Перейти до основного вмісту

7 клас. Алгебра. Арифметичні дії над многочленами

Арифметичні дії над многочленами — це правила, за якими живуть складні алгебраїчні вирази. На цій сторінці ми навчимося додавати, віднімати та перемножувати многочлени. Ви дізнаєтеся, чому при відніманні знаки "перевертаються", як правильно зводити подібні доданки, щоб не загубити жодного ікса. Ці алгоритми стануть вашими надійними інструментами для спрощення найзаплутаніших виразів!

Алгоритм додавання многочленів:

  1. Записати суму многочленів у вигляді (a) + (b), де a і b - дані многочлени.
  2. Розкрити дужки.
  3. Звести подібні доданки.

Приклад

Знайти суму многочленів 3x² + 7x – 2 та 4x - 12 + 5x² + 3x³.

Показати відповідь
Розв'язування
(3x² + 7x – 2) + (4x - 12 + 5x² + 3x³) = 3x² + 7x – 2 + 4x - 12 + 5x² + 3x³ = 3x³ + (3+5)x² + (7+4)x - 2 - 12 = 3x³ + 8x² + 11x - 14.

Алгоритм віднімання многочленів:

  1. Записати різницю многочленів у вигляді (a) - (b), де a і b - дані многочлени.
  2. Розкрити дужки. При розкритті дужок, так як перед другою дужкою стоїть знак "-", всі знаки у другому многочлені змінюють на протилежні.
  3. Звести подібні доданки.

Приклад

Знайти різницю многочленів 3x² + 7x – 2 та 4x - 12 + 5x² + 3x³.

Показати відповідь
Розв'язування
(3x² + 7x – 2) - (4x - 12 + 5x² + 3x³) = 3x² + 7x – 2 - 4x + 12 - 5x² - 3x³ = -3x³ + (3-5)x² + (7-4)x - 2 + 12 = -3x³ - 2x² + 3x + 10.

Алгоритм множення одночлена на многочлен:

  1. Помножити даний одночлен на кожний член многочлена.
  2. Додати (відняти) отримані добутки. Зверніть увагу. Якщо треба помножити одночлен на многочлен з незведеними подібними доданками, то краще спочатку їх звести, а вже потім виконувати множення.

Приклад

Помножити одночлен 3x² на многочлен 3x³ + 5x² + 7x – 2.

Показати відповідь
Розв'язування
3x² · (3x³ + 5x² + 7x – 2) = 3x² · 3x³ + 3x² · 5x² + 3x² · 7x - 3x² · 2 = 9x2+3 + 15x2+2 + 21x2+1 - 6x² = 9x⁵ + 15x⁴ + 21x³ - 6x².

Алгоритм множення многочлена на многочлен:

  1. Помножити перший член першого многочлена на кожний член другого многочлена.
  2. Помножити другий член першого многочлена на кожний член другого многочлена і т.д.
  3. Звести подібні доданки. Зверніть увагу. Якщо треба помножити декілька многочленів, то треба спочатку перемножити два з них, потім результат помножити на третій многочлен і т.д.

Приклади

  1. Помножити многочлен 3x² + 4 на многочлен 3x³ + 5x² + 7x – 2.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    (3x² + 4) · (3x³ + 5x² + 7x – 2) = 3x² · 3x³ + 3x² · 5x² + 3x² · 7x – 3x² · 2 + 4 · 3x³ + 4 · 5x² + 4 · 7x – 4 · 2 = 9x2+3 + 15x2+2 + 21x2+1 – 6x² + 12x³ + 20x² + 28x – 8 = 9x⁵ + 15x⁴ + 21x³ – 6x² + 12x³ + 20x² + 28x – 8 = 9x⁵ + 15x⁴ + (21+12)x³ + (20-6)x² + 28x – 8 = 9x⁵ + 15x⁴ + 33x³ + 14x² + 28x – 8.
  2. Спростити x²(х + 4)(3x³ - 7).
    Показати відповідь
    Розв'язування
    x²(х + 4)(3x³ - 7) = (x² · х + x² · 4)(3x³ - 7) = (x³ + 4x²)(3x³ - 7) = x³ · 3x³ - x³ · 7 + 4x² · 3x³ - 4x² · 7 = 3x⁶ - 7x³ + 12x⁵ - 28x² =3x⁶ + 12x⁵ - 7x³ - 28x².

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Дійсні числа — це база математичної підготовки, що охоплює всі види числових множин: від натуральних до ірраціональних. На цій сторінці ми зібрали ключові ознаки подільності , правила порівняння звичайних дробів та ірраціональних виразів, а також алгоритми роботи зі степенями, що мають нульовий або від’ємний показник. Для ефективної підготовки до іспитів ми підготували великий практичний блок , що включає реальні приклади минулих років. Ви зможете розібрати методи оцінювання значень коренів, округлення чисел та роботу з логарифмами. Кожне завдання має детальне розв’язання, що допоможе учням опанувати навички швидких обчислень без помилок. Завдання 1. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількіс...
3 коментарі
Read more »

