7 клас. Алгебра. Розв’язування задач за допомогою лінійних рівнянь

Розв’язування задач за допомогою рівнянь — це те, заради чого ми вивчаємо алгебру. Це мистецтво бачити приховану математику в реальному світі: від планування будівництва клумби до розрахунку швидкості потяга. На цій сторінці ми навчимося перекладати людську мову на мову іксів, створювати математичні моделі та знаходити відповіді там, де арифметики вже не достатньо. Опануйте покроковий алгоритм розв’язання — і будь-яка текстова задача перетвориться на зрозумілий приклад!

Для розв'язування текстових задач за допомогою лінійних рівнянь треба виконати наступні кроки:

  1. Позначити невідому величину за х. Краще за все обирати ту величину, через яку виражені в умові всі інші.
  2. Записати дані в задачі співвідношення між величинами через х. Якщо на цьому етапі виходять дроби, то в попередньому пункті за х взяти меншу з невідомих величин.
  3. Визначити, як дану в умові задачі відому величину виразити через отримані в попередніх пунктах величини. Записати отримане у вигляді рівняння.
  4. Розв’язати рівняння, за знайденим значенням х знайти шукану величину.
Можливі співвідношення між величинами:
  1. Якщо величина a більше на 3 величини b, то a=b+3
  2. Якщо величина a менше на 2 величини b, то a=b-2
  3. Якщо величина a більше у 5 разів від величини b, то a=5 · b.
  4. Якщо величина a менше у 4 рази від величини b, то a=b:4.
Приклади Завдання 1. У клумби прямокутної форми одна зі сторін на 2,5 м більше за другу. Клумба повністю огорожена тином довжиною 13 м. Знайдіть розміри клумби.
Показати відповідь
Розв'язування. Нехай менша сторона клумби має довжину х м. Тоді за умовою задачі друга сторона має довжину х+2,5 м. Відома величина 13 м є периметром прямокутника, який можна обчислити за формулою P=2(a+b), тобто P=2 · (x + x + 2,5). Маємо рівняння:
2 · (x + х + 2,5) = 13
2 · (2х + 2,5) = 13
2 · 2х + 2 · 2,5 = 13
4х + 5 = 13
4x = 13 - 5
4х = 8
x = 8 : 4
x = 2
Отже, менша сторона клумби має довжину 2 м, а більша сторона має довжину 2 + 2,5 = 4,5 м.
Відповідь: 2 м; 4,5 м.
Завдання 2. Пасажирський потяг рухався дві години, після чого збільшив швидкість у 1,2 рази, після чого рухався ще півгодини. За весь час руху потяг подолав 145,6 км. Знайдіть швидкість руху потяга на останній ділянці.
Показати відповідь
Розв'язування. Нехай початкова швидкість руху потягу х км/год. Тоді після збільшення швидкості його швидкість стала 1,2х км/год. Подолана відстань складається з двох ділянок. На першій ділянці потяг рухався 2 години зі швидкістю х км/год, тобто подолав S=vt=2х км. На другій ділянці потяг рухався півгодини зі швидкістю 1,2х км/год, тобто подолав S=vt=1,2х · 0,5=0,6х км. Маємо рівняння:
2x + 0,6х = 145,6
2,6х = 145,6
х = 145,6 : 2,6
х = 1456 : 26
x = 56
Тоді швидкість потяга на останній ділянці складає 1,2 · 56=67,2 км/год.
Відповідь: 67,2 км/год.