7 клас. Алгебра. Розкладання многочленів на множники

Розкладання на множники — це процес, зворотний до множення. Якщо множення збирає окремі елементи в один вираз, то розкладання дозволяє "розібрати" многочлен на простіші компоненти. На цій сторінці ми опануємо три базові стратегії: винесення спільного множника за дужки, метод групування та використання формул скороченого множення. Ці навички допоможуть вам перетворювати громіздкі вирази на компактні добутки та легко розв'язувати рівняння, які раніше здавалися нездоланними!

Розкладання многочленів на множники способом винесення спільного множника за дужки (за розподільною властивістю множення ab + ac = a(b + c)):

  1. Знайти спільний множник:
    • числовий коефіцієнт — спільний дільник числових коефіцієнтів усіх одночленів, зазвичай найбільший спільний дільник;
    • буквений множник - кожна змінна в найменшому степені, у якому вона входить до всіх одночленів.
  2. Записати спільний множник.
  3. В дужках записати що залишиться від кожного одночлена після винесення спільного множника за дужки:
    • числовий коефіцієнт - поділити коефіцієнт одночлена на коефіцієнт спільного множника;
    • буквений множник - змінна в степені, що дорівнює різниці степеня змінної одночлена і степеня змінної в спільному множнику;
    • якщо одночлен співпадає зі спільним множником - записуємо 1.
Завдання 1. Розкласти на множники: 2x + 6, 10x + 5, x³ + x⁵, 12x² - 18x⁵, 9x²y⁵ + 6x⁴y³ - 27x⁵y²
Показати відповідь
  1. 2x + 6 =2 (2x:2 + 6:2) = 2 (x + 3)
  2. 10x + 5 = 5 (10x:5 + 5:5) = 5 (2x + 1)
  3. x³ + x⁵ = x³ (1 + x5-3) = x³ (1 + x²)
  4. 12x² - 18x⁵ = 6x² (2 - 3x³)
  5. 9x²y⁵ + 6x⁴y³ - 27x⁵y² = 3x²y² (3y³ + 2x²y - 9x³)
Завдання 2. Розв'язати рівняння x² + 6х = 0
Показати відповідь
x² + 6х = 0
x (x + 6) = 0
1) x = 0
2) х + 6 = 0
х = - 6
Відповідь: х = -6; х = 0

Розкладання многочленів на множники способом групування:

  1. Розбити многочлен на групи так, щоб в кожній групі був спільний множник.
  2. Винести в кожній групі спільний множник за дужки.
  3. Після винесення спільного множника з кожної групи в дужках має залишитися однаковий многочлен. Його можна винести за дужки. Якщо однакові многочлени не утворилися, потрібно змінити спосіб групування.
Завдання 3. Розкласти на множники: 6ax + 6a - 5x - 5, 48ax - 7abx + 28a²b — 12x²
Показати відповідь
  1. 6ax + 6a - 5x - 5 = 6a(x + 1) - 5(x + 1) = (x + 1)(6a - 5)
  2. 48ax - 7abx + 28a²b - 12x² = 4a(12x + 7ab) - x(12x + 7ab) = (12x + 7ab)(4a - x)
Завдання 4. Розв'язати рівняння x² + 6х - 4x - 24 = 0:
Показати відповідь
x² + 6х - 4x - 24 = 0
x(x + 6) - 4(x + 6) = 0
(x+6) (x - 4) = 0
1) x + 6 = 0
x = - 6
2) х - 4 = 0
х = 4
Відповідь: х = -6; х = 4

Розкладання многочленів на множники за допомогою формул скороченого множення:

  • a² + 2ab + b² = (а + b)² - квадрат суми;
  • a² - 2ab + b² = (а - b)² - квадрат різниці;
  • а² - b² = (a - b)(a + b) - різниця квадратів.
Завдання 5. Розкласти на множники: x² + 8x + 16, 49x² + 28xy + 4y², x² - 2x + 1, 9x² - 12xy + 4y², x² - 49, 64x² - 49y²:
Показати відповідь
  1. x² + 8x + 16 = x² + 2·x·4 + 4² =(x + 4)²
  2. 49x² + 28xy + 4y² = (7x)² + 2·7x·2y + (2y)² =(7x + 2y)²
  3. x² - 2x + 1 = x² - 2·x·1 + 1² =(x - 1)²
  4. 9x² - 12xy + 4y² = (3x)² - 2·3x·2y + (2y)² =(3x - 2y)²
  5. x² - 49 = x² - 7² = (x - 7)(x + 7)
  6. 64x² - 49y² = (8x)² - (7y)² = (8x - 7y)(8x + 7y)
Завдання 6. Розв'язати рівняння x² + 6х + 9 = 0
Показати відповідь
x² + 6х + 9 = 0
(x + 3)² = 0
x + 3 = 0
x = - 3
Відповідь: х = -3
Завдання 7. Розв'язати рівняння 4x² - 6х + 2,25 = 0
Показати відповідь
4x² - 6х + 2,25 = 0
(2x - 1,5)² = 0
2x - 1,5 = 0
2x = 1,5
x = 1,5 : 2
x = 0,75
Відповідь: х = 0,75
Завдання 8. Розв'язати рівняння x² - 49 = 0
Показати відповідь
x² - 49 = 0
(x - 7)(х + 7) = 0
1) x - 7 = 0
x = 7
2) x + 7 = 0
x = -7
Відповідь: х = -7; х = 7