Вектори у просторі — це потужний інструмент, який дозволяє розв'язувати складні геометричні задачі за допомогою алгебри. На цій сторінці ви знайдете перелік основних формул: від знаходження координат і довжини вектора до умов їхньої перпендикулярності та колінеарності.
Ми зібрали завдання з НМТ та ЗНО з детальними поясненнями. Ви навчитеся швидко додавати вектори, обчислювати скалярний добуток та знаходити координати точок у тривимірному просторі. Кожна задача супроводжується покроковим розв'язанням, що допоможе вам уникнути типових помилок на іспиті!
Дії над векторами у просторі:
Умова колінеарності векторів: два вектори колінеарні, якщо їх відповідні координати пропорційні.
Завдання 1. НМТ 2026 (демо). Визначте координати вектора KL, якщо K(3; 2; 4), L(–1; 2; 0).
- Координати вектора AB знаходяться за формулою: AB = (xB-xA;yB-yA;zB-zA)
- Довжина вектора a знаходиться за формулою: |a| = √x²a + y²a + z²a
- Додавання (віднімання) векторів: a ± b = (xa ± xb; ya ± yb; za ± zb)
- Множення вектора на скаляр (число): k · a = (kxa; kya; kza)
- Скалярний добуток векторів: a · b = |a| · |b| · cosα, де α - кут між векторами
- Скалярний добуток векторів: a · b = xa · xb + ya · yb + za · zb
- Косинус кута між векторами: cosα = a · b|a| · |b|
Умова колінеарності векторів: два вектори колінеарні, якщо їх відповідні координати пропорційні.
(4; 0; 4)
(2; 4; 4)
(2; 0; −2)
(1; 2; 2)
(−4; 0; −4)
Показати відповідь
Д. Координати вектора знаходяться як різниця відповідних координат кінця та початку вектора. Тому KL = (-1 - 3; 2 - 2; 0 - 4) = (-4; 0; -4).
Завдання 2. Визначте координати вектора c = b - a, якщо a(2; 1; -5) і b(-7; 0; 3).
c(-9; -1; 8)
c(9; 1; -8)
c(-5; 1; -2)
c(-5; -1; 2)
c(-14; 0; -15)
Показати відповідь
А.
c = b - a = (-7 - 2; 0 - 1; 3 - (-5)) = (- 9; - 1; 8)
Завдання 3. Визначте координати вектора, який є сумою векторів a(2; -2; 3) і b(-7; -3; 4).
c = b - a = (-7 - 2; 0 - 1; 3 - (-5)) = (- 9; - 1; 8)
(9; 1; -1)
(-5; -5; 7)
(-9; -1; 1)
(5; 5; 7)
(-5; 1; 7)
Показати відповідь
Б.
c = a + b = (2 + (-7); - 2 + (- 3); 3 + 4) = (- 5; - 5; 7)
c = a + b = (2 + (-7); - 2 + (- 3); 3 + 4) = (- 5; - 5; 7)
Завдання 4. Вектор OA лежить на осі z прямокутної декартової системи координат у просторі (див. рисунок), і його початок збігається з початком координат. Визначте координати вектора OA, якщо його довжина дорівнює 3.
(1; 1; 1)
(0; 3; 0)
(0; 0; 3)
(3; 0; 0)
(3; 3; 3)
Показати відповідь
В.
Оскільки точка A належить осі Оz, то вона має координати (0; 0; z). Тоді координати вектора OA (0 - 0; 0 - 0; z - 0) = (0; 0; z). Довжина вектора |OA| = √0² + 0² + z² = √z² = |z|. За умовою довжина вектора дорівнює 3, звідси |z| = 3. Так як точка А лежить на додатній частині осі z, то z > 0 і маємо z = 3. Отже координати вектора (0; 0; 3).
Завдання 5. Задано точки К (0; 1; 0) і М (0; 0; 1). Знайдіть координати вектора KM.
Оскільки точка A належить осі Оz, то вона має координати (0; 0; z). Тоді координати вектора OA (0 - 0; 0 - 0; z - 0) = (0; 0; z). Довжина вектора |OA| = √0² + 0² + z² = √z² = |z|. За умовою довжина вектора дорівнює 3, звідси |z| = 3. Так як точка А лежить на додатній частині осі z, то z > 0 і маємо z = 3. Отже координати вектора (0; 0; 3).
KM(0; 1; 1)
KM(0; -1; 1)
KM(0; 1; -1)
KM(2; 0; 0)
KM(0; 0; 0)
Показати відповідь
Б.
Координати вектора KM (0 - 0; 0 - 1; 1 - 0) = (0; -1; 1) (від координат точки М віднімаємо координати точки К).
Завдання 6. При яких значеннях m і n вектори a (m; 2; 3) і b (-12; 6; n) колінеарні?
