Перейти до основного вмісту

Вектори у просторі

    Дії над векторами у просторі:
    • Координати вектора знаходяться за формулою:
      =(xB-xA;yB-yA;zB-zA)
    • Довжина вектора знаходиться за формулою:
    • Додавання (віднімання) векторів:
      =(x±x;y±y;z±z)
    • Множення вектора на скаляр (число):
      k⋅=(kx;ky;kz)
    • Скалярний добуток векторів:
      =cosα, де α - кут між векторами
    • Скалярний добуток векторів:
      =x⋅x+y⋅y+z⋅z
    • Косинус кута між векторами:cosα=
    Умова перпендикулярності векторів: два вектори перпендикулярні, якщо їх скалярний добуток дорівнює 0
    Умова колінеарності векторів: два вектори колінеарні, коли відношення відповідних координат цих векторів рівні

    Завдання. НМТ 2026 (демо). Визначте координати вектора \vec{𝐾𝐿}, якщо 𝐾(3;2;4), 𝐿(–1;2;0).

    (4;0;4)
    (2;4;4)
    (2;0;−2)
    (1;2;2)
    (−4;0;−4)
    Показати відповідь
    Д. Координати вектора знаходяться як різниця відповідних координат кінця та початку вектора. Тому \vec{𝐾𝐿} = {- 1 - 3; 2 - 2; 0 - 4} = {- 4; 0; - 4}.
  1. НМТ 2023. Визначте координати вектора , якщо (2; 1; -5) і (-7; 0; 3).
    АБВГД
    (-9;-1;8) (9;1;-8) (-5;1;-2) (-5;-1;2) (-14;0;-15)
    Показати відповідь
    А.
  2. НМТ 2023. Визначте координати вектора, який є сумою векторів (2; -2; 3) і (-7; -3; 4).
    АБВГД
    (9;1;-1) (-5;-5;7) (-9;-1;1) (5;5;7) (-5;1;7)
    Показати відповідь
    Б.
  3. Вектор лежить на осі z прямокутної декартової системи координат у просторі (див. рисунок), і його початок збігається з початком координат. Визначте координати вектора , якщо його довжина дорівнює 3.

    АБВГД
    (1;1;1) (0;3;0) (0;0;3) (3;0;0) (3;3;3)
    Показати відповідь
    В.
    Записати координати точки А в загальному вигляді, знайти довжину вектора і прирівняти до заданої довжини.
  4. Задано точки К (0;1;0) і М (0;0;1). Знайдіть координати вектора .
    АБВГД
    (0;1;1) (0;-1;1) (0;1;-1) (2;0;0) (0;0;0)
    Показати відповідь
    Б.
    Обчислити за формулою координат вектора.
  5. При яких значеннях m і n вектори (m;2;3) і (-12;6;n) колінеарні?
    АБВГД
    m= -36 і n=9 m= -4 і n=1 m= -36 і n=1 m= 3 і n=9 m= -4 і n=9
    Показати відповідь
    Д.
    Записати умову колінеарності, підставити значення і розв'язати отримані рівняння.
  6. У прямокутній декартовій системі координат у просторі xyz задано точки А (2;0;0) і В (-4;2;6). До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
    Початок речення Закінчення речення
    1 Серединою відрізка АВ є точка
    2 Вектор має координати
    3 Проекцією точки В на площину xz є точка
    4 Проекцією точки В на вісь у є точка     		А (-1;1;3)
    Б (0;2;0)
    В (-4;0;6)
    Г (-6;2;6)
    Д (-2;2;6)
    Показати відповідь
    1-А, 2-Г, 3-В, 4-Б
  7. У прямокутній системі координат у просторі зображено прямокутний паралелепіпед ABCDA1B1C1D1, вершина В якого збігається з початком координат, а вершини А, С, і B1 належать осям x, y, і z відповідно (див. рисунок). Вершина D1 має координати (4; 8; 12). До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

    Початок речення Закінчення речення
    1 Серединою відрізка ВС є точка
    2 Вектор має координати
    3 Точка, що належить відрізку DD1 і віддалена від точки D на 4 одиниці, має координати
    4 Точка С1 має координати     		А (0;8;12)
    Б (4;0;0)
    В (4;8;0)
    Г (0;4;0)
    Д (4;8;4)
    Показати відповідь
    1-Г, 2-Б, 3-Д, 4-А
  8. На рисунку зображено куб ABCDA1B1C1D1, ребро якого дорівнює 1. Установіть відповідність між вектором (1-4) та твердженням (А-Д), яке є правильним для цього вектора.

