Задачі з поясненнями (остання частина)

  1. 2021. І ч.Осьовим перерізом циліндра є прямокутник ABCD, сторона AD якого лежить у нижній основі циліндра. Діагональ АС перерізу утворює з площиною верхньої основи циліндра кут β. Діаметр основи циліндра дорівнює d.
    1. Зобразіть на рисунку заданий циліндр і його осьовий переріз ABCD.
    2. Укажіть кут β, що утворює пряма АС із площиною верхньої основи циліндра.
    3. Визначте об’єм циліндра.
    Відповідь
    V=.
    1. Для побудови осьового перерізу проводимо діаметр верхньої основи, з кінців діаметра проводимо твірні циліндра і з'єднуємо їх в нижній основі. Отримуємо прямокутник ABCD.

    2. Діаметр BC є проекцією прямої АС на верхню основу, тому кут АСВ (кут між похилою і її проекцією) є кутом, який утворює АС з площиною верхньої основи циліндра і дорівнює β за умовою.
    3. З прямокутного трикутника АВС АВ=BCtgβ=dtgβ. Радіус кола основи R=ВС:2=. V=πR2H==.
  2. 2021. II ч. Осьовим перерізом циліндра є прямокутник ABCD, сторона AD якого лежить у нижній основі циліндра. Діагональ АС перерізу утворює з площиною верхньої основи циліндра кут β. Діаметр основи циліндра дорівнює d. На колі нижньої основи вибрано точку К так, що відрізок АК видно з точки D під кутом 30o.
    1. Зобразіть на рисунку заданий циліндр і вкажіть кут γ між площиною (СКА) і площиною нижньої основи. Обгрунтуйте його положення.
    2. Визначте кут γ.
    Відповідь
    γ=.
    1. Для побудови осьового перерізу проводимо діаметр верхньої основи, з кінців діаметра проводимо твірні циліндра і з'єднуємо їх в нижній основі. Отримуємо прямокутник ABCD.
    Поставимо точку К на дузі AD так, щоб кут KDA був 30o.
    Так як вписаний кут AKD спирається на діаметр кола, то він дорівнює 90o. Тоді АК⊥KD. Так як KD є проекцією CК на площину основи, то за теоремою про три перпендикуляри CК⊥AK. Тоді за ознакою перпендикулярності прямої та площини площина (CKD) перпендикулярна до KA (спільного ребра площин CKA та основи) і кут між прямими CК і КD є кутом γ між площиною (CKA) і площиною нижньої основи циліндра.

    2. З прямокутного трикутника AKD KD=ADcos30o=. CD=AB=dtgβ.
    З прямокутного трикутника KCD tgγ=CD:KD=dtgβ:=.
    γ=.
  3. 2021. І ч. Осьовим перерізом циліндра є прямокутник ABCD, сторона AD якого лежить в нижній основі циліндра. Діагональ АС перерізу дорівнює d й утворює з площиною нижньої основи циліндра кут β.
    1. Зобразіть на рисунку заданий циліндр і його осьовий переріз ABCD.
    2. Укажіть кут β, що утворює пряма АС із площиною нижньої основи циліндра.
    3. Визначте об’єм циліндра.
    Відповідь
    V=.
    1. Для побудови осьового перерізу проводимо діаметр верхньої основи, з кінців діаметра проводимо твірні циліндра і з'єднуємо їх в нижній основі. Отримуємо прямокутник ABCD.

    2. Діаметр AD є проекцією прямої АС на нижню основу, тому кут CAD (кут між похилою і її проекцією) є кутом, який утворює АС з площиною нижньої основи циліндра і дорівнює β за умовою.
    3. З прямокутного трикутника ACD AD=ACcosβ=dcosβ, CD=ACsinβ=dsinβ. Тоді радіус кола основи R=AD:2=. V=πR2H==.
  4. 2021. II ч.Осьовим перерізом циліндра є прямокутник ABCD, сторона AD якого лежить у нижній основі циліндра. Діагональ АС перерізу дорівнює d й утворює з площиною нижньої основи циліндра кут β. На колі нижньої основи вибрано точку К так, що градусна міра дуги АК дорівнює 90o.
    1. Зобразіть на рисунку заданий циліндр і вкажіть кут γ між площиною (KBD) і площиною нижньої основи циліндра. Обгрунтуйте його положення.
    2. Визначте кут γ.
    Відповідь
    γ=.
    1. Для побудови осьового перерізу проводимо діаметр верхньої основи, з кінців діаметра проводимо твірні циліндра і з'єднуємо їх в нижній основі. Отримуємо прямокутник ABCD.
    Поставимо точку К посередині дуги AD (так як дуга AD стягує кут 180o, то дуга АК стягує кут 90o.
    Так як вписаний кут AKD спирається на діаметр кола, то він дорівнює 90o. Тоді АК⊥KD. Так як АК є проекцією ВК на площину основи, то за теоремою про три перпендикуляри ВК⊥KD. Тоді за ознакою перпендикулярності прямої та площини площина (АКВ) перпендикулярна до KD (спільного ребра площин KBD та основи) і кут між прямими АК і ВК є кутом γ між площиною (KBD) і площиною нижньої основи циліндра.

