Перейти до основного вмісту

7 клас. Алгебра. Арифметичні дії над многочленами

Алгоритм додавання многочленів:

  1. Записати суму многочленів у вигляді (a) + (b), де a і b - дані многочлени.
  2. Розкрити дужки.
  3. Звести подібні доданки.

Приклад

Знайти суму многочленів 3x2 + 7x – 2 та 4x - 12 + 5x2 + 3x3.

Показати відповідь
Розв'язування
(3x2 + 7x – 2) + (4x - 12 + 5x2 + 3x3) = 3x2 + 7x – 2 + 4x - 12 + 5x2 + 3x3 = 3x3 + (3+5)x2 + (7+4)x - 2 - 12 = 3x3 + 8x2 + 11x - 14.

Алгоритм віднімання многочленів:

  1. Записати різницю многочленів у вигляді (a) - (b), де a і b - дані многочлени.
  2. Розкрити дужки. При розкритті дужок, так як перед другою дужкою стоїть знак "-", всі знаки у другому многочлені змінюють на протилежні.
  3. Звести подібні доданки.

Приклад

Знайти різницю многочленів 3x2 + 7x – 2 та 4x - 12 + 5x2 + 3x3.

Показати відповідь
Розв'язування
(3x2 + 7x – 2) - (4x - 12 + 5x2 + 3x3) = 3x2 + 7x – 2 - 4x + 12 - 5x2 - 3x3 = -3x3 + (3-5)x2 + (7-4)x - 2 + 12 = -3x3 - 2x2 + 3x + 10.

Алгоритм множення одночлена на многочлен:

  1. Помножити даний одночлен на кожний член многочлена.
  2. Додати (відняти) отримані добутки. Зверніть увагу. Якщо треба помножити одночлен на многочлен з незведеними подібними доданками, то краще спочатку їх звести, а вже потім виконувати множення.

Приклад

Помножити одночлен 3x2 на многочлен 3x3 + 5x2 + 7x – 2.

Показати відповідь
Розв'язування
3x2 ⋅ (3x3 + 5x2 + 7x – 2) = 3x2 ⋅ 3x3 + 3x2 ⋅ 5x2 + 3x2 ⋅ 7x - 3x2 ⋅ 2 = 9x2+3 + 15x2+2 + 21x2+1 - 6x2 = 9x5 + 15x4 + 21x3 - 6x2.

Алгоритм множення многочлена на многочлен:

  1. Помножити перший член першого многочлена на кожний член другого многочлена.
  2. Помножити другий член першого многочлена на кожний член другого многочлена і т.д.
  3. Звести подібні доданки. Зверніть увагу. Якщо треба помножити декілька многочленів, то треба спочатку перемножити два з них, потім результат помножити на третій многочлен і т.д.

Приклади

  1. Помножити многочлен 3x2 + 4 на многочлен 3x3 + 5x2 + 7x – 2.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    (3x2 + 4) ⋅ (3x3 + 5x2 + 7x – 2) = 3x2 ⋅ 3x3 + 3x2 ⋅ 5x2 + 3x2 ⋅ 7x – 3x2 ⋅ 2 + 4 ⋅ 3x3 + 4 ⋅ 5x2 + 4 ⋅ 7x – 4 ⋅ 2 = 9x2+3 + 15x2+2 + 21x2+1 – 6x2 + 12x3 + 20x2 + 28x – 8 = 9x5 + 15x4 + 21x3 – 6x2 + 12x3 + 20x2 + 28x – 8 = 9x5 + 15x4 + (21+12)x3 + (20-6)x2 + 28x – 8 = 9x5 + 15x4 + 33x3 + 14x2 + 28x – 8.
  2. Спростити x2(х + 4)(3x3 - 7).
    Показати відповідь
    Розв'язування
    x2(х + 4)(3x3 - 7) = (x2 ⋅ х + x2 ⋅ 4)(3x3 - 7) = (x3 + 4x2)(3x3 - 7) = x3 ⋅ 3x3 - x3 ⋅ 7 + 4x2 ⋅ 3x3 - 4x2 ⋅ 7 = 3x6 - 7x3 + 12x5 - 28x2 =3x6 + 12x5 - 7x3 - 28x2.
⇐Попередня тема Повернутись до переліку тем ⇒Наступна тема

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Функції за графіками

Завдання. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції, що набуває лише додатних значень на всій області визначення? Показати відповідь Д . Якщо графік квадратичної функції набуває лише додатних значень на всій області визначення, то він повинен весь лежати вище осі х. Таккій умові задовольняє тільки графік Д. НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y = x + 2 y = −x 2 Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) ...
13 коментарів
Read more »

Комбінаторика

1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і І об'єкт і ІІ об'єкт можна a⋅b способами. 3. Перестановки . Якщо з n об'єктів потрібно обрати всі n, то це можна зробити P n =n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n-1)⋅n способами. 4. Розміщення . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання важливий, то це можна зробити = способами. 5. Комбінації . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання не важливий, то це можна зробити = способами. Примітка . Скорочення факторіалів = =5⋅6⋅7=210 Завдання. НМТ 2026 (демо). У квітковому магазині є 12 білих та 25 червоних троянд. Покупець замовив у цьому магазині букет із двох білих троянд й однієї червоної. Скільки всього є варіантів такого вибору? Показати відповідь 1650 . Оскільки порядок вибору листіво...
15 коментарів
Read more »

