Перейти до основного вмісту

7 клас. Алгебра. Одночлени та многочлени

Одночлени та многочлени — це мова, якою описуються складні математичні закономірності. Одночлен можна порівняти з окремою деталлю конструктора, а многочлен — з уже зібраною моделлю. На цій сторінці ми навчимося приводити ці вирази до ладу: виділяти числовий коефіцієнт, вимірювати "силу" виразу через його степінь та прибирати зайве за допомогою зведення подібних доданків. Ці навички - фундамент, на якому тримається вся подальша алгебра!

Вирази, що складаються з чисел, змінних, їхніх степенів та добутків називають одночленами. Для спрощення подальших дій з одночленами їх бажано записувати в стандартному вигляді: спочатку один числовий множник, потім змінні, кожна з яких записана лише один раз. Наприклад, вираз 2х2у3 є одночленом стандартного вигляду, а вираз 2х2у3х5 не є одночленом стандартного вигляду (щоб привести його до стандартного вигляду достатньо перемножити однакові змінні, тобто 2х2у3х5=2х2+5у3=2х5у7).

Якщо одночлен записано в стандартному вигляді, то його числовий множник коефіцієнтом одночлена. При цьому якщо значення коефіцієнта дорівнює ±1, то число не пишуть, лише відповідний знак.

  • одночлен 15abc має коефіцієнт 15;
  • одночлен abc має коефіцієнт 1;
  • одночлен -abc має коефіцієнт -1.

Степенем одночлена називають суму показників степенів усіх змінних, що входять до данного одночлена. При цьому слід пам'ятати, що якщо змінна не має показник степеня, то її степінь дорівнює 1.

  • одночлен 15abc має степінь 1+1+1=3;
  • одночлен 15a2bc3 має степінь 2+1+3=6;
  • одночлен 15 має степінь 0.

Одночлени можна множити та підносити до степеня. При цьому використовуються властивості степенів.

  • 17аb2c9 ⋅ (-4а3b2c3) = -17⋅4 аа3b2b2c9c3 = -68а1+3b2+2c9+3 = -68а4b4c12;
  • (3аb2c9)4 = 34а4b2⋅4c9⋅4 = 81а4b8c36.

Вираз, що складається з суми одночленів, називають многочленом. Одночлени, з яких складається многочлен, називають членами многочлена.

Подібні доданки многочлена називають подібними членами многочлена, а зведення подібних доданків у многочлені - зведенням подібних членів многочлена. Після зведення подібних доданків утворюється многочлен стандартного вигляду. Степенем многочлена стандартного вигляду називають найбільший зі степенів одночленів, що містить цей многочлен.

Приклади

  1. Зведіть подібні членим многочлена 21a2b - 17ab2 +85 - 5a + 16 +19ab2.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    21a2b - 17ab2 + 85 - 5a + 16 + 19ab2 = 21a2b + (19-17)ab2 + (85+16) - 5a = 21a2b + 2ab2 + 101 - 5a.
  2. Запишіть многочлен 13х2у + 2ху + 7ух + 15 - 5х2у - 9 у стандартному вигляді та визначте його степінь .
    Показати відповідь
    Розв'язування
    13х2у + 2ху + 7ух + 15 - 5х2у - 9 = (13-5)х2у + (2+7)ху + 15-9 = 8х2у + 9ху + 6.
    Перший одночлен має степінь 2+1=3, другий одночлен має степінь 1+1=2, третій одночлен має степінь 0. Найбільше значення 3, отже степінь даного многочлена 3.
  3. Запишіть многочлен 13х2у + 2ху + 7ух + 15 - 13х2у - 9 у стандартному вигляді та визначте його степінь .
    Показати відповідь
    Розв'язування
    13х2у + 2ху + 7ух + 15 - 13х2у - 9 = (13-13)х2у + (2+7)ху + 15-9 = 9ху + 6.
    Перший одночлен має степінь 1+1=2, другий одночлен має степінь 0. Найбільше значення 2, отже степінь даного многочлена 2.
    Зверніть увагу! Хоча даний многочлен майже такий же, як і в попередньому прикладі, степені многочленів відрізняються через те, що після зведення подібних доданків одночлен, який мав степінь 3, зник.
⇐Попередня тема Повернутись до переліку тем ⇒Наступна тема

