функції y=f(x), визначеної на проміжку [-4;4]. Знайдіть множину всіх значень х, для яких f(x)≤ -2.
Графік перетинає вісь у у точці, в якій у=4. Тоді маємо точку перетину(0;4).
[0;3]
[-3;2]
[-1;4]
[-3;-2]
[-4;0]
Показати відповідь
А.
Нам потрібно знайти проміжок, де графік функції лежить нижче лінії у= -2. Це проміжок по х від 0 до 3.
Завдання 13. На рисунку зображено графік функції y=f(x), визначеної на проміжку [-2;4]. Укажіть нуль цієї функції.
Нам потрібно знайти проміжок, де графік функції лежить нижче лінії у= -2. Це проміжок по х від 0 до 3.
x=-2
x=0
x=1
x=2
x=4
Показати відповідь
В.
Нулями функції є точки перетину графіка функції осі Ох. За малюнком маємо одну точку перетину осі Ох в точці х=1.
Завдання 14. На рисунку зображено графік функції y=f(x), визначеної на проміжку [1;8]. Скільки нулів має ця функція на заданому проміжку? Нулями функції є точки перетину графіка функції осі Ох. За малюнком маємо одну точку перетину осі Ох в точці х=1.
жодного
один
два
три
чотири
Показати відповідь
Б.
Нулями функції є точки перетину графіка функції осі Ох. За малюнком маємо одну точку перетину осі Ох, отже функція має лише 1 нуль на проміжку [1;8].
Завдання 15. На рисунку зображено графік функції y=f(x), визначеної на проміжку [-6;6]. Яку властивість має функція у=f(x)?Нулями функції є точки перетину графіка функції осі Ох. За малюнком маємо одну точку перетину осі Ох, отже функція має лише 1 нуль на проміжку [1;8].
функція є періодичною
функція зростає на проміжку [-6;6]
функція спадає на проміжку [-6;6]
функція є парною
функція є непарною
Показати відповідь
Д.
Оскільки даний графік симетричний відносно початку координат, то це графік непарної функції.
Завдання 16. На рисунку зображено графік функції y=f(x), визначеної на проміжку [-3;3]. На якому з наведених проміжків ця функція зростає.Оскільки даний графік симетричний відносно початку координат, то це графік непарної функції.
[-3;3]
[1;3]
[-2;4]
[-2;3]
[-3;1]
Показати відповідь
Д.
За малюнком графік зростає від початку до точки, у якої х=1. Отже, маємо проміжок [-3;1].
Завдання 17. На рисунку зображено графік функції y=f(x), визначеної на проміжку [-5;3]. Укажіть проміжок, на якому функція у=f(x) зростає.За малюнком графік зростає від початку до точки, у якої х=1. Отже, маємо проміжок [-3;1].
[0;3]
[-1;2]
[1;3]
[-3;3]
[-5;1]
Показати відповідь
Д.
За малюнком графік зростає від початку до точки, у якої х=1. Отже, маємо проміжок [-5;1].
Завдання 18. На рисунку зображено графік функції y=f(x), визначеної на проміжку [-4;6]. Укажіть найбільше значення функції f на цьому проміжку.За малюнком графік зростає від початку до точки, у якої х=1. Отже, маємо проміжок [-5;1].
-4
3
4
5
6
Показати відповідь
Г.
Шукаємо найвищу точку на малюнку. Це точка з у=5.
Завдання 19. Функція y=f(x) визначена на всій числовій прямій і є періодичною з найменшим додатним періодом 7. На рисунку зображено графік цієї функції на відрізку [-4;3]. Обчисліть f(5).Шукаємо найвищу точку на малюнку. Це точка з у=5.
4
1
0
-2
-3
Показати відповідь
А.
Для періодичної функції з періодом Т виконується рівність f(x)=f(x-T). Тоді f(5)=f(5-7)=f(-2)=4 (на графіку при х= -2 маємо у=4).
Завдання 20. На рисунку зображено фрагмент графіка періодичної функції з періодом Т=2π, яка визначена на множині дійсних чисел. Укажіть серед наведених точку, що належить цьому графіку. Для періодичної функції з періодом Т виконується рівність f(x)=f(x-T). Тоді f(5)=f(5-7)=f(-2)=4 (на графіку при х= -2 маємо у=4).
(1;2π)
(3π;0)
(-1;5π)
(5π;0)
(5π;-1)
Показати відповідь
Д.
Значення цієї функції лежить в межах [-1;1], тому відповіді А та В не підходять. Для періодичної функції з періодом Т виконується рівність f(x)=f(x-T). Тоді f(5π)=f(5π-2π)=f(3π)=f(3π-2π)=f(π)= -1 (на графіку при х= π маємо у= -1).
