Перейти до основного вмісту

7 клас. Алгебра. Графік функції

Графік функції — це "портрет" математичної залежності на координатній площині. На цій сторінці ми розберемо універсальний алгоритм побудови будь-якого графіка: від простої прямої до криволінійної параболи. Ви навчитеся не лише ставити точки за таблицею, а й "читати" малюнок: визначати область визначення, знаходити нулі функції та бачити, де вона стає додатною чи від’ємною. Опануйте навичку візуалізації функцій за допомогою наших покрокових прикладів та інтерактивних анімацій!

Графіком функції називають фігуру, що складається з усіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати дорівнюють відповідним значенням функції.

Алгоритм побудови графіку довільної функції:

  1. Скласти таблицю значень функції для певної кількості значень аргументу (чим більше значень аргументу, тим точніше буде будуватися графік).
  2. Позначити точки, координати яких подано в таблиці, на координатній площині.
  3. Сполучити точки плавною лінією.

Характеристики графіка функції:

  1. Область визначення функції. Для неперервної функції це ліва та права межа графіка по осі абсцис (вісь х)
  2. Область значень функції. Для неперервної функції це нижня та верхня межа графіка по осі ординат (вісь у)
  3. Нуль функції. Нулем функції є абсциса (х, перша координата) точки перетину графіка функції з віссю абсцис (вісь х).

Оскільки за означенням функції кожному значенню незалежної змінної відповідає єдине значення залежної змінної, то якщо на фігурі на координатній площині якомусь значенню х відповідає декілька значень у, то така фігура не є графіком функції.

Для перевірки чи належить дана точка графіку функції (графік функції проходить ерез дану точку) треба підставити в рівняння функції замість аргумента значення абсциси точки і порівняти отримане значення функції з ординатою точки. Якщо значення функції та ордината точки спіпадають, то точка належить графіку функції. Якщо не співпадають, то точка графіку функції не належить.

