Перейти до основного вмісту

7 клас. Алгебра. Розкладання многочленів на множники

Розкладання на множники — це процес, зворотний до множення. Якщо множення збирає окремі елементи в один вираз, то розкладання дозволяє "розібрати" многочлен на простіші компоненти. На цій сторінці ми опануємо три базові стратегії: винесення спільного множника за дужки, метод групування та використання магії формул скороченого множення. Ці навички допоможуть вам перетворювати громіздкі вирази на компактні добутки та легко розв'язувати рівняння, які раніше здавалися нездоланними!

Розкладання многочленів на множники способом винесення спільного множника за дужки (за розподільною властивістю множення ab + ac = a(b + c)):

  1. Знайти спільний множник:
    • числовий коефіцієнт - спільний дільник коефіцієнтів всіх одночленів;
    • буквений множник - змінна в найменшому степені, який зустрічається.
  2. Записати спільний множник.
  3. В дужках записати що залишиться від кожного одночлена після винесення спільного множника за дужки:
    • числовий коефіцієнт - поділити коефіцієнт одночлена на коефіцієнт спільного множника;
    • буквений множник - змінна в степені, що дорівнює різниці степеня змінної одночлена і степеня змінної в спільному множнику;
    • якщо одночлен співпадає зі спільним множником - записуємо 1.
Завдання 1. Розкласти на множники: 2x + 6, 10x + 5, x³ + x⁵, 12x² - 18x⁵, 9x²y⁵ + 6x⁴y³ - 27x⁵y²
Показати відповідь
  1. 2x + 6 =2 (2x:2 + 6:2) = 2 (x + 3)
  2. 10x + 5 = 5 (10x:5 + 5:5) = 5 (2x + 1)
  3. x³ + x⁵ = x³ (1 + x5-3) = x³ (1 + x²)
  4. 12x² - 18x⁵ = 6x² (2 - 3x³)
  5. 9x²y⁵ + 6x⁴y³ - 27x⁵y² = 3x²y² (3y³ + 2x²y - 9x³)
Завдання 2. Розв'язати рівняння x² + 6х = 0
Показати відповідь
x² + 6х = 0
x (x + 6) = 0
1) x = 0
2) х + 6 = 0
х = - 6
Відповідь: х = -6; х = 0

Розкладання многочленів на множники способом групування:

  1. Розбити многочлен на групи так, щоб в кожній групі був спільний множник.
  2. Винести в кожній групі спільний множник за дужки.
  3. Після винесення в кожній групі спільного множника за дужки від кожної групи повинен залишитися однаковий многочлен - його винести за дужки. Якщо однакові многочлени не утворилися, то треба згрупувати по-іншому.
Завдання 3. Розкласти на множники: 6ax + 6a - 5x - 5, 48ax - 7abx + 28a²b — 12x²
Показати відповідь
  1. 6ax + 6a - 5x - 5 = 6a(x + 1) - 5(x + 1) = (x + 1)(6a - 5)
  2. 48ax - 7abx + 28a²b - 12x² = 4a(12x + 7ab) - x(12x + 7ab) = (12x + 7ab)(4a - x)
Завдання 4. Розв'язати рівняння x² + 6х - 4x - 24 = 0:
Показати відповідь
x² + 6х - 4x - 24 = 0
x(x + 6) - 4(x + 6) = 0
(x+6) (x - 4) = 0
1) x + 6 = 0
x = - 6
2) х - 4 = 0
х = 4
Відповідь: х = -6; х = 4

Розкладання многочленів на множники за допомогою формул скороченого множення:

  • a² + 2ab + b² = (а + b)² - квадрат суми;
  • a² - 2ab + b² = (а - b)² - квадрат різниці;
  • а² - b² = (a - b)(a + b) - різниця квадратів.
Завдання 5. Розкласти на множники: x² + 8x + 16, 49x² + 28xy + 4y², x² - 2x + 1, 9x² - 12xy + 4y², x² - 49, 64x² - 49y²:
Показати відповідь
  1. x² + 8x + 16 = x² + 2·x·4 + 4² =(x + 4)²
  2. 49x² + 28xy + 4y² = (7x)² + 2·7x·2y + (2y)² =(7x + 2y)²
  3. x² - 2x + 1 = x² - 2·x·1 + 1² =(x - 1)²
  4. 9x² - 12xy + 4y² = (3x)² - 2·3x·2y + (2y)² =(3x - 2y)²
  5. x² - 49 = x² - 7² = (x - 7)(x + 7)
  6. 64x² - 49y² = (8x)² - (7y)² = (8x - 7y)(8x + 7y)
Завдання 6. Розв'язати рівняння x² + 6х + 9 = 0
Показати відповідь
x² + 6х + 9 = 0
(x + 3)² = 0
x + 3 = 0
x = - 3
Відповідь: х = -3
Завдання 7. Розв'язати рівняння 4x² - 6х + 2,25 = 0
Показати відповідь
4x² - 6х + 2,25 = 0
(2x - 1,5)² = 0
2x - 1,5 = 0
2x = 1,5
x = 1,5 : 2
x = 0,75
Відповідь: х = 0,75
Завдання 8. Розв'язати рівняння x² - 49 = 0
Показати відповідь
x² - 49 = 0
(x - 7)(х + 7) = 0
1) x - 7 = 0
x = 7
2) x + 7 = 0
x = -7
Відповідь: х = -7; х = 7

