7 клас. Алгебра. Cтепінь числа з натуральним показником. Властивості степеня

Степінь числа - це математичний спосіб записати довге множення одного й того самого числа коротким і зручним символом. На цій сторінці ми розберемося, як працюють "поверхи" чисел, за допомогою властивостей степеня виконувати складні обчислення за лічені секунди. Ви навчитеся впевнено працювати з від’ємними числами в степені та дізнаєтеся правила, які дозволяють "керувати" показниками при множенні та діленні. Це база, яка зробить ваші розрахунки у рази швидшими!

---

Степенем числа а з натуральним показником n (n>1) називають добуток n множників, кожний з яких дорівнює а. Тобто

aⁿ = a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a,

де маємо n множників

Окремі випадки:

• а¹ = а;
• а² називають квадратом числа;
• а³ називають кубом числа.

Порядок дій у виразах, що містять степінь числа:

1. дії в дужках;
2. піднесення до степеня;
3. множення і ділення;
4. додавання і віднімання.

При піднесенні до степеня від'ємного числа краще спочатку перетворити вираз за наступним правилом:

• (-a)ⁿ = aⁿ при додатному a та парному n;
• (-a)ⁿ = - aⁿ при додатному a та непарному n

При перетворенні виразів можна застосовувати наступні властивості степенів:

a^m ⋅ aⁿ = a^{m + n}

a^m : aⁿ = a^{m - n}

(a^m)ⁿ = a^{m ⋅ n}

(a ⋅ b)ⁿ = aⁿ ⋅ bⁿ

Приклади

1. 3⁴ = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 81.
2. (-2)⁴ = 2⁴ = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16.
3. (-2)³ = - 2³ = - 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = - 8.
4. (\frac{2}{3})^3 = \frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}
5. (3\frac{1}{3})^4=(\frac{10}{3})^4 = \frac{10^4}{3^4}=\frac{10000}{81}=123\frac{37}{81}
6. x⁴ ⋅ x³ = x^{4 + 3} = x⁷.
7. 7¹³ : 7¹¹ = 7^{13 - 11} = 7² = 49.
8. (a⁵)³ = a^{5 ⋅ 3} = a¹⁵.
9. 20⁵ = (2 ⋅ 10)⁵ = 2⁵ ⋅ 10⁵ = 32 ⋅ 100000 = 3200000.
10. (2x)³ = 2³ ⋅ x³ = 8x³.

⇐Попередня тема

Повернутись до переліку тем

⇒Наступна тема