Функція — це одне з найважливіших понять математики, яке описує зв'язок між двома величинами. У цьому уроці ми розберемося, як відрізнити функціональну залежність від звичайної, що таке "область визначення" та чому на нуль ділити не можна. Ви дізнаєтеся про чотири способи задання функції - від таблиць до графіків - і навчитеся самостійно обчислювати значення аргументу та знаходити нулі функції. Опануйте мову функцій за допомогою наших детальних розборів та практичних прикладів!
Функцією (функціональною залежністю) називають залежність, при якій кожному значенню незалежної змінної (аргумент функції) відповідає єдине значення залежної змінної (значення функції).
Характеристики функції:
- Областю визначення функції називають усі значення, яких може набувати аргумент функції.
- Областю значень функції називають усі значення, яких може набувати залежна змінна (функція).
- Нулем функції називають таке значення аргументу, для якого значення функції дорівнює 0. Для знаходження нуля функції треба знайти корені відповідного рівняння.
Способи задання функції:
- Словесний. Функція задається описом того, як за значенням аргументу знайти значення функції. Наприклад: кожному дійсному числу ставиться у відповідність добуток даного числа та числа 3.
- Формульний. Функція задається формулою. Наприклад: у = 2х+3. При такому способі можна знайти значення функції для будь-якого аргументу з її області визначення.
Якщо маємо функцію виду y=\begin{cases}2x+5,x\lt-5\\4x-3,x\ge-5\end{cases}, то це означає, що якщо аргумент функції менше -5, то значення функції треба обчислювати за першим рядком (2х+5), а якщо значення аргументу більше або дорівнює -5, то значення функції треба обчислювати за другим рядком (4х-3).
- Табличний. Функція задається таблицею, де деяким значенням аргументу поставлено у відповідність значення функції. Це дозволяє швидко знайти значення аргументу, але в таблиці може не бути потрібних значень аргументу. Наприклад:
x -3 0 1 5 y -6 0 2 10 - Графічний. Функція задається за допомогою сукупності точок, абсциси яких належать області визначення функції, а ординати дорівнюють відповідному значенню залежної змінної. При такому способі, як і при табличному, можна дуже швидко знайти значення функції, але воно може бути наближеним. Наприклад: графік функції у = х + 5.
Показати відповідь
Розв'язування
y(-4) = (-4)² - 2 = 16 - 2 = 14.
y(-1) = (-1)² - 2 = 1 - 2 = - 1.
y(0) = 0² - 2 = 0 - 2 = - 2.
y(1) = 1² - 2 = 1 - 2 = - 1.
y(2) = 2² - 2 = 4 - 2 = 2.
Завдання 2. Скласти таблицю значень функції, заданої формулою y=5х+1, для значень аргументу –2; –1; 0; 1; 2.
y(-4) = (-4)² - 2 = 16 - 2 = 14.
y(-1) = (-1)² - 2 = 1 - 2 = - 1.
y(0) = 0² - 2 = 0 - 2 = - 2.
y(1) = 1² - 2 = 1 - 2 = - 1.
y(2) = 2² - 2 = 4 - 2 = 2.
Показати відповідь
Розв'язування
y(-2) = 5 · (-2) + 1 = - 10 + 1 = - 9.
y(-1) = 5 · (-1) + 1 = - 5 + 1 = - 4.
y(0) = 5 · 0 + 1 = 0 + 1 = 1.
y(1) = 5 · 1 + 1 = 5 + 1 = 6.
y(2) = 5 · 2 + 1 = 10 + 1 = 11.
Завдання 3. Знайти значення функції y=\begin{cases}2x-3,x\lt-2\\x^2+2,x\ge-2\end{cases} при наступних значеннях аргументу: –4; –2; 0.
y(-2) = 5 · (-2) + 1 = - 10 + 1 = - 9.
y(-1) = 5 · (-1) + 1 = - 5 + 1 = - 4.
y(0) = 5 · 0 + 1 = 0 + 1 = 1.
y(1) = 5 · 1 + 1 = 5 + 1 = 6.
y(2) = 5 · 2 + 1 = 10 + 1 = 11.
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| y | -9 | -4 | 1 | 6 | 11 |
Показати відповідь
Розв'язування
y(-4) = 2 · (-4) - 3 = - 8 - 3 = - 11.
y(-2) = (-2)² + 2 = 4 + 2 = 6.
y(0) = 0² + 2 = 0 + 2 = 2.
