7 клас. Алгебра. Лінійні рівняння з однією змінною. Розв’язування лінійних рівнянь

Лінійні рівняння — це фундамент алгебри, який дозволяє знаходити невідомі величини в будь-якій життєвій ситуації. Якщо арифметика вчить нас рахувати, то рівняння вчать нас логічно мислити та розплутувати найскладніші математичні вузли. На цій сторінці ми розберемо "золоті правила" роботи з рівностями: як переносити доданки через знак "=", чому важливо правильно змінювати знаки та як звичайні дроби перетворити на прості цілі числа. Опануйте ці алгоритми, і ви зможете розв’язати будь-яку задачу!

---

Рівнянням називають рівність, яка містить змінну.

Коренем (розв'язком) рівняння називають таке значення змінної, яке перетворює рівняння в правильну числову рівність. Наприклад, якщо в рівняння x²+4x-5=0 замість змінної х підставити число 1, то маємо правильну числову рівність: 1²+4·1-5= 0. Тому х = 1 є коренем рівняння.

Рівняння може мати різну кількість розв'язків:

• жодного, якщо не існує такого значення невідомого, яке перетворювало б рівняння на правильну числову рівність;
• один, якщо існує єдине значення невідомого, яке перетворює рівняння на правильну числову рівність;
• декілька, якщо існує декілька значень невідомого, яке перетворює рівняння на правильну числову рівність;
• безліч, якщо будь-яке значення невідомого перетворює рівняння на правильну числову рівність.

Для розв'язування рівнянь можна:

• в будь-якій частині рівняння розкрити дужки або звести подібні доданки;
• переносити доданок з однієї частини в другу, змінивши його знак на протилежний;
• множити або ділити обидві частини рівняння на одне й те саме відмінне від нуля число.

Лінійним рівнянням з однією змінною називають рівняння виду ах=b, де х - змінна, a і b - числа.

Для розв'язування такого рівняння треба поділити число, що стоїть у правій частині рівняння на коефіцієнт біля невідомого. Але слід зазначити, що якщо біля невідомого стоїть 0, то на нього ділити не можна. В такому випадку треба аналізувати: помножити невідоме на нуль і перевірити правильність числової рівності. Якщо правильна, то рівняння має безліч коренів; якщо неправильна, то рівняння не має жодного кореня.

Приклади

1. Розв'язати рівняння 3х = 6
   Показати відповідь

   3х = 6
   x = 6 : 3
   x = 2
2. Розв'язати рівняння 3x + 5 = 17
   Показати відповідь

   3x + 5 = 17
   3х = 17 - 5
   3х = 12
   x = 12 : 3
   x = 4
3. Розв'язати рівняння 3x + 5x = 16
   Показати відповідь

   3x + 5x = 16
   8х = 16
   x = 16 : 8
   x = 2
4. Розв'язати рівняння 5x - 4 = 2x + 5
   Показати відповідь

   5x - 4 = 2x + 5
   5x - 2x = 5 + 4
   3х = 9
   x = 9 : 3
   x = 3
5. Розв'язати рівняння 5(2x + 3) = 21x - 7
   Показати відповідь

   5(2x + 3) = 21x - 7
   5⋅2x + 5⋅3 = 21x - 7
   10x + 15 = 21x - 7
   10x - 21x = - 7 - 15
   - 11x = - 22
   x = - 22 : (- 11)
   x = 2
6. Розв'язати рівняння \frac{3}{4}x = \frac{27}{8}
   Показати відповідь

   \frac{3}{4}x = \frac{27}{8}
   x = \frac{27}{8}:\frac{3}{4}
   x = \frac{27}{8}\cdot\frac{4}{3}
   x = \frac{9}{2}\cdot\frac{1}{1}
   x = 4\frac{1}{2}
7. Розв'язати рівняння \frac{x}{4} + \frac{x}{6} = 20
   Показати відповідь

   \frac{x}{4} + \frac{x}{6} = 20
   \frac{{\color{Blue}12}\cdot{x}}{4} + \frac{{\color{Blue}12}\cdot{x}}{6} = {\color{Blue}12}\cdot20
   3x + 2x = 240
   5х = 240
   x = 240 : 5
   x = 48

Повернутись до переліку тем

⇒Наступна тема