Перейти до основного вмісту

7 клас. Алгебра. Вирази зі змінними. Тотожності

Вирази зі змінними та тотожності — це наступний рівень математичної логіки. Якщо звичайний числовий вираз дає одну конкретну відповідь, то вираз зі змінною — це ціла родина значень, які залежать від обраного "ікса". На цій сторінці ми навчимося "приборкувати" змінні: розкривати дужки, об’єднувати подібні доданки та доводити, що два на вигляд різні вирази насправді є "близнюками" (тотожностями). Це ключ до розуміння того, як спрощувати складні задачі та бачити рівність там, де вона не очевидна на перший погляд.

Числовим виразом називають вираз, утворений числами, знаками арифметичних дій (додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня) та дужками. Наприклад, 4⋅7 - 8:2 +(132 - 22).

Якщо такий вираз містить ще й змінні, то такий вираз називають виразом зі змінними. Наприклад, 5x2+4x-2.

Якщо два вирази отримують однакові значення при підстановці одного і того ж значення змінної, то таки вирази називають тотожними. Якщо між тотожними виразами поставити знак "=", то ми отримаємо тотожність.

Для доведення тотожностей треба спрощувати ліву, праву або і ліву, і праву частини тотожності, поки не отримаємо однакові вирази. Під спрощенням розуміється розкриття дужок та зведення подібних доданків. При зведенні подібних доданків додають (віднімають) коефіцієнти при однакових змінних. Доданки з різними змінними в жодному разі не додають.

Приклади

  1. Знайти значення виразу 5x2 + 4x - 2, якщо х = 2.
    Показати відповідь
    Підставимо у вираз замість змінної х її значення 2 і знайдемо значення отриманого числового виразу.
    5 ⋅ 22 + 4 ⋅ 2 - 2 = 5 ⋅ 4 + 8 - 2 = 20 + 8 - 2 = 26.
  2. Спростити вираз 2(3х - 4).
    Показати відповідь
    Якщо перед дужками знаходиться вираз, то при відкритті дужок треба його помножити на кожний доданок, який знаходиться в дужках.
    2 (3х - 4) = 2 ⋅ 3х - 2 ⋅ 4 = 6х - 8.
  3. Спростити вираз 4(5х - 2y)- 3(4y - 7x).
    Показати відповідь
    4(5х - 2y)- 3(4y - 7x) = 4 ⋅ 5х - 4 ⋅ 2y - 3 ⋅ 4y - 3 ⋅ ( - 7x) = 20х - 8у - 12у + 21х = 41х - 20у.
  4. Довести тотожність 4(х - 3) + 2(6 - х) = 3(2х - 5) - 4(х - 4) - 1.
    Показати відповідь
    Перетворимо ліву та праву частину тотожності
    4 (х - 3) + 2 (6 - х)=4 ⋅ х - 4 ⋅ 3 + 2 ⋅ 6 - 2 ⋅ х = 4x - 12 + 12 - 2x = 2x
    3 (2х - 5) - 4 (х - 4) - 1 = 3 ⋅ 2х - 3 ⋅ 5 - 4 ⋅ х - 4 ⋅ (- 4) - 1 = 6x - 15 - 4x + 16 - 1 = 2x .
    Так як ліва та права частина після перетворення однакова, то маємо правильну тотожність.
⇐Попередня тема Повернутись до переліку тем ⇒Наступна тема

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Дійсні числа — це база математичної підготовки, що охоплює всі види числових множин: від натуральних до ірраціональних. На цій сторінці ми зібрали ключові ознаки подільності , правила порівняння звичайних дробів та ірраціональних виразів, а також алгоритми роботи зі степенями, що мають нульовий або від’ємний показник. Для ефективної підготовки до іспитів ми підготували великий практичний блок , що включає реальні приклади минулих років. Ви зможете розібрати методи оцінювання значень коренів, округлення чисел та роботу з логарифмами. Кожне завдання має детальне розв’язання, що допоможе учням опанувати навички швидких обчислень без помилок. Завдання 1. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількіс...
3 коментарі
Read more »

