Шлях до математики: кроки успіху: Вектори у просторі

Дії над векторами у просторі:

Координати вектора $\vec{AB}$ знаходяться за формулою:
$\vec{AB}$ =(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)
Довжина вектора $\vec{a}$ знаходиться за формулою:
$|\vec{a}|=\sqrt{{x_{\vec{a}}}^2+{y_{\vec{a}}}^2+{z_{\vec{a}}}^2}$
Додавання (віднімання) векторів:
$\vec{a}\pm\vec{b}$ =(x±x;y±y;z±z)
Множення вектора на скаляр (число):
k⋅ $\vec{a}$ =(kx;ky;kz)
Скалярний добуток векторів:
$\vec{a}\cdot\vec{b}$ = $|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|$ cosα, де α - кут між векторами
Скалярний добуток векторів:
$\vec{a}\cdot\vec{b}$ =x⋅x+y⋅y+z⋅z
Косинус кута між векторами:cosα= $\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$

Умова перпендикулярності векторів: два вектори перпендикулярні, якщо їх скалярний добуток дорівнює 0
Умова колінеарності векторів: два вектори колінеарні, коли відношення відповідних координат цих векторів рівні

Вектор $\vec{OA}$ лежить на осі z прямокутної декартової системи координат у просторі (див. рисунок), і його початок збігається з початком координат. Визначте координати вектора $\vec{OA}$ , якщо його довжина дорівнює 3.

А Б В Г Д

(1;1;1) (0;3;0) (0;0;3) (3;0;0) (3;3;3)

Відповідь

В.
Записати координати точки А в загальному вигляді, знайти довжину вектора і прирівняти до заданої довжини.

Правильну відповідь можна дізнатися, натискаючи кнопку Відповідь під завданням. Послуга ознайомлення з повними розв’язаннями завдань з цієї теми коштує 20 грн. Для отримання цієї послуги надішліть зі своєї електронної пошти листа на адресу ssychov@gmail.com з вказівкою теми "6.12. Вектори у просторі". У відповідь Вам надійде розрахунковий рахунок для переказу коштів. Після оплати надішліть скріншот квитанції і на Вашу адресу надійдуть розв’язки у pdf-форматі. Для перегляду зразка розв’язання натисніть кнопку нижче.

Зразок

Задано точки К (0;1;0) і М (0;0;1). Знайдіть координати вектора $\vec{KM}$ .

А Б В Г Д

$\vec{KM}$ (0;1;1) $\vec{KM}$ (0;-1;1) $\vec{KM}$ (0;1;-1) $\vec{KM}$ (2;0;0) $\vec{KM}$ (0;0;0)

Відповідь

Б.
Обчислити за формулою координат вектора.

При яких значеннях m і n вектори $\vec{a}$ (m;2;3) і $\vec{b}$ (-12;6;n) колінеарні?

А Б В Г Д

m= -36 і n=9 m= -4 і n=1 m= -36 і n=1 m= 3 і n=9 m= -4 і n=9

Відповідь

Д.
Записати умову колінеарності, підставити значення і розв'язати отримані рівняння.

У прямокутній декартовій системі координат у просторі xyz задано точки А (2;0;0) і В (-4;2;6). До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення	Закінчення речення
1 Серединою відрізка АВ є точка 2 Вектор $\vec{AB}$ має координати 3 Проекцією точки В на площину xz є точка 4 Проекцією точки В на вісь у є точка	А (-1;1;3) Б (0;2;0) В (-4;0;6) Г (-6;2;6) Д (-2;2;6)

Відповідь

1-А, 2-Г, 3-В, 4-Б

У прямокутній системі координат у просторі зображено прямокутний паралелепіпед ABCDA₁B₁C₁D₁, вершина В якого збігається з початком координат, а вершини А, С, і B₁ належать осям x, y, і z відповідно (див. рисунок). Вершина D₁ має координати (4; 8; 12). До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення	Закінчення речення
1 Серединою відрізка ВС є точка 2 Вектор $\vec{BA}$ має координати 3 Точка, що належить відрізку DD₁ і віддалена від точки D на 4 одиниці, має координати 4 Точка С₁ має координати	А (0;8;12) Б (4;0;0) В (4;8;0) Г (0;4;0) Д (4;8;4)

Відповідь

1-Г, 2-Б, 3-Д, 4-А

На рисунку зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро якого дорівнює 1. Установіть відповідність між вектором $\vec{a}$ (1-4) та твердженням (А-Д), яке є правильним для цього вектора.

Вектор	Твердження
1 $\vec{a}=\vec{AC_1}$ 2 $\vec{a}=\vec{B_1A_1}$ 3 $\vec{a}=\vec{AB_1}$ 4 $\vec{a}=\vec{BB_1}$	А вектори $\vec{a}$ і $\vec{CC_1}$ рівні Б скалярний добуток векторів $\vec{a}$ і $\vec{AA_1}$ дорівнює 0 В довжина вектора $\vec{a}$ дорівнює $\sqrt{3}$ Г вектори $\vec{a}$ і $\vec{C_1D}$ протилежні Д кут між векторами $\vec{a}$ і $\vec{AC}$ дорівнює 45^o.

Відповідь

1-В, 2-Б, 3-Г, 4-А

2021. У прямокутній системі координат у просторі задано вектор $\vec{a}$ (2; -9; 3). 1. Визначте координати вектора $\vec{b}=-2\vec{a}$ . У відповідь запишіть їхню суму.
2. Обчисліть скалярний добуток $\vec{a}\cdot\vec{b}$ .
Відповідь

8; -188.
Обчислити за формулами.
2021. У прямокутній системі координат у просторі задано вектор $\vec{AB}$ (-3;8;1) і точку В(7;–2;0), точка О — початок координат.
1. Визначте ординату у точки А(х;у;z).
2. Обчисліть скалярний добуток $\vec{OA}\cdot\vec{AB}$ .
Відповідь

-10; -111.
1. Записати формулу координат вектора і виразити з нього ординату точки.
2. Знайти координати першого вектора і застосувати формулу скалярного добутку.
2021. У прямокутній системі координат у просторі початком вектора $\vec{AB}$ (9;12;-8) є точка А(3; –7; 11).
1. Визначте ординату точки В.
2. Обчисліть модуль вектора $\vec{d}=4\vec{AB}+\vec{BA}$ .
Відповідь

5; 51.
1. Записати формулу координат вектора і виразити з нього ординату точки.
2.Спочатку знайти координати шуканого вектора, а потім обчислити його модуль за формулою.