Вектори у просторі — це потужний інструмент, який дозволяє розв'язувати складні геометричні задачі за допомогою алгебри. На цій сторінці ви знайдете повний перелік формул: від знаходження координат і довжини вектора до умов їхньої перпендикулярності та колінеарності.
Ми зібрали актуальні завдання з НМТ та ЗНО з детальними поясненнями. Ви навчитеся швидко додавати вектори, обчислювати скалярний добуток та знаходити координати точок у тривимірному просторі. Кожна задача супроводжується покроковим розв'язанням, що допоможе вам уникнути типових помилок на іспиті!
Дії над векторами у просторі:
Умова колінеарності векторів: два вектори колінеарні, коли відношення відповідних координат цих векторів рівні
Завдання 1. НМТ 2026 (демо). Визначте координати вектора \vec{𝐾𝐿}, якщо 𝐾(3;2;4), 𝐿(–1;2;0).
- Координати вектора \vec{AB} знаходяться за формулою:
\vec{AB} = (xB-xA;yB-yA;zB-zA) - Довжина вектора \vec{a} знаходиться за формулою:
|\vec{a}| = \sqrt{{x_{\vec{a}}}^2 + {y_{\vec{a}}}^2 + {z_{\vec{a}}}^2} - Додавання (віднімання) векторів:
\vec{a}\pm\vec{b} = (x\vec{a}±x\vec{b};y\vec{a}±y\vec{b};z\vec{a}±z\vec{b}) - Множення вектора на скаляр (число):
k · \vec{a} = (kx\vec{a};ky\vec{a};kz\vec{a}) - Скалярний добуток векторів:
\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|cosα, де α - кут між векторами - Скалярний добуток векторів:
\vec{a}\cdot\vec{b} = x\vec{a} · x\vec{b} + y\vec{a} · y\vec{b} + z\vec{a} · z\vec{b} - Косинус кута між векторами:cosα = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}
Умова колінеарності векторів: два вектори колінеарні, коли відношення відповідних координат цих векторів рівні
(4;0;4)
(2;4;4)
(2;0;−2)
(1;2;2)
(−4;0;−4)
Показати відповідь
Д. Координати вектора знаходяться як різниця відповідних координат кінця та початку вектора. Тому \vec{𝐾𝐿} = {- 1 - 3; 2 - 2; 0 - 4} = {- 4; 0; - 4}.
Завдання 2. Визначте координати вектора \vec{c} = \vec{b}-\vec{a}, якщо \vec{a}(2; 1; -5) і \vec{b}(-7; 0; 3).
\vec{c}(-9;-1;8)
\vec{c}(9;1;-8)
\vec{c}(-5;1;-2)
\vec{c}(-5;-1;2)
\vec{c}(-14;0;-15)
Показати відповідь
А.
\vec{c} = \vec{b}-\vec{a} = (-7 - 2; 0 - 1; 3 - (-5)) = (- 9; - 1; 8)
Завдання 3. Визначте координати вектора, який є сумою векторів \vec{a}(2; -2; 3) і \vec{b}(-7; -3; 4).
\vec{c} = \vec{b}-\vec{a} = (-7 - 2; 0 - 1; 3 - (-5)) = (- 9; - 1; 8)
(9;1;-1)
(-5;-5;7)
(-9;-1;1)
(5;5;7)
(-5;1;7)
Показати відповідь
Б.
\vec{c} = \vec{b} + \vec{a} = (2 + (-7); - 2 + (- 3); 3 + 4) = (- 5; - 5; 7)
\vec{c} = \vec{b} + \vec{a} = (2 + (-7); - 2 + (- 3); 3 + 4) = (- 5; - 5; 7)
Завдання 4. Вектор \vec{OA} лежить на осі z прямокутної декартової системи координат у просторі (див. рисунок), і його початок збігається з початком координат. Визначте координати вектора \vec{OA}, якщо його довжина дорівнює 3.
(1;1;1)
(0;3;0)
(0;0;3)
(3;0;0)
(3;3;3)
Показати відповідь
В.
Оскільки точка A належить осі Оz, то вона має координати (0;0;z). Тоді координати вектора \vec{OA} (0-0;0-0;z-0) = (0;0;z). Довжина вектора |\vec{OA}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + z^2} = \sqrt{z^2} = |z|. За умовою довжина вектора дорівнює 3, звідси |z| = 3. Так як точка А лежить на додатній частині осі z, то z>0 і маємо z = 3. Отже координати вектора (0;0;3).
