7 клас. Алгебра. Розкладання многочленів на множники

Розкладання многочленів на множники способом винесення спільного множника за дужки (за розподільною властивістю множення ab + ac = a(b + c)):

1. Знайти спільний множник:
   • числовий коефіцієнт - спільний дільник коефіцієнтів всіх одночленів;
   • буквенний множник - змінна в найменшому степені, який зустрічається.
2. Записати спільний множник.
3. В дужках записати що залишиться від кожного одночлена після винесення спільного множника за дужки:
   • числовий коефіцієнт - поділити коефіцієнт одночлена на коефіцієнт спільного множника;
   • буквенний множник - змінна в степені, що дорівнює різниці степеня змінної одночлена і степеня змінної в спільному множнику;
   • якщо одночлен співпадає зі спільним множником - записуємо 1.

Приклади

Розкласти на множники:
1. 2x + 6 = 2 (2x:2 + 6:2) = 2 (x + 3)
2. 10x + 5 = 5 (10x:5 + 5:5) = 5 (2x + 1)
3. x³ + x⁵ = x³ (1 + x^5-3) = x³ (1 + x²)
4. 12x² - 18x⁵ = 6x² (2 - 3x³)
5. 9x²y⁵ + 6x⁴y³ - 27x⁵y² = 3x²y² (3y³ + 2x²y - 9x³)
Розв'язати рівняння:
6. x² + 6х = 0
   x (x + 6) = 0
   1) x = 0
   2) х + 6 = 0
   х = - 6
   Відповідь: х = -6; х = 0

Розкладання многочленів на множники способом групування:

1. Розбити многочлен на групи так, щоб в кожній групі був спільний множник.
2. Винести в кожній групі спільний множник за дужки.
3. Після винесення в кожній групі спільного множника за дужки від кожної групи повинен залишитися однаковий многочлен - його винести за дужки. Якщо однакові многочлени не утворилися, то треба згрупувати по-іншому.

Приклади

Розкласти на множники:
1. 6ax + 6a - 5x - 5 = 6a(x + 1) - 5(x + 1) = (x + 1)(6a - 5)
2. 48ax - 7abx + 28a²b - 12x² = 4a(12x + 7ab) - x(12x + 7ab) = (12x + 7ab)(4a - x)
Розв'язати рівняння:
3. x² + 6х - 4x - 24 = 0
   x(x + 6) - 4(x + 6) = 0
   (x+6) (x - 4) = 0
   1) x + 6 = 0
   x = - 6
   2) х - 4 = 0
   х = 4
   Відповідь: х = -6; х = 4

Розкладання многочленів на множники за допомогою формул скороченого множення:

• a² + 2ab + b² = (а + b)² - квадрат суми;
• a² - 2ab + b² = (а - b)² - квадрат різниці;
• а² - b² = (a - b)(a + b) - різниця квадратів.

Приклади

Розкласти на множники:
1. x² + 8x + 16 = x² + 2⋅x⋅4 + 4² =(x + 4)²
2. 49x² + 28xy + 4y² = (7x)² + 2⋅7x⋅2y + (2y)² =(7x + 2y)²
3. x² - 2x + 1 = x² - 2⋅x⋅1 + 1² =(x - 1)²
4. 9x² - 12xy + 4y² = (3x)² - 2⋅3x⋅2y + (2y)² =(3x - 2y)²
5. x² - 49 = x² - 7² = (x - 7)(x + 7)
6. 64x² - 49y² = (8x)² - (7y)² = (8x - 7y)(8x + 7y)
Розв'язати рівняння:
7. x² + 6х + 9 = 0
   (x + 3)² = 0
   x + 3 = 0
   x = - 3
   Відповідь: х = -3
8. 4x² - 6х + 2,25 = 0
   (2x - 1,5)² = 0
   2x - 1,5 = 0
   2x = 1,5
   x = 1,5 : 2
   x = 0,75
   Відповідь: х = 0,75
9. x² - 49 = 0
   (x - 7)(х + 7) = 0
   1) x - 7 = 0
   x = 7
   2) x + 7 = 0
   x = -7
   Відповідь: х = -7; х = 7

⇐Попередня тема

Повернутись до переліку тем