Перейти до основного вмісту

Вектори у просторі

Вектори у просторі — це потужний інструмент, який дозволяє розв'язувати складні геометричні задачі за допомогою алгебри. На цій сторінці ви знайдете повний перелік формул: від знаходження координат і довжини вектора до умов їхньої перпендикулярності та колінеарності.

Ми зібрали актуальні завдання з НМТ та ЗНО з детальними поясненнями. Ви навчитеся швидко додавати вектори, обчислювати скалярний добуток та знаходити координати точок у тривимірному просторі. Кожна задача супроводжується покроковим розв'язанням, що допоможе вам уникнути типових помилок на іспиті!

    Дії над векторами у просторі:
    • Координати вектора \vec{AB} знаходяться за формулою:
      \vec{AB}=(xB-xA;yB-yA;zB-zA)
    • Довжина вектора \vec{a} знаходиться за формулою:
      |\vec{a}|=\sqrt{{x_{\vec{a}}}^2+{y_{\vec{a}}}^2+{z_{\vec{a}}}^2}
    • Додавання (віднімання) векторів:
      \vec{a}\pm\vec{b}=(x\vec{a}±x\vec{b};y\vec{a}±y\vec{b};z\vec{a}±z\vec{b})
    • Множення вектора на скаляр (число):
      k⋅\vec{a}=(kx\vec{a};ky\vec{a};kz\vec{a})
    • Скалярний добуток векторів:
      \vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|cosα, де α - кут між векторами
    • Скалярний добуток векторів:
      \vec{a}\cdot\vec{b}=x\vec{a}⋅x\vec{b}+y\vec{a}⋅y\vec{b}+z\vec{a}⋅z\vec{b}
    • Косинус кута між векторами:cosα=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}
    Умова перпендикулярності векторів: два вектори перпендикулярні, якщо їх скалярний добуток дорівнює 0
    Умова колінеарності векторів: два вектори колінеарні, коли відношення відповідних координат цих векторів рівні

    Завдання. НМТ 2026 (демо). Визначте координати вектора \vec{𝐾𝐿}, якщо 𝐾(3;2;4), 𝐿(–1;2;0).

    (4;0;4)
    (2;4;4)
    (2;0;−2)
    (1;2;2)
    (−4;0;−4)
    Показати відповідь
    Д. Координати вектора знаходяться як різниця відповідних координат кінця та початку вектора. Тому \vec{𝐾𝐿} = {- 1 - 3; 2 - 2; 0 - 4} = {- 4; 0; - 4}.
  1. НМТ 2023. Визначте координати вектора \vec{c}=\vec{b}-\vec{a}, якщо \vec{a}(2; 1; -5) і \vec{b}(-7; 0; 3).
    АБВГД
    \vec{c}(-9;-1;8) \vec{c}(9;1;-8) \vec{c}(-5;1;-2) \vec{c}(-5;-1;2) \vec{c}(-14;0;-15)
    Показати відповідь
    А.
    \vec{c}=\vec{b}-\vec{a} = (-7 - 2; 0 - 1; 3 - (-5)) = (- 9; - 1; 8)
  2. НМТ 2023. Визначте координати вектора, який є сумою векторів \vec{a}(2; -2; 3) і \vec{b}(-7; -3; 4).
    АБВГД
    (9;1;-1) (-5;-5;7) (-9;-1;1) (5;5;7) (-5;1;7)
    Показати відповідь
    Б.
    \vec{c}=\vec{b}+\vec{a}= (2 + (-7); - 2 + (- 3); 3 + 4) = (- 5; - 5; 7)
  3. Вектор \vec{OA} лежить на осі z прямокутної декартової системи координат у просторі (див. рисунок), і його початок збігається з початком координат. Визначте координати вектора \vec{OA}, якщо його довжина дорівнює 3.