Завдання 5. Задано точки К (0;1;0) і М (0;0;1). Знайдіть координати вектора \vec{KM}.
Оскільки точка A належить осі Оz, то вона має координати (0;0;z). Тоді координати вектора \vec{OA} (0-0;0-0;z-0) = (0;0;z). Довжина вектора |\vec{OA}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + z^2} = \sqrt{z^2} = |z|. За умовою довжина вектора дорівнює 3, звідси |z| = 3. Так як точка А лежить на додатній частині осі z, то z>0 і маємо z = 3. Отже координати вектора (0;0;3).
\vec{KM}(0;1;1)
\vec{KM}(0;-1;1)
\vec{KM}(0;1;-1)
\vec{KM}(2;0;0)
\vec{KM}(0;0;0)
Показати відповідь
Б.
Координати вектора \vec{KM} (0-0;0-1;1-0) = (0;-1;1) (від координат точки М віднімаємо координати точки К).
Завдання 6. При яких значеннях m і n вектори \vec{a} (m;2;3) і \vec{b} (-12;6;n) колінеарні?
Координати вектора \vec{KM} (0-0;0-1;1-0) = (0;-1;1) (від координат точки М віднімаємо координати точки К).
m = -36 і n = 9
m = -4 і n = 1
m = -36 і n = 1
m = 3 і n = 9
m = -4 і n = 9
Показати відповідь
Д.
Так як вектори колінеарні, то відношення їх відповідних координат рівні. Маємо \frac{m}{-12} = \frac{2}{6} = \frac{3}{n}. Беремо по два дроби. \frac{m}{-12} = \frac{2}{6}. m = 2⋅(-12):6 = -4; \frac{2}{6} = \frac{3}{n}. n = 3⋅6:2 = 9.
Завдання 7. У прямокутній декартовій системі координат у просторі xyz задано точки А (2;0;0) і В (-4;2;6). До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
Так як вектори колінеарні, то відношення їх відповідних координат рівні. Маємо \frac{m}{-12} = \frac{2}{6} = \frac{3}{n}. Беремо по два дроби. \frac{m}{-12} = \frac{2}{6}. m = 2⋅(-12):6 = -4; \frac{2}{6} = \frac{3}{n}. n = 3⋅6:2 = 9.
1 Серединою відрізка АВ є точка
2 Вектор \vec{AB} має координати
3 Проекцією точки В на площину xz є точка
4 Проекцією точки В на вісь у є точка
2 Вектор \vec{AB} має координати
3 Проекцією точки В на площину xz є точка
4 Проекцією точки В на вісь у є точка
А (-1;1;3)
Б (0;2;0)
В (-4;0;6)
Г (-6;2;6)
Д (-2;2;6)
Б (0;2;0)
В (-4;0;6)
Г (-6;2;6)
Д (-2;2;6)
Показати відповідь
1-А, 2-Г, 3-В, 4-Б.
1) Нехай С — середина АВ. xC = (xA + xB):2 = (2 + (-4)):2 = -1. yC = (yA + yB):2 = (0 + 2):2 = 1. zC = (zA + zB):2 = (0 + 6):2 = 3. Точка (-1;1;3).
2) Координати вектора \vec{AB} (-4-2;2-0;6-0) = (-6;2;6).
3) Проекцією точки В на площину xz має такі ж координати x і z, а у = 0. Точка (-4;0;6).
4) Проекцією точки В на вісь у має таку ж координату у, а x = 0 і z = 0. Точка (0;2;0).
Завдання 8. У прямокутній системі координат у просторі зображено прямокутний паралелепіпед ABCDA₁B₁C₁D₁, вершина В якого збігається з початком координат, а вершини А, С, і B₁ належать осям x, y, і z відповідно (див. рисунок). Вершина D₁ має координати (4; 8; 12). До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
1) Нехай С — середина АВ. xC = (xA + xB):2 = (2 + (-4)):2 = -1. yC = (yA + yB):2 = (0 + 2):2 = 1. zC = (zA + zB):2 = (0 + 6):2 = 3. Точка (-1;1;3).
