Перейти до основного вмісту

7 клас. Алгебра. Розкладання многочленів на множники

Розкладання на множники — це процес, зворотний до множення. Якщо множення збирає окремі елементи в один вираз, то розкладання дозволяє "розібрати" многочлен на простіші компоненти. На цій сторінці ми опануємо три базові стратегії: винесення спільного множника за дужки, метод групування та використання магії формул скороченого множення. Ці навички допоможуть вам перетворювати громіздкі вирази на компактні добутки та легко розв'язувати рівняння, які раніше здавалися нездоланними!

Розкладання многочленів на множники способом винесення спільного множника за дужки (за розподільною властивістю множення ab + ac = a(b + c)):

  1. Знайти спільний множник:
    • числовий коефіцієнт - спільний дільник коефіцієнтів всіх одночленів;
    • буквенний множник - змінна в найменшому степені, який зустрічається.
  2. Записати спільний множник.
  3. В дужках записати що залишиться від кожного одночлена після винесення спільного множника за дужки:
    • числовий коефіцієнт - поділити коефіцієнт одночлена на коефіцієнт спільного множника;
    • буквенний множник - змінна в степені, що дорівнює різниці степеня змінної одночлена і степеня змінної в спільному множнику;
    • якщо одночлен співпадає зі спільним множником - записуємо 1.

Приклади

  1. Розкласти на множники: 2x + 6, 10x + 5, x3 + x5, 12x2 - 18x5, 9x2y5 + 6x4y3 - 27x5y2
    Показати відповідь
    1. 2x + 6 =2 (2x:2 + 6:2) = 2 (x + 3)
    2. 10x + 5 = 5 (10x:5 + 5:5) = 5 (2x + 1)
    3. x3 + x5 = x3 (1 + x5-3) = x3 (1 + x2)
    4. 12x2 - 18x5 = 6x2 (2 - 3x3)
    5. 9x2y5 + 6x4y3 - 27x5y2 = 3x2y2 (3y3 + 2x2y - 9x3)
  2. Розв'язати рівняння x2 + 6х = 0
    Показати відповідь
    x2 + 6х = 0
    x (x + 6) = 0
    1) x = 0
    2) х + 6 = 0
    х = - 6
    Відповідь: х = -6; х = 0

Розкладання многочленів на множники способом групування:

  1. Розбити многочлен на групи так, щоб в кожній групі був спільний множник.
  2. Винести в кожній групі спільний множник за дужки.
  3. Після винесення в кожній групі спільного множника за дужки від кожної групи повинен залишитися однаковий многочлен - його винести за дужки. Якщо однакові многочлени не утворилися, то треба згрупувати по-іншому.

Приклади

  1. Розкласти на множники: 6ax + 6a - 5x - 5, 48ax - 7abx + 28a2b - 12x2
    Показати відповідь
    1. 6ax + 6a - 5x - 5 = 6a(x + 1) - 5(x + 1) = (x + 1)(6a - 5)
    2. 48ax - 7abx + 28a2b - 12x2 = 4a(12x + 7ab) - x(12x + 7ab) = (12x + 7ab)(4a - x)
  2. Розв'язати рівняння x2 + 6х - 4x - 24 = 0:
    Показати відповідь
    x2 + 6х - 4x - 24 = 0
    x(x + 6) - 4(x + 6) = 0
    (x+6) (x - 4) = 0
    1) x + 6 = 0
    x = - 6
    2) х - 4 = 0
    х = 4
    Відповідь: х = -6; х = 4

Розкладання многочленів на множники за допомогою формул скороченого множення:

  • a2 + 2ab + b2 = (а + b)2 - квадрат суми;
  • a2 - 2ab + b2 = (а - b)2 - квадрат різниці;
  • а2 - b2 = (a - b)(a + b) - різниця квадратів.

Приклади

  1. Розкласти на множники: x2 + 8x + 16, 49x2 + 28xy + 4y2, x2 - 2x + 1, 9x2 - 12xy + 4y2, x2 - 49, 64x2 - 49y2:
    Показати відповідь
    1. x2 + 8x + 16 = x2 + 2⋅x⋅4 + 42 =(x + 4)2
    2. 49x2 + 28xy + 4y2 = (7x)2 + 2⋅7x⋅2y + (2y)2 =(7x + 2y)2
    3. x2 - 2x + 1 = x2 - 2⋅x⋅1 + 12 =(x - 1)2
    4. 9x2 - 12xy + 4y2 = (3x)2 - 2⋅3x⋅2y + (2y)2 =(3x - 2y)2
    5. x2 - 49 = x2 - 72 = (x - 7)(x + 7)
    6. 64x2 - 49y2 = (8x)2 - (7y)2 = (8x - 7y)(8x + 7y)
  2. Розв'язати рівняння x2 + 6х + 9 = 0
    Показати відповідь
    x2 + 6х + 9 = 0
    (x + 3)2 = 0
    x + 3 = 0
    x = - 3
    Відповідь: х = -3
  3. Розв'язати рівняння 4x2 - 6х + 2,25 = 0
    Показати відповідь
    4x2 - 6х + 2,25 = 0
    (2x - 1,5)2 = 0
    2x - 1,5 = 0
    2x = 1,5
    x = 1,5 : 2
    x = 0,75
    Відповідь: х = 0,75
  4. Розв'язати рівняння x2 - 49 = 0
    x2 - 49 = 0
    (x - 7)(х + 7) = 0
    1) x - 7 = 0
    x = 7
    2) x + 7 = 0
    x = -7
    Відповідь: х = -7; х = 7
⇐Попередня тема Повернутись до переліку тем ⇒Наступна тема