Координати вектора KM (0 - 0; 0 - 1; 1 - 0) = (0; -1; 1) (від координат точки М віднімаємо координати точки К).
m = -36 і n = 9
m = -4 і n = 1
m = -36 і n = 1
m = 3 і n = 9
m = -4 і n = 9
Показати відповідь
Д.
Так як вектори колінеарні, то відношення їх відповідних координат рівні. Маємо m-12 = 26 = 3n. Беремо по два дроби.
m-12 = 26
m = 2 ⋅ (-12) : 6 = -4
26 = 3n
n = 3 ⋅ 6 : 2 = 9.
Завдання 7. У прямокутній декартовій системі координат у просторі xyz задано точки А (2; 0; 0) і В (-4; 2; 6). До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
Так як вектори колінеарні, то відношення їх відповідних координат рівні. Маємо m-12 = 26 = 3n. Беремо по два дроби.
m-12 = 26
m = 2 ⋅ (-12) : 6 = -4
26 = 3n
n = 3 ⋅ 6 : 2 = 9.
1 Серединою відрізка АВ є точка
2 Вектор AB має координати
3 Проекцією точки В на площину xz є точка
4 Проекцією точки В на вісь у є точка
2 Вектор AB має координати
3 Проекцією точки В на площину xz є точка
4 Проекцією точки В на вісь у є точка
А (-1; 1; 3)
Б (0; 2; 0)
В (-4; 0; 6)
Г (-6; 2; 6)
Д (-2; 2; 6)
Б (0; 2; 0)
В (-4; 0; 6)
Г (-6; 2; 6)
Д (-2; 2; 6)
Показати відповідь
1-А, 2-Г, 3-В, 4-Б.
1) Нехай С — середина АВ. xC = (xA + xB):2 = (2 + (-4)):2 = -1. yC = (yA + yB):2 = (0 + 2):2 = 1. zC = (zA + zB):2 = (0 + 6):2 = 3. Точка (-1; 1; 3).
2) Координати вектора AB(-4 - 2; 2 - 0; 6 - 0) = (-6; 2; 6).
3) Проекцією точки В на площину xz має такі ж координати x і z, а у = 0. Точка (-4; 0; 6).
4) Проекцією точки В на вісь у має таку ж координату у, а x = 0 і z = 0. Точка (0; 2; 0).
Завдання 8. У прямокутній системі координат у просторі зображено прямокутний паралелепіпед ABCDA₁B₁C₁D₁, вершина В якого збігається з початком координат, а вершини А, С, і B₁ належать осям x, y, і z відповідно (див. рисунок). Вершина D₁ має координати (4; 8; 12). До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
1) Нехай С — середина АВ. xC = (xA + xB):2 = (2 + (-4)):2 = -1. yC = (yA + yB):2 = (0 + 2):2 = 1. zC = (zA + zB):2 = (0 + 6):2 = 3. Точка (-1; 1; 3).
2) Координати вектора AB(-4 - 2; 2 - 0; 6 - 0) = (-6; 2; 6).
3) Проекцією точки В на площину xz має такі ж координати x і z, а у = 0. Точка (-4; 0; 6).
4) Проекцією точки В на вісь у має таку ж координату у, а x = 0 і z = 0. Точка (0; 2; 0).
1 Серединою відрізка ВС є точка
2 Вектор BA має координати
3 Точка, що належить відрізку DD₁ і віддалена від точки D на 4 одиниці, має координати
4 Точка С₁ має координати
2 Вектор BA має координати
3 Точка, що належить відрізку DD₁ і віддалена від точки D на 4 одиниці, має координати
4 Точка С₁ має координати
А (0; 8; 12)
Б (4; 0; 0)
В (4; 8; 0)
Г (0; 4; 0)
Д (4; 8; 4)
Б (4; 0; 0)
В (4; 8; 0)
Г (0; 4; 0)
Д (4; 8; 4)
Показати відповідь
1-Г, 2-Б, 3-Д, 4-А.
1) В(0; 0; 0), С(0; 8; 0). Тоді середина ВС має координати (0; 4; 0).
2) А (4; 0; 0). Координати вектора BA(4 - 0; 0 - 0; 0 - 0) = (4; 0; 0).
3) D (4; 8; 0). Якщо точка належить відрізку DD₁, то координати х і у в неї співпадають з точкою D, а z більше на 4. Точка (4; 8; 4).
4) Точка С₁ має координати (0; 8; 12).
Завдання 9. На рисунку зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро якого дорівнює 1. Установіть відповідність між вектором a (1-4) та твердженням (А-Д), яке є правильним для цього вектора.
1) В(0; 0; 0), С(0; 8; 0). Тоді середина ВС має координати (0; 4; 0).
2) А (4; 0; 0). Координати вектора BA(4 - 0; 0 - 0; 0 - 0) = (4; 0; 0).
3) D (4; 8; 0). Якщо точка належить відрізку DD₁, то координати х і у в неї співпадають з точкою D, а z більше на 4. Точка (4; 8; 4).
4) Точка С₁ має координати (0; 8; 12).
