Графік функції — це "портрет" математичної залежності на координатній площині. На цій сторінці ми розберемо універсальний алгоритм побудови будь-якого графіка: від простої прямої до криволінійної параболи. Ви навчитеся не лише ставити точки за таблицею, а й "читати" малюнок: визначати область визначення, знаходити нулі функції та бачити, де вона стає додатною чи від’ємною. Опануйте навичку візуалізації функцій за допомогою наших покрокових прикладів та інтерактивних анімацій!
1) область визначення функції;
2) область значень функції;
3) значення у, якщо х = - 3;
4) значення x, якщо y = 2;
5) нулі функції;
6) значення аргументу, за яких функція набуває додатних значень
7) значення аргументу, за яких функція набуває від'ємних значень
Графіком функції називають фігуру, що складається з усіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати дорівнюють відповідним значенням функції.
Алгоритм побудови графіка довільної функції:
- Скласти таблицю значень функції для певної кількості значень аргументу (чим більше значень аргументу, тим точніше буде будуватися графік).
- Позначити точки, координати яких подано в таблиці, на координатній площині.
- Сполучити точки плавною лінією.
Характеристики графіка функції:
- Область визначення функції. Це множина всіх значень аргументу x, для яких функція визначена
- Область значень функції. Це множина всіх значень y, яких набуває функція
- Нуль функції. Нулями функції є абсциси (х, перша координата) точок перетину графіка функції з віссю абсцис (вісь х).
Оскільки за означенням функції кожному значенню незалежної змінної відповідає єдине значення залежної змінної, то якщо на фігурі на координатній площині якомусь значенню х відповідає декілька значень у, то така фігура не є графіком функції.
Для перевірки чи належить дана точка графіку функції (графік функції проходить через дану точку) треба підставити в рівняння функції замість аргументу значення абсциси точки і порівняти отримане значення функції з ординатою точки. Якщо значення функції та ордината точки співпадають, то точка належить графіку функції. Якщо не співпадають, то точка графіку функції не належить.
Завдання 1. Скласти таблицю для цілих значень аргументу функції y = 2x – 1, де –3 ≤ х ≤ 4 і побудувати графік.Показати відповідь
Розв'язування
y(-3) = 2 · (-3) - 1 = - 6 - 1 = - 7.
y(-2) = 2 · (-2) - 1 = - 4 - 1 = - 5.
y(-1) = 2 · (-1) - 1 = - 2 - 1 = - 3.
y(0) = 2 · 0 - 1 = 0 - 1 = - 1.
y(1) = 2 · 1 - 1 = 2 - 1 = 1.
y(2) = 2 · 2 - 1 = 4 - 1 = 3.
y(3) = 2 · 3 - 1 = 6 - 1 = 5.
y(4) = 2 · 4 - 1 = 8 - 1 = 7.
Графік функції:
Завдання 2. Скласти таблицю для цілих значень аргументу функції y = x² – 2, де –3 ≤ х ≤ 3 і побудувати графік.y(-3) = 2 · (-3) - 1 = - 6 - 1 = - 7.
y(-2) = 2 · (-2) - 1 = - 4 - 1 = - 5.
y(-1) = 2 · (-1) - 1 = - 2 - 1 = - 3.
y(0) = 2 · 0 - 1 = 0 - 1 = - 1.
y(1) = 2 · 1 - 1 = 2 - 1 = 1.
y(2) = 2 · 2 - 1 = 4 - 1 = 3.
y(3) = 2 · 3 - 1 = 6 - 1 = 5.
y(4) = 2 · 4 - 1 = 8 - 1 = 7.
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| y | -7 | -5 | -3 | -1 | 1 | 3 | 5 | 7 |
Показати відповідь
Розв'язування
y(-3) = (-3)² - 2 = 9 - 2 = 7.
y(-2) = (-2)² - 2 = 4 - 2 = 2.
y(-1) = (-1)² - 2 = 1 - 2 = - 1.
y(0) = 0² - 2 = 0 - 2 = - 2.
y(1) = 1² - 2 = 1 - 2 = - 1.
y(2) = 2² - 2 = 4 - 2 = 2.
y(3) = 3² - 2 = 9 - 2 = 7.