    2. Так як прямокутник АВСD симетричний відносно осі циліндра, то діагональ BD перерізу також дорівнює d й утворює з площиною нижньої основи циліндра кут β. Діаметр AD є проекцією прямої BD на нижню основу, тому кут BDA (кут між похилою і її проекцією) є кутом, який утворює BD з площиною нижньої основи циліндра і дорівнює β за умовою.
    3. З прямокутного трикутника BDA AD=BDcosβ=dcosβ, AB=BDsinβ=dsinβ. Так як трикутник АКD рівнобедрений і прямокутний (К середина дуги AD), то за теоремою Піфагора маємо:
    AK2+KD2=AD2
    AK2+AK2=(dcosβ)2
    2AK2=(dcosβ)2
    AK2=(dcosβ)2:2
    AK=.
    З прямокутного трикутника АКВ tgγ=AB:AK=dsinβ:=dsinβ⋅=.
    γ=.
  5. 2021. ІІ ч.У правильній чотирикутній піраміді SABCD плоский кут при вершині S піраміди дорівнює β. Довжина апофеми піраміди дорівнює 6.
    1. Зобразіть на рисунку задану піраміду й укажіть лінійний кут γ двогранного кута при її бічному ребрі. Обґрунтуйте його положення.
    2. Визначте кут γ.
    Відповідь
    γ=2arcsin().

    1. Так як піраміда правильна чотирикутна, то будуємо її основу - квадрат ABCD, який зображується у вигляді паралелограма. Так як у правильній піраміді основа висоти є центром основи, то прводимо діагоналі квадрата, точка О їх перетину є основою висоти. Проводимо висоту SO і з'єднуємо точку S з усіма вершинами основи. Побудували піраміду SABCD.
    Проведемо площину через вершини основи B і D перпендикулярно до бічного ребра SC. Ця площина перетинає це ребро в точці L. Трикутник BLD є даним перерізом. Так як ребро SC перпендикулярне до площини перерізу, то воно перпендикулярне і до прямих, що лежать в даній площині. Тому BL⊥SC, DL⊥ SC і за означенням лінійного кута двогранного кута кут BLD між прямими BL і DL є лінійним кутом γ двогранного кута при бічному ребрі піраміди.
    2. Так як трикутник SDC рівнобедрений, то кути D і C рівні і дорівнюють (180o-β):2=90o-
    З прямокутного трикутника LCD LD=CDsin∠LCD=12tgsin(90o-)=12tgcos=12=12sin .
    Діагональ BD квадрата дорівнює CD=
    Тоді OD=BD:2= З прямокутного трикутника OLD:
    sin=OD:LD
    sin=:(12sin)
    sin=
    sin=
    =arcsin()
    γ=2arcsin().
  6. 2021. І ч. У правильній чотирикутній піраміді SABCD плоский кут при вершині S піраміди дорівнює β. Довжина апофеми піраміди дорівнює 6.
    1. Зобразіть на рисунку задану піраміду й позначте кут β.
    2. Визначте довжину сторони основи піраміди SABCD.
    3. Визначте об’єм піраміди SABCD.
    Відповідь
    DC=12tg
    V=    .