Первісна функції

Правила інтегрування C⋅f(x)dx=C⋅ f(x)dx (f(x)±g(x))dx= f(x)dx± g(x)dx Таблиця первісних x n dx= +C dx=ln|x|+C sinxdx=-cosx+C cosxdx=sinx+C dx=tgx+C dx= -ctgx+C a x dx= +C e x dx=e x +C Завдання. НМТ 2026 (демо). Позначте формулу для визначення площі S фігури, обмеженої графіками функцій 𝑦 = 2 𝑥 , 𝑦 = 2 та прямою 𝑥 = 0 (див. рисунок). S=\int_{0}^{2}2^x{dx} S=\int_{0}^{1}2^x{dx} S=\int_{0}^{1}(2^x-2){dx} S=\int_{0}^{1}(2-2^x){dx} S=\int_{0}^{2}(2-2^x){dx} Показати відповідь Г . Так як фігура обмежена числами 0 та 1 по осі абсцис, то ці числа є межами інтегрування. На даному проміжку фігура обмежена згори лінією у = 2, знизу лінією 𝑦 = 2 𝑥 . Тоді за формулою обчислення площі фігури S=\int_{0}^{1}(2-2^x){dx} . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції Обчисліть значення виразу . Відповідь 31 . Скористатись геометричним змістом визначеного інтеграла. НМТ 2024. Обчисліть інтеграл . Відповідь 10 . Скористатись форму...
8 коментарів
Read more »

Дійсні числа

Завдання. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців – 4х. Разом їх буде 3х + 4х = 7х. Отже, сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців ділиться націло на 7, і лише число 91 задовольняє цій умові. Завдання. НМТ 2026 (демо). Узгодьте вираз (1– 3) із його значенням (А – Д), якщо m = -\frac{4}{3} 1 |𝑚 − 4| 2 4m −1 3 (3𝑚 + 1) 0 А –3 Б 1 В 0 Г 3 Д \frac{16}{3} Показати відповідь 1-Д, 2-А, 3-Б . 1. |-\frac{4}{3}-4|=|-\frac{4}{3}-\frac{12}{3}|=|\frac{-4-12}{3}|=|\frac{-16}{3}|=\frac{16}{3} 2. 4\cdot(-\frac{4}{3})^{-1} = 4\cdot (-\frac{3}{4}) = -3 (при зміні знака степеня дріб перевертається) 3. Кожне число, від'ємне від 0, в нульовій степені д...
3 коментарі
Read more »

Рівняння та нерівності підвищеного рівня (з параметром)

Завдання. НМТ 2026 (демо). За якого найбільшого значення a рівняння 3 x + (4a 2 + 10a) ⋅ 3 -x = 4a + 5 не має коренів?. Показати відповідь -2,5 . 3 x + (4a 2 + 10a) ⋅ 3 -x = 4a + 5 Помножимо обидві частини рівності на 3 x 3 2x + 4a 2 + 10a = (4a + 5)3 x Нехай 3 x = t. Так як 3 x >0, то t >0 t 2 + 4a 2 + 10a = (4a + 5)t t 2 - (4a + 5)t + 4a 2 + 10a = 0 D = (4a + 5) 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ (4a 2 + 10a) = 16a 2 + 40a + 25 - 16a 2 - 40a = 25 t_1 = \frac{4a+5-\sqrt{25}}{2\cdot1} = \frac{4a+5-5}{2} = \frac{4a}{2} = 2a t_2 = \frac{4a+5+\sqrt{25}}{2\cdot1} = \frac{4a+5+5}{2} = \frac{4a+10}{2} = \frac{2(2a+5)}{2} = 2a+5 Рівняння не має коренів, якщо обидва ці корені не відповідають умові t >0, тобто при t ≤ 0. 2a ≤ 0 a ≤ 0 : 2 a ≤ 0 2a + 5 ≤ 0 2a ≤ - 5 a ≤ - 5 : 2 a ≤ - 2,5 Числова пряма з точками t -2,5 0 Отже рівняння не має коренів при a ∈ (-∞ -2,5]. Найбільше значення з цього проміжку ...
1 коментар
Read more »

Рекомендований допис

Solving Linear Equations with One Variable: A Step-by-Step Guide

An equation is an equality that contains a variable. You are required to find a number that, when substituted for the variable, yields a correct numerical equality (the same numbers on the left and right sides of the equality). In other words, you need to find the solution of the equation . For example, in the equation 2x - 6x + 8 = 7x - 3, we can substitute 1 for the variable x and obtain a correct numerical equality, since 2(1) - 6(1) + 8 = 2 - 6 + 8 = 4 and 7(1) - 3 = 7 - 3 = 4. Therefore, x = 1 is a solution of the equation. When solving equations, we may encounter the following cases: the equation has no solution,one solution, or infinitely many solutions. In this post, we will look at how to solve equations that contain one variable to the first power. Such equations are called linear equations . To solve such equations, you can apply The Subtraction property of equality. If a = b, then a - c =b - c ; The Addition property of equality. If a = b, then a + c = b...
Дописати коментар