Вектори у просторі

Дії над векторами у просторі:

• Координати вектора знаходяться за формулою:
  =(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)
• Довжина вектора знаходиться за формулою:
  
• Додавання (віднімання) векторів:
  =(x±x;y±y;z±z)
• Множення вектора на скаляр (число):
  k⋅=(kx;ky;kz)
• Скалярний добуток векторів:
  =cosα, де α - кут між векторами
• Скалярний добуток векторів:
  =x⋅x+y⋅y+z⋅z
• Косинус кута між векторами:cosα=
Умова перпендикулярності векторів: два вектори перпендикулярні, якщо їх скалярний добуток дорівнює 0
Умова колінеарності векторів: два вектори колінеарні, коли відношення відповідних координат цих векторів рівні

1. НМТ 2023. Визначте координати вектора , якщо (2; 1; -5) і (-7; 0; 3).

   А	Б	В	Г	Д
   (-9;-1;8)	(9;1;-8)	(-5;1;-2)	(-5;-1;2)	(-14;0;-15)

   Відповідь

   А.
Правильну відповідь можна дізнатися, натискаючи кнопку Відповідь під завданням. Послуга ознайомлення з повними розв’язаннями завдань з цієї теми коштує 20 грн. Для отримання цієї послуги надішліть зі своєї електронної пошти листа на адресу ssychov@gmail.com з вказівкою теми "6.12. Вектори у просторі". У відповідь Вам надійде розрахунковий рахунок для переказу коштів. Після оплати надішліть скріншот квитанції і на Вашу адресу надійдуть розв’язки у pdf-форматі. Для перегляду зразка розв’язання натисніть кнопку нижче.

Зразок

2. НМТ 2023. Визначте координати вектора, який є сумою векторів (2; -2; 3) і (-7; -3; 4).

   А	Б	В	Г	Д
   (9;1;-1)	(-5;-5;7)	(-9;-1;1)	(5;5;7)	(-5;1;7)

   Відповідь

   Б.

---

3. Вектор лежить на осі z прямокутної декартової системи координат у просторі (див. рисунок), і його початок збігається з початком координат. Визначте координати вектора , якщо його довжина дорівнює 3.

   

   А	Б	В	Г	Д
   (1;1;1)	(0;3;0)	(0;0;3)	(3;0;0)	(3;3;3)

   Відповідь

   В.
   Записати координати точки А в загальному вигляді, знайти довжину вектора і прирівняти до заданої довжини.
4. Задано точки К (0;1;0) і М (0;0;1). Знайдіть координати вектора .

   А	Б	В	Г	Д
   (0;1;1)	(0;-1;1)	(0;1;-1)	(2;0;0)	(0;0;0)

   Відповідь

   Б.
   Обчислити за формулою координат вектора.
5. При яких значеннях m і n вектори (m;2;3) і (-12;6;n) колінеарні?

   А	Б	В	Г	Д
   m= -36 і n=9	m= -4 і n=1	m= -36 і n=1	m= 3 і n=9	m= -4 і n=9

   Відповідь

   Д.
   Записати умову колінеарності, підставити значення і розв'язати отримані рівняння.
6. У прямокутній декартовій системі координат у просторі xyz задано точки А (2;0;0) і В (-4;2;6). До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

   Початок речення	Закінчення речення
   1 Серединою відрізка АВ є точка 2 Вектор має координати 3 Проекцією точки В на площину xz є точка 4 Проекцією точки В на вісь у є точка	А (-1;1;3) Б (0;2;0) В (-4;0;6) Г (-6;2;6) Д (-2;2;6)

   Відповідь

   1-А, 2-Г, 3-В, 4-Б
7. У прямокутній системі координат у просторі зображено прямокутний паралелепіпед ABCDA₁B₁C₁D₁, вершина В якого збігається з початком координат, а вершини А, С, і B₁ належать осям x, y, і z відповідно (див. рисунок). Вершина D₁ має координати (4; 8; 12). До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

   

   Початок речення	Закінчення речення
   1 Серединою відрізка ВС є точка 2 Вектор має координати 3 Точка, що належить відрізку DD1 і віддалена від точки D на 4 одиниці, має координати 4 Точка С1 має координати	А (0;8;12) Б (4;0;0) В (4;8;0) Г (0;4;0) Д (4;8;4)

   Відповідь

   1-Г, 2-Б, 3-Д, 4-А
8. На рисунку зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро якого дорівнює 1. Установіть відповідність між вектором (1-4) та твердженням (А-Д), яке є правильним для цього вектора.

   

   Вектор	Твердження
   1 2 3 4	А вектори і рівні Б скалярний добуток векторів і дорівнює 0 В довжина вектора дорівнює Г вектори і протилежні Д кут між векторами і дорівнює 45o.

   Відповідь

   1-В, 2-Б, 3-Г, 4-А
9. У прямокутній системі координат у просторі задано вектор (2; -9; 3). 1. Визначте координати вектора . У відповідь запишіть їхню суму.
   2. Обчисліть скалярний добуток .
   Відповідь

   8; -188.
   Обчислити за формулами.
10. У прямокутній системі координат у просторі задано вектор (-3;8;1) і точку В(7;–2;0), точка О — початок координат.
    1. Визначте ординату у точки А(х;у;z).
    2. Обчисліть скалярний добуток .
    Відповідь

    -10; -111.
    1. Записати формулу координат вектора і виразити з нього ординату точки.
    2. Знайти координати першого вектора і застосувати формулу скалярного добутку.
11. У прямокутній системі координат у просторі початком вектора (9;12;-8) є точка А(3; –7; 11).
    1. Визначте ординату точки В.
    2. Обчисліть модуль вектора .
    Відповідь

    5; 51.
    1. Записати формулу координат вектора і виразити з нього ординату точки.
    2.Спочатку знайти координати шуканого вектора, а потім обчислити його модуль за формулою.

⇐VІ.11. Координати у просторі

До змісту

⇒VІ.13. Задачі з поясненнями (остання частина)