    1. Так як піраміда правильна чотирикутна, то будуємо її основу - квадрат ABCD, який зображується у вигляді паралелограма. Так як у правильній піраміді основа висоти є центром основи, то прводимо діагоналі квадрата, точка О їх перетину є основою висоти. Проводимо висоту SO і з'єднуємо точку S з усіма вершинами основи. Побудували піраміду SABCD.
    Плоский кут при вершині - це кут, утворений двома бічним ребрами. Тому кут DSC є плоским кутом при вершині S піраміди і дорівнює β за умовою.
    2. Так як піраміда правильна, то бічна грань DSC є рівнобедреним трикутником. Проведемо в ній апофему SK. Так як трикутник DSC є рівнобедреним, то висота (апофема) SK є і медіаною (точка К є серединою відрізка CD) і бісектрисою (кут DSK є половиною кута DSC і дорівнює . Тоді з прямокутного трикутника DSK DK=SKtg∠DSK=6tg і довжина сторони основи піраміди DC=2DK=12tg
    3. ОК є середньою лінією трикутника ACD і тому дорівнює половині AD, тобто половині сторони основи піраміди. Тому ОK=6tg.
    З прямокутного трикутника SOK за теоремою Піфагора маємо:
    SK2=SO2+OK2
    62=SO2+(6tg)2
    SO2=62-(6tg)2
    SO2=36-36
    SO2=36(1-)
    SO2=36(1-)
    SO2=36
    SO2=36
    SO=
    Площа основи (квадрата ABCD) S=CD2=144
    Об’єм піраміди SABCD V=S⋅SO=⋅144⋅==.
  7. 2020. У прямокутному паралелепіпеді АВСDА1В1С1D1 через сторону AD нижньої основи й середину ребра CС1 проведено площину γ. Грань CС1D1D є квадратом. Діагональ грані BB1C1C дорівнює 8 й утворює з площиною грані CС1D1D кут α.
    1. Побудуйте переріз паралелепіпеда АВСDА1В1С1D1 площиною γ.
    2. Укажіть вид перерізу та обґрунтуйте свій висновок.
    3. Визначте площу перерізу.
    Відповідь
    16sin2α.

    1. Нехай точка М - середина ребра СС1. По грані CС1D1D переріз проходить по відрізку DM. Так як протилежні бічні грані паралелепіпеда паралельні, то по цим граням переріз проходить по паралельних прямих. Тому проводимо відрізок АК (точка К належить ребру BB1) паралельно DM. Точки К і М належать одній грані, тому переріз по цій грані проходить по відрізку КМ. Отриманий чотирикутник АКМD є шуканим перерізом.
    2. Так як протилежні сторони чотирикутника АВ1С1D лежать в протилежних гранях паралелепіпеда, які паралельні, то і протилежні сторони цього чотирикутника паралельні. Тому він є паралелограмом. Ребро AD перпендикулярно до площини CС1D1D, отже воно перпендикулярно до будь-якої прямої, що лежить в цій площині, а тому відрізок AD перпендикулярний до DM. Остаточно маємо, що чотирикутник АKMD - прямокутник.
    3. Так як ребро В1С1 перпендикулярне до площини CС1D1D, то відрізок CС1 є проекцією діагоналі В1C на цю площину і кут В1CC1 є кутом між діагоналлю грані BB1C1C і площиною грані CС1D1D і тому дорівнює α за умовою.
    З прямокутного трикутника В1С1С маємо: В1С1=B1Csinα=8sinα, C1С1=B1Ccosα=8cosα. Так як CС1D1D - квадрат, то CD=8cosα. Так як точка М ділить ребро навпіл, то МС=8cosα:2=4cosα. З прямокутного трикутника DCM за теоремою Піфагора DM2=DC2+CM2=(8cosα)2+(4cosα)2= 64cos2α+16cos2α=80cos2α. Тоді DM==. Так як бічні грані даного паралелепіпеда - прямокутники, то AD=В1С1=8sinα. Площа прямокутника АKMD=AD⋅DM=8sinα⋅4cosα=32sinαcosα=16sin2α.
  8. 2020. У прямокутному паралелепіпеді АВСDА1В1С1D1 через сторону AD нижньої основи й середину ребра В1С1 проведено площину γ. Висота паралелепіпеда дорівнює 18, грань CС1D1D є квадратом. Діагональ паралелепіпеда утворює з площиною основи кут α.
    1. Побудуйте переріз паралелепіпеда АВСDА1В1С1D1 площиною γ.
    2. Укажіть вид перерізу та обґрунтуйте свій висновок.
    3. Визначте площу перерізу.
    Відповідь
    або .

