Перейти до основного вмісту

7 клас. Алгебра. Одночлени та многочлени

Вирази, що складаються з чисел, змінних, їхніх степенів та добутків називають одночленами. Для спрощення подальших дій з одночленами їх бажано записувати в стандартному вигляді: спочатку один числовий множник, потім змінні, кожна з яких записана лише один раз. Наприклад, вираз 2х2у3 є одночленом стандартного вигляду, а вираз 2х2у3х5 не є одночленом стандартного вигляду (щоб привести його до стандартного вигляду достатньо перемножити однакові змінні, тобто 2х2у3х5=2х2+5у3=2х5у7).

Якщо одночлен записано в стандартному вигляді, то його числовий множник коефіцієнтом одночлена. При цьому якщо значення коефіцієнта дорівнює ±1, то число не пишуть, лише відповідний знак.

  • одночлен 15abc має коефіцієнт 15;
  • одночлен abc має коефіцієнт 1;
  • одночлен -abc має коефіцієнт -1.

Степенем одночлена називають суму показників степенів усіх змінних, що входять до данного одночлена. При цьому слід пам'ятати, що якщо змінна не має показник степеня, то її степінь дорівнює 1.

  • одночлен 15abc має степінь 1+1+1=3;
  • одночлен 15a2bc3 має степінь 2+1+3=6;
  • одночлен 15 має степінь 0.

Одночлени можна множити та підносити до степеня. При цьому використовуються властивості степенів.

  • 17аb2c9 ⋅ (-4а3b2c3) = -17⋅4 аа3b2b2c9c3 = -68а1+3b2+2c9+3 = -68а4b4c12;
  • (3аb2c9)4 = 34а4b2⋅4c9⋅4 = 81а4b8c36.

Вираз, що складається з суми одночленів, називають многочленом. Одночлени, з яких складається многочлен, називають членами многочлена.

Подібні доданки многочлена називають подібними членами многочлена, а зведення подібних доданків у многочлені - зведенням подібних членів многочлена. Після зведення подібних доданків утворюється многочлен стандартного вигляду. Степенем многочлена стандартного вигляду називають найбільший зі степенів одночленів, що містить цей многочлен.

Приклади

  1. Зведіть подібні членим многочлена 21a2b - 17ab2 +85 - 5a + 16 +19ab2.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    21a2b - 17ab2 + 85 - 5a + 16 + 19ab2 = 21a2b + (19-17)ab2 + (85+16) - 5a = 21a2b + 2ab2 + 101 - 5a.
  2. Запишіть многочлен 13х2у + 2ху + 7ух + 15 - 5х2у - 9 у стандартному вигляді та визначте його степінь .
    Показати відповідь
    Розв'язування
    13х2у + 2ху + 7ух + 15 - 5х2у - 9 = (13-5)х2у + (2+7)ху + 15-9 = 8х2у + 9ху + 6.
    Перший одночлен має степінь 2+1=3, другий одночлен має степінь 1+1=2, третій одночлен має степінь 0. Найбільше значення 3, отже степінь даного многочлена 3.
  3. Запишіть многочлен 13х2у + 2ху + 7ух + 15 - 13х2у - 9 у стандартному вигляді та визначте його степінь .
    Показати відповідь
    Розв'язування
    13х2у + 2ху + 7ух + 15 - 13х2у - 9 = (13-13)х2у + (2+7)ху + 15-9 = 9ху + 6.
    Перший одночлен має степінь 1+1=2, другий одночлен має степінь 0. Найбільше значення 2, отже степінь даного многочлена 2.
    Зверніть увагу! Хоча даний многочлен майже такий же, як і в попередньому прикладі, степені многочленів відрізняються через те, що після зведення подібних доданків одночлен, який мав степінь 3, зник.
⇐Попередня тема Повернутись до переліку тем ⇒Наступна тема

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Завдання. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців – 4х. Разом їх буде 3х + 4х = 7х. Отже, сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців ділиться націло на 7, і лише число 91 задовольняє цій умові. Завдання. НМТ 2026 (демо). Узгодьте вираз (1– 3) із його значенням (А – Д), якщо m = -\frac{4}{3} 1 |𝑚 − 4| 2 4m −1 3 (3𝑚 + 1) 0 А –3 Б 1 В 0 Г 3 Д \frac{16}{3} Показати відповідь 1-Д, 2-А, 3-Б . 1. |-\frac{4}{3}-4|=|-\frac{4}{3}-\frac{12}{3}|=|\frac{-4-12}{3}|=|\frac{-16}{3}|=\frac{16}{3} 2. 4\cdot(-\frac{4}{3})^{-1} = 4\cdot (-\frac{3}{4}) = -3 (при зміні знака степеня дріб перевертається) 3. Кожне число, від'ємне від 0, в нульовій степені д...
3 коментарі
Read more »