Завдання 21. Укажіть рівняння прямої, ескіз графіка якої зображено на рисунку. Значення цієї функції лежить в межах [-1;1], тому відповіді А та В не підходять. Для періодичної функції з періодом Т виконується рівність f(x)=f(x-T). Тоді f(5π)=f(5π-2π)=f(3π)=f(3π-2π)=f(π)= -1 (на графіку при х= π маємо у= -1).
х=4
у=х+4
у=х-4
у=4
у=4-х
Показати відповідь
Д.
Оскільки функція спадна, то коефіцієнт біля х від'ємний. Отже, маємо графік Д.
Завдання 22. Укажіть з-поміж наведених ескіз графіка функції у= -2х+3.
Оскільки функція спадна, то коефіцієнт біля х від'ємний. Отже, маємо графік Д.
| А | Б | В | Г | Д |
 |
 |
 |
 |
 |
Показати відповідь
Б.
Оскільки коефіцієнт біля х від'ємний, то функція спадає. Оскільки число без х дорівнює 3, то графік перетинає вісь Оу в точці 3. Отже, маємо графік Б.
Завдання 23. На одному з наведених рисунків зображено ескіз графіка функції у= -2х+3?
Оскільки коефіцієнт біля х від'ємний, то функція спадає. Оскільки число без х дорівнює 3, то графік перетинає вісь Оу в точці 3. Отже, маємо графік Б.
| А | Б | В | Г | Д |
 |
 |
 |
 |
 |
Показати відповідь
Д.
Оскільки коефіцієнт біля х від'ємний, то функція спадає. Оскільки число без х дорівнює 3, то графік перетинає вісь Оу в точці 3. Отже, маємо графік Д.
Завдання 24. Укажіть з-поміж наведених функцію, ескіз графіка якої зображено на рисунку.Оскільки коефіцієнт біля х від'ємний, то функція спадає. Оскільки число без х дорівнює 3, то графік перетинає вісь Оу в точці 3. Отже, маємо графік Д.
| А | Б | В | Г | Д |
| y=x2-2 | y=(x-2)2 | y=x2 | y=(x+2)2 | y=x2+2 |
Показати відповідь
Г.
За малюнком графік параболи перемістили на 2 одиниці ліворуч, отже, маємо графік у=(х+2)2.
Завдання 25. На одному з рисунків зображено графік функції у=1-х2. Укажіть цей рисунок.
За малюнком графік параболи перемістили на 2 одиниці ліворуч, отже, маємо графік у=(х+2)2.
| А | Б | В | Г | Д |
 |
 |
 |
 |
 |
Показати відповідь
Д.
За властивостями перетворень маємо графік параболи х2, який відобразили симетрично відносно осі Ох та підняли на 1 одиницю вгору. Маємо графік Д.
Завдання 26. На якому з наведених рисунків зображено ескіз графіка функції у=4-(х-1)2?
За властивостями перетворень маємо графік параболи х2, який відобразили симетрично відносно осі Ох та підняли на 1 одиницю вгору. Маємо графік Д.
| А | Б | В | Г | Д |
 |
 |
 |
 |
 |
Показати відповідь
Д.
За властивостями перетворень маємо графік параболи х2, який перемістили на 1 одиницю праворуч, відобразили симетрично відносно осі Ох та підняли на 4 одиниці вгору. Маємо графік Д.
Завдання 27. Яка з наведених парабол може бути графіком функції y=x2+px+q, якщо рівняння x2+px+q=0 не має дійсних коренів?
За властивостями перетворень маємо графік параболи х2, який перемістили на 1 одиницю праворуч, відобразили симетрично відносно осі Ох та підняли на 4 одиниці вгору. Маємо графік Д.
| А | Б | В | Г | Д |
 |
 |
 |
 |
 |
Показати відповідь
Д.
Оскільки рівняння не має коренів, то графік не перетинає вісь х. Тому це або Б), або Д). Оскільки коефіцієнт біля x2 (1) додатній, то гілки спрямовані вгору. Отже, відповідь Д.
Завдання 28. На якому рисунку зображено ескіз графіка функції у=\frac{5}{x}?
Оскільки рівняння не має коренів, то графік не перетинає вісь х. Тому це або Б), або Д). Оскільки коефіцієнт біля x2 (1) додатній, то гілки спрямовані вгору. Отже, відповідь Д.
| А | Б | В | Г | Д |
 |
 |
 |
 |
 |
Показати відповідь
Г.
Графіком є гіпербола, розміщена в І та ІІІ координатних чвертях (5>0). Отже, відповідь Г.