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Комбінаторика

Комбінаторика — це розділ математики, який вчить підраховувати кількість можливих варіантів вибору або розташування об’єктів без їхнього безпосереднього переліку. Розуміння базових правил додавання та множення , а також розрізнення перестановок, розміщень та комбінацій є ключем до розв’язання складних логічних задач та підготовки до вивчення теорії ймовірностей. Для успішного складання іспитів ми підготували комплексний практичний блок , що базується на завданнях НМТ та тестах минулих років. Ви зможете детально розібрати алгоритми формування розкладів, вибору комплектів товарів та створення цифрових кодів. Кожне завдання супроводжується поясненням, яке допоможе вашим учням зрозуміти, коли порядок елементів має значення, а коли — ні. 1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати ...
15 коментарів
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія — це особливий вид числової послідовності, де кожен наступний член відрізняється від попереднього на сталу величину. У шкільному курсі математики та в тестах НМТ ця тема є фундаментальною, оскільки вона поєднує в собі чіткі алгебраїчні алгоритми та вміння моделювати реальні життєві ситуації. Вміння швидко визначати різницю прогресії та застосовувати формули суми дозволяє ефективно розв'язувати як прості тестові вправи, так і складні задачі на розрахунок вартості послуг, планування тренувань або аналіз фінансових накопичень. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО . Ви знайдете детальні пояснення до задач різних рівнів складності: від знаходження першого члена за відомим n-м до визначення параметрів прогресії у прикладних контекстах. Тут зібрано весь необхідний теоретичний мінімум: базові формули n-го члена, два способи обчислення суми перших n членів та характерну властивість середнього арифметичного для сусідніх елементів ряду. Арифмети...
5 коментарів
Read more »

Дійсні числа

Дійсні числа — це база математичної підготовки, що охоплює всі види числових множин: від натуральних до ірраціональних. На цій сторінці ми зібрали ключові ознаки подільності , правила порівняння звичайних дробів та ірраціональних виразів, а також алгоритми роботи зі степенями, що мають нульовий або від’ємний показник. Для ефективної підготовки до іспитів ми підготували великий практичний блок , що включає реальні приклади минулих років. Ви зможете розібрати методи оцінювання значень коренів, округлення чисел та роботу з логарифмами. Кожне завдання має детальне розв’язання, що допоможе учням опанувати навички швидких обчислень без помилок. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців...
3 коментарі
Read more »

Рівняння та нерівності підвищеного рівня (з параметром)

Рівняння та нерівності з параметрами — це завдання високого рівня в шкільній математиці та на іспитах НМТ/ЗНО. Головна складність полягає в тому, що параметр a може змінювати не лише числові значення коефіцієнтів, а й саму структуру рівняння: перетворювати квадратне в лінійне, впливати на область допустимих значень (ОДЗ) або змінювати кількість наявних коренів. Для успішного розв’язання таких задач важливо не просто механічно обчислювати дискримінант, а вміти проводити повне дослідження . На цій сторінці ми детально розберемо основні стратегії: Метод заміни змінної: перехід від складних показникових або логарифмічних виразів до алгебраїчних (з урахуванням обмежень на нову змінну t). Аналіз ОДЗ: відсіювання сторонніх коренів, які «зникають» залежно від значення параметра. Використання властивостей функцій: графічний метод, парність та монотонність. Застосування теореми Вієта: для задач, де потрібно знайти співвідношення між коренями без їх безпосереднього обчислення. Нижче предста...
1 коментар
Read more »

Похідна функції

Похідна функції — один із найпотужніших інструментів математичного аналізу, який дозволяє досліджувати процеси у динаміці та знаходити оптимальні рішення. Вміння обчислювати похідні та розуміти їхній зміст є базовою вимогою НМТ, оскільки ці завдання перевіряють не лише технічні навички роботи з формулами, а й здатність аналізувати швидкість зміни процесів. Розуміння зв'язку між знаком похідної та зростанням або спаданням функції допомагає без помилок досліджувати графіки та знаходити критичні точки. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО , включаючи аналіз демонстраційних варіантів. Ви навчитеся працювати з різними аспектами теми: від механічного змісту (швидкість та прискорення) до геометричного застосування при побудові дотичних. Тут зібрано все необхідне для підготовки: таблиця похідних основних функцій, правила диференціювання складних виразів та покрокові алгоритми знаходження найбільшого і найменшого значень на відрізку. Правила диференціювання (C)...
3 коментарі
Read more »

Рекомендований допис

10 клас. Алгебра і початки аналізу

10 клас. Алгебра і початки аналізу — це вихід на новий рівень математичного мислення. Цього року ви опануєте «математику змін»: від дослідження складних функцій та їхніх властивостей до занурення у світ тригонометрії та перших кроків у диференціальному численні. Ви навчитеся не просто обчислювати, а аналізувати процеси, прогнозувати результати та бачити логіку в найскладніших системах. Ці знання — це фундамент не лише для успішного складання НМТ, а й для розуміння сучасної економіки, фізики та ІТ-технологій. Оберіть тему, і перетворіть складні формули на свій надійний інструмент для підкорення нових інтелектуальних вершин! Тема 1. Множини та функції Множини, операції над множинами Взаємно однозначна відповідність між елементами множин. Рівнопотужні множини Числові множини. Множина дійсних чисел Числові функції. Їх властивості та графіки Властивості і графіки основних видів функцій Оборотні функції. Взаємно обернені функції Побудова графіків функцій за допомогою ...
Дописати коментар