Перейти до основного вмісту

7 клас. Алгебра. Одночлени та многочлени

Вирази, що складаються з чисел, змінних, їхніх степенів та добутків називають одночленами. Для спрощення подальших дій з одночленами їх бажано записувати в стандартному вигляді: спочатку один числовий множник, потім змінні, кожна з яких записана лише один раз. Наприклад, вираз 2х2у3 є одночленом стандартного вигляду, а вираз 2х2у3х5 не є одночленом стандартного вигляду (щоб привести його до стандартного вигляду достатньо перемножити однакові змінні, тобто 2х2у3х5=2х2+5у3=2х5у7).

Якщо одночлен записано в стандартному вигляді, то його числовий множник коефіцієнтом одночлена. При цьому якщо значення коефіцієнта дорівнює ±1, то число не пишуть, лише відповідний знак.

  • одночлен 15abc має коефіцієнт 15;
  • одночлен abc має коефіцієнт 1;
  • одночлен -abc має коефіцієнт -1.

Степенем одночлена називають суму показників степенів усіх змінних, що входять до данного одночлена. При цьому слід пам'ятати, що якщо змінна не має показник степеня, то її степінь дорівнює 1.

  • одночлен 15abc має степінь 1+1+1=3;
  • одночлен 15a2bc3 має степінь 2+1+3=6;
  • одночлен 15 має степінь 0.

Одночлени можна множити та підносити до степеня. При цьому використовуються властивості степенів.

  • 17аb2c9 ⋅ (-4а3b2c3) = -17⋅4 аа3b2b2c9c3 = -68а1+3b2+2c9+3 = -68а4b4c12;
  • (3аb2c9)4 = 34а4b2⋅4c9⋅4 = 81а4b8c36.

Вираз, що складається з суми одночленів, називають многочленом. Одночлени, з яких складається многочлен, називають членами многочлена.

Подібні доданки многочлена називають подібними членами многочлена, а зведення подібних доданків у многочлені - зведенням подібних членів многочлена. Після зведення подібних доданків утворюється многочлен стандартного вигляду. Степенем многочлена стандартного вигляду називають найбільший зі степенів одночленів, що містить цей многочлен.

Приклади

  1. Зведіть подібні членим многочлена 21a2b - 17ab2 +85 - 5a + 16 +19ab2.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    21a2b - 17ab2 + 85 - 5a + 16 + 19ab2 = 21a2b + (19-17)ab2 + (85+16) - 5a = 21a2b + 2ab2 + 101 - 5a.
  2. Запишіть многочлен 13х2у + 2ху + 7ух + 15 - 5х2у - 9 у стандартному вигляді та визначте його степінь .
    Показати відповідь
    Розв'язування
    13х2у + 2ху + 7ух + 15 - 5х2у - 9 = (13-5)х2у + (2+7)ху + 15-9 = 8х2у + 9ху + 6.
    Перший одночлен має степінь 2+1=3, другий одночлен має степінь 1+1=2, третій одночлен має степінь 0. Найбільше значення 3, отже степінь даного многочлена 3.
  3. Запишіть многочлен 13х2у + 2ху + 7ух + 15 - 13х2у - 9 у стандартному вигляді та визначте його степінь .
    Показати відповідь
    Розв'язування
    13х2у + 2ху + 7ух + 15 - 13х2у - 9 = (13-13)х2у + (2+7)ху + 15-9 = 9ху + 6.
    Перший одночлен має степінь 1+1=2, другий одночлен має степінь 0. Найбільше значення 2, отже степінь даного многочлена 2.
    Зверніть увагу! Хоча даний многочлен майже такий же, як і в попередньому прикладі, степені многочленів відрізняються через те, що після зведення подібних доданків одночлен, який мав степінь 3, зник.
⇐Попередня тема Повернутись до переліку тем ⇒Наступна тема

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Піраміда та її елементи

Піраміда: у n-кутної піраміди n+1 вершина, n+1 граней, 2n ребер бічні грані піраміди - трикутники, а правильної піраміди - рівнобедрені трикутники правильна піраміда - піраміда, в основі якої лежить правильний багатокутник, а основа висоти співпадає з центром цього багатокутника Завдання 1. Розгортку якого з наведених многогранників зображено на рисунку? "> "> "> "> "> "> Показати відповідь Б . Маємо один чотирикутник - основу і 4 трикутника - бічні грані, тому наведено розгортку чотирикутної піраміди. Завдання 2. Визначте кількість граней восьмикутної піраміди. 7 8 9 16 17 Показати відповідь В . Маємо 8 бічних граней та 1 грань основи. Разом 9 граней. Завдання 3. Скільки всього граней у піраміди, яка має 12 ребер? 4 6 7 12 13 Показати відповідь В . Оскільки в піраміді однакова кількість бічних ребер та ребер основи, то дана піраміда має 12 : 2 = 6 ребер о...
2 коментарі
Докладніше