Завдання 29. Графік функції, визначеної на проміжку [-5;4], проходить через одну з наведених точок (див. рисунок). Укажіть цю точку. Графіком є гіпербола, розміщена в І та ІІІ координатних чвертях (5>0). Отже, відповідь Г.
(-5;-2)
(1;-3)
(-1;4)
(-3;1)
(0;-2)
Показати відповідь
Г.
На малюнку показано розташування точок. За ним маємо відповідь Г.
Завдання 30. Функція y=f(x) визначена й зростає на проміжку [-3;2]. На рисунку зображено графік цієї функції на проміжку [-3;0]. Яка з наведених точок може належати графіку цієї функції? На малюнку показано розташування точок. За ним маємо відповідь Г.
K
L
O
M
N
Показати відповідь
Б.
Оскільки функція зростаюча, то після точки (0;2) графіка цієї функції повинна йти точка, що є вище за неї. Такою точкою є лише точка L.
Завдання 31. На рисунку зображено точку, через яку проходить графік функції y=f(x). Укажіть функцію y=f(x). Оскільки функція зростаюча, то після точки (0;2) графіка цієї функції повинна йти точка, що є вище за неї. Такою точкою є лише точка L.
f(x)= -x
f(x)=\sqrt{x}
f(x)=log2x
f(x)=x3
f(x)=3-x
Показати відповідь
Д.
Маємо точку, для якої х від'ємний, а у додатний. В другій і третій функції від'ємні значення х не задовольняють ОДЗ, в четвертій при від'ємному х мали б від'ємний у. Залишаються перша та п'ята функція. В першій значення х та у відрізняються лише знаком, тобто відстані від точки до осей координат повинні бути однакові, а за малюнком різні. Отже, перша функція не підходить і залишається п'ята.
Завдання 32. На одному з наведених рисунків зображено ескіз графіка функції y=\sqrt{x}. Укажіть його.
Маємо точку, для якої х від'ємний, а у додатний. В другій і третій функції від'ємні значення х не задовольняють ОДЗ, в четвертій при від'ємному х мали б від'ємний у. Залишаються перша та п'ята функція. В першій значення х та у відрізняються лише знаком, тобто відстані від точки до осей координат повинні бути однакові, а за малюнком різні. Отже, перша функція не підходить і залишається п'ята.
| А | Б | В | Г | Д |
 |
 |
 |
 |
 |
Показати відповідь
Д.
Завдання 33. На якому рисунку зображено ескіз графіка функції у=\sqrt{x-2}?
| А | Б | В | Г | Д |
 |
 |
 |
 |
 |
Показати відповідь
Г.
Оскільки при перетворенні f(x-a) графік функції f(x) зміщується на а одиниць праворуч, то графік кореня потрібно перенести на 2 одиниці праворуч. Маємо графік Г.
Завдання 34. На рисунку зображено графік функції у=f(x), визначеної на проміжку [-3;3]. Одна з наведених точок належить графіку функції у= -f(x). Укажіть цю точку.Оскільки при перетворенні f(x-a) графік функції f(x) зміщується на а одиниць праворуч, то графік кореня потрібно перенести на 2 одиниці праворуч. Маємо графік Г.
K
L
O
M
N
Показати відповідь
Д.
Оскільки при перетворенні -f(x) графік функції f(x) симетрично відображається відносно осі Ох, то маємо наступний графік:
Завдання 35. На одному з рисунків зображено ескіз графіка функції у=\sqrt{-x}. Укажіть цей рисунок.
Оскільки при перетворенні -f(x) графік функції f(x) симетрично відображається відносно осі Ох, то маємо наступний графік:
| А | Б | В | Г | Д |
 |
 |
 |
 |
 |
Показати відповідь
А.
Оскільки при перетворенні f(-x) графік функції f(x) симетрично відображається відносно осі Оу, то графік кореня потрібно симетрично відобразити відносно даної осі. Маємо графік А.
Завдання 36. Укажіть ескіз графіка функції у=х3-1.
Оскільки при перетворенні f(-x) графік функції f(x) симетрично відображається відносно осі Оу, то графік кореня потрібно симетрично відобразити відносно даної осі. Маємо графік А.
| А | Б | В | Г | Д |
 |
 |
 |
 |
 |
Показати відповідь
Г.
Оскільки при перетворенні f(x)-a графік функції f(x) зміщується на а одиниць вниз, то графік кубічної параболи потрібно перенести на 1 одиницю вниз. Маємо графік Г.
Завдання 37. На якому рисунку зображено ескіз графіка функції у=3х?
