7 клас. Алгебра. Одночлени та многочлени

Одночлени та многочлени — це мова, якою описуються складні математичні закономірності. Одночлен можна порівняти з окремою деталлю конструктора, а многочлен — з уже зібраною моделлю. На цій сторінці ми навчимося приводити ці вирази до ладу: виділяти числовий коефіцієнт, вимірювати "силу" виразу через його степінь та прибирати зайве за допомогою зведення подібних доданків. Ці навички - фундамент, на якому тримається вся подальша алгебра!

---

Вирази, що складаються з чисел, змінних, їхніх степенів та добутків називають одночленами. Для спрощення подальших дій з одночленами їх бажано записувати в стандартному вигляді: спочатку один числовий множник, потім змінні, кожна з яких записана лише один раз. Наприклад, вираз 2х²у³ є одночленом стандартного вигляду, а вираз 2х²у³х⁵ не є одночленом стандартного вигляду (щоб привести його до стандартного вигляду достатньо перемножити однакові змінні, тобто 2х²у³х⁵=2х²⁺⁵у³=2х⁵у⁷).

Якщо одночлен записано в стандартному вигляді, то його числовий множник коефіцієнтом одночлена. При цьому якщо значення коефіцієнта дорівнює ±1, то число не пишуть, лише відповідний знак.

• одночлен 15abc має коефіцієнт 15;
• одночлен abc має коефіцієнт 1;
• одночлен -abc має коефіцієнт -1.

Степенем одночлена називають суму показників степенів усіх змінних, що входять до данного одночлена. При цьому слід пам'ятати, що якщо змінна не має показник степеня, то її степінь дорівнює 1.

• одночлен 15abc має степінь 1+1+1=3;
• одночлен 15a²bc³ має степінь 2+1+3=6;
• одночлен 15 має степінь 0.

Одночлени можна множити та підносити до степеня. При цьому використовуються властивості степенів.

• 17аb²c⁹ ⋅ (-4а³b²c³) = -17⋅4 аа³b²b²c⁹c³ = -68а¹⁺³b²⁺²c⁹⁺³ = -68а⁴b⁴c¹²;
• (3аb²c⁹)⁴ = 3⁴а⁴b^2⋅4c^9⋅4 = 81а⁴b⁸c³⁶.

Вираз, що складається з суми одночленів, називають многочленом. Одночлени, з яких складається многочлен, називають членами многочлена.

Подібні доданки многочлена називають подібними членами многочлена, а зведення подібних доданків у многочлені - зведенням подібних членів многочлена. Після зведення подібних доданків утворюється многочлен стандартного вигляду. Степенем многочлена стандартного вигляду називають найбільший зі степенів одночленів, що містить цей многочлен.

Приклади

1. Зведіть подібні членим многочлена 21a²b - 17ab² +85 - 5a + 16 +19ab².
   Показати відповідь

   Розв'язування
   21a²b - 17ab² + 85 - 5a + 16 + 19ab² = 21a²b + (19-17)ab² + (85+16) - 5a = 21a²b + 2ab² + 101 - 5a.
2. Запишіть многочлен 13х²у + 2ху + 7ух + 15 - 5х²у - 9 у стандартному вигляді та визначте його степінь .
   Показати відповідь

   Розв'язування
   13х²у + 2ху + 7ух + 15 - 5х²у - 9 = (13-5)х²у + (2+7)ху + 15-9 = 8х²у + 9ху + 6.
   Перший одночлен має степінь 2+1=3, другий одночлен має степінь 1+1=2, третій одночлен має степінь 0. Найбільше значення 3, отже степінь даного многочлена 3.
3. Запишіть многочлен 13х²у + 2ху + 7ух + 15 - 13х²у - 9 у стандартному вигляді та визначте його степінь .
   Показати відповідь

   Розв'язування
   13х²у + 2ху + 7ух + 15 - 13х²у - 9 = (13-13)х²у + (2+7)ху + 15-9 = 9ху + 6.
   Перший одночлен має степінь 1+1=2, другий одночлен має степінь 0. Найбільше значення 2, отже степінь даного многочлена 2.
   Зверніть увагу! Хоча даний многочлен майже такий же, як і в попередньому прикладі, степені многочленів відрізняються через те, що після зведення подібних доданків одночлен, який мав степінь 3, зник.

⇐Попередня тема

Повернутись до переліку тем

⇒Наступна тема