Дійсні числа

Правила порівняння звичайних дробів: 1. Якщо дроби мають однаковий знаменник, то більше той дріб, чисельник якого більше > ; 2. Якщо дроби мають однаковий чисельник, то більше той дріб, знаменник якого менше > ; 3. Неправильний дріб завжди більше правильного > ; 4. Якщо за цими правилами не можемо визначити, то зводимо дроби до спільного знаменника і використовуємо правило 1. НМТ 2024. Маса протона наближено дорівнює 1,67 ∙ 10 −27 кг. Визначте наближену масу (кг) 100 протонів. А Б В Г Д 167 ∙ 10 −25 1,67 ∙ 10 −25 1,67 ∙ 10 −29 1,67 ∙ 10 −2700 1,67 ∙ 10 25 Показати відповідь Б . НМТ 2024. Узгодьте вираз (1–3) із твердженням (А − Д) щодо значення цього виразу. Вираз Твердження про значення виразу 1 2 3 А є ірраціональним числом Б є натуральним числом В є цілим від’ємним числом Г є раціональним числом, що не є цілим Д дорівнює 0 Показати відповідь 1-А, 2-В, 3-Б . НМТ 2024. Узгодьте вираз (1–3) з твердженням (А – ...
3 коментарі
Докладніше

Функції за графіками

НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y = x + 2 y = −x 2 Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) так, щоб утворилося правильне твердження. Початок речення Закінчення речення 1 Найбільше значення функції y = f(x) на відрізку [1; 9] дорівнює 2 Найменше значення функції y = f(x) на відрізку [1; 3] дорівнює 3 Найбільше ціле значення x, за якого справджується нерівність f(x)<0, дорівнює А −1. Б 9. В 6. Г 7. Д 5. Показати відпові...
13 коментарів
Докладніше

Функція

1. Для обчислення значення функції в точці х o потрібно це значення підставити у функцію замість х. 2. Область визначення функції: можливі значення, які може приймати змінна х. Тут можливі випадки: Якщо є дріб, то його знаменник не дорівнює 0 Якщо є корінь парного степеня, то його підкореневий вираз повинен бути більше або дорівнювати 0 Якщо є логарифм, то його підлогарифмічний вираз повинен бути більше 0 3. Область значень функції: можливі значення. які може приймати у. 4. Функції розрізняють: за парністю Парні: якщо f(-x)=f(x). Графік парної функції симетричний відносно осі Оу Непарні: якщо f(-x)= -f(x). Графік непарної функції симетричний відносно початку координат Ні парні ні непарні: не виконуються попередні умови за монотоністю Зростаючі: якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції (з x 1 <x 2 слідує f(x 1 )<f(x 2 )) Спадні: якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції (з x 1 <x 2 слідує f(x 1 )>f(x 2 )) ...
Дописати коментар
Докладніше

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія 1. Знаходження n-го члена арифметичної прогресії: а n =а 1 +(n-1)d 2. Знаходження суми перших n членів арифметичної прогресії: S n = або S n = 3. Співвідношення між сусідніми членами прогресії: 2а n =а n-1 +а n+1 НМТ 2024. В арифметичній прогресії (a n ) відомо, що a 6 – a 1 = –30. Обчисліть значення виразу a 6 – a 4 . А Б В Г Д 12 10 –15 –10 –12 Показати відповідь Д . НМТ 2023. Студент вивчав японську мову за такою методикою: у перший день він запам'ятав 6 ієрогліфів, а кожного наступного дня - на 2 ієрогліфи більше, ніж попереднього. Скільки всього ієрогліфів запам'ятав цей студент за 25 днів від першого дня вивчення японської мови? Показати відповідь 750 . НМТ 2023. Число 27 є членом арифметичної прогресії з різницею d=5. Визначте числа з проміжку (60; 75), що є членами цієї прогресії. У відповідь запишіть суму цих чисел. Показати відповідь 201 . Задано арифметичну прогресію (a n ), у якій різниця ...
5 коментарів
Докладніше