Оскільки при перетворенні f(x)-a графік функції f(x) зміщується на а одиниць вниз, то графік кубічної параболи потрібно перенести на 1 одиницю вниз. Маємо графік Г.
| А | Б | В | Г | Д |
 |
 |
 |
 |
 |
Показати відповідь
Г.
Дана функція є зростаючою (3>1) і додатною. Маємо графік Г.
Завдання 38. На якому з рисунків зображено ескіз графіка функції у=(0,5)х?
Дана функція є зростаючою (3>1) і додатною. Маємо графік Г.
| А | Б | В | Г | Д |
 |
 |
 |
 |
 |
Показати відповідь
Б.
Дана функція є спадною(0,5<1) і додатною. Маємо графік Б.
Завдання 39. На якому рисунку зображено ескіз графіка функції у=2-х?
Дана функція є спадною(0,5<1) і додатною. Маємо графік Б.
| А | Б | В | Г | Д |
| |
|
|
|
|
Показати відповідь
Б.
Оскільки при перетворенні f(-x) графік симетрично відображається відносно осі Оу, то графік функції у=2х симетрично відображаємо відносно осі Оу. Маємо графік Б.
Завдання 40. На рисунку зображено фрагмент графіка однієї з наведених функцій на проміжку [0;π] . Укажіть цю функцію. Оскільки при перетворенні f(-x) графік симетрично відображається відносно осі Оу, то графік функції у=2х симетрично відображаємо відносно осі Оу. Маємо графік Б.
y=2sinx
y=sin2x
y= 2cosx
y= cos2x
y=-2sinx
Показати відповідь
А.
Оскільки значення функції лежать в межах [-2;2], то тригонометричну функцію помножено на число 2 за модулем. Оскільки на даному малюнку функція зростає, а на даному проміжку графік y=sinx зростає, y=cosx спадає, то це може бути y=sinx, помножений на 2, або y=cosx, помножений на -2. Із запропонованих варіантів є лише y=sinx, помножений на 2, тому відповідь А.
Завдання 41. На рисунку зображено фрагмент графіка однієї з наведених функцій на проміжку [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}] . Укажіть цю функцію.Оскільки значення функції лежать в межах [-2;2], то тригонометричну функцію помножено на число 2 за модулем. Оскільки на даному малюнку функція зростає, а на даному проміжку графік y=sinx зростає, y=cosx спадає, то це може бути y=sinx, помножений на 2, або y=cosx, помножений на -2. Із запропонованих варіантів є лише y=sinx, помножений на 2, тому відповідь А.
y=2sinx
y=\frac{1}{2}sinx
y= -2sinx
y= -\frac{1}{2}sinx
y=2cosx
Показати відповідь
А.
Оскільки значення функції лежать в межах [-2;2], то тригонометричну функцію помножено на число 2 за модулем. Оскільки на даному малюнку функція зростає, а на даному проміжку графік y=sinx зростає, y=cosx спадає, то це може бути y=sinx, помножений на 2, або y=cosx, помножений на -2. Із запропонованих варіантів є лише y=sinx, помножений на 2, тому відповідь А.
Завдання 42. Укажіть ескіз графіка функції у=log_{\frac{1}{4}}x.
Оскільки значення функції лежать в межах [-2;2], то тригонометричну функцію помножено на число 2 за модулем. Оскільки на даному малюнку функція зростає, а на даному проміжку графік y=sinx зростає, y=cosx спадає, то це може бути y=sinx, помножений на 2, або y=cosx, помножений на -2. Із запропонованих варіантів є лише y=sinx, помножений на 2, тому відповідь А.
| А | Б | В | Г | Д |
 |
 |
 |
 |
 |
Показати відповідь
Д.
Так як основа логарифма менша за 1, то маємо спадну функцію. Область визначення логарифмічної функції х∈(0;+∞). Отже маємо графік Д.
Завдання 43. На якому рисунку зображено фрагмент графіка y=cos(x+2π) на проміжку [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}] ?
Так як основа логарифма менша за 1, то маємо спадну функцію. Область визначення логарифмічної функції х∈(0;+∞). Отже маємо графік Д.
| А | Б | В | Г | Д |
 |
 |
 |
 |
 |
Показати відповідь
Б.
Так як cos(x+2π)=cosx, то потрібно знайти графік y=cosx. Якщо не пам'ятати графік цієї функції, то простіше знайти його за значенням в точці 0. Так як cos0=1, то шукаємо графік, який проходить через точку (0;1). Це графік Б.
Завдання 44. З-поміж наведених графіків укажіть графік функції у= -|х+3|.
Так як cos(x+2π)=cosx, то потрібно знайти графік y=cosx. Якщо не пам'ятати графік цієї функції, то простіше знайти його за значенням в точці 0. Так як cos0=1, то шукаємо графік, який проходить через точку (0;1). Це графік Б.
| А | Б | В | Г | Д |
 |
 |
 |
 |
 |
Показати відповідь
Г.
