Перейти до основного вмісту

7 клас. Алгебра. Функція. Область визначення та область значень функції. Способи задання функції

Функцією (функціональною залежністю) називають залежність, при якій кожному значенню незалежної змінної (аргумент функції) відповідає єдине значення залежної змінної (значення функції).

Характеристики функції:

  1. Областю визначення функції називають усі значення, яких може набувати аргумент функції.
  2. Областю значень функції називають усі значення, яких може набувати залежна змінна (функція).
  3. Нулем функції називають таке значення аргументу, для якого значення функції дорівнює 0. Для знаходження нуля функції треба знайти корені відповідного рівняння.

Способи задання функції:

  1. Словесний. Функція задається описом того, як за значенням аргумента знайти значення функції. Наприклад: кожному дійсному числу ставиться у відповідність добуток данного числа та числа 3.
  2. Формульний. Функція задається формулою. Наприклад: у = 2х+3. При такому способі можна знайти значення функції для будь-якого аргумента з її області визначення.

    Якщо маємо функцію виду , то це означає, що якщо аргумент функції менше -5, то значення функції треба обчислювати за першим рядком (2х+5), а якщо значення аргумента більше або дорівнює -5, то значення функції треба обчислювати за другим рядком (4х-3).

  3. Табличний. Функція задається таблицею, де деяким значенням аргумента поставлено у відповідність значення функції. Це дозволяє швидко знайти значення аргумента, але в таблиці може не бути потрібних значень аргумента. Наприклад:
    x-3015
    y-60210
  4. Графічний. Функція задається за допомогою сукупності точок, абсциси яких належать області визначення функції, а ординати дорівнюють відповідному значенню залежної змінної. При такому способі, як і при табличному, можна дуже швидко знайти значення функції, але воно може бути наближеним. Наприклад: графік функції у = х + 5.
    графік функції, function graph

Приклади

  1. Знайти значення функції y=х2 - 2 при значеннях аргументу –4; –1; 0; 1; 2.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    y(-4) = (-4)2 - 2 = 16 - 2 = 14.
    y(-1) = (-1)2 - 2 = 1 - 2 = - 1.
    y(0) = 02 - 2 = 0 - 2 = - 2.
    y(1) = 12 - 2 = 1 - 2 = - 1.
    y(2) = 22 - 2 = 4 - 2 = 2.
  2. Скласти таблицю значень функції, заданої формулою y=5х+1, для значень аргументу –2; –1; 0; 1; 2.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    y(-2) = 5 ⋅ (-2) + 1 = - 10 + 1 = - 9.
    y(-1) = 5 ⋅ (-1) + 1 = - 5 + 1 = - 4.
    y(0) = 5 ⋅ 0 + 1 = 0 + 1 = 1.
    y(1) = 5 ⋅ 1 + 1 = 5 + 1 = 6.
    y(2) = 5 ⋅ 2 + 1 = 10 + 1 = 11.
    x-2-1012
    y-9-41611
  3. Знайти значення функції при наступних значеннях аргументу: –4; –2; 0.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    y(-4) = 2 ⋅ (-4) - 3 = - 8 - 3 = - 11.
    y(-2) = (-2)2 + 2 = 4 + 2 = 6.
    y(0) = 02 + 2 = 0 + 2 = 2.
  4. Знайти значення аргумента функції y = х + 4, при яких значення функції дорівнює –4.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    х + 4 = -4
    x = - 4 - 4
    x = - 8.
  5. Знайти значення аргумента функції y = х2 + 4x, при яких значення функції дорівнює 0.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    х2 + 4x = 0
    x (x + 4) = 0
    x = 0 або х + 4 = 0, звідки х = -4. Маємо 2 відповіді: 0 та -4.
  6. Знайти область визначення функцій у = х + 3; ,,,
    Показати відповідь
    Розв'язування
    1) Так як для будь-якого значення аргумента можна обчислити значення виразу х+3, то областю визначення функції у=х+3 є всі числа.
    2) Так як для будь-якого значення аргумента можна обчислити значення виразу х-4 і результат поділити на 8, то областю визначення функції є всі числа.
    3) Так як ділити на 0 не можна, то знаменник дробу не повинен дорівнювати 0. Тому областю визначення функції є всі числа, крім числа 0.
    4) Так як ділити на 0 не можна, то знаменник дробу не повинен дорівнювати 0. Отже значення виразу х+8 не повиненно дорівнювати 0, тобто х≠-8. Тому областю визначення функції є всі числа, крім числа -8.
    5) Так як ділити на 0 не можна, то знаменник дробу не повинен дорівнювати 0. Знайдемо, коли значення виразу х2-16 дорівнює 0.
    х2-16 = 0
    х2-42 = 0
    (х - 4)(x + 4) = 0
    х - 4 = 0
    х = 4
    х + 4 = 0
    х = - 4
    Тоді областю визначення функції є всі числа, крім чисел - 4 та 4.
  7. Знайти нулі функції y = 5х + 4.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    5х + 4 = 0
    5х = - 4
    х = - 4 : 5
    х = - 0,8
    Отже, нулем функції y = 5х + 4 є число -0,8.
  8. Знайти нулі функції y = 2х2 - 8x.
    Розв'язування
    2х2 - 8x = 0
    2x (x - 4) = 0
    2x = 0
    х = 0
    х - 4 = 0
    х = 4.
    Отже, нулями функції y = 2х2 - 8x є числа 0 та 4.
⇐Попередня тема Повернутись до переліку тем ⇒Наступна тема