    АБВГД
    (1;1;1) (0;3;0) (0;0;3) (3;0;0) (3;3;3)
    Показати відповідь
    В.
    Оскільки точка A належить осі Оz, то вона має координати (0;0;z). Тоді координати вектора \vec{OA} (0-0;0-0;z-0)=(0;0;z). Довжина вектора |\vec{OA}|=\sqrt{0^2+0^2+z^2}=\sqrt{z^2}=|z|. За умовою довжина вектора дорівнює 3, звідси |z|=3. Так як точка А лежить на додатній частині осі z, то z>0 і маємо z=3. Отже координати вектора (0;0;3).
  4. Задано точки К (0;1;0) і М (0;0;1). Знайдіть координати вектора \vec{KM}.
    АБВГД
    \vec{KM}(0;1;1) \vec{KM}(0;-1;1) \vec{KM}(0;1;-1) \vec{KM}(2;0;0) \vec{KM}(0;0;0)
    Показати відповідь
    Б.
    Координати вектора \vec{KM} (0-0;0-1;1-0) = (0;-1;1) (від координат точки М віднімаємо координати точки К).
  5. При яких значеннях m і n вектори \vec{a} (m;2;3) і \vec{b} (-12;6;n) колінеарні?
    АБВГД
    m= -36 і n=9 m= -4 і n=1 m= -36 і n=1 m= 3 і n=9 m= -4 і n=9
    Показати відповідь
    Д.
    Так як вектори колінеарні, то відношення їх відповідних координат рівні. Маємо \frac{m}{-12}=\frac{2}{6} = \frac{3}{n}. Беремо по два дроби. \frac{m}{-12}=\frac{2}{6}. m=2⋅(-12):6= -4; \frac{2}{6} = \frac{3}{n}. n=3⋅6:2=9.
  6. У прямокутній декартовій системі координат у просторі xyz задано точки А (2;0;0) і В (-4;2;6). До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
    Початок речення Закінчення речення
    1 Серединою відрізка АВ є точка
    2 Вектор \vec{AB} має координати
    3 Проекцією точки В на площину xz є точка
    4 Проекцією точки В на вісь у є точка     		А (-1;1;3)
    Б (0;2;0)
    В (-4;0;6)
    Г (-6;2;6)
    Д (-2;2;6)
    Показати відповідь
    1-А, 2-Г, 3-В, 4-Б.
    1) Нехай С — середина АВ. xC = (xA+xB):2 = (2+(-4)):2 = -1. yC=(yA+yB):2= (0+2):2 = 1. zC=(zA+zB):2 = (0+6):2 = 3. Точка (-1;1;3).
    2) Координати вектора \vec{AB} (-4-2;2-0;6-0)=(-6;2;6).
    3) Проекцією точки В на площину xz має такі ж координати x і z, а у=0. Точка (-4;0;6).
    4) Проекцією точки В на вісь у має таку ж координату у, а x=0 і z=0. Точка (0;2;0).
  7. У прямокутній системі координат у просторі зображено прямокутний паралелепіпед ABCDA1B1C1D1, вершина В якого збігається з початком координат, а вершини А, С, і B1 належать осям x, y, і z відповідно (див. рисунок). Вершина D1 має координати (4; 8; 12). До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

    Початок речення Закінчення речення
    1 Серединою відрізка ВС є точка
    2 Вектор \vec{BA} має координати
    3 Точка, що належить відрізку DD1 і віддалена від точки D на 4 одиниці, має координати
    4 Точка С1 має координати     		А (0;8;12)
    Б (4;0;0)
    В (4;8;0)
    Г (0;4;0)
    Д (4;8;4)
    Показати відповідь
    1-Г, 2-Б, 3-Д, 4-А.
    1) В (0;0;0), С (0;8;0). Тоді середина ВС має координати (0;4;0).
    2) А (4;0;0). Координати вектора\vec{BA}(4-0;0-0;0-0)= (4;0;0).
    3) D (4;8;0). Якщо точка належить відрізку DD1, то координати х і у в неї співпадають з точкою D, а z більше на 4. Точка (4;8;4).
    4) Точка С1 має координати (0;8;12).
  8. На рисунку зображено куб ABCDA1B1C1D1, ребро якого дорівнює 1. Установіть відповідність між вектором \vec{a} (1-4) та твердженням (А-Д), яке є правильним для цього вектора.