Оскільки перетворення f(x+a) переміщує графік функції на а одиниць вліво (при додатному а), а перетворення -f(x) симетрично відображає графік функції відносно осі Ох, то графік модуля переміщуємо на 3 одиниці ліворуч і симетрично відображаємо відносно осі Ох (перевертаємо). Маємо графік Г.
Завдання 45. На рисунку зображено графік функції у=х2-2х. Укажіть графік функції у=|х2-2х|.Оскільки перетворення f(x+a) переміщує графік функції на а одиниць вліво (при додатному а), а перетворення -f(x) симетрично відображає графік функції відносно осі Ох, то графік модуля переміщуємо на 3 одиниці ліворуч і симетрично відображаємо відносно осі Ох (перевертаємо). Маємо графік Г.
| А | Б | В | Г | Д |
 |
 |
 |
 |
 |
Показати відповідь
А.
Оскільки перетворення |f(x)| частину графіка, що розміщена нижче осі Ох симетрично відображає у верхню частину, то маємо графік А.
Завдання 46. На рисунку зображено графік функції у=f(x), визначеної на проміжку [-2;2]. Укажіть рисунок, на якому зображено графік функції y=f(x+1).Оскільки перетворення |f(x)| частину графіка, що розміщена нижче осі Ох симетрично відображає у верхню частину, то маємо графік А.
| А | Б | В | Г | Д |
 |
 |
 |
 |
 |
Показати відповідь
Г.
Оскільки перетворення f(x+a) переміщує графік на а одиниць ліворуч (при додатному а), то графік функції переміщуємо на 1 одиницю ліворуч. Маємо графік Г.
Завдання 47. На рисунку зображено графіки функцій g(x)=\sqrt{4-x} і f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{x+8}. Укажіть проміжок, на якому виконується нерівність f(x)≤g(x).Оскільки перетворення f(x+a) переміщує графік на а одиниць ліворуч (при додатному а), то графік функції переміщуємо на 1 одиницю ліворуч. Маємо графік Г.
(-∞;0]
[-8;+∞)
[0;+∞)
[0;4]
[-8;0]
Показати відповідь
Д.
Визначаємо, який з графіків f(x), а який g(x) (з'ясовуємо, які з них мають значення 0 при х= -8 та х=4) і визначаємо проміжок, де графік f(x) лежить нижче графіка g(x).
Завдання 48. На рисунку зображено графік неперервної функції у=f(x), визначеної на відрізку [-3;7]. Скільки всього точок екстремуму має ця функція на відрізку [-3;7]?Визначаємо, який з графіків f(x), а який g(x) (з'ясовуємо, які з них мають значення 0 при х= -8 та х=4) і визначаємо проміжок, де графік f(x) лежить нижче графіка g(x).
1
2
3
5
6
Показати відповідь
В.
На малюнку ми бачимо 2 точки локального максимуму і 1 точку локального мінімуму, отже, маємо 3 точки екстремуму.
Завдання 49. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–2; 4]. Укажіть точку екстремуму цієї функції.
На малюнку ми бачимо 2 точки локального максимуму і 1 точку локального мінімуму, отже, маємо 3 точки екстремуму.
хo= -2
хo= -1
хo= 1
хo= 3
хo= 4
Показати відповідь
Б.
На малюнку ми бачимо точку локального максимуму при х= -1.
Завдання 50. На рисунку зображено графік функції у=f(x), визначеної на відрізку [-3;2]. Укажіть точку екстремуму функції у=f(x+3)-2.На малюнку ми бачимо точку локального максимуму при х= -1.
хo= -2
хo= 1
хo= 4
хo= -1
хo= 3
Показати відповідь
А.
На малюнку ми бачимо точку локального максимуму при х= 1. При перетворенні у=f(x+3)-2 дана точка переміщується на 3 одиниці ліворуч та 2 одиниці униз. Тоді нове положення точки екстремуму в х=1-3= -2.
Завдання 51. На рисунку зображено графік функції у=f(x), яка визначена на проміжку (‑6;5). У кожній точці цього проміжку існує похідна y=f '(x). Скільки всього коренів має рівняння f '(x)=0 на проміжку (-6;5)?На малюнку ми бачимо точку локального максимуму при х= 1. При перетворенні у=f(x+3)-2 дана точка переміщується на 3 одиниці ліворуч та 2 одиниці униз. Тоді нове положення точки екстремуму в х=1-3= -2.
один
два
три
чотири
п'ять
Показати відповідь
Д.
