7 клас. Алгебра. Функція. Область визначення та область значень функції. Способи задання функції

Функція — це одне з найважливіших понять математики, яке описує зв'язок між двома величинами. У цьому уроці ми розберемося, як відрізнити функціональну залежність від звичайної, що таке "область визначення" та чому на нуль ділити не можна. Ви дізнаєтеся про чотири способи задання функції - від таблиць до графіків - і навчитеся самостійно обчислювати значення аргументу та знаходити нулі функції. Опануйте мову функцій за допомогою наших детальних розборів та практичних прикладів!

---

Функцією (функціональною залежністю) називають залежність, при якій кожному значенню незалежної змінної (аргумент функції) відповідає єдине значення залежної змінної (значення функції).

Характеристики функції:

1. Областю визначення функції називають усі значення, яких може набувати аргумент функції.
2. Областю значень функції називають усі значення, яких може набувати залежна змінна (функція).
3. Нулем функції називають таке значення аргументу, для якого значення функції дорівнює 0. Для знаходження нуля функції треба знайти корені відповідного рівняння.

Способи задання функції:

1. Словесний. Функція задається описом того, як за значенням аргумента знайти значення функції. Наприклад: кожному дійсному числу ставиться у відповідність добуток данного числа та числа 3.
2. Формульний. Функція задається формулою. Наприклад: у = 2х+3. При такому способі можна знайти значення функції для будь-якого аргумента з її області визначення.

   Якщо маємо функцію виду y=\begin{cases}2x+5,x\lt-5\\4x-3,x\ge-5\end{cases}, то це означає, що якщо аргумент функції менше -5, то значення функції треба обчислювати за першим рядком (2х+5), а якщо значення аргумента більше або дорівнює -5, то значення функції треба обчислювати за другим рядком (4х-3).

3. Табличний. Функція задається таблицею, де деяким значенням аргумента поставлено у відповідність значення функції. Це дозволяє швидко знайти значення аргумента, але в таблиці може не бути потрібних значень аргумента. Наприклад:

   x	-3	0	1	5
   y	-6	0	2	10

4. Графічний. Функція задається за допомогою сукупності точок, абсциси яких належать області визначення функції, а ординати дорівнюють відповідному значенню залежної змінної. При такому способі, як і при табличному, можна дуже швидко знайти значення функції, але воно може бути наближеним. Наприклад: графік функції у = х + 5.
   

Приклади

1. Знайти значення функції y=х² - 2 при значеннях аргументу –4; –1; 0; 1; 2.
   Показати відповідь

   Розв'язування
   y(-4) = (-4)² - 2 = 16 - 2 = 14.
   y(-1) = (-1)² - 2 = 1 - 2 = - 1.
   y(0) = 0² - 2 = 0 - 2 = - 2.
   y(1) = 1² - 2 = 1 - 2 = - 1.
   y(2) = 2² - 2 = 4 - 2 = 2.
2. Скласти таблицю значень функції, заданої формулою y=5х+1, для значень аргументу –2; –1; 0; 1; 2.
   Показати відповідь

   Розв'язування
   y(-2) = 5 ⋅ (-2) + 1 = - 10 + 1 = - 9.
   y(-1) = 5 ⋅ (-1) + 1 = - 5 + 1 = - 4.
   y(0) = 5 ⋅ 0 + 1 = 0 + 1 = 1.
   y(1) = 5 ⋅ 1 + 1 = 5 + 1 = 6.
   y(2) = 5 ⋅ 2 + 1 = 10 + 1 = 11.
   

   x	-2	-1	0	1	2
   y	-9	-4	1	6	11

3. Знайти значення функції y=\begin{cases}2x-3,x\lt-2\\x^2+2,x\ge-2\end{cases} при наступних значеннях аргументу: –4; –2; 0.
   Показати відповідь

   Розв'язування
   y(-4) = 2 ⋅ (-4) - 3 = - 8 - 3 = - 11.
   y(-2) = (-2)² + 2 = 4 + 2 = 6.
   y(0) = 0² + 2 = 0 + 2 = 2.
4. Знайти значення аргумента функції y = х + 4, при яких значення функції дорівнює –4.
   Показати відповідь

   Розв'язування
   х + 4 = -4
   x = - 4 - 4
   x = - 8.
5. Знайти значення аргумента функції y = х² + 4x, при яких значення функції дорівнює 0.
   Показати відповідь

   Розв'язування
   х² + 4x = 0
   x (x + 4) = 0
   x = 0 або х + 4 = 0, звідки х = -4. Маємо 2 відповіді: 0 та -4.
6. Знайти область визначення функцій у = х + 3; y=\frac{x - 4}{8},y=\frac{x - 4}{x},y=\frac{x - 4}{x+8},y=\frac{5}{x^2-16}
   Показати відповідь

   Розв'язування
   1) Так як для будь-якого значення аргумента можна обчислити значення виразу х+3, то областю визначення функції у=х+3 є всі числа.
   2) Так як для будь-якого значення аргумента можна обчислити значення виразу х-4 і результат поділити на 8, то областю визначення функції y=\frac{x - 4}{8} є всі числа.
   3) Так як ділити на 0 не можна, то знаменник дробу не повинен дорівнювати 0. Тому областю визначення функції y=\frac{x - 4}{x} є всі числа, крім числа 0.
   4) Так як ділити на 0 не можна, то знаменник дробу не повинен дорівнювати 0. Отже значення виразу х+8 не повиненно дорівнювати 0, тобто х≠-8. Тому областю визначення функції y=\frac{x - 4}{x+8} є всі числа, крім числа -8.
   5) Так як ділити на 0 не можна, то знаменник дробу не повинен дорівнювати 0. Знайдемо, коли значення виразу х²-16 дорівнює 0.
   х²-16 = 0
   х²-4² = 0
   (х - 4)(x + 4) = 0
   х - 4 = 0
   х = 4
   х + 4 = 0
   х = - 4
   Тоді областю визначення функції y=\frac{5}{x^2-16} є всі числа, крім чисел - 4 та 4.
7. Знайти нулі функції y = 5х + 4.
   Показати відповідь

   Розв'язування
   5х + 4 = 0
   5х = - 4
   х = - 4 : 5
   х = - 0,8
   Отже, нулем функції y = 5х + 4 є число -0,8.
8. Знайти нулі функції y = 2х² - 8x.
   Розв'язування
   2х² - 8x = 0
   2x (x - 4) = 0
   2x = 0
   х = 0
   х - 4 = 0
   х = 4.
   Отже, нулями функції y = 2х² - 8x є числа 0 та 4.

⇐Попередня тема

Повернутись до переліку тем

⇒Наступна тема