    1. Так як основи паралелепіпеда паралельні, то по цим основам переріз проходить по паралельних прямих. Прямою, паралельною AD і що проходить через середину В1С1 є В1С1. З'єднуємо точки А і В1, що належать лівій бічній грані і точки D і С1, що належать правій бічній грані. Отриманий чотирикутник АВ1С1D є шуканим перерізом.
    2. Так як протилежні сторони чотирикутника АВ1С1D лежать в протилежних гранях паралелепіпеда, які паралельні, то і протилежні сторони цього чотирикутника паралельні. Тому він є паралелограмом. Ребро AD перпендикулярно до площини CС1D1D, отже воно перпендикулярно до будь-якої прямої, що лежить в цій площині, а тому відрізок AD перпендикулярний до DС1. Остаточно маємо, що чотирикутник АВ1С1D - прямокутник.
    3. Так як CС1D1D - квадрат зі стороною 18 (висота прямокутного паралелепіпеда співпадає з його бічним ребром), то DС1 - діагональ квадрата і дорівнює 18. Так як BD є проецією діагоналі паралелепіпеда В1D на площину основи, то кут В1DB між BD та В1D є кутом, який утворює діагональ паралелепіпеда з площиною основи і дорівнює α за умовою. З прямокутного трикутника В1DB BD==. З прямокутного трикутника ABD за теоремою Піфагора AD2=BD2-AB2=()2-182=-324=324(-1)=. Звідси AD=. Площа прямокутника АВ1С1D=AD⋅DС1=18⋅=
    Можна отримати відповідь у іншому вигляді. Так як 1-tg2α=1-==, то S=== =.
  9. 2020. Задано правильну трикутну призму АВСА1В1С1, основою якої є трикутник АВС. Висота призми дорівнює Н, діагональ бічної грані нахилена до площини основи під кутом α. Через висоту ВК трикутника АВС та вершину С1 проведено площину γ.
    1. Побудуйте переріз призми АВСА1В1С1 площиною γ.
    2. Визначте вид перерізу й обґрунтуйте свій висновок.
    3. Визначте площу перерізу.
    Відповідь
    .

    1. Так як точки К та С1 перерізу належать одній грані, то по цій грані переріз проходить по відрізку КС1. Аналогічно проводимо відрізок ВС1. Трикутник КВС1 є шуканою площиною.
    2. Так як ВК - висота, то відрізок СК (проекція похилої С1К на площину основи) перпендикулярний до ВК. Тоді за теоремою про три перпендикуляри, похила С1К також перпендикулярна до ВК, тому переріз є прямокутним трикутником з катетами ВК і С1К.
    3. Кут С1АС є кутом між похилою С1А і її проекцією на площину основи, тому він є кутом нахилу діагоналі бічної грані і дорівнює α за умовою. Так як призма правильна, то вона є прямою і її бічні ребра дорівнюють висоті призми. Тоді з прямокутного трикутника С1АС маємо tgα=С1С:CA, звідки АС=С1С:tgα=Н:tgα. Так як трикутник АВС правильний (основа правильної призми), то висота ВК є медіаною, тому КС=АС:2=. З прямокутного трикутника С1КС С1К2=КС2+С1С2=+H2=H2(+1)=H2, звідси С1К=H
    З прямокутного трикутника BКС sin∠C=BK:BC, звідки ВК=ВСsin∠C=Н:tgα⋅sin60o= (кут С=60o так як трикутник правильний). Площа прямокутного трикутника КВС1 дорівнює половині добутку його катетів ВК та KС1. S=⋅H⋅===.
  10. 2019. У конусі радіус основи дорівнює R, твірна — l. Через вершину конуса й хорду його основи проведено площину β. Ця площина утворює з площиною основи конуса гострий кут α.
    1. Зобразіть переріз конуса площиною β та вкажіть його вид.
    2. Обґрунтуйте положення кута α.
    3. Визначте периметр цього перерізу.
    Відповідь
    .