На малюнку ми бачимо 3 точки локального максимуму і 2 точки локального мінімуму, отже, маємо 5 точок екстремуму і відповідно 5 коренів рівняння f '(x)=0.
Завдання 52. Установіть відповідність між графіком (1-3) функції, визначеної на проміжку [-4;4], та властивістю (А-Д).
На малюнку ми бачимо 3 точки локального максимуму і 2 точки локального мінімуму, отже, маємо 5 точок екстремуму і відповідно 5 коренів рівняння f '(x)=0.
1
2
3
2
3
А функція є непарною
Б найменше значення функції на проміжку [1; 3] дорівнює 2
В функція є парною
Г графік функції не має спільних точок із графіком рівняння (х-3)2+(у-4)2=4
Д графік функції тричі перетинає пряму у=1
Б найменше значення функції на проміжку [1; 3] дорівнює 2
В функція є парною
Г графік функції не має спільних точок із графіком рівняння (х-3)2+(у-4)2=4
Д графік функції тричі перетинає пряму у=1
Показати відповідь
1-Г, 2-Б, 3-Д.
1) Графік функції не має спільних точок із графіком рівняння (х-3)2+(у-4)2=4 (коло з центром в точці (3;4) і радіусом 2).
2) Найменше значення функції на проміжку [1; 3] дорівнює 2.
3) Графік функції тричі перетинає пряму у=1.
Завдання 53. На рисунках (1-3) зображено графіки функцій, визначених на відрізку [-4;4]. Установіть відповідність між графіком функції (1-3) та властивістю (А-Д), що має ця функція1) Графік функції не має спільних точок із графіком рівняння (х-3)2+(у-4)2=4 (коло з центром в точці (3;4) і радіусом 2).
2) Найменше значення функції на проміжку [1; 3] дорівнює 2.
3) Графік функції тричі перетинає пряму у=1.
1
2
3
2
3
А функція має лише один нуль
Б функція є непарною
В функція не має точок екстремуму
Г функція набуває лише додатних значень
Д графік функції проходить через точку (3;-2)
Б функція є непарною
В функція не має точок екстремуму
Г функція набуває лише додатних значень
Д графік функції проходить через точку (3;-2)
Показати відповідь
1-Д, 2-Г, 3-А.
1) Графік функції проходить через точку (3;-2).
2) Графік функції лежить над віссю Ох, тому функція набуває лише додатних значень.
3) Графік функції перетинає вісь Ох лише один раз, тому функція має лише один нуль.
Завдання 54. На рисунках (1-5) зображено графіки функцій, визначених на відрізку [-3;3]. До кожного запитання (1-4) доберіть правильну відповідь (А-Д). 1) Графік функції проходить через точку (3;-2).
2) Графік функції лежить над віссю Ох, тому функція набуває лише додатних значень.
3) Графік функції перетинає вісь Ох лише один раз, тому функція має лише один нуль.
1 На якому рисунку зображено графік функції, що проходить через точку (1;0)?
2 На якому рисунку зображено графік парної функції?
3 На якому рисунку зображено графік функції, що має дві спільні точки з графіком функції у=log_{\frac{1}{3}}x
4 На якому рисунку зображено графік функції, що зростає на відрізку [-2;3]
2 На якому рисунку зображено графік парної функції?
3 На якому рисунку зображено графік функції, що має дві спільні точки з графіком функції у=log_{\frac{1}{3}}x
4 На якому рисунку зображено графік функції, що зростає на відрізку [-2;3]
А рис. 1
Б рис. 2
В рис. 3
Г рис. 4
Д рис. 5
Б рис. 2
В рис. 3
Г рис. 4
Д рис. 5
Показати відповідь
1-А, 2-Б, 3-Г, 4-B.
1) За малюнком через дану точку проходить рис.1. Маємо пару 1-А.
2) Графік парної функції симетричний відносно осі у. За малюнком це графік на рис. 2 Маємо пару 2-Б.
3) Графік логарифмічної функції при основі менше за 1 є спадною функцію, яка буде перетинати у двох точках графік на рис. 4. Маємо пару 3-Г.
4) Зростаючою функцією із відповідей, що залишилися, за малюнком є графік на рис. 3. Маємо пару 4-В.
Завдання 55. На рисунках (1-4) зображено графіки функцій, кожна з яких визначена на проміжку [-2;2]. Установіть відповідність між графіком функції (1-4) та властивістю (А-Д), що має ця функція.1) За малюнком через дану точку проходить рис.1. Маємо пару 1-А.
2) Графік парної функції симетричний відносно осі у. За малюнком це графік на рис. 2 Маємо пару 2-Б.