    Вектор Твердження
    1
    2
    3
    4     		А вектори і рівні
    Б скалярний добуток векторів і дорівнює 0
    В довжина вектора дорівнює
    Г вектори і протилежні
    Д кут між векторами і дорівнює 45o.
    Показати відповідь
    1-В, 2-Б, 3-Г, 4-А
  9. У прямокутній системі координат у просторі задано вектор (2; -9; 3). 1. Визначте координати вектора . У відповідь запишіть їхню суму.
    2. Обчисліть скалярний добуток .
    Показати відповідь
    8; -188.
    Обчислити за формулами.
  10. У прямокутній системі координат у просторі задано вектор (-3;8;1) і точку В(7;–2;0), точка О — початок координат.
    1. Визначте ординату у точки А(х;у;z).
    2. Обчисліть скалярний добуток .
    Показати відповідь
    -10; -111.
    1. Записати формулу координат вектора і виразити з нього ординату точки.
    2. Знайти координати першого вектора і застосувати формулу скалярного добутку.
  11. У прямокутній системі координат у просторі початком вектора (9;12;-8) є точка А(3; –7; 11).
    1. Визначте ординату точки В.
    2. Обчисліть модуль вектора .
    Показати відповідь
    5; 51.
    1. Записати формулу координат вектора і виразити з нього ординату точки.
    2.Спочатку знайти координати шуканого вектора, а потім обчислити його модуль за формулою.
⇐VІ.11.
Координати у просторі		 До змісту ⇒VІ.13.
Задачі з поясненнями (остання частина)

Коментарі

Unknown каже…
Де шукати розв'язки завдань?
29 вересня 2020 р. о 14:38
Сергій та Галина Сичови каже…
Нижче кожного завдання є кнопка "Відповідь". Після натискання на неї відкриється поле з правильною відповіддю та розв'язком
30 вересня 2020 р. о 08:35
Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Завдання. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців – 4х. Разом їх буде 3х + 4х = 7х. Отже, сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців ділиться націло на 7, і лише число 91 задовольняє цій умові. Завдання. НМТ 2026 (демо). Узгодьте вираз (1– 3) із його значенням (А – Д), якщо m = -\frac{4}{3} 1 |𝑚 − 4| 2 4m −1 3 (3𝑚 + 1) 0 А –3 Б 1 В 0 Г 3 Д \frac{16}{3} Показати відповідь 1-Д, 2-А, 3-Б . 1. |-\frac{4}{3}-4|=|-\frac{4}{3}-\frac{12}{3}|=|\frac{-4-12}{3}|=|\frac{-16}{3}|=\frac{16}{3} 2. 4\cdot(-\frac{4}{3})^{-1} = 4\cdot (-\frac{3}{4}) = -3 (при зміні знака степеня дріб перевертається) 3. Кожне число, від'ємне від 0, в нульовій степені д...
3 коментарі
Read more »

Комбінаторика

1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і І об'єкт і ІІ об'єкт можна a⋅b способами. 3. Перестановки . Якщо з n об'єктів потрібно обрати всі n, то це можна зробити P n =n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n-1)⋅n способами. 4. Розміщення . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання важливий, то це можна зробити = способами. 5. Комбінації . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання не важливий, то це можна зробити = способами. Примітка . Скорочення факторіалів = =5⋅6⋅7=210 Завдання. НМТ 2026 (демо). У квітковому магазині є 12 білих та 25 червоних троянд. Покупець замовив у цьому магазині букет із двох білих троянд й однієї червоної. Скільки всього є варіантів такого вибору? Показати відповідь 1650 . Оскільки порядок вибору листіво...
15 коментарів
Read more »