2) Координати вектора \vec{AB} (-4-2;2-0;6-0) = (-6;2;6).
3) Проекцією точки В на площину xz має такі ж координати x і z, а у = 0. Точка (-4;0;6).
4) Проекцією точки В на вісь у має таку ж координату у, а x = 0 і z = 0. Точка (0;2;0).
1 Серединою відрізка ВС є точка
2 Вектор \vec{BA} має координати
3 Точка, що належить відрізку DD₁ і віддалена від точки D на 4 одиниці, має координати
4 Точка С₁ має координати
2 Вектор \vec{BA} має координати
3 Точка, що належить відрізку DD₁ і віддалена від точки D на 4 одиниці, має координати
4 Точка С₁ має координати
А (0;8;12)
Б (4;0;0)
В (4;8;0)
Г (0;4;0)
Д (4;8;4)
Б (4;0;0)
В (4;8;0)
Г (0;4;0)
Д (4;8;4)
Показати відповідь
1-Г, 2-Б, 3-Д, 4-А.
1) В (0;0;0), С (0;8;0). Тоді середина ВС має координати (0;4;0).
2) А (4;0;0). Координати вектора\vec{BA}(4-0;0-0;0-0) = (4;0;0).
3) D (4;8;0). Якщо точка належить відрізку DD₁, то координати х і у в неї співпадають з точкою D, а z більше на 4. Точка (4;8;4).
4) Точка С₁ має координати (0;8;12).
Завдання 9. На рисунку зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро якого дорівнює 1. Установіть відповідність між вектором \vec{a} (1-4) та твердженням (А-Д), яке є правильним для цього вектора.
1) В (0;0;0), С (0;8;0). Тоді середина ВС має координати (0;4;0).
2) А (4;0;0). Координати вектора\vec{BA}(4-0;0-0;0-0) = (4;0;0).
3) D (4;8;0). Якщо точка належить відрізку DD₁, то координати х і у в неї співпадають з точкою D, а z більше на 4. Точка (4;8;4).
4) Точка С₁ має координати (0;8;12).
1 \vec{a} = \vec{AC_1}
2 \vec{a} = \vec{B_1A_1}
3 \vec{a} = \vec{AB_1}
4 \vec{a} = \vec{BB_1}
2 \vec{a} = \vec{B_1A_1}
3 \vec{a} = \vec{AB_1}
4 \vec{a} = \vec{BB_1}
А вектори \vec{a} і \vec{CC_1} рівні
Б скалярний добуток векторів \vec{a} і \vec{AA_1} дорівнює 0
В довжина вектора \vec{a} дорівнює \sqrt{3}
Г вектори \vec{a} і \vec{C_1D} протилежні
Д кут між векторами \vec{a} і \vec{AC} дорівнює 45°
Б скалярний добуток векторів \vec{a} і \vec{AA_1} дорівнює 0
В довжина вектора \vec{a} дорівнює \sqrt{3}
Г вектори \vec{a} і \vec{C_1D} протилежні
Д кут між векторами \vec{a} і \vec{AC} дорівнює 45°
Показати відповідь
1-В, 2-Б, 3-Г, 4-А.
1) Вектор \vec{a} = \vec{AC_1} є діагоналлю куба, яка дорівнює \sqrt3 \cdot{AD} = \sqrt3 \cdot1 = \sqrt3
2) Вектор \vec{a} = \vec{B_1A_1} перпендикулярний до \vec{AA_1}, тому їх скалярний добуток дорівнює 0.
3) Вектори \vec{a} = \vec{AB_1} і \vec{C_1D} протилежні
4) Вектори \vec{a} = \vec{BB_1} і \vec{CC_1} рівні.
Завдання 10. У прямокутній системі координат у просторі задано вектор \vec{a} (2; -9; 3).1) Вектор \vec{a} = \vec{AC_1} є діагоналлю куба, яка дорівнює \sqrt3 \cdot{AD} = \sqrt3 \cdot1 = \sqrt3
2) Вектор \vec{a} = \vec{B_1A_1} перпендикулярний до \vec{AA_1}, тому їх скалярний добуток дорівнює 0.
3) Вектори \vec{a} = \vec{AB_1} і \vec{C_1D} протилежні
4) Вектори \vec{a} = \vec{BB_1} і \vec{CC_1} рівні.