3) Графік логарифмічної функції при основі менше за 1 є спадною функцію, яка буде перетинати у двох точках графік на рис. 4. Маємо пару 3-Г.
4) Зростаючою функцією із відповідей, що залишилися, за малюнком є графік на рис. 3. Маємо пару 4-В.
1 рис. 1
2 рис. 2
3 рис. 3
4 рис. 4
2 рис. 2
3 рис. 3
4 рис. 4
А графік функції не перетинає графік функції y=tgx
Б графік функції є фрагментом графіка функції y=x2-1
В множиною значень функції є проміжок [-1;2]
Г функція спадає на проміжку [-2;2]
Д функція зростає на проміжку [-2;2]
Б графік функції є фрагментом графіка функції y=x2-1
В множиною значень функції є проміжок [-1;2]
Г функція спадає на проміжку [-2;2]
Д функція зростає на проміжку [-2;2]
Показати відповідь
1-Г, 2-Б, 3-В, 4-Д.
1) За малюнком дана функція спадає на всьому проміжку визначення.
2) Даний графік є параболою, перенесеною на 1 одиницю униз, тобто це частина графіка y=x2-1.
3) Найменше значення функції -1 (в точці х=-2), найбільше значення функції 2 (в точці х=2). Отже, множина значень [-1;2].
4) За малюнком дана функція зростає на всьому проміжку визначення.
Завдання 56. Установіть відповідність між функцією (1-4) та прямою, зображеною на рисунку (А-Д), яка не має з графіком цієї функції жодної спільної точки.
1) За малюнком дана функція спадає на всьому проміжку визначення.
2) Даний графік є параболою, перенесеною на 1 одиницю униз, тобто це частина графіка y=x2-1.
3) Найменше значення функції -1 (в точці х=-2), найбільше значення функції 2 (в точці х=2). Отже, множина значень [-1;2].
4) За малюнком дана функція зростає на всьому проміжку визначення.
| Запитання |
| 1 у=х 2 у=\sqrt{x}-2 3 у=(\frac{1}{3})^x 4 y= -π |
| А | Б | В | Г | Д |
 |
 |
 |
 |
 |
Показати відповідь
1-А, 2-В, 3-Г, 4-Б
.
1) Графік у=х є бісектрисою І та ІІІ координатних чвертей і тому не перетинає пряму на мал. А
2) Графік кореня, переміщений на 2 одиниці вниз знаходиться в правій частині координатної площини і тому не перетинає графіка на мал. В
3) Графік показникової функції лежить у верхній частині координатної площини і спадає (основа менше за 1). Із відповідей, що залишилися, він не перетинає графік на мал. Г.
4) Графік лежить у нижній частині координатної площини, проходить паралельно осі Ох і тому не перетинає графік на мал. Б
Завдання 57. На рисунках (1-4) зображено графіки функцій, визначених на відрізку [-4;4]. До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.1) Графік у=х є бісектрисою І та ІІІ координатних чвертей і тому не перетинає пряму на мал. А
2) Графік кореня, переміщений на 2 одиниці вниз знаходиться в правій частині координатної площини і тому не перетинає графіка на мал. В
3) Графік показникової функції лежить у верхній частині координатної площини і спадає (основа менше за 1). Із відповідей, що залишилися, він не перетинає графік на мал. Г.
4) Графік лежить у нижній частині координатної площини, проходить паралельно осі Ох і тому не перетинає графік на мал. Б
1 Функція, графік якої зображено на рис. 1
2 Функція, графік якої зображено на рис. 2
3 Функція, графік якої зображено на рис. 3
4 Функція, графік якої зображено на рис. 4
2 Функція, графік якої зображено на рис. 2
3 Функція, графік якої зображено на рис. 3
4 Функція, графік якої зображено на рис. 4
А є непарною
Б набуває найбільшого значення, що дорівнює 4
В є парною
Г має три нулі
Д має дві точки локального екстремуму
Б набуває найбільшого значення, що дорівнює 4
В є парною
Г має три нулі
Д має дві точки локального екстремуму
Показати відповідь
1-А, 2-Д, 3-Г, 4-В.
1) Оскільки графік функції симетричний відносно початку координат, то це графік непарної функції.
2) Графік даної функції має дві точки локального екстремуму
3) Оскільки графік функції перетинає вісь Ох у трьох точках, то дана функція має три нулі.
4) Оскільки графік функції симетричний відносно осі Оу, то це графік парної функції.
Завдання 58. На кожному з рисунків (1-4) зображено певну пряму. Кожній прямій поставте у відповідність функцію (А-Д), графік якої не має з цією прямою жодної спільної точки.
1) Оскільки графік функції симетричний відносно початку координат, то це графік непарної функції.