Приклади

  1. Скласти таблицю для цілих значень аргументу функції y = 2x – 1, де –3 ≤ х ≤ 4 і побудувати графік.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    y(-3) = 2 ⋅ (-3) - 1 = - 6 - 1 = - 7.
    y(-2) = 2 ⋅ (-2) - 1 = - 4 - 1 = - 5.
    y(-1) = 2 ⋅ (-1) - 1 = - 2 - 1 = - 3.
    y(0) = 2 ⋅ 0 - 1 = 0 - 1 = - 1.
    y(1) = 2 ⋅ 1 - 1 = 2 - 1 = 1.
    y(2) = 2 ⋅ 2 - 1 = 4 - 1 = 3.
    y(3) = 2 ⋅ 3 - 1 = 6 - 1 = 5.
    y(4) = 2 ⋅ 4 - 1 = 8 - 1 = 7.
    x-3-2-101234
    y-7-5-3-11357
    Графік функції:
    графік функції, graph of the function
    Порядок побудови:
    анімація побудови графіка функції, animation of plotting a function graph
  2. Скласти таблицю для цілих значень аргументу функції y = x2 – 2, де –3 ≤ х ≤ 3 і побудувати графік.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    y(-3) = (-3)2 - 2 = 9 - 2 = 7.
    y(-2) = (-2)2 - 2 = 4 - 2 = 2.
    y(-1) = (-1)2 - 2 = 1 - 2 = - 1.
    y(0) = 02 - 2 = 0 - 2 = - 2.
    y(1) = 12 - 2 = 1 - 2 = - 1.
    y(2) = 22 - 2 = 4 - 2 = 2.
    y(3) = 32 - 2 = 9 - 2 = 7.
    x-3-2-10123
    y72-1-2-127
    Графік функції:
    графік функції, graph of the function
    Порядок побудови:
    анімація побудови графіка функції, animation of plotting a function graph
  3. Встановіть, чи належать графіку функції у = 3х - 4 точки А(2;8) і В(1;-1).
    Показати відповідь
    Розв'язування
    А(2;8)
    Підставимо замість аргумента функції х абсцису точки А.
    y(2) = 3 ⋅ 2 - 4 = 6 - 4 = 2. Отримане значення не співпадає з ординатою точки А (2≠8), тому точка А не належить графіку функції.
    В(1;-1)
    Підставимо замість аргумента функції х абсцису точки В.
    y(1) = 3 ⋅ 1 - 4 = 3 - 4 = -1. Отримане значення співпадає з ординатою точки В, тому точка В належить графіку функції.
  4. графік функції, graph of the function
    За графіком, який зображено на малюнку, знайдіть:
    1. область визначення функції;
    2. область значень функції;
    3. значення у, якщо х = - 3;
    4. значення x, якщо y = 2;
    5. нулі функції;
    6. значення аргументу, за яких функція набуває додатних значень
    7. значення аргументу, за яких функція набуває від'ємних значень
    Розв'язування
    1. Аргумент функції змінюється від -5 до 4. Тому область визначення функції –5 ≤ х ≤ 4.
      область визначення функції, scope of the function
    2. Значення функції змінюється від -3 до 6. Тому область значень функції –3 ≤ у ≤ 6.
      область значень функції, range of function values
    3. За малюнком, якщо х = -3, то у = - 2.
      значення функції за аргументом, function value by argument
    4. За малюнком, якщо у = 2, то х≈- 1,3; х≈1,6 та х = 4.
      аргумент, який відповідає значенню функції, argument that corresponds to the value of the function
    5. Графік функції перетинає вісь абсцис у точках (-2;0) та (3;0). Тому нулі функції: х = -2 та х = 3.
      нулі функції, zero functions
    6. За малюнком функція набуває додатних значень там, де графік функції лежить вище осі х. Маємо –2 < x < 3 та при 3 < x ≤ 4.
      аргумент, за яким функція набуває додатних значень, argument at which the function takes on positive values
    7. За малюнком функція набуває від'ємних значень там, де графік функції лежить нижче осі х. Маємо –5 ≤ x < -2.
      аргумент, за яким функція набуває від'ємних значень, argument by which the function takes on negative values
⇐Попередня тема Повернутись до переліку тем ⇒Наступна тема

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Комбінаторика

Комбінаторика — це розділ математики, який вчить підраховувати кількість можливих варіантів вибору або розташування об’єктів без їхнього безпосереднього переліку. Розуміння базових правил додавання та множення , а також розрізнення перестановок, розміщень та комбінацій є ключем до розв’язання складних логічних задач та підготовки до вивчення теорії ймовірностей. Для успішного складання іспитів ми підготували комплексний практичний блок , що базується на завданнях НМТ та тестах минулих років. Ви зможете детально розібрати алгоритми формування розкладів, вибору комплектів товарів та створення цифрових кодів. Кожне завдання супроводжується поясненням, яке допоможе вашим учням зрозуміти, коли порядок елементів має значення, а коли — ні. 1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати ...
15 коментарів
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія — це особливий вид числової послідовності, де кожен наступний член відрізняється від попереднього на сталу величину. У шкільному курсі математики та в тестах НМТ ця тема є фундаментальною, оскільки вона поєднує в собі чіткі алгебраїчні алгоритми та вміння моделювати реальні життєві ситуації. Вміння швидко визначати різницю прогресії та застосовувати формули суми дозволяє ефективно розв'язувати як прості тестові вправи, так і складні задачі на розрахунок вартості послуг, планування тренувань або аналіз фінансових накопичень. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО . Ви знайдете детальні пояснення до задач різних рівнів складності: від знаходження першого члена за відомим n-м до визначення параметрів прогресії у прикладних контекстах. Тут зібрано весь необхідний теоретичний мінімум: базові формули n-го члена, два способи обчислення суми перших n членів та характерну властивість середнього арифметичного для сусідніх елементів ряду. Арифмети...
5 коментарів
Read more »