    1. Для побудови цього перерізу проводимо хорду основи АВ і з'єднуємо з вершиною С конуса. Так як твірні конуса СА та СВ рівні, то перерізом є рівнобедрений трикутник.
    2. Проведемо висоту СО конуса і з точки О проведемо перпендикуляр CD до хорди АВ. Тоді за теоремою про три перпендикуляри кут між CD та AB також прямий і тоді кут між прямими OD та CD є кутом між площиною перерізку і площиною основи і дорівнює за умовою α.
    3. З прямокутного трикутника ОАС (СО перпендикуляр до площини основи) за теоремою Піфагора маємо ОС=. З прямокутного трикутника ODC OD=OCctgα=ctgα. З прямокутноо трикутника OAD за теоремою Піфагора AD2=OA2-OD2=R2-(l2-R2)ctg2α=R2-l2ctg2α+R2ctg2α=R2(1+ctg2α)-l2ctg2α= (R2-l2cos2α). Тоді AD=. Так як ОА і ОВ - радіуси кола основи, то трикутник ОАВ є рівнобедреним і тоді висота ОD є медіаною. Отже точка D є серединою хорди АВ і АВ=2OD=. Периметр перерізу дорівнює P=AC+CB+AB==.
  11. 2019. У нижній основі циліндра проведено хорду АВ, довжина якої дорівнює с. Цю хорду видно із центра верхньої основи під кутом α. Через хорду АВ проведено площину β паралельно осі циліндра на відстані d (d≠0) від неї.
    1. Зобразіть переріз циліндра площиною β та вкажіть його вид.
    2. Обґрунтуйте відстань d.
    3. Визначте площу цього перерізу.
    Відповідь
    .

    1. Для побудови цього перерізу проводимо через точки А та В прямі, паралельні осі до перетину з верхньою основою в точках D і C відповідно, після чого проводимо відрізок CD. Так як ОО1||AD за побудовою, то за ознакою паралельності прямої та площини вісь циліндра паралельна площині ABCD. Отже, прямокутник ABCD - шуканий переріз.
    2. Так як O1О паралельний площині перерізу, то відстанню d є перпендикуляр проведений з точки O1 до площини. Проведемо відрізок O1T, де Т - середина відрізка АВ. Так як AO1=BO1 (як радіуси основи), то трикутник AO1B є рівнобедреним і медіана O1T є висотою. Так як вісь циліндра перпендикулярна до основи, то і площина ABCD також перпендикулярна до неї. Тому перпендикуляр O1, проведений в площині основи до спільної прямої цих площин є перпендикуляром до всієї площини. Отже O1T=d.
    3. Так як Т - середина АВ, то АТ=0,5с. З прямокутного трикутника АO1T за теоремою Піфагора АO12=AT2+O1T2=+d2. Оскільки АВ видно з точки О під кутом α, то кут АОВ дорівнює α. Тоді з трикутника АОВ за теоремою косинусів АВ2=АО2+ОВ2-2АО⋅OBcosα. Так як AO1=BO1, то прямокутні трикутники AОO1=BОO1 рівні (сторона ОO1 спільна), тоді АО=ОВ. Маємо c2=АО2+AO2-2АО⋅AOcosα
    c2=2АО2-2АО2cosα
    c2=2АО2(1-cosα)
    c2=2АО22sin2(0,5α)
    c2=4АО2sin2(0,5α)
    c=2АОsin(0,5α)
    Звідси АО=
    Тоді з прямокутного трикутника АОO1 за теоремою Піфагора ОО12=АО2-АО12= -d2=-d2=-d2=-d2=-4d2). Звідси ОО1, а відповідно і AD дорівнює -4d2. Площа перерізу S=AB⋅AD=c⋅=.
  12. Основою прямої призми ABCDA1B1C1D1 є ромб ABCD, у якому гострий кут А дорівнює α. Площина γ, що проходить через одну з вершин верхньої основи та меншу діагональ нижньої основи призми, утворює з площиною основи гострий кут β. Висота призми дорівнює h.
    1. Побудуйте переріз заданої призми площиною γ.
    2. Визначте площу цього перерізу.
    Відповідь
    .