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Завдання. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців – 4х. Разом їх буде 3х + 4х = 7х. Отже, сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців ділиться націло на 7, і лише число 91 задовольняє цій умові. Завдання. НМТ 2026 (демо). Узгодьте вираз (1– 3) із його значенням (А – Д), якщо m = -\frac{4}{3} 1 |𝑚 − 4| 2 4m −1 3 (3𝑚 + 1) 0 А –3 Б 1 В 0 Г 3 Д \frac{16}{3} Показати відповідь 1-Д, 2-А, 3-Б . 1. |-\frac{4}{3}-4|=|-\frac{4}{3}-\frac{12}{3}|=|\frac{-4-12}{3}|=|\frac{-16}{3}|=\frac{16}{3} 2. 4\cdot(-\frac{4}{3})^{-1} = 4\cdot (-\frac{3}{4}) = -3 (при зміні знака степеня дріб перевертається) 3. Кожне число, від'ємне від 0, в нульовій степені д...
3 коментарі
Read more »

Первісна функції

Правила інтегрування C⋅f(x)dx=C⋅ f(x)dx (f(x)±g(x))dx= f(x)dx± g(x)dx Таблиця первісних x n dx= +C dx=ln|x|+C sinxdx=-cosx+C cosxdx=sinx+C dx=tgx+C dx= -ctgx+C a x dx= +C e x dx=e x +C Завдання. НМТ 2026 (демо). Позначте формулу для визначення площі S фігури, обмеженої графіками функцій 𝑦 = 2 𝑥 , 𝑦 = 2 та прямою 𝑥 = 0 (див. рисунок). S=\int_{0}^{2}2^x{dx} S=\int_{0}^{1}2^x{dx} S=\int_{0}^{1}(2^x-2){dx} S=\int_{0}^{1}(2-2^x){dx} S=\int_{0}^{2}(2-2^x){dx} Показати відповідь Г . Так як фігура обмежена числами 0 та 1 по осі абсцис, то ці числа є межами інтегрування. На даному проміжку фігура обмежена згори лінією у = 2, знизу лінією 𝑦 = 2 𝑥 . Тоді за формулою обчислення площі фігури S=\int_{0}^{1}(2-2^x){dx} . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції Обчисліть значення виразу . Показати відповідь 31 . Скористатись геометричним змістом визначеного інтеграла. НМТ 2024. Обчисліть інтеграл . Показати відповідь 10 . Ск...
8 коментарів
Read more »

Комбінаторика

1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і І об'єкт і ІІ об'єкт можна a⋅b способами. 3. Перестановки . Якщо з n об'єктів потрібно обрати всі n, то це можна зробити P n =n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n-1)⋅n способами. 4. Розміщення . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання важливий, то це можна зробити = способами. 5. Комбінації . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання не важливий, то це можна зробити = способами. Примітка . Скорочення факторіалів = =5⋅6⋅7=210 Завдання. НМТ 2026 (демо). У квітковому магазині є 12 білих та 25 червоних троянд. Покупець замовив у цьому магазині букет із двох білих троянд й однієї червоної. Скільки всього є варіантів такого вибору? Показати відповідь 1650 . Оскільки порядок вибору листіво...
15 коментарів
Read more »

Функції за графіками

Завдання. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції, що набуває лише додатних значень на всій області визначення? Показати відповідь Д . Якщо графік квадратичної функції набуває лише додатних значень на всій області визначення, то він повинен весь лежати вище осі х. Таккій умові задовольняє тільки графік Д. НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y = x + 2 y = −x 2 Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) ...
13 коментарів
Read more »

Трикутники та їх властивості

Види трикутників За кутами Гострокутний - всі кути гострі (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 <a 2 +b 2 ). Прямокутний - один з кутів прямий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 =a 2 +b 2 ). Тупокутний - один з кутів тупий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 >a 2 +b 2 ). За сторонами Різносторонній - всі сторони різні. Рівнобічний - дві сторони рівні (називаються бічними, третя - основою). Рівносторонній (правильний) - всі сторони рівні. Основні елементи трикутників Медіана - відрізок, який сполучає вершину трикутника з серединою протилежної сторони (ділить сторону навпіл). Медіани трикутника перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться у відношенні 2:1, починаючи від вершини. Висота - відрізок, який проведений з вершини трикутника перпендикулярно до протилежної сторони. Бісектриса - відрізок, який проведено з вершини до протилежної сторони і який ділить к...
5 коментарів
Read more »

Рекомендований допис

Solving Linear Equations with One Variable: A Step-by-Step Guide

An equation is an equality that contains a variable. You are required to find a number that, when substituted for the variable, yields a correct numerical equality (the same numbers on the left and right sides of the equality). In other words, you need to find the solution of the equation . For example, in the equation 2x - 6x + 8 = 7x - 3, we can substitute 1 for the variable x and obtain a correct numerical equality, since 2(1) - 6(1) + 8 = 2 - 6 + 8 = 4 and 7(1) - 3 = 7 - 3 = 4. Therefore, x = 1 is a solution of the equation. When solving equations, we may encounter the following cases: the equation has no solution,one solution, or infinitely many solutions. In this post, we will look at how to solve equations that contain one variable to the first power. Such equations are called linear equations . To solve such equations, you can apply The Subtraction property of equality. If a = b, then a - c =b - c ; The Addition property of equality. If a = b, then a + c = b...
Дописати коментар