Комбінаторика

1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і І об'єкт і ІІ об'єкт можна a⋅b способами. 3. Перестановки . Якщо з n об'єктів потрібно обрати всі n, то це можна зробити P n =n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n-1)⋅n способами. 4. Розміщення . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання важливий, то це можна зробити = способами. 5. Комбінації . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання не важливий, то це можна зробити = способами. Примітка . Скорочення факторіалів = =5⋅6⋅7=210 Завдання. НМТ 2026 (демо). У квітковому магазині є 12 білих та 25 червоних троянд. Покупець замовив у цьому магазині букет із двох білих троянд й однієї червоної. Скільки всього є варіантів такого вибору? Показати відповідь 1650 . Оскільки порядок вибору листіво...
15 коментарів
Read more »

Похідна функції

Правила диференціювання (C)'=0 (C⋅f(x))'=C⋅f'(x) (f(x)&pm;g(x))'=f'(x)&pm;g'(x) (f(x)⋅g(x))'=f'(x)⋅g(x)+f(x)⋅g'(x) ( )'= (f(g(x)))'=f' g ⋅g' x Таблиця похідних (x n )'=nx n-1 (sinx)'=cosx (cosx)'=-sinx (tgx)'= (ctgx)'= (a x )'=a x lna (e x )'=e x (log a x)'= (lnx)'= Завдання. НМТ 2026 (демо). Задано функцію 𝑓(𝑥)={\footnotesize\begin{cases}30,x\lt-2,\\[-0.2em] 2x^4+x,x\ge-2\end{cases}} . Обчисліть значення виразу 𝑓(-3) - 𝑓'(2). Показати відповідь –35 . Так як - 3 < - 2, то f(- 3) = 30. Так як 2 > - 2, то для знаходження значення похідної в точці 2 застосовуємо функцію f(x) = 2x 4 + x. Знайдемо похідну даної функції. f'(x) = 2 ⋅ 4 x 4 - 1 + 1 = 8x 3 + 1. Підставимо в отриману похідну значення х = 2. f'(2) = 8 ⋅ 2 3 + 1 = 8 ⋅ 8 + 1 = 64 + 1 = 65. Тоді 𝑓(-3) - 𝑓'(2) = 30 - 65 = - 35. НМТ 2023. Матеріальна точка рухається прямолінійно...
3 коментарі
Read more »

Функції за графіками

Завдання. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції, що набуває лише додатних значень на всій області визначення? Показати відповідь Д . Якщо графік квадратичної функції набуває лише додатних значень на всій області визначення, то він повинен весь лежати вище осі х. Таккій умові задовольняє тільки графік Д. НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y = x + 2 y = −x 2 Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) ...
13 коментарів
Read more »

Коло та круг

Круг - геометричне місце точок, відстань від яких до заданої (центр круга) не перевищує заданого (радіус круга). Коло - геометричне місце точок, відстань від яких до заданої (центр кола) дорівнює заданому (радіус кола). Коло є границею круга. Властивості кола та круга: Хорда - відрізок, який сполучає дві точки кола. Діаметр - хорда, що проходить через центр кола. d=2R. Довжина кола: C=2πR. Площа круга: S=πR 2 . Якщо два вписані кути спираються на одну хорду, то вони рівні. Вписаний кут вдвічі менше центрального кута, що спирається на ту ж хорду. Якщо вписаний кут спирається на діаметр, то він прямий. Якщо АВ - дотична до кола (В - точка дотику), а С і D - точки перетину січної кола, що проведена з точки А, то АВ 2 =AC⋅AD. Завдання. НМТ 2026 (демо). На колі вибрано точки A, B і C так, що &angle;ACB = 30° (див. рисунок). Визначте довжину (см) цього кола, якщо довжина меншої дуги AB дорівнює 25 см. 150 300 250 200 360 Показати відповідь А . Так я...
2 коментарі
Read more »

Рекомендований допис

Solving Linear Equations with One Variable: A Step-by-Step Guide

An equation is an equality that contains a variable. You are required to find a number that, when substituted for the variable, yields a correct numerical equality (the same numbers on the left and right sides of the equality). In other words, you need to find the solution of the equation . For example, in the equation 2x - 6x + 8 = 7x - 3, we can substitute 1 for the variable x and obtain a correct numerical equality, since 2(1) - 6(1) + 8 = 2 - 6 + 8 = 4 and 7(1) - 3 = 7 - 3 = 4. Therefore, x = 1 is a solution of the equation. When solving equations, we may encounter the following cases: the equation has no solution,one solution, or infinitely many solutions. In this post, we will look at how to solve equations that contain one variable to the first power. Such equations are called linear equations . To solve such equations, you can apply The Subtraction property of equality. If a = b, then a - c =b - c ; The Addition property of equality. If a = b, then a + c = b...
Дописати коментар