Лінійні, квадратні, дробово-раціональні рівняння

Рівняння — це математична мова, якою описують більшість процесів у навколишньому світі. Вміння розв’язувати їх є базовою навичкою, необхідною як для успішного складання НМТ, так і для опанування вищої математики, програмування чи економіки. На цій сторінці ми зібрали всі типи алгебраїчних рівнянь, що зустрічаються в тестах : Лінійні рівняння : прості рівності, де головне — правильно перенести доданки та звести подібні. Квадратні рівняння : класичні завдання, які розв'язуються через дискримінант або швидку теорему Вієта. Ви також знайдете приклади біквадратних рівнянь, що зводяться до квадратних через заміну змінної. Дробово - раціональні рівняння : задачі, де невідоме стоїть у знаменнику. Тут ми навчимося використовувати властивість пропорції та завжди пам'ятати про область допустимих значень (ОДЗ). Особливу увагу приділено завданням на вираження однієї змінної з формули (фізичні та геометричні формули), що є традиційно складним моментом для багатьох абітурієнтів. К...
Дописати коментар
Read more »

Відсотки

Відсотки (проценти) — одна з найважливіших тем шкільного курсу математики, яка має величезне практичне значення у повсякденному житті: від розрахунків банківських кредитів до аналізу знижок у магазинах. Розуміння того, що 1% — це сота частина цілого, дозволяє легко оперувати пропорціями та швидко знаходити частки від чисел. У завданнях НМТ відсотки зустрічаються як у вигляді окремих задач, так і в складі комплексних завдань на аналіз діаграм чи роботу з текстовими даними. На цій сторінці ви знайдете основні методи обчислення відсотків: від класичних правил до використання універсального методу пропорції. Ми підготували для вас розгорнутий практикум , що включає актуальні приклади з НМТ та реальних тестів минулих років. Кожне завдання супроводжується детальним поясненням логіки розв’язання, що допоможе вам опанувати навіть найскладніші типи задач на зміну ціни, акційні пропозиції та суміші. Обчислення відсотків % І спосіб. Використати правила: Щоб знайти a відсотків від числа b по...
1 коментар
Read more »

Трапеція та її властивості

Трапеція та її властивості — це тема, яка вимагає не лише знання формул, а й навичок додаткових побудов. Більшість задач НМТ на трапецію розв’язуються через проведення висот, які відтинають прямокутні трикутники, або використання властивостей середньої лінії. На цій сторінці ми зібрали розбір актуальних завдань НМТ та ЗНО, де ви знайдете приклади роботи з рівнобічними, прямокутними та описаними навколо кола трапеціями. Особливу увагу приділено методам пошуку основ та бічних сторін через теорему Піфагора та подібність трикутників. Якщо ви шукаєте розв'язок конкретної задачі з демонстраційного варіанта або тестів минулих років — просто гортайте вниз. Кожен приклад містить детальне пояснення кроків та необхідні креслення. Трапеція - чотирикутник, у якого дві протилежні сторони (основи) паралельні, а інші - ні (бічні сторони). Види трапецій: Рівнобічна - бічні сторони рівні Прямокутна - одна з бічних сторін перпендикулярна до основи Середня лінія трапеції (відрізок, що с...
Дописати коментар
Read more »

Найпростіші фігури на площині. Кути, їх властивості

Найпростіші фігури на площині — це алфавіт геометрії, без знання якого неможливо зрозуміти складніші теми. Вміння правильно оперувати поняттями відрізка, променя та кута є критично важливим для успішного виконання завдань НМТ. Розуміння того, як працюють властивості суміжних та вертикальних кутів, а також як поводяться кути при перетині паралельних прямих січною, дозволяє миттєво знаходити рішення в задачах, що здаються заплутаними. На цій сторінці зібрано реальні завдання НМТ та ЗНО , зокрема найактуальніші приклади. Ви навчитеся розв’язувати прикладні задачі на орієнтування на місцевості, визначати градусні міри кутів у складних комбінаціях прямих та аналізувати логічні твердження, які часто зустрічаються в екзаменаційних тестах. Це повний практичний посібник: від аксіом вимірювання відрізків до ознак паралельності прямих. Якщо три точки А, В, С лежать на одній прямій, причому точка В лежить між точками А та С, то АС = АВ + ВС Завдання 1 . Відомо, що вісь AO Пізанської вежі нате...
1 коментар
Read more »

Рекомендований допис

10 клас. Алгебра і початки аналізу

10 клас. Алгебра і початки аналізу — це вихід на новий рівень математичного мислення. Цього року ви опануєте «математику змін»: від дослідження складних функцій та їхніх властивостей до занурення у світ тригонометрії та перших кроків у диференціальному численні. Ви навчитеся не просто обчислювати, а аналізувати процеси, прогнозувати результати та бачити логіку в найскладніших системах. Ці знання — це фундамент не лише для успішного складання НМТ, а й для розуміння сучасної економіки, фізики та ІТ-технологій. Оберіть тему, і перетворіть складні формули на свій надійний інструмент для підкорення нових інтелектуальних вершин! Тема 1. Множини та функції Множини, операції над множинами Взаємно однозначна відповідність між елементами множин. Рівнопотужні множини Числові множини. Множина дійсних чисел Числові функції. Їх властивості та графіки Властивості і графіки основних видів функцій Оборотні функції. Взаємно обернені функції Побудова графіків функцій за допомогою ...
Дописати коментар