    1. Оскільки кут А — гострий, то BD є меншою діагоналлю нижньої основи. Оскільки площина γ проходить через BD і утворює з площиною основи гострий кут, то вона не проходить через вершини B1 та D1. Отже, площина проходить через BD і вершину С1. Так як точки D і С1 лежать в одній бічній грані, то переріз проходить по цій бічній грані по відрізку С1D. Аналогічно, точки В і С1 лежать в одній бічній грані, то переріз проходить по цій бічній грані по відрізку С1В. Отже, трикутник С1ВD є шуканим перерізом.
    2. Так як ABCD – ромб, то його діагоналі перетинаються під прямим кутом. Тоді, так як відрізок СО перпендикулярний до BD, то за теоремою про три перпендикуляри похила С1О також перпендикулярна до BD. Тоді кут С1ОС є кутом нахилу площини перерізу до площини основи і дорівнює β за умовою. З прямокутного трикутника С1ОС С1О=С1С:sinβ=h:sinβ, OC= С1С⋅ctgβ=h⋅ctgβ. Так як діагоналі ромба є бісектрисами його кутів, то кут OCD=α:2. Тоді з прямокутного трикутника OCD OD=OCtg(α:2)=h⋅ctgβ⋅tg(α:2). Так як діагоналі ромба точкою пертину діляться навпіл, то BD=2OD=2h⋅ctgβ⋅tg(α:2). За формулою площі трикутника S=BD⋅C1O}=2hctgβtg=h2
  13. Основою прямої призми ABCDA1B1C1D1 є прямокутник ABCD, у якому діагональ АС=а, ∠ВАС=β. Площина, що проходить через вершину верхньої основи та діагональ нижньої основи призми, утворює з площиною основи гострий кут α. Визначте об’єм заданої призми.
    Відповідь
    або а3sin2βcos2βtgα.

    З прямокутного трикутника ABС AB=ACcosβ =acosβ , BC=ACsinβ =asinβ . Тоді площа основи Sосн=AB⋅BC=acosβ⋅asinβ=a2sinβcosβ.
    Проведемо перпендикуляр DO до діагоналі АС. Тоді за теоремою про три перпендикуляри похила D1 також перпендикулярна до АС. Тоді кут D1OD є кутом нахилу площини АD1С до площини основи і дорівнює α за умовою. Кути ВАС і АСD рівні як внутрішні різносторонні. З прямокутного трикутника ОСD OD=CDsin∠OCD= acosβsinβ. З прямокутного трикутника OD1D DD1=ODtgα= acosβsinβtgα. Об’єм призми V=SоснH= a2sinβcosβ⋅ acosβsinβtgα= а3sin2βcos2βtgα.
    Так як sin2β=2sinβcosβ, то sin22β= 4sin2βcos2β, звідки sin2βcos2β= sin22β:4. Якщо підставити даний вираз у відповідь, можна отримати ще один варіант відповіді a3sin2βtgα.
  14. Основою правильної призми ABCA1B1C1 є рівносторонній трикутник ABC. Точка К — середина ребра ВС. Площина, що проходить через точки А, К та В1, утворює з площиною основи призми кут α. Визначте об’єм призми ABCA1B1C1, якщо відстань від вершини А до грані BB1C1С дорівнює d.
    Відповідь
    .

    Так як К — середина ВС і трикутник АВС правильний, то медіана АК є висотою і бісектрисою. За теоремою про три перпендикуляри похила B1К також перпендикулярна до АК. Тоді кут B1КВ є кутом нахилу площини АКB1 до площини основи і дорівнює α. Відрізок АК перпендикулярний до двох прямих, що лежать в площині BB1C1С (ВК і B1К), тоді за ознакою перпендикулярності прямої і площини відрізок АК перпендикулярний до даної площини і є відстанню від точки А до грані BB1C1С, тобто дорівнює d за умовою. Так як трикутник АВС правильний, то кут АСК дорівнює 60o. З прямокутного трикутника АСК АС=АК:sin∠ACK=. Площа основи SоснH==. Так як К - середина ВС, то КВ=ВС:2= . З прямокутного трикутника В1КВ В1B=ВКtgα=. Об’єм призми V=SоснH=.
  15. У правильній чотирикутній піраміді SABCD сторона основи ABCD дорівнює с, а бічне ребро SA утворює з площиною основи кут α. Через основу висоти піраміди паралельно грані ASD проведено площину β.
    1. Побудуйте переріз піраміди SABCD площиною β.
    2. Обгрунтуйте вид перерізу.
    3. Визначте периметр перерізу.
    Відповідь
    P=.

