7 клас. Алгебра. Лінійні рівняння з однією змінною. Розв’язування лінійних рівнянь

Рівнянням називають рівність, яка містить змінну.

Коренем (розв'язком) рівняння називають таке значення змінної, яке перетворює рівняння в правильну числову рівність. Наприклад, якщо в рівняння x²+4x-5=0 замість змінної х підставити число 1, то маємо правильну числову рівність: 1²+4·1-5= 0. Тому х = 1 є коренем рівняння.

Рівняння може мати різну кількість розв'язків:

жодного, якщо не існує такого значення невідомого, яке перетворювало б рівняння на правильну числову рівність;
один, якщо існує єдине значення невідомого, яке перетворює рівняння на правильну числову рівність;
декілька, якщо існує декілька значень невідомого, яке перетворює рівняння на правильну числову рівність;
безліч, якщо будь-яке значення невідомого перетворює рівняння на правильну числову рівність.

Для розв'язування рівнянь можна:

в будь-якій частині рівняння розкрити дужки або звести подібні доданки;
переносити доданок з однієї частини в другу, змінивши його знак на протилежний;
множити або ділити обидві частини рівняння на одне й те саме відмінне від нуля число.

Лінійним рівнянням з однією змінною називають рівняння виду ах=b, де х - змінна, a і b - числа.

Для розв'язування такого рівняння треба поділити число, що стоїть у правій частині рівняння на коефіцієнт біля невідомого. Але слід зазначити, що якщо біля невідомого стоїть 0, то на нього ділити не можна. В такому випадку треба аналізувати: помножити невідоме на нуль і перевірити правильність числової рівності. Якщо правильна, то рівняння має безліч коренів; якщо неправильна, то рівняння не має жодного кореня.

Приклади

Розв'язати рівняння 3х = 6
Показати відповідь
3х = 6
x = 6 : 2
x = 3
Розв'язати рівняння 3x + 5 = 17
Показати відповідь
3x + 5 = 17
3х = 17 - 5
3х = 12
x = 12 : 3
x = 4
Розв'язати рівняння 3x + 5x = 16
Показати відповідь
3x + 5x = 16
8х = 16
x = 16 : 8
x = 2
Розв'язати рівняння 5x - 4 = 2x + 5
Показати відповідь
5x - 4 = 2x + 5
5x - 2x = 5 + 4
3х = 9
x = 9 : 3
x = 3
Розв'язати рівняння 5(2x + 3) = 21x - 7
Показати відповідь
5(2x + 3) = 21x - 7
5⋅2x + 5⋅3 = 21x - 7
10x + 15 = 21x - 7
10x - 21x = - 7 - 15
- 11x = - 22
x = - 22 : (- 11)
x = 2
Розв'язати рівняння $\frac{3}{4}x = \frac{27}{8}$
Показати відповідь
$\frac{3}{4}x = \frac{27}{8}$
$x = \frac{27}{8}:\frac{3}{4}$
$x = \frac{27}{8}\cdot\frac{4}{3}$
$x = \frac{9}{2}\cdot\frac{1}{1}$
$x = 4\frac{1}{2}$
Розв'язати рівняння $\frac{x}{4} + \frac{x}{6} = 20$
Показати відповідь
$\frac{x}{4} + \frac{x}{6} = 20$
$\frac{{\color{Blue}12}\cdot{x}}{4} + \frac{{\color{Blue}12}\cdot{x}}{6} = {\color{Blue}12}\cdot20$
3x + 2x = 240
5х = 240
x = 240 : 5
x = 48