Первісна функції

Правила інтегрування C⋅f(x)dx=C⋅ f(x)dx (f(x)±g(x))dx= f(x)dx± g(x)dx Таблиця первісних x n dx= +C dx=ln|x|+C sinxdx=-cosx+C cosxdx=sinx+C dx=tgx+C dx= -ctgx+C a x dx= +C e x dx=e x +C Завдання. НМТ 2026 (демо). Позначте формулу для визначення площі S фігури, обмеженої графіками функцій 𝑦 = 2 𝑥 , 𝑦 = 2 та прямою 𝑥 = 0 (див. рисунок). S=\int_{0}^{2}2^x{dx} S=\int_{0}^{1}2^x{dx} S=\int_{0}^{1}(2^x-2){dx} S=\int_{0}^{1}(2-2^x){dx} S=\int_{0}^{2}(2-2^x){dx} Показати відповідь Г . Так як фігура обмежена числами 0 та 1 по осі абсцис, то ці числа є межами інтегрування. На даному проміжку фігура обмежена згори лінією у = 2, знизу лінією 𝑦 = 2 𝑥 . Тоді за формулою обчислення площі фігури S=\int_{0}^{1}(2-2^x){dx} . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції Обчисліть значення виразу . Відповідь 31 . Скористатись геометричним змістом визначеного інтеграла. НМТ 2024. Обчисліть інтеграл . Відповідь 10 . Скористатись форму...
8 коментарів
Read more »

Функції за графіками

Завдання. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції, що набуває лише додатних значень на всій області визначення? Показати відповідь Д . Якщо графік квадратичної функції набуває лише додатних значень на всій області визначення, то він повинен весь лежати вище осі х. Таккій умові задовольняє тільки графік Д. НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y = x + 2 y = −x 2 Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) ...
13 коментарів
Read more »

Рівняння та нерівності підвищеного рівня (з параметром)

Завдання. НМТ 2026 (демо). За якого найбільшого значення a рівняння 3 x + (4a 2 + 10a) ⋅ 3 -x = 4a + 5 не має коренів?. Показати відповідь -2,5 . 3 x + (4a 2 + 10a) ⋅ 3 -x = 4a + 5 Помножимо обидві частини рівності на 3 x 3 2x + 4a 2 + 10a = (4a + 5)3 x Нехай 3 x = t. Так як 3 x >0, то t >0 t 2 + 4a 2 + 10a = (4a + 5)t t 2 - (4a + 5)t + 4a 2 + 10a = 0 D = (4a + 5) 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ (4a 2 + 10a) = 16a 2 + 40a + 25 - 16a 2 - 40a = 25 t_1 = \frac{4a+5-\sqrt{25}}{2\cdot1} = \frac{4a+5-5}{2} = \frac{4a}{2} = 2a t_2 = \frac{4a+5+\sqrt{25}}{2\cdot1} = \frac{4a+5+5}{2} = \frac{4a+10}{2} = \frac{2(2a+5)}{2} = 2a+5 Рівняння не має коренів, якщо обидва ці корені не відповідають умові t >0, тобто при t ≤ 0. 2a ≤ 0 a ≤ 0 : 2 a ≤ 0 2a + 5 ≤ 0 2a ≤ - 5 a ≤ - 5 : 2 a ≤ - 2,5 Числова пряма з точками t -2,5 0 Отже рівняння не має коренів при a ∈ (-∞ -2,5]. Найбільше значення з цього проміжку ...
1 коментар
Read more »

Рекомендований допис

Solving Linear Equations with One Variable: A Step-by-Step Guide

An equation is an equality that contains a variable. You are required to find a number that, when substituted for the variable, yields a correct numerical equality (the same numbers on the left and right sides of the equality). In other words, you need to find the solution of the equation . For example, in the equation 2x - 6x + 8 = 7x - 3, we can substitute 1 for the variable x and obtain a correct numerical equality, since 2(1) - 6(1) + 8 = 2 - 6 + 8 = 4 and 7(1) - 3 = 7 - 3 = 4. Therefore, x = 1 is a solution of the equation. When solving equations, we may encounter the following cases: the equation has no solution,one solution, or infinitely many solutions. In this post, we will look at how to solve equations that contain one variable to the first power. Such equations are called linear equations . To solve such equations, you can apply The Subtraction property of equality. If a = b, then a - c =b - c ; The Addition property of equality. If a = b, then a + c = b...
Дописати коментар