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Дійсні числа — це база математичної підготовки, що охоплює всі види числових множин: від натуральних до ірраціональних. На цій сторінці ми зібрали ключові ознаки подільності , правила порівняння звичайних дробів та ірраціональних виразів, а також алгоритми роботи зі степенями, що мають нульовий або від’ємний показник. Для ефективної підготовки до іспитів ми підготували великий практичний блок , що включає реальні приклади минулих років. Ви зможете розібрати методи оцінювання значень коренів, округлення чисел та роботу з логарифмами. Кожне завдання має детальне розв’язання, що допоможе учням опанувати навички швидких обчислень без помилок. Завдання. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількіст...
3 коментарі
Read more »

Функції за графіками

Аналіз функцій за їхніми графіками — це одна з найбільш наочних тем математики, яка вимагає вміння «читати» рисунок і швидко виділяти ключові властивості об'єкта. На НМТ завдання цього типу зустрічаються дуже часто, оскільки вони дозволяють перевірити комплексне розуміння теми: від визначення координат точок перетину з осями до аналізу поведінки складних періодичних процесів. Вміння візуально оцінювати парність, монотонність та область значень функції дозволяє значно зекономити час на іспиті, уникаючи громіздких обчислень. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО . Ви навчитеся працювати з графічними ескізами різних типів: лінійними, квадратичними, тригонометричними та показниковіми функціями. Тут зібрано приклади на знаходження нулів функції, визначення значень у конкретних точках, а також завдання на геометричні перетворення графіків, такі як паралельне перенесення вздовж осей координат. Завдання. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квад...
13 коментарів
Read more »

Похідна функції

Похідна функції — один із найпотужніших інструментів математичного аналізу, який дозволяє досліджувати процеси у динаміці та знаходити оптимальні рішення. Вміння обчислювати похідні та розуміти їхній зміст є базовою вимогою НМТ, оскільки ці завдання перевіряють не лише технічні навички роботи з формулами, а й здатність аналізувати швидкість зміни процесів. Розуміння зв'язку між знаком похідної та зростанням або спаданням функції допомагає без помилок досліджувати графіки та знаходити критичні точки. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО , включаючи аналіз демонстраційних варіантів. Ви навчитеся працювати з різними аспектами теми: від механічного змісту (швидкість та прискорення) до геометричного застосування при побудові дотичних. Тут зібрано все необхідне для підготовки: таблиця похідних основних функцій, правила диференціювання складних виразів та покрокові алгоритми знаходження найбільшого і найменшого значень на відрізку. Правила диференціювання (C)...
3 коментарі
Read more »

Рівняння та нерівності підвищеного рівня (з параметром)

Рівняння та нерівності з параметрами — це завдання високого рівня в шкільній математиці та на іспитах НМТ/ЗНО. Головна складність полягає в тому, що параметр a може змінювати не лише числові значення коефіцієнтів, а й саму структуру рівняння: перетворювати квадратне в лінійне, впливати на область допустимих значень (ОДЗ) або змінювати кількість наявних коренів. Для успішного розв’язання таких задач важливо не просто механічно обчислювати дискримінант, а вміти проводити повне дослідження . На цій сторінці ми детально розберемо основні стратегії: Метод заміни змінної: перехід від складних показникових або логарифмічних виразів до алгебраїчних (з урахуванням обмежень на нову змінну t). Аналіз ОДЗ: відсіювання сторонніх коренів, які «зникають» залежно від значення параметра. Використання властивостей функцій: графічний метод, парність та монотонність. Застосування теореми Вієта: для задач, де потрібно знайти співвідношення між коренями без їх безпосереднього обчислення. Нижче предста...
1 коментар
Read more »

Комбінаторика

Комбінаторика — це розділ математики, який вчить підраховувати кількість можливих варіантів вибору або розташування об’єктів без їхнього безпосереднього переліку. Розуміння базових правил додавання та множення , а також розрізнення перестановок, розміщень та комбінацій є ключем до розв’язання складних логічних задач та підготовки до вивчення теорії ймовірностей. Для успішного складання іспитів ми підготували комплексний практичний блок , що базується на завданнях НМТ та тестах минулих років. Ви зможете детально розібрати алгоритми формування розкладів, вибору комплектів товарів та створення цифрових кодів. Кожне завдання супроводжується поясненням, яке допоможе вашим учням зрозуміти, коли порядок елементів має значення, а коли — ні. 1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати ...
15 коментарів
Read more »

Рекомендований допис

Solving Linear Equations with One Variable: A Step-by-Step Guide

Struggling with math variables? This step-by-step guide breaks down linear equations into simple, manageable steps. From basic properties of equality to complex examples with fractions, you'll find everything you need to master the basics and gain confidence in your algebra skills. Dive in to see solved examples and test yourself with our interactive quiz at the end! An equation is an equality that contains a variable. You are required to find a number that, when substituted for the variable, yields a correct numerical equality (the same numbers on the left and right sides of the equality). In other words, you need to find the solution of the equation . For example, in the equation 2x - 6x + 8 = 7x - 3, we can substitute 1 for the variable x and obtain a correct numerical equality, since 2(1) - 6(1) + 8 = 2 - 6 + 8 = 4 and 7(1) - 3 = 7 - 3 = 4. Therefore, x = 1 is a solution of the equation. When solving equations, we may encounter the following cases: the equation has no s...
Дописати коментар