Перейти до основного вмісту

7 клас. Алгебра. Арифметичні дії над многочленами

Арифметичні дії над многочленами — це правила, за якими живуть складні алгебраїчні вирази. На цій сторінці ми навчимося додавати, віднімати та перемножувати многочлени. Ви дізнаєтеся, чому при відніманні знаки "перевертаються", як правильно зводити подібні доданки, щоб не загубити жодного ікса. Ці алгоритми стануть вашими надійними інструментами для спрощення найзаплутаніших виразів!

Алгоритм додавання многочленів:

  1. Записати суму многочленів у вигляді (a) + (b), де a і b - дані многочлени.
  2. Розкрити дужки.
  3. Звести подібні доданки.

Приклад

Знайти суму многочленів 3x2 + 7x – 2 та 4x - 12 + 5x2 + 3x3.

Показати відповідь
Розв'язування
(3x2 + 7x – 2) + (4x - 12 + 5x2 + 3x3) = 3x2 + 7x – 2 + 4x - 12 + 5x2 + 3x3 = 3x3 + (3+5)x2 + (7+4)x - 2 - 12 = 3x3 + 8x2 + 11x - 14.

Алгоритм віднімання многочленів:

  1. Записати різницю многочленів у вигляді (a) - (b), де a і b - дані многочлени.
  2. Розкрити дужки. При розкритті дужок, так як перед другою дужкою стоїть знак "-", всі знаки у другому многочлені змінюють на протилежні.
  3. Звести подібні доданки.

Приклад

Знайти різницю многочленів 3x2 + 7x – 2 та 4x - 12 + 5x2 + 3x3.

Показати відповідь
Розв'язування
(3x2 + 7x – 2) - (4x - 12 + 5x2 + 3x3) = 3x2 + 7x – 2 - 4x + 12 - 5x2 - 3x3 = -3x3 + (3-5)x2 + (7-4)x - 2 + 12 = -3x3 - 2x2 + 3x + 10.

Алгоритм множення одночлена на многочлен:

  1. Помножити даний одночлен на кожний член многочлена.
  2. Додати (відняти) отримані добутки. Зверніть увагу. Якщо треба помножити одночлен на многочлен з незведеними подібними доданками, то краще спочатку їх звести, а вже потім виконувати множення.

Приклад

Помножити одночлен 3x2 на многочлен 3x3 + 5x2 + 7x – 2.

Показати відповідь
Розв'язування
3x2 ⋅ (3x3 + 5x2 + 7x – 2) = 3x2 ⋅ 3x3 + 3x2 ⋅ 5x2 + 3x2 ⋅ 7x - 3x2 ⋅ 2 = 9x2+3 + 15x2+2 + 21x2+1 - 6x2 = 9x5 + 15x4 + 21x3 - 6x2.

Алгоритм множення многочлена на многочлен:

  1. Помножити перший член першого многочлена на кожний член другого многочлена.
  2. Помножити другий член першого многочлена на кожний член другого многочлена і т.д.
  3. Звести подібні доданки. Зверніть увагу. Якщо треба помножити декілька многочленів, то треба спочатку перемножити два з них, потім результат помножити на третій многочлен і т.д.

Приклади

  1. Помножити многочлен 3x2 + 4 на многочлен 3x3 + 5x2 + 7x – 2.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    (3x2 + 4) ⋅ (3x3 + 5x2 + 7x – 2) = 3x2 ⋅ 3x3 + 3x2 ⋅ 5x2 + 3x2 ⋅ 7x – 3x2 ⋅ 2 + 4 ⋅ 3x3 + 4 ⋅ 5x2 + 4 ⋅ 7x – 4 ⋅ 2 = 9x2+3 + 15x2+2 + 21x2+1 – 6x2 + 12x3 + 20x2 + 28x – 8 = 9x5 + 15x4 + 21x3 – 6x2 + 12x3 + 20x2 + 28x – 8 = 9x5 + 15x4 + (21+12)x3 + (20-6)x2 + 28x – 8 = 9x5 + 15x4 + 33x3 + 14x2 + 28x – 8.
  2. Спростити x2(х + 4)(3x3 - 7).
    Показати відповідь
    Розв'язування
    x2(х + 4)(3x3 - 7) = (x2 ⋅ х + x2 ⋅ 4)(3x3 - 7) = (x3 + 4x2)(3x3 - 7) = x3 ⋅ 3x3 - x3 ⋅ 7 + 4x2 ⋅ 3x3 - 4x2 ⋅ 7 = 3x6 - 7x3 + 12x5 - 28x2 =3x6 + 12x5 - 7x3 - 28x2.
⇐Попередня тема Повернутись до переліку тем ⇒Наступна тема

