7 клас. Алгебра. Розкладання многочленів на множники

Розкладання на множники — це процес, зворотний до множення. Якщо множення збирає окремі елементи в один вираз, то розкладання дозволяє "розібрати" многочлен на простіші компоненти. На цій сторінці ми опануємо три базові стратегії: винесення спільного множника за дужки, метод групування та використання магії формул скороченого множення. Ці навички допоможуть вам перетворювати громіздкі вирази на компактні добутки та легко розв'язувати рівняння, які раніше здавалися нездоланними!

Розкладання многочленів на множники способом винесення спільного множника за дужки (за розподільною властивістю множення ab + ac = a(b + c)):

  1. Знайти спільний множник:
    • числовий коефіцієнт - спільний дільник коефіцієнтів всіх одночленів;
    • буквений множник - змінна в найменшому степені, який зустрічається.
  2. Записати спільний множник.
  3. В дужках записати що залишиться від кожного одночлена після винесення спільного множника за дужки:
    • числовий коефіцієнт - поділити коефіцієнт одночлена на коефіцієнт спільного множника;
    • буквений множник - змінна в степені, що дорівнює різниці степеня змінної одночлена і степеня змінної в спільному множнику;
    • якщо одночлен співпадає зі спільним множником - записуємо 1.
Завдання 1. Розкласти на множники: 2x + 6, 10x + 5, x³ + x⁵, 12x² - 18x⁵, 9x²y⁵ + 6x⁴y³ - 27x⁵y²
Показати відповідь
  1. 2x + 6 =2 (2x:2 + 6:2) = 2 (x + 3)
  2. 10x + 5 = 5 (10x:5 + 5:5) = 5 (2x + 1)
  3. x³ + x⁵ = x³ (1 + x5-3) = x³ (1 + x²)
  4. 12x² - 18x⁵ = 6x² (2 - 3x³)
  5. 9x²y⁵ + 6x⁴y³ - 27x⁵y² = 3x²y² (3y³ + 2x²y - 9x³)
Завдання 2. Розв'язати рівняння x² + 6х = 0
Показати відповідь
x² + 6х = 0
x (x + 6) = 0
1) x = 0
2) х + 6 = 0
х = - 6
Відповідь: х = -6; х = 0

Розкладання многочленів на множники способом групування:

  1. Розбити многочлен на групи так, щоб в кожній групі був спільний множник.
  2. Винести в кожній групі спільний множник за дужки.
  3. Після винесення в кожній групі спільного множника за дужки від кожної групи повинен залишитися однаковий многочлен - його винести за дужки. Якщо однакові многочлени не утворилися, то треба згрупувати по-іншому.
Завдання 3. Розкласти на множники: 6ax + 6a - 5x - 5, 48ax - 7abx + 28a²b — 12x²
Показати відповідь
  1. 6ax + 6a - 5x - 5 = 6a(x + 1) - 5(x + 1) = (x + 1)(6a - 5)
  2. 48ax - 7abx + 28a²b - 12x² = 4a(12x + 7ab) - x(12x + 7ab) = (12x + 7ab)(4a - x)
Завдання 4. Розв'язати рівняння x² + 6х - 4x - 24 = 0:
Показати відповідь
x² + 6х - 4x - 24 = 0
x(x + 6) - 4(x + 6) = 0
(x+6) (x - 4) = 0
1) x + 6 = 0
x = - 6
2) х - 4 = 0
х = 4
Відповідь: х = -6; х = 4

Розкладання многочленів на множники за допомогою формул скороченого множення:

  • a² + 2ab + b² = (а + b)² - квадрат суми;
  • a² - 2ab + b² = (а - b)² - квадрат різниці;
  • а² - b² = (a - b)(a + b) - різниця квадратів.
Завдання 5. Розкласти на множники: x² + 8x + 16, 49x² + 28xy + 4y², x² - 2x + 1, 9x² - 12xy + 4y², x² - 49, 64x² - 49y²:
Показати відповідь
  1. x² + 8x + 16 = x² + 2·x·4 + 4² =(x + 4)²
  2. 49x² + 28xy + 4y² = (7x)² + 2·7x·2y + (2y)² =(7x + 2y)²
  3. x² - 2x + 1 = x² - 2·x·1 + 1² =(x - 1)²
  4. 9x² - 12xy + 4y² = (3x)² - 2·3x·2y + (2y)² =(3x - 2y)²
  5. x² - 49 = x² - 7² = (x - 7)(x + 7)
  6. 64x² - 49y² = (8x)² - (7y)² = (8x - 7y)(8x + 7y)
Завдання 6. Розв'язати рівняння x² + 6х + 9 = 0
Показати відповідь
x² + 6х + 9 = 0
(x + 3)² = 0
x + 3 = 0
x = - 3
Відповідь: х = -3
Завдання 7. Розв'язати рівняння 4x² - 6х + 2,25 = 0
Показати відповідь
4x² - 6х + 2,25 = 0
(2x - 1,5)² = 0
2x - 1,5 = 0
2x = 1,5
x = 1,5 : 2
x = 0,75
Відповідь: х = 0,75
Завдання 8. Розв'язати рівняння x² - 49 = 0
Показати відповідь
x² - 49 = 0
(x - 7)(х + 7) = 0
1) x - 7 = 0
x = 7
2) x + 7 = 0
x = -7
Відповідь: х = -7; х = 7