7 клас. Алгебра. Лінійні рівняння з однією змінною. Розв’язування лінійних рівнянь

Лінійні рівняння — це фундамент алгебри, який дозволяє знаходити невідомі величини в будь-якій життєвій ситуації. Якщо арифметика вчить нас рахувати, то рівняння вчать нас логічно мислити та розплутувати найскладніші математичні вузли. На цій сторінці ми розберемо "золоті правила" роботи з рівностями: як переносити доданки через знак "=", чому важливо правильно змінювати знаки та як звичайні дроби перетворити на прості цілі числа. Опануйте ці алгоритми, і ви зможете розв’язати будь-яку задачу!

Рівнянням називають рівність, яка містить змінну.

Коренем (розв'язком) рівняння називають таке значення змінної, яке перетворює рівняння в правильну числову рівність. Наприклад, якщо в рівняння x² + 4x - 5 = 0 замість змінної x підставити число 1, то маємо правильну числову рівність: 1² + 4 · 1 - 5 = 0. Тому x = 1 є коренем рівняння.

Рівняння може мати різну кількість розв'язків:

  • жодного, якщо не існує такого значення невідомого, яке перетворювало б рівняння на правильну числову рівність;
  • один, якщо існує єдине значення невідомого, яке перетворює рівняння на правильну числову рівність;
  • декілька, якщо існує декілька значень невідомого, які перетворюють рівняння на правильну числову рівність;
  • безліч, якщо будь-яке значення невідомого перетворює рівняння на правильну числову рівність.

Для розв'язування рівнянь можна:

  • в будь-якій частині рівняння розкрити дужки або звести подібні доданки;
  • переносити доданок з однієї частини в другу, змінивши його знак на протилежний;
  • множити або ділити обидві частини рівняння на одне й те саме відмінне від нуля число.

Лінійним рівнянням з однією змінною називають рівняння виду ax = b, де x - змінна, a і b - числа.

Якщо a ≠ 0, то для розв'язування такого рівняння треба поділити b на коефіцієнт a біля невідомого: x = b : a. Якщо a = 0, то рівняння набуває вигляду 0x = b. Тоді якщо b = 0, рівняння має безліч розв'язків; якщо b ≠ 0, рівняння не має розв'язків.

Приклади

Завдання 1. Розв'язати рівняння 3x = 6
Показати відповідь
3x = 6
x = 6 : 3
x = 2
Завдання 2. Розв'язати рівняння 3x + 5 = 17
Показати відповідь
3x + 5 = 17
3x = 17 - 5
3x = 12
x = 12 : 3
x = 4
Завдання 3. Розв'язати рівняння 3x + 5x = 16
Показати відповідь
3x + 5x = 16
8x = 16
x = 16 : 8
x = 2
Завдання 4. Розв'язати рівняння 5x - 4 = 2x + 5
Показати відповідь
5x - 4 = 2x + 5
5x - 2x = 5 + 4
3x = 9
x = 9 : 3
x = 3
Завдання 5. Розв'язати рівняння 5(2x + 3) = 21x — 7
Показати відповідь
5(2x + 3) = 21x - 7
5 · 2x + 5 · 3 = 21x - 7
10x + 15 = 21x - 7
10x - 21x = -7 - 15
-11x = -22
x = -22 : (-11)
x = 2
Завдання 6. Розв'язати рівняння 34x = 278
Показати відповідь
34x = 278
x = 278 : 34
x = 278 · 43
x = 92 · 11
x = 412
Завдання 7. Розв'язати рівняння x4 + x6 = 20
Показати відповідь
x4 + x6 = 20
12 · x4 + 12 · x6 = 12 · 20
3x + 2x = 240
5x = 240
x = 240 : 5
x = 48