Дійсні числа

Дійсні числа — це база математичної підготовки, що охоплює всі види числових множин: від натуральних до ірраціональних. На цій сторінці ми зібрали ключові ознаки подільності , правила порівняння звичайних дробів та ірраціональних виразів, а також алгоритми роботи зі степенями, що мають нульовий або від’ємний показник. Для ефективної підготовки до іспитів ми підготували великий практичний блок , що включає реальні приклади минулих років. Ви зможете розібрати методи оцінювання значень коренів, округлення чисел та роботу з логарифмами. Кожне завдання має детальне розв’язання, що допоможе учням опанувати навички швидких обчислень без помилок. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців...
3 коментарі
Read more »

Трикутники та їх властивості

Трикутники та їх властивості — це фундамент геометрії, без якого неможливо уявити успішне складання НМТ. Розуміння класифікації трикутників, знання особливостей їхніх медіан, бісектрис та висот дозволяє розв'язувати задачі, які на перший погляд здаються громіздкими. Вміння швидко застосовувати теореми синусів та косинусів, а також знання метричних співвідношень у прямокутному трикутнику є ключем до високого бала на іспиті. На цій сторінці ми розглянемо реальні завдання НМТ та ЗНО , включаючи найсвіжіші демонстраційні варіанти. Ви навчитеся працювати з центрами вписаних і описаних кіл, використовувати властивості середньої лінії та знаходити невідомі елементи фігур через тригонометричні функції. Тут зібрано все: від ознак подібності до складних комбінованих задач на периметри та площі. Види трикутників За кутами Гострокутний - всі кути гострі (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 <a 2 +b 2 ). Прямокутний - один з кутів прямий (якщо a, b, c...
5 коментарів
Read more »

Похідна функції

Похідна функції — один із найпотужніших інструментів математичного аналізу, який дозволяє досліджувати процеси у динаміці та знаходити оптимальні рішення. Вміння обчислювати похідні та розуміти їхній зміст є базовою вимогою НМТ, оскільки ці завдання перевіряють не лише технічні навички роботи з формулами, а й здатність аналізувати швидкість зміни процесів. Розуміння зв'язку між знаком похідної та зростанням або спаданням функції допомагає без помилок досліджувати графіки та знаходити критичні точки. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО , включаючи аналіз демонстраційних варіантів. Ви навчитеся працювати з різними аспектами теми: від механічного змісту (швидкість та прискорення) до геометричного застосування при побудові дотичних. Тут зібрано все необхідне для підготовки: таблиця похідних основних функцій, правила диференціювання складних виразів та покрокові алгоритми знаходження найбільшого і найменшого значень на відрізку. Правила диференціювання (C)...
3 коментарі
Read more »

Рекомендований допис

10 клас. Алгебра і початки аналізу

10 клас. Алгебра і початки аналізу — це вихід на новий рівень математичного мислення. Цього року ви опануєте «математику змін»: від дослідження складних функцій та їхніх властивостей до занурення у світ тригонометрії та перших кроків у диференціальному численні. Ви навчитеся не просто обчислювати, а аналізувати процеси, прогнозувати результати та бачити логіку в найскладніших системах. Ці знання — це фундамент не лише для успішного складання НМТ, а й для розуміння сучасної економіки, фізики та ІТ-технологій. Оберіть тему, і перетворіть складні формули на свій надійний інструмент для підкорення нових інтелектуальних вершин! Тема 1. Множини та функції Множини, операції над множинами Взаємно однозначна відповідність між елементами множин. Рівнопотужні множини Числові множини. Множина дійсних чисел Числові функції. Їх властивості та графіки Властивості і графіки основних видів функцій Оборотні функції. Взаємно обернені функції Побудова графіків функцій за допомогою ...
Дописати коментар