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Дійсні числа — це база математичної підготовки, що охоплює всі види числових множин: від натуральних до ірраціональних. На цій сторінці ми зібрали ключові ознаки подільності , правила порівняння звичайних дробів та ірраціональних виразів, а також алгоритми роботи зі степенями, що мають нульовий або від’ємний показник. Для ефективної підготовки до іспитів ми підготували великий практичний блок , що включає реальні приклади минулих років. Ви зможете розібрати методи оцінювання значень коренів, округлення чисел та роботу з логарифмами. Кожне завдання має детальне розв’язання, що допоможе учням опанувати навички швидких обчислень без помилок. Завдання 1. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількіс...
3 коментарі
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія — це особливий вид числової послідовності, де кожен наступний член відрізняється від попереднього на сталу величину. У шкільному курсі математики та в тестах НМТ ця тема є фундаментальною, оскільки вона поєднує в собі чіткі алгебраїчні алгоритми та вміння моделювати реальні життєві ситуації. Вміння швидко визначати різницю прогресії та застосовувати формули суми дозволяє ефективно розв'язувати як прості тестові вправи, так і складні задачі на розрахунок вартості послуг, планування тренувань або аналіз фінансових накопичень. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО . Ви знайдете детальні пояснення до задач різних рівнів складності: від знаходження першого члена за відомим n-м до визначення параметрів прогресії у прикладних контекстах. Тут зібрано весь необхідний теоретичний мінімум: базові формули n-го члена, два способи обчислення суми перших n членів та характерну властивість середнього арифметичного для сусідніх елементів ряду. Арифметичн...
5 коментарів
Read more »

Лінійні, квадратні, дробово-раціональні рівняння

Рівняння — це математична мова, якою описують більшість процесів у навколишньому світі. Вміння розв’язувати їх є базовою навичкою, необхідною як для успішного складання НМТ, так і для опанування вищої математики, програмування чи економіки. На цій сторінці ми зібрали всі типи алгебраїчних рівнянь, що зустрічаються в тестах : Лінійні рівняння : прості рівності, де головне — правильно перенести доданки та звести подібні. Квадратні рівняння : класичні завдання, які розв'язуються через дискримінант або швидку теорему Вієта. Ви також знайдете приклади біквадратних рівнянь, що зводяться до квадратних через заміну змінної. Дробово - раціональні рівняння : задачі, де невідоме стоїть у знаменнику. Тут ми навчимося використовувати властивість пропорції та завжди пам'ятати про область допустимих значень (ОДЗ). Особливу увагу приділено завданням на вираження однієї змінної з формули (фізичні та геометричні формули), що є традиційно складним моментом для багатьох абітурієнтів. К...
Дописати коментар
Read more »

Модуль дійсного числа

Модуль числа (абсолютна величина) — це одна з базових концепцій алгебри, яка геометрично означає відстань від початку відліку до заданої точки на числовій прямій. Оскільки відстань не може бути від’ємною, результат обчислення модуля завжди невід’ємний. Розуміння властивостей модуля є критично важливим для розв’язання рівнянь та нерівностей, а також для спрощення виразів із радикалами та змінними. На цій сторінці ми розберемо основні правила розкриття модуля залежно від знака підмодульного виразу та розглянемо типові алгоритми розв’язання модульних задач. Матеріал включає практичні завдання , серед яких — актуальні приклади з НМТ. Ви навчитеся не лише розв’язувати лінійні та квадратні рівняння з модулем, а й застосовувати метод інтервалів для складних нерівностей, що часто стає «каменем спотикання» на іспитах. Дії з модулем Якщо a ≥ 0, то |a| = a (|5| = 5) Якщо a < 0, то |a| = - a (|- 5| = 5) Якщо |x| = a, то х = ±a Якщо |x|<a, то х∈(- a; a) Якщо |x|>a, то х∈(- ∞; - a)...
1 коментар
Read more »

Правила округлення десяткових дробів

Округлення десяткових дробів — це важлива практична навичка, яка дозволяє спрощувати числа для зручності розрахунків, зберігаючи при цьому їхню основну точність. Ми постійно стикаємося з округленням у повсякденному житті: коли рахуємо решту в магазині, вимірюємо зріст або обчислюємо середній бал. Головне завдання — навчитися правильно визначати «межу», після якої цифри стають несуттєвими, та знати, коли саме потрібно додати одиницю до потрібного розряду. На цій сторінці ми спочатку пригадаємо назви розрядів по обидва боки від десяткової коми, щоб ніколи не плутати «десятки» з «десятими». Ви опануєте універсальний алгоритм округлення: правило «0-4» та «5-9», яке допоможе без помилок знаходити наближені значення. Детальний розбір одного числа, округленого до шести різних рівнів точності, наочно покаже, як змінюється результат залежно від поставленої задачі. Назви розрядів у десятковому дробі. Рухаючись вліво від десяткової коми, ми маємо наступні розряди: одиниці, десятки, сотні, т...
Дописати коментар
Read more »

Рекомендований допис

10 клас. Алгебра і початки аналізу

10 клас. Алгебра і початки аналізу — це вихід на новий рівень математичного мислення. Цього року ви опануєте «математику змін»: від дослідження складних функцій та їхніх властивостей до занурення у світ тригонометрії та перших кроків у диференціальному численні. Ви навчитеся не просто обчислювати, а аналізувати процеси, прогнозувати результати та бачити логіку в найскладніших системах. Ці знання — це фундамент не лише для успішного складання НМТ, а й для розуміння сучасної економіки, фізики та ІТ-технологій. Оберіть тему, і перетворіть складні формули на свій надійний інструмент для підкорення нових інтелектуальних вершин! Тема 1. Множини та функції Множини, операції над множинами Взаємно однозначна відповідність між елементами множин. Рівнопотужні множини Числові множини. Множина дійсних чисел Числові функції. Їх властивості та графіки Властивості і графіки основних видів функцій Оборотні функції. Взаємно обернені функції Побудова графіків функцій за допомогою ...
Дописати коментар