Комбінаторика

Комбінаторика — це розділ математики, який вчить підраховувати кількість можливих варіантів вибору або розташування об’єктів без їхнього безпосереднього переліку. Розуміння базових правил додавання та множення , а також розрізнення перестановок, розміщень та комбінацій є ключем до розв’язання складних логічних задач та підготовки до вивчення теорії ймовірностей. Для успішного складання іспитів ми підготували комплексний практичний блок , що базується на завданнях НМТ та тестах минулих років. Ви зможете детально розібрати алгоритми формування розкладів, вибору комплектів товарів та створення цифрових кодів. Кожне завдання супроводжується поясненням, яке допоможе вашим учням зрозуміти, коли порядок елементів має значення, а коли — ні. 1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a + b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і...
15 коментарів
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія — це особливий вид числової послідовності, де кожен наступний член відрізняється від попереднього на сталу величину. У шкільному курсі математики та в тестах НМТ ця тема є фундаментальною, оскільки вона поєднує в собі чіткі алгебраїчні алгоритми та вміння моделювати реальні життєві ситуації. Вміння швидко визначати різницю прогресії та застосовувати формули суми дозволяє ефективно розв'язувати як прості тестові вправи, так і складні задачі на розрахунок вартості послуг, планування тренувань або аналіз фінансових накопичень. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО . Ви знайдете детальні пояснення до задач різних рівнів складності: від знаходження першого члена за відомим n-м до визначення параметрів прогресії у прикладних контекстах. Тут зібрано весь необхідний теоретичний мінімум: базові формули n-го члена, два способи обчислення суми перших n членів та характерну властивість середнього арифметичного для сусідніх елементів ряду. Арифмети...
5 коментарів
Read more »

Лінійні, квадратичні, дробово-раціональні нерівності

Лінійні, квадратичні та дробово-раціональні нерівності — це базовий інструмент математичного аналізу, що дозволяє визначати проміжки значень змінної, які задовольняють задані умови. Вміння працювати з цими нерівностями є фундаментом для дослідження функцій, знаходження їхніх областей визначення та розв'язання складних оптимізаційних задач у точних науках. На цій сторінці представлено алгоритми розв’язання основних типів нерівностей: від найпростіших лінійних до дробових, що потребують застосування методу інтервалів. Ми детально розберемо правила перетворення нерівностей, принципи позначення точок на числовій прямій та особливості врахування ОДЗ у дробових виразах на прикладах реальних завдань НМТ. Для розв'язування лінійних нерівностей вирази з невідомою переносимо в ліву частину нерівності, все інше в праву частину нерівності, і поступово рівносильними перетвореннями залишаємо в лівій частині нерівності лише невідоме ( Пам'ятайте! При множенні обох частин нерівності ...
Дописати коментар
Read more »

Дослідження функції та побудова її графіка

Дослідження функції та побудова її графіка — це комплексний процес, який дозволяє візуалізувати математичні закономірності та зрозуміти поведінку складних систем. Використання похідної для знаходження точок екстремуму та проміжків монотонності є однією з найскладніших, але водночас найцікавіших тем курсу алгебри. Навички побудови ескізів графіків допомагають учням не лише розв'язувати стандартні рівняння, а й аналізувати динаміку процесів у фізиці, економіці та програмуванні. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО , що охоплюють повний цикл аналізу функції: від знаходження області визначення та точок перетину з осями до обчислення похідної та побудови графіків. Ви навчитеся розрізняти локальні максимуми й мінімуми, працювати з первісними для знаходження площ криволінійних трапецій та порівнювати поведінку різних типів функцій (лінійних, квадратичних, тригонометричних та логарифмічних). Тут зібрано детальні розв'язання, таблиці поведінки функцій та готові гр...
4 коментарі
Read more »

Рекомендований допис

10 клас. Алгебра і початки аналізу

10 клас. Алгебра і початки аналізу — це вихід на новий рівень математичного мислення. Цього року ви опануєте «математику змін»: від дослідження складних функцій та їхніх властивостей до занурення у світ тригонометрії та перших кроків у диференціальному численні. Ви навчитеся не просто обчислювати, а аналізувати процеси, прогнозувати результати та бачити логіку в найскладніших системах. Ці знання — це фундамент не лише для успішного складання НМТ, а й для розуміння сучасної економіки, фізики та ІТ-технологій. Оберіть тему, і перетворіть складні формули на свій надійний інструмент для підкорення нових інтелектуальних вершин! Тема 1. Множини та функції Множини, операції над множинами Взаємно однозначна відповідність між елементами множин. Рівнопотужні множини Числові множини. Множина дійсних чисел Числові функції. Їх властивості та графіки Властивості і графіки основних видів функцій Оборотні функції. Взаємно обернені функції Побудова графіків функцій за допомогою ...
Дописати коментар