    Вектор Твердження
    1 \vec{a}=\vec{AC_1}
    2 \vec{a}=\vec{B_1A_1}
    3 \vec{a}=\vec{AB_1}
    4 \vec{a}=\vec{BB_1}     		А вектори \vec{a} і \vec{CC_1} рівні
    Б скалярний добуток векторів \vec{a} і \vec{AA_1} дорівнює 0
    В довжина вектора \vec{a} дорівнює \sqrt{3}
    Г вектори \vec{a} і \vec{C_1D} протилежні
    Д кут між векторами \vec{a} і \vec{AC} дорівнює 45o.
    Показати відповідь
    1-В, 2-Б, 3-Г, 4-А.
    1) Вектор \vec{a}=\vec{AC_1} є діагоналлю куба, яка дорівнює \sqrt3 \cdot{AD} = \sqrt3 \cdot1=\sqrt3
    2) Вектор \vec{a}=\vec{B_1A_1} перпендикулярний до \vec{AA_1}, тому їх скалярний добуток дорівнює 0.
    3) Вектори \vec{a}=\vec{AB_1} і \vec{C_1D} протилежні
    4) Вектори \vec{a}=\vec{BB_1} і \vec{CC_1} рівні.
  9. У прямокутній системі координат у просторі задано вектор \vec{a} (2; -9; 3). 1. Визначте координати вектора \vec{b}=-2\vec{a}. У відповідь запишіть їхню суму.
    2. Обчисліть скалярний добуток \vec{a}\cdot\vec{b}.
    Показати відповідь
    8; -188.
    1. \vec{b}=-2\vec{a} = -2 ⋅ (2; -9; 3) = (-4; 18; -6).
    -4 + 18 - 6 = 8.
    2. \vec{a}\cdot\vec{b} = 2 ⋅ (-4) + (-9) ⋅ 18 + 3 ⋅ (-6) = -8 - 162 - 18 = - 188.
  10. У прямокутній системі координат у просторі задано вектор \vec{AB} (-3;8;1) і точку В(7;–2;0), точка О — початок координат.
    1. Визначте ординату у точки А(х;у;z).
    2. Обчисліть скалярний добуток \vec{OA}\cdot\vec{AB}.
    Показати відповідь
    -10; -111.
    1. За формулою координат вектора: \vec{AB}=(xB-xA;yB-yA;zB-zA) = (7-xA;-2-yA;1-zA)=(-3;8;1). Звідси xA = 7 + 3 = 10, yA = - 2 - 8 = - 10, zA = 0 - 1 = - 1. A (10;-10;-1), yA = - 10
    2. \vec{OA}= (10-0;-10-0;-1-0) = (10;-10;-1)
    \vec{OA}\cdot\vec{AB} = 10⋅(-3) + (-10)⋅8 + (-1)⋅1 = -30 - 80 - 1 = - 111.
  11. У прямокутній системі координат у просторі початком вектора \vec{AB}(9;12;-8) є точка А(3; –7; 11).
    1. Визначте ординату точки В.
    2. Обчисліть модуль вектора \vec{d}=4\vec{AB}+\vec{BA}.
    Показати відповідь
    5; 51.
    1. За формулою координат вектора yAB=yB-yA. Тоді 12=yB-(-7), звідки yB=12+(-7)=5.
    2.\vec{d}=4\vec{AB} = (4⋅9; 4⋅12; 4⋅(-8)) = (36; 48; -32) \vec{d}=\vec{BA} = (-9; -12; 8) \vec{d}=4\vec{AB}+\vec{BA}=(36+(-9); 48+(-12); -32+8) = (27; 36; -24) |\vec{d}| = \sqrt{27^2+36^2+(-24)^2}=\sqrt{3^2 \cdot (9^2+12^2+(-8)^2)}=3\cdot\sqrt{81+144+64}=3\cdot\sqrt{289}= 3⋅17=51
⇐VІ.11.
Координати у просторі		 До змісту ⇒VІ.13.
Задачі з поясненнями (остання частина)

Коментарі

Unknown каже…
Де шукати розв'язки завдань?
29 вересня 2020 р. о 14:38
Сергій та Галина Сичови каже…
Нижче кожного завдання є кнопка "Відповідь". Після натискання на неї відкриється поле з правильною відповіддю та розв'язком
30 вересня 2020 р. о 08:35
Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Дійсні числа — це база математичної підготовки, що охоплює всі види числових множин: від натуральних до ірраціональних. На цій сторінці ми зібрали ключові ознаки подільності , правила порівняння звичайних дробів та ірраціональних виразів, а також алгоритми роботи зі степенями, що мають нульовий або від’ємний показник. Для ефективної підготовки до іспитів ми підготували великий практичний блок , що включає реальні приклади минулих років. Ви зможете розібрати методи оцінювання значень коренів, округлення чисел та роботу з логарифмами. Кожне завдання має детальне розв’язання, що допоможе учням опанувати навички швидких обчислень без помилок. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців...
3 коментарі
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія — це особливий вид числової послідовності, де кожен наступний член відрізняється від попереднього на сталу величину. У шкільному курсі математики та в тестах НМТ ця тема є фундаментальною, оскільки вона поєднує в собі чіткі алгебраїчні алгоритми та вміння моделювати реальні життєві ситуації. Вміння швидко визначати різницю прогресії та застосовувати формули суми дозволяє ефективно розв'язувати як прості тестові вправи, так і складні задачі на розрахунок вартості послуг, планування тренувань або аналіз фінансових накопичень. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО . Ви знайдете детальні пояснення до задач різних рівнів складності: від знаходження першого члена за відомим n-м до визначення параметрів прогресії у прикладних контекстах. Тут зібрано весь необхідний теоретичний мінімум: базові формули n-го члена, два способи обчислення суми перших n членів та характерну властивість середнього арифметичного для сусідніх елементів ряду. Арифмети...
5 коментарів
Read more »