    1. Проведемо через точку О пряму паралельну AD до перетину з ребрами основи. Отримаємо відрізок KN. Проведемо через точку N пряму, паралельну SD до перетину з ребром SN в точці М, через точку N пряму, паралельну SА до перетину з ребром SB в точці L. Точки L і M лежать в одній грані, тому переріз по даній грані проходить по відрізку LM. Так як KN||AD, MN||SD, то площина KLMN паралельна площині ASD, отже площина KLMN є шуканою площиною перерізу β.
    2. Так як О — середина АС, ON||AD, то ON – середня лінія трикутника ACD і N – середина CD. Аналогічно К- середина АВ. Через точки N і К проводилися прямі, паралельні бічним ребрам, тоді KL і NM – середні лінії відповідних бічних граней. Тоді L і M – середини ребер SB і SC відповідно. Тому LM – середня лінія трикутника SBC, відповідно LM||BC і LM=0,5BC, а так як BC||AD, AD||KN, то використовуючи ознаку паралельності прямих маємо LM||KN, причому, враховуючи BC=AD=KN, маємо LM=0,5KN. Так як піраміда правильна, то її бічні ребра рівні, тоді рівні і середні лінії KL і LM. Маємо LM||KN, KL=MN, але KL не паралельний MN (інакше б LM=KN), тоді KLMN – рівнобічна трапеція.
    3. Так як AD=c, то KN=c і LM=0,5c. Так як ОА — проекція SA на площину основи, то кут SAO є кутом між бічним ребром і основою і дорівнює α за умовою. Так як ABCD – квадрат (піраміда правильна), то діагональ AC= , тоді АО=. З прямокутного трикутника SAO SA=OA:cos∠SAO=. Так як LK – середня лінія трикутника SAB, то LK=SA:2=. Трапеція KLMN рівнобічна, тому MN=LK=. Маємо Р=KL+LM+MN+KN=+0,5c++c=+1,5c=.
  16. Основою піраміди SABCD є ромб ABCD, більша діагональ якого АС=30. Грань SBC є рівнобедреним трикутником (SB=SC) і перпендикулярна до площини основи піраміди. Ребро SC нахилено до площини основи піраміди під кутом 30o. Визначте кут між площинами (SAD) і (ABC), якщо висота піраміди дорівнює 5.
    Відповідь
    arctg.

    Так як грань SBC перпендикулярна до площини основи, то висота грані SK є висотою піраміди і дорівнює 5. Так як SB=SC, то висота піраміди SK є медіаною грані і BK=KC. З прямокутного трикутника SKC KC=SKtgSCK=5. Тоді ВС=2КС=10. Для ромба сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів всіх його сторін, тобто квадрату однієї сторони, помноженої на 4. AC2+BD2=4BC2. Підставимо відомі значення і маємо 900+BD2=4⋅100⋅3, звідси BD2=1200-900=300 і BD=10. Площа ромба з одного боку дорівнює S=0,5AC⋅BD=0,5⋅30⋅10=150, а з другого боку S=AD⋅KO, де КО — висота ромба. Маємо 150=10 звідки КО=15. Так як відрізок КО перпендикулярний до AD, то за теоремою про три перпендикуляри і похила SО перпендикулярна до AD. Тоді кут SOK є кутом між площинами (SAD) і (ABC). З прямокутного трикутника SOK tg∠SOK=SK:KO=5:15=1:3. Звідси кут SOK дорівнює arctg.
  17. 2019. Площина β проходить через точку А, розташовану на поверхні кулі. Відстань від центра цієї кулі до площини β дорівнює d (d менше радіуса кулі, d≠0). Радіус кулі, проведений в точку А, утворює з площиною β кут α.
    1. Зобразіть переріз кулі площиною β і укажіть на рисунку відстань d.
    2. Обґрунтуйте положення кута α.
    3. Визначте площу цього перерізу.
    Відповідь
    S=πd2ctg2α.

    1. Перерізом кулі площиною є круг. Отже будуємо зображення круга перерізу,на колі цього круга знаходиться точка А за умовою. З'єднаємо центри кулі О та круга перерізу В. Так як відрізок, що з'єднує центри кулі та круга перерізу перпендикулярний до площини перерізу, то відрізок ОВ за умовою дорівнює d.
    2. Так як відрізок ОВ перпендикулярний до площини перерізу, то кут ОВА прямий. Тоді відрізок ВА є проекцією відрізка ОА на площину перерізу і за означенням кута між прямою та площиною кут між відрізком ОА і його проекцією на площину β ВА є кутом між відрізком та площиною. Отже кут ОАВ дорівнює α.
    3. З прямокутного трикутника ОАВ АВ=ОВctgα=dctgα. Так як АВ є радіусом круга перерізу, то площа перерізу S=πr2=πAB2=πd2ctg2α.
⇐VI.12.
Вектори у просторі		 До змісту
Мітки:

2 коментарі:

Підписатися на: Дописати коментарі (Atom)