Завдання 4. Знайти значення аргументу функції y = х + 4, при яких значення функції дорівнює –4.
y(-4) = 2 · (-4) - 3 = - 8 - 3 = - 11.
y(-2) = (-2)² + 2 = 4 + 2 = 6.
y(0) = 0² + 2 = 0 + 2 = 2.
Показати відповідь
Розв'язування
х + 4 = -4
x = - 4 - 4
x = - 8.
Завдання 5. Знайти значення аргументу функції y = х² + 4x, при яких значення функції дорівнює 0.
х + 4 = -4
x = - 4 - 4
x = - 8.
Показати відповідь
Розв'язування
х² + 4x = 0
x (x + 4) = 0
x = 0 або х + 4 = 0, звідки х = -4. Маємо 2 відповіді: 0 та -4.
Завдання 6. Знайти область визначення функцій у = х + 3; y=\frac{x - 4}{8},y=\frac{x - 4}{x},y=\frac{x - 4}{x+8},y=\frac{5}{x^2-16}
х² + 4x = 0
x (x + 4) = 0
x = 0 або х + 4 = 0, звідки х = -4. Маємо 2 відповіді: 0 та -4.
Показати відповідь
Розв'язування
1) Так як для будь-якого значення аргументу можна обчислити значення виразу х+3, то областю визначення функції у=х+3 є всі числа.
2) Так як для будь-якого значення аргументу можна обчислити значення виразу х-4 і результат поділити на 8, то областю визначення функції y=\frac{x - 4}{8} є всі числа.
3) Так як ділити на 0 не можна, то знаменник дробу не повинен дорівнювати 0. Тому областю визначення функції y=\frac{x - 4}{x} є всі числа, крім числа 0.
4) Так як ділити на 0 не можна, то знаменник дробу не повинен дорівнювати 0. Отже значення виразу х+8 не повинен дорівнювати 0, тобто х≠-8. Тому областю визначення функції y=\frac{x - 4}{x+8} є всі числа, крім числа -8.
5) Так як ділити на 0 не можна, то знаменник дробу не повинен дорівнювати 0. Знайдемо, коли значення виразу х²-16 дорівнює 0.
х²-16 = 0
х²-4² = 0
(х - 4)(x + 4) = 0
х - 4 = 0
х = 4
х + 4 = 0
х = - 4
Тоді областю визначення функції y=\frac{5}{x^2-16} є всі числа, крім чисел - 4 та 4.
Завдання 7. Знайти нулі функції y = 5х + 4.
1) Так як для будь-якого значення аргументу можна обчислити значення виразу х+3, то областю визначення функції у=х+3 є всі числа.
2) Так як для будь-якого значення аргументу можна обчислити значення виразу х-4 і результат поділити на 8, то областю визначення функції y=\frac{x - 4}{8} є всі числа.
3) Так як ділити на 0 не можна, то знаменник дробу не повинен дорівнювати 0. Тому областю визначення функції y=\frac{x - 4}{x} є всі числа, крім числа 0.
4) Так як ділити на 0 не можна, то знаменник дробу не повинен дорівнювати 0. Отже значення виразу х+8 не повинен дорівнювати 0, тобто х≠-8. Тому областю визначення функції y=\frac{x - 4}{x+8} є всі числа, крім числа -8.
5) Так як ділити на 0 не можна, то знаменник дробу не повинен дорівнювати 0. Знайдемо, коли значення виразу х²-16 дорівнює 0.
х²-16 = 0
х²-4² = 0
(х - 4)(x + 4) = 0
х - 4 = 0
х = 4
х + 4 = 0
х = - 4
Тоді областю визначення функції y=\frac{5}{x^2-16} є всі числа, крім чисел - 4 та 4.
Показати відповідь
Розв'язування
5х + 4 = 0
5х = - 4
х = - 4 : 5
х = - 0,8
Отже, нулем функції y = 5х + 4 є число -0,8.
Завдання 8. Знайти нулі функції y = 2х² — 8x.
5х + 4 = 0
5х = - 4
х = - 4 : 5
х = - 0,8
Отже, нулем функції y = 5х + 4 є число -0,8.
Показати відповідь
Розв'язування
2х² - 8x = 0
2x (x - 4) = 0
2x = 0
х = 0
х - 4 = 0
х = 4.
Отже, нулями функції y = 2х² - 8x є числа 0 та 4.
2х² - 8x = 0
2x (x - 4) = 0
2x = 0
х = 0
х - 4 = 0
х = 4.
Отже, нулями функції y = 2х² - 8x є числа 0 та 4.
Коментарі