2) Графік даної функції має дві точки локального екстремуму
3) Оскільки графік функції перетинає вісь Ох у трьох точках, то дана функція має три нулі.
4) Оскільки графік функції симетричний відносно осі Оу, то це графік парної функції.
А у=х
Б y=log2x
В y=(x-2)2
Г y=1+\frac{1}{x}
Д y=x3
Б y=log2x
В y=(x-2)2
Г y=1+\frac{1}{x}
Д y=x3
Показати відповідь
1-А, 2-Б, 3-Г, 4-В.
1) Графік функції паралельний прямій у=х.
2) Даний графік проходить вище і лівіше від графіка логарифмічної функції.
3) Оскільки графік Г є гіперболою, переміщеною на 1 вгору, то вона не буде перетинати графік 3.
4) Оскільки пряма проходить в нижній половині координатної площини, то вона не буде перетинати параболу, переміщену на 2 праворуч.
Завдання 59. Установіть відповідність між функціями (1-4) та ескізами їхніх графіків (А-Д).
1) Графік функції паралельний прямій у=х.
2) Даний графік проходить вище і лівіше від графіка логарифмічної функції.
3) Оскільки графік Г є гіперболою, переміщеною на 1 вгору, то вона не буде перетинати графік 3.
4) Оскільки пряма проходить в нижній половині координатної площини, то вона не буде перетинати параболу, переміщену на 2 праворуч.
1. y=tgx
2. y=ctgx
3. у=(\frac{1}{2})^x
4. y=\frac{1}{x}
2. y=ctgx
3. у=(\frac{1}{2})^x
4. y=\frac{1}{x}
Показати відповідь
1-Г, 2-Б, 3-Д, 4-А.
Завдання 60. На рисунку зображено графік функції y=f(x), визначеної на проміжку [0;11] та диференційовної на проміжку (0;11). Установіть відповідність між числом (1-4) та проміжком (А-Д), якому належить це число.
1. f(8)
2. f'(7)
3. найменше значення функції y=f(x) на її області визначення
4. y=\int_{1}^{3}f(x)dx
2. f'(7)
3. найменше значення функції y=f(x) на її області визначення
4. y=\int_{1}^{3}f(x)dx
А (-∞;-2]
Б (-2;-0,5]
В (-0,5;2]
Г (2;4]
Д (4;+∞)
Б (-2;-0,5]
В (-0,5;2]
Г (2;4]
Д (4;+∞)
Показати відповідь
1-Г, 2-В, 3-А, 4-Б.
1) За малюнком при х=8 маємо у від 3 до 4.
2) Оскільки х=7 є точкою екстремуму, то в ній значення похідної дорівнює 0
3) Найнижча точка на графіку має у= -3,5.
4) Значення інтеграла дорівнює площі фігури, обмеженою лінією f(x) та x=1, x=3. За малюнком маємо приблизно дві половинки клітини, отже площа приблизно дорівнює 1. Оскільки на даному проміжку функція від'ємна, то і значення площі для обчислення інтеграла беремо зі знаком -. Маємо наближене значення інтегралу -1.
Завдання 61. На рисунку зображено графік функції f(x)=x4-x2+bx+c. Визначте знаки параметрів b і с. У відповіді вкажіть номер правильного варіанта з наведених нижче.1) За малюнком при х=8 маємо у від 3 до 4.
2) Оскільки х=7 є точкою екстремуму, то в ній значення похідної дорівнює 0
3) Найнижча точка на графіку має у= -3,5.
4) Значення інтеграла дорівнює площі фігури, обмеженою лінією f(x) та x=1, x=3. За малюнком маємо приблизно дві половинки клітини, отже площа приблизно дорівнює 1. Оскільки на даному проміжку функція від'ємна, то і значення площі для обчислення інтеграла беремо зі знаком -. Маємо наближене значення інтегралу -1.
1. b>0,c>0.
2. b>0, c<0.
3. b<0,c>0.
4. b<0,c<0.
Показати відповідь
3.
При х=0 маємо f(0)=c. За малюнком при х=0 маємо додатне значення у, тому с>0. Знайдемо похідну функції. Маємо f'(х)=4x3-2x+b. Тоді f'(0)=b. Оскільки за малюнком в точці х=0 функція спадає, то значення похідної в цій точці від'ємне. Отже, b<0.
При х=0 маємо f(0)=c. За малюнком при х=0 маємо додатне значення у, тому с>0. Знайдемо похідну функції. Маємо f'(х)=4x3-2x+b. Тоді f'(0)=b. Оскільки за малюнком в точці х=0 функція спадає, то значення похідної в цій точці від'ємне. Отже, b<0.
Коментарі