Функції за графіками

Аналіз функцій за їхніми графіками — це одна з найбільш наочних тем математики, яка вимагає вміння «читати» рисунок і швидко виділяти ключові властивості об'єкта. На НМТ завдання цього типу зустрічаються дуже часто, оскільки вони дозволяють перевірити комплексне розуміння теми: від визначення координат точок перетину з осями до аналізу поведінки складних періодичних процесів. Вміння візуально оцінювати парність, монотонність та область значень функції дозволяє значно зекономити час на іспиті, уникаючи громіздких обчислень. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО . Ви навчитеся працювати з графічними ескізами різних типів: лінійними, квадратичними, тригонометричними та показниковіми функціями. Тут зібрано приклади на знаходження нулів функції, визначення значень у конкретних точках, а також завдання на геометричні перетворення графіків, такі як паралельне перенесення вздовж осей координат. Завдання. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квад...
13 коментарів
Read more »

Рівняння та нерівності підвищеного рівня (з параметром)

Рівняння та нерівності з параметрами — це завдання високого рівня в шкільній математиці та на іспитах НМТ/ЗНО. Головна складність полягає в тому, що параметр a може змінювати не лише числові значення коефіцієнтів, а й саму структуру рівняння: перетворювати квадратне в лінійне, впливати на область допустимих значень (ОДЗ) або змінювати кількість наявних коренів. Для успішного розв’язання таких задач важливо не просто механічно обчислювати дискримінант, а вміти проводити повне дослідження . На цій сторінці ми детально розберемо основні стратегії: Метод заміни змінної: перехід від складних показникових або логарифмічних виразів до алгебраїчних (з урахуванням обмежень на нову змінну t). Аналіз ОДЗ: відсіювання сторонніх коренів, які «зникають» залежно від значення параметра. Використання властивостей функцій: графічний метод, парність та монотонність. Застосування теореми Вієта: для задач, де потрібно знайти співвідношення між коренями без їх безпосереднього обчислення. Нижче предста...
1 коментар
Read more »

Комбінаторика

Комбінаторика — це розділ математики, який вчить підраховувати кількість можливих варіантів вибору або розташування об’єктів без їхнього безпосереднього переліку. Розуміння базових правил додавання та множення , а також розрізнення перестановок, розміщень та комбінацій є ключем до розв’язання складних логічних задач та підготовки до вивчення теорії ймовірностей. Для успішного складання іспитів ми підготували комплексний практичний блок , що базується на завданнях НМТ та тестах минулих років. Ви зможете детально розібрати алгоритми формування розкладів, вибору комплектів товарів та створення цифрових кодів. Кожне завдання супроводжується поясненням, яке допоможе вашим учням зрозуміти, коли порядок елементів має значення, а коли — ні. 1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати ...
15 коментарів
Read more »

Рекомендований допис

10 клас. Алгебра і початки аналізу

10 клас. Алгебра і початки аналізу — це вихід на новий рівень математичного мислення. Цього року ви опануєте «математику змін»: від дослідження складних функцій та їхніх властивостей до занурення у світ тригонометрії та перших кроків у диференціальному численні. Ви навчитеся не просто обчислювати, а аналізувати процеси, прогнозувати результати та бачити логіку в найскладніших системах. Ці знання — це фундамент не лише для успішного складання НМТ, а й для розуміння сучасної економіки, фізики та ІТ-технологій. Оберіть тему, і перетворіть складні формули на свій надійний інструмент для підкорення нових інтелектуальних вершин! Тема 1. Множини та функції Множини, операції над множинами Взаємно однозначна відповідність між елементами множин. Рівнопотужні множини Числові множини. Множина дійсних чисел Числові функції. Їх властивості та графіки Цей розділ в розробці, з часом буде додано інші теми
Дописати коментар