Графік функції:
Завдання 3. Встановіть, чи належать графіку функції у = 3х - 4 точки А(2; 8) і В(1; -1).
y(-3) = (-3)² - 2 = 9 - 2 = 7.
y(-2) = (-2)² - 2 = 4 - 2 = 2.
y(-1) = (-1)² - 2 = 1 - 2 = - 1.
y(0) = 0² - 2 = 0 - 2 = - 2.
y(1) = 1² - 2 = 1 - 2 = - 1.
y(2) = 2² - 2 = 4 - 2 = 2.
y(3) = 3² - 2 = 9 - 2 = 7.
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | 7 | 2 | -1 | -2 | -1 | 2 | 7 |
Показати відповідь
Розв'язування
А(2; 8)
Підставимо замість аргументу функції х абсцису точки А.
y(2) = 3 · 2 - 4 = 6 - 4 = 2. Отримане значення не збігається з ординатою точки А (2 ≠ 8), тому точка А не належить графіку функції.
В(1; -1)
Підставимо замість аргументу функції х абсцису точки В.
y(1) = 3 · 1 - 4 = 3 - 4 = -1. Отримане значення збігається з ординатою точки В, тому точка В належить графіку функції.
Завдання 4.
За графіком, який зображено на малюнку, знайдіть:А(2; 8)
Підставимо замість аргументу функції х абсцису точки А.
y(2) = 3 · 2 - 4 = 6 - 4 = 2. Отримане значення не збігається з ординатою точки А (2 ≠ 8), тому точка А не належить графіку функції.
В(1; -1)
Підставимо замість аргументу функції х абсцису точки В.
y(1) = 3 · 1 - 4 = 3 - 4 = -1. Отримане значення збігається з ординатою точки В, тому точка В належить графіку функції.
1) область визначення функції;
2) область значень функції;
3) значення у, якщо х = - 3;
4) значення x, якщо y = 2;
5) нулі функції;
6) значення аргументу, за яких функція набуває додатних значень
7) значення аргументу, за яких функція набуває від'ємних значень
Показати відповідь
Розв'язування
1) Аргумент функції змінюється від -5 до 4. Тому область визначення функції –5 ≤ х ≤ 4. 2) Значення функції змінюється від -3 до 6. Тому область значень функції –3 ≤ у ≤ 6. 3) За малюнком, якщо х = -3, то у = - 2. 4) За малюнком, якщо у = 2, то х≈- 1,3; х≈1,7 та х = 4. 5) Графік функції перетинає вісь абсцис у точках (-2;0) та (3;0). Тому нулі функції: х = -2 та х = 3. 6) За малюнком функція набуває додатних значень там, де графік функції лежить вище осі х. Маємо –2 < x < 3 та 3 < x ≤ 4. 7) За малюнком функція набуває від'ємних значень там, де графік функції лежить нижче осі х. Маємо –5 ≤ x < -2.
1) Аргумент функції змінюється від -5 до 4. Тому область визначення функції –5 ≤ х ≤ 4. 2) Значення функції змінюється від -3 до 6. Тому область значень функції –3 ≤ у ≤ 6. 3) За малюнком, якщо х = -3, то у = - 2. 4) За малюнком, якщо у = 2, то х≈- 1,3; х≈1,7 та х = 4. 5) Графік функції перетинає вісь абсцис у точках (-2;0) та (3;0). Тому нулі функції: х = -2 та х = 3. 6) За малюнком функція набуває додатних значень там, де графік функції лежить вище осі х. Маємо –2 < x < 3 та 3 < x ≤ 4. 7) За малюнком функція набуває від'ємних значень там, де графік функції лежить нижче осі х. Маємо –5 ≤ x < -2.
Коментарі