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Дійсні числа — це база математичної підготовки, що охоплює всі види числових множин: від натуральних до ірраціональних. На цій сторінці ми зібрали ключові ознаки подільності , правила порівняння звичайних дробів та ірраціональних виразів, а також алгоритми роботи зі степенями, що мають нульовий або від’ємний показник. Для ефективної підготовки до іспитів ми підготували великий практичний блок , що включає реальні приклади минулих років. Ви зможете розібрати методи оцінювання значень коренів, округлення чисел та роботу з логарифмами. Кожне завдання має детальне розв’язання, що допоможе учням опанувати навички швидких обчислень без помилок. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців...
3 коментарі
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія — це особливий вид числової послідовності, де кожен наступний член відрізняється від попереднього на сталу величину. У шкільному курсі математики та в тестах НМТ ця тема є фундаментальною, оскільки вона поєднує в собі чіткі алгебраїчні алгоритми та вміння моделювати реальні життєві ситуації. Вміння швидко визначати різницю прогресії та застосовувати формули суми дозволяє ефективно розв'язувати як прості тестові вправи, так і складні задачі на розрахунок вартості послуг, планування тренувань або аналіз фінансових накопичень. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО . Ви знайдете детальні пояснення до задач різних рівнів складності: від знаходження першого члена за відомим n-м до визначення параметрів прогресії у прикладних контекстах. Тут зібрано весь необхідний теоретичний мінімум: базові формули n-го члена, два способи обчислення суми перших n членів та характерну властивість середнього арифметичного для сусідніх елементів ряду. Арифмети...
5 коментарів
Read more »

Функції за графіками

Аналіз функцій за їхніми графіками — це одна з найбільш наочних тем математики, яка вимагає вміння «читати» рисунок і швидко виділяти ключові властивості об'єкта. На НМТ завдання цього типу зустрічаються дуже часто, оскільки вони дозволяють перевірити комплексне розуміння теми: від визначення координат точок перетину з осями до аналізу поведінки складних періодичних процесів. Вміння візуально оцінювати парність, монотонність та область значень функції дозволяє значно зекономити час на іспиті, уникаючи громіздких обчислень. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО . Ви навчитеся працювати з графічними ескізами різних типів: лінійними, квадратичними, тригонометричними та показниковіми функціями. Тут зібрано приклади на знаходження нулів функції, визначення значень у конкретних точках, а також завдання на геометричні перетворення графіків, такі як паралельне перенесення вздовж осей координат. Завдання. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квад...
13 коментарів
Read more »

Рівняння та нерівності підвищеного рівня (з параметром)

Рівняння та нерівності з параметрами — це завдання високого рівня в шкільній математиці та на іспитах НМТ/ЗНО. Головна складність полягає в тому, що параметр a може змінювати не лише числові значення коефіцієнтів, а й саму структуру рівняння: перетворювати квадратне в лінійне, впливати на область допустимих значень (ОДЗ) або змінювати кількість наявних коренів. Для успішного розв’язання таких задач важливо не просто механічно обчислювати дискримінант, а вміти проводити повне дослідження . На цій сторінці ми детально розберемо основні стратегії: Метод заміни змінної: перехід від складних показникових або логарифмічних виразів до алгебраїчних (з урахуванням обмежень на нову змінну t). Аналіз ОДЗ: відсіювання сторонніх коренів, які «зникають» залежно від значення параметра. Використання властивостей функцій: графічний метод, парність та монотонність. Застосування теореми Вієта: для задач, де потрібно знайти співвідношення між коренями без їх безпосереднього обчислення. Нижче предста...
1 коментар
Read more »

Комбінаторика

Комбінаторика — це розділ математики, який вчить підраховувати кількість можливих варіантів вибору або розташування об’єктів без їхнього безпосереднього переліку. Розуміння базових правил додавання та множення , а також розрізнення перестановок, розміщень та комбінацій є ключем до розв’язання складних логічних задач та підготовки до вивчення теорії ймовірностей. Для успішного складання іспитів ми підготували комплексний практичний блок , що базується на завданнях НМТ та тестах минулих років. Ви зможете детально розібрати алгоритми формування розкладів, вибору комплектів товарів та створення цифрових кодів. Кожне завдання супроводжується поясненням, яке допоможе вашим учням зрозуміти, коли порядок елементів має значення, а коли — ні. 1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати ...
15 коментарів
Read more »

Рекомендований допис

Solving Linear Equations with One Variable: A Step-by-Step Guide

Struggling with math variables? This step-by-step guide breaks down linear equations into simple, manageable steps. From basic properties of equality to complex examples with fractions, you'll find everything you need to master the basics and gain confidence in your algebra skills. Dive in to see solved examples and test yourself with our interactive quiz at the end! An equation is an equality that contains a variable. You are required to find a number that, when substituted for the variable, yields a correct numerical equality (the same numbers on the left and right sides of the equality). In other words, you need to find the solution of the equation . For example, in the equation 2x - 6x + 8 = 7x - 3, we can substitute 1 for the variable x and obtain a correct numerical equality, since 2(1) - 6(1) + 8 = 2 - 6 + 8 = 4 and 7(1) - 3 = 7 - 3 = 4. Therefore, x = 1 is a solution of the equation. When solving equations, we may encounter the following cases: the equation has no s...
Дописати коментар