1 a = AC₁
2 a = B₁A₁
3 a = AB₁
4 a = BB₁
2 a = B₁A₁
3 a = AB₁
4 a = BB₁
А вектори a і CC₁ рівні
Б скалярний добуток векторів a і AA₁ дорівнює 0
В довжина вектора a дорівнює √3
Г вектори a і C₁D протилежні
Д кут між векторами a і AC дорівнює 45°
Б скалярний добуток векторів a і AA₁ дорівнює 0
В довжина вектора a дорівнює √3
Г вектори a і C₁D протилежні
Д кут між векторами a і AC дорівнює 45°
Показати відповідь
1-В, 2-Б, 3-Г, 4-А.
1) Вектор a = AC₁ є діагоналлю куба, яка дорівнює √3 · AD = √3 · 1 = √3
2) Вектор a = B₁A₁ перпендикулярний до AA₁, тому їх скалярний добуток дорівнює 0.
3) Вектори a = AB₁ і C₁D протилежні
4) Вектори a = BB₁ і CC₁ рівні.
Завдання 10. У прямокутній системі координат у просторі задано вектор a (2; -9; 3).1) Вектор a = AC₁ є діагоналлю куба, яка дорівнює √3 · AD = √3 · 1 = √3
2) Вектор a = B₁A₁ перпендикулярний до AA₁, тому їх скалярний добуток дорівнює 0.
3) Вектори a = AB₁ і C₁D протилежні
4) Вектори a = BB₁ і CC₁ рівні.
1. Визначте координати вектора b = -2a. У відповідь запишіть їхню суму.
2. Обчисліть скалярний добуток a · b.
Показати відповідь
8; -188.
1. b = -2a = -2 ⋅ (2; -9; 3) = (-4; 18; -6).
-4 + 18 - 6 = 8.
2. a · b = 2 · (-4) + (-9) · 18 + 3 · (-6) = -8 - 162 - 18 = - 188.
Завдання 11. У прямокутній системі координат у просторі задано вектор AB (-3; 8; 1) і точку В(7; –2; 0), точка О — початок координат.1. b = -2a = -2 ⋅ (2; -9; 3) = (-4; 18; -6).
-4 + 18 - 6 = 8.
2. a · b = 2 · (-4) + (-9) · 18 + 3 · (-6) = -8 - 162 - 18 = - 188.
1. Визначте ординату у точки А(х; у; z).
2. Обчисліть скалярний добуток OA · AB.
Показати відповідь
-10; -111.
1. За формулою координат вектора: AB = (xB - xA; yB - yA; zB - zA) = (7 - xA; -2 - yA; 1 - zA) = (-3; 8; 1). Звідси xA = 7 + 3 = 10, yA = - 2 - 8 = - 10, zA = 0 - 1 = - 1. A (10; -10; -1), yA = - 10
2. OA = (10 - 0; -10 - 0; -1 - 0) = (10; -10; -1)
OA · AB = 10 · (-3) + (-10) · 8 + (-1) · 1 = -30 - 80 - 1 = - 111.
Завдання 12. У прямокутній системі координат у просторі початком вектора AB(9; 12; -8) є точка А(3; –7; 11).1. За формулою координат вектора: AB = (xB - xA; yB - yA; zB - zA) = (7 - xA; -2 - yA; 1 - zA) = (-3; 8; 1). Звідси xA = 7 + 3 = 10, yA = - 2 - 8 = - 10, zA = 0 - 1 = - 1. A (10; -10; -1), yA = - 10
2. OA = (10 - 0; -10 - 0; -1 - 0) = (10; -10; -1)
OA · AB = 10 · (-3) + (-10) · 8 + (-1) · 1 = -30 - 80 - 1 = - 111.
1. Визначте ординату точки В.
2. Обчисліть модуль вектора d = 4AB + BA.
Показати відповідь
5; 51.
1. За формулою координат вектора yAB = yB-yA. Тоді 12 = yB-(-7), звідки yB = 12 + (-7) = 5.
2. 4AB = (4 · 9; 4 · 12; 4 · (-8)) = (36; 48; -32)
BA = (-9; -12; 8)
d = 4AB + BA = (36 + (-9); 48 + (-12); -32 + 8) = (27; 36; -24)
|d| = √27² + 36² + (-24)² = √3²(9² + 12² + (-8)²) = √3²(81 + 144 + 64) = √3² · 289 = 3 · 17 = 51
1. За формулою координат вектора yAB = yB-yA. Тоді 12 = yB-(-7), звідки yB = 12 + (-7) = 5.
2. 4AB = (4 · 9; 4 · 12; 4 · (-8)) = (36; 48; -32)
BA = (-9; -12; 8)
d = 4AB + BA = (36 + (-9); 48 + (-12); -32 + 8) = (27; 36; -24)
|d| = √27² + 36² + (-24)² = √3²(9² + 12² + (-8)²) = √3²(81 + 144 + 64) = √3² · 289 = 3 · 17 = 51
Коментарі