Перейти до основного вмісту

7 клас. Алгебра. Розв’язування задач за допомогою лінійних рівнянь

Розв’язування задач за допомогою рівнянь — це те, заради чого ми вивчаємо алгебру. Це мистецтво бачити приховану математику в реальному світі: від планування будівництва клумби до розрахунку швидкості потяга. На цій сторінці ми навчимося перекладати людську мову на мову іксів, створювати математичні моделі та знаходити відповіді там, де арифметики вже не достатньо. Опануйте покроковий алгоритм розв’язання — і будь-яка текстова задача перетвориться на зрозумілий приклад!

Для розв'язування текстових задач за допомогою лінійних рівнянь треба виконати наступні кроки:

  1. Позначити невідому величину за х. Краще за все обирати ту величину, через яку виражені в умові всі інші.
  2. Записати дані в задачі співвідношення між величинами через х. Якщо на цьому етапі виходять дроби, то в попередньому пункті за х взяти меншу з невідомих величин.
  3. Визначити, як дану в умові задачі відому величину виразити через отримані в попередніх пунктах величини. Записати отримане у вигляді рівняння.
  4. Розв’язати рівняння, за знайденим значенням х знайти шукану величину.
Можливі співвідношення між величинами:
  1. Якщо величина a більше на 3 величини b, то a=b+3
  2. Якщо величина a менше на 2 величини b, то a=b-2
  3. Якщо величина a більше у 5 разів від величини b, то a=5⋅b.
  4. Якщо величина a менше у 4 рази від величини b, то a=b:4.
Приклади
  1. У клумби прямокутної форми одна зі сторін на 2,5 м більше за другу. Клумба повністю огорожена тином довжиною 13 м. Знайдіть розміри клумби.
    Показати відповідь
    Розв'язування. Нехай менша сторона клумби має довжину х м. Тоді за умовою задачі друга сторона має довжину х+2,5 м. Відома величина 13 м є периметром прямокутника, який можна обчислити за формулою P=2(a+b), тобто P=2⋅(x + x + 2,5). Маємо рівняння:
    2⋅(x + х + 2,5) = 13
    2⋅(2х + 2,5) = 13
    2⋅2х + 2⋅2,5 = 13
    4х + 5 = 13
    4x = 13 - 5
    4х = 8
    x = 8 : 4
    x = 2
    Отже, менша сторона клумби має довжину 2 м, а більша сторона має довжину 2 + 2,5 = 4,5 м.
    Відповідь: 2 м; 4,5 м.
  2. Пасажирський потяг рухався дві години, після чого збільшив швидкість у 1,2 рази, після чого рухався ще півгодини. За весь час руху потяг подолав 145,6 км. Знайдіть швидкість руху потяга на останній ділянці.
    Показати відповідь
    Розв'язування. Нехай початкова швидкість руху потягу х км/год. Тоді після збільшення швидкості його швидкість стала 1,2х км/год. Подолана відстань складається з двох ділянок. На першій ділянці потяг рухався 2 години зі швидкістю х км/год, тобто подолав S=vt=2х км. На другій ділянці потяг рухався півгодини зі швидкістю 1,2х км/год, тобто подолав S=vt=1,2х⋅0,5=0,6х км. Маємо рівняння:
    2x + 0,6х = 145,6
    2,6х = 145,6
    х = 145,6 : 2,6
    х = 1456 : 26
    x = 56
    Тоді швидкість потяга на останній ділянці складає 1,2⋅56=67,2 км/год.
    Відповідь: 67,2 км/год.
⇐Попередня тема Повернутись до переліку тем ⇒Наступна тема

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Рівняння та нерівності підвищеного рівня (з параметром)

Рівняння та нерівності з параметрами — це завдання високого рівня в шкільній математиці та на іспитах НМТ/ЗНО. Головна складність полягає в тому, що параметр a може змінювати не лише числові значення коефіцієнтів, а й саму структуру рівняння: перетворювати квадратне в лінійне, впливати на область допустимих значень (ОДЗ) або змінювати кількість наявних коренів. Для успішного розв’язання таких задач важливо не просто механічно обчислювати дискримінант, а вміти проводити повне дослідження . На цій сторінці ми детально розберемо основні стратегії: Метод заміни змінної: перехід від складних показникових або логарифмічних виразів до алгебраїчних (з урахуванням обмежень на нову змінну t). Аналіз ОДЗ: відсіювання сторонніх коренів, які «зникають» залежно від значення параметра. Використання властивостей функцій: графічний метод, парність та монотонність. Застосування теореми Вієта: для задач, де потрібно знайти співвідношення між коренями без їх безпосереднього обчислення. Нижче предста...
1 коментар
Read more »