1. Визначте координати вектора \vec{b} = -2\vec{a}. У відповідь запишіть їхню суму.
2. Обчисліть скалярний добуток \vec{a}\cdot\vec{b}.
Показати відповідь
8; -188.
1. \vec{b} = -2\vec{a} = -2 ⋅ (2; -9; 3) = (-4; 18; -6).
-4 + 18 - 6 = 8.
2. \vec{a}\cdot\vec{b} = 2 ⋅ (-4) + (-9) ⋅ 18 + 3 ⋅ (-6) = -8 - 162 - 18 = - 188.
Завдання 11. У прямокутній системі координат у просторі задано вектор \vec{AB} (-3;8;1) і точку В(7;–2;0), точка О — початок координат.1. \vec{b} = -2\vec{a} = -2 ⋅ (2; -9; 3) = (-4; 18; -6).
-4 + 18 - 6 = 8.
2. \vec{a}\cdot\vec{b} = 2 ⋅ (-4) + (-9) ⋅ 18 + 3 ⋅ (-6) = -8 - 162 - 18 = - 188.
1. Визначте ординату у точки А(х;у;z).
2. Обчисліть скалярний добуток \vec{OA}\cdot\vec{AB}.
Показати відповідь
-10; -111.
1. За формулою координат вектора: \vec{AB} = (xB-xA;yB-yA;zB-zA) = (7-xA;-2-yA;1-zA) = (-3;8;1). Звідси xA = 7 + 3 = 10, yA = - 2 - 8 = - 10, zA = 0 - 1 = - 1. A (10;-10;-1), yA = - 10
2. \vec{OA} = (10-0;-10-0;-1-0) = (10;-10;-1)
\vec{OA}\cdot\vec{AB} = 10⋅(-3) + (-10)⋅8 + (-1)⋅1 = -30 - 80 - 1 = - 111.
Завдання 12. У прямокутній системі координат у просторі початком вектора \vec{AB}(9;12;-8) є точка А(3; –7; 11).1. За формулою координат вектора: \vec{AB} = (xB-xA;yB-yA;zB-zA) = (7-xA;-2-yA;1-zA) = (-3;8;1). Звідси xA = 7 + 3 = 10, yA = - 2 - 8 = - 10, zA = 0 - 1 = - 1. A (10;-10;-1), yA = - 10
2. \vec{OA} = (10-0;-10-0;-1-0) = (10;-10;-1)
\vec{OA}\cdot\vec{AB} = 10⋅(-3) + (-10)⋅8 + (-1)⋅1 = -30 - 80 - 1 = - 111.
1. Визначте ординату точки В.
2. Обчисліть модуль вектора \vec{d} = 4\vec{AB} + \vec{BA}.
Показати відповідь
5; 51.
1. За формулою координат вектора yAB = yB-yA. Тоді 12 = yB-(-7), звідки yB = 12 + (-7) = 5.
2.\vec{d} = 4\vec{AB} = (4⋅9; 4⋅12; 4⋅(-8)) = (36; 48; -32)
\vec{d} = \vec{BA} = (-9; -12; 8)
\vec{d} = 4\vec{AB} + \vec{BA} = (36 + (-9); 48 + (-12); -32 + 8) = (27; 36; -24)
|\vec{d}| = \sqrt{27^2 + 36^2 + (-24)^2} = \sqrt{3^2 \cdot (9^2 + 12^2 + (-8)^2)} = 3\cdot\sqrt{81 + 144 + 64} = 3\cdot\sqrt{289} = 3⋅17 = 51
1. За формулою координат вектора yAB = yB-yA. Тоді 12 = yB-(-7), звідки yB = 12 + (-7) = 5.
2.\vec{d} = 4\vec{AB} = (4⋅9; 4⋅12; 4⋅(-8)) = (36; 48; -32)
\vec{d} = \vec{BA} = (-9; -12; 8)
\vec{d} = 4\vec{AB} + \vec{BA} = (36 + (-9); 48 + (-12); -32 + 8) = (27; 36; -24)
|\vec{d}| = \sqrt{27^2 + 36^2 + (-24)^2} = \sqrt{3^2 \cdot (9^2 + 12^2 + (-8)^2)} = 3\cdot\sqrt{81 + 144 + 64} = 3\cdot\sqrt{289} = 3⋅17 = 51
Коментарі