Дійсні числа

Дійсні числа — це база математичної підготовки, що охоплює всі види числових множин: від натуральних до ірраціональних. На цій сторінці ми зібрали ключові ознаки подільності , правила порівняння звичайних дробів та ірраціональних виразів, а також алгоритми роботи зі степенями, що мають нульовий або від’ємний показник. Для ефективної підготовки до іспитів ми підготували великий практичний блок , що включає реальні приклади минулих років. Ви зможете розібрати методи оцінювання значень коренів, округлення чисел та роботу з логарифмами. Кожне завдання має детальне розв’язання, що допоможе учням опанувати навички швидких обчислень без помилок. Завдання 1. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількіс...
3 коментарі
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія — це особливий вид числової послідовності, де кожен наступний член відрізняється від попереднього на сталу величину. У шкільному курсі математики та в тестах НМТ ця тема є фундаментальною, оскільки вона поєднує в собі чіткі алгебраїчні алгоритми та вміння моделювати реальні життєві ситуації. Вміння швидко визначати різницю прогресії та застосовувати формули суми дозволяє ефективно розв'язувати як прості тестові вправи, так і складні задачі на розрахунок вартості послуг, планування тренувань або аналіз фінансових накопичень. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО . Ви знайдете детальні пояснення до задач різних рівнів складності: від знаходження першого члена за відомим n-м до визначення параметрів прогресії у прикладних контекстах. Тут зібрано весь необхідний теоретичний мінімум: базові формули n-го члена, два способи обчислення суми перших n членів та характерну властивість середнього арифметичного для сусідніх елементів ряду. Арифмети...
5 коментарів
Read more »

Комбінаторика

Комбінаторика — це розділ математики, який вчить підраховувати кількість можливих варіантів вибору або розташування об’єктів без їхнього безпосереднього переліку. Розуміння базових правил додавання та множення , а також розрізнення перестановок, розміщень та комбінацій є ключем до розв’язання складних логічних задач та підготовки до вивчення теорії ймовірностей. Для успішного складання іспитів ми підготували комплексний практичний блок , що базується на завданнях НМТ та тестах минулих років. Ви зможете детально розібрати алгоритми формування розкладів, вибору комплектів товарів та створення цифрових кодів. Кожне завдання супроводжується поясненням, яке допоможе вашим учням зрозуміти, коли порядок елементів має значення, а коли — ні. 1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a + b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і...
15 коментарів
Read more »

Логарифмічні вирази

Логарифмічні вирази — фундаментальний розділ алгебри, що описує операцію, обернену до піднесення до степеня. Розуміння логарифмів є критично важливим для успішного складання НМТ, оскільки ця тема пронизує значну частину екзаменаційних завдань: від спрощення складних обчислень до розв’язання показникових рівнянь та аналізу поведінки функцій у природничих науках. На цій сторінці представлено систематизований виклад властивостей логарифмів та практичний блок із детальним розбором завдань НМТ минулих років. Ми розглянемо ключові правила додавання, віднімання та перетворення логарифмів, навчимося впевнено переходити до нової основи, а також розберемо алгоритми оцінювання значень виразів, що дозволить вам швидко знаходити правильні відповіді у тестовій частині іспиту. Дії з логарифмами Якщо log a b = c, то b = a c log a a = 1 log a 1 = 0 log a b+log a c = log a bc log a b-log a c = log a \frac{b}{c} n · log a b = log a b n \frac{1}{k} log a b = log a k b a log a N = N Завдання...
2 коментарі
Read more »

Рекомендований допис

10 клас. Алгебра і початки аналізу

10 клас. Алгебра і початки аналізу — це вихід на новий рівень математичного мислення. Цього року ви опануєте «математику змін»: від дослідження складних функцій та їхніх властивостей до занурення у світ тригонометрії та перших кроків у диференціальному численні. Ви навчитеся не просто обчислювати, а аналізувати процеси, прогнозувати результати та бачити логіку в найскладніших системах. Ці знання — це фундамент не лише для успішного складання НМТ, а й для розуміння сучасної економіки, фізики та ІТ-технологій. Оберіть тему, і перетворіть складні формули на свій надійний інструмент для підкорення нових інтелектуальних вершин! Тема 1. Множини та функції Множини, операції над множинами Взаємно однозначна відповідність між елементами множин. Рівнопотужні множини Числові множини. Множина дійсних чисел Числові функції. Їх властивості та графіки Властивості і графіки основних видів функцій Оборотні функції. Взаємно обернені функції Побудова графіків функцій за допомогою ...
Дописати коментар