Шлях до математики: кроки успіху

Головна

Раді вітати Вас на сторінках нашого сайту. Основне призначення даного сайта - це допомогти учням якісно підготуватися до проходження ЗНО/НМТ з математики. В основу цієї підготовки покладено метод навчання через задачі. Ви відкриваєте набір задач з певної теми, розв'язуєте їх, перевіряєте себе за наданою відповіддю і рухаєтесь далі.

СТРУКТУРА САЙТУ

Онлайн - тести

Тренувальні тести НМТ з математики з відліком часу.

Вам надається 1 година на виконання тесту, після завершення часу можна буде або закінчити виконання, або продовжити. Після 2 годин або завершення тесту буде повідомлено кількість балів за першу годину та загальну; вказано номери, які було розв'язано неправильно.

Перейти до першого тесту

Підготовка до ЗНО/НМТ

Матеріали попередніх ЗНО та НМТ, розділені за темами.

Допоможе Вам якісно підготуватися до випробувань. На початку є теоретичний матеріал, далі пропонуються завдання. Після кожного завдання є кнопка "Відповідь", по натисненню на яку буде показано правильну відповідь, щоб можна було себе перевірити.

Перейти до першої теми

Математичний довідник

Зміст матеріалу з математики.

Підійде всім: учням вивчити або закріпити пройдений матеріал; батькам - пригадати вивчений ними матеріал щоб допомогти дітям розібратися у виконанні вправ. Матеріал розподілений за класами.

Перейти до першої теми

Вчителям

Матеріали для вчителів інформатики та математики.

В даному розділі можна знайти календарне планування з інформатики та математики, перелік чинних програм. Крім того, вчителям математики запропоновано програму, яка дозволяю створювати завдання з розв'язання рівнянь.

Перейти до розділу

Корисні посилання

Надано посилання на освітні ресурси учнів та освітян.

В даному розділі можна знайти посилання на різні види ресурсів. Для учнів випускних класів - це сайти, присвяченні ЗНО та НМТ. Для учнів інших класів - це сайти підтримки вивчення математики.

Перейти до розділу

7 клас. Алгебра. Система двох лінійних рівнянь з двома змінними та її розв’язок. Розв’язування систем двох лінійних рівнянь з двома змінними графічним способом

Системою рівнянь називають множину рівнянь, для яких треба знайти спільний розв'язок. Позначають систему рівнянь за допомогою фігурної дужки.

Розв’язком системи рівнянь з двома змінними називають пару значень змінних, яка є розв’язком кожного з рівнянь системи.

Розв’язати систему рівнянь означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає.

Алгоритм розв’язування системи лінійних рівнянь з двома змінними графічним способом:

Побудувати графік першого лінійного рівняння.
Побудувати графік другого лінійного рівняння.
Знайти координати точки перетину побудованих графіків (якщо вони перетинаються).
Записати відповідь

Можливі результати:

Результат	Зображення	Відповідь
Побудовані графіки перетинаються		Система має єдиний розв'язок
Побудовані графіки паралельні		Система не має розв'язків
Побудовані графіки співпадають		Система має безліч розв'язків

Приклади

Встановіть, чи є розв'язком системи рівнянь $\begin{cases}2x+y = 6,\\3x-2y=-5\end{cases}$ пари чисел: (1;4), (0;6) та (2;-3)
Розв'язування
(1;4)
Підставимо в перше рівняння першу пару чисел замість змінних (перше число в парі - х, друге число в парі - у).
2 ⋅ 1 + 4 = 6.
2 + 4 = 6
Отримали правильну числову рівність, тому пара чисел (1;4) є розв'язком першого рівняння в системі.
Підставимо в друге рівняння першу пару чисел.
3 ⋅ 1 - 2 ⋅ 4 = -5.
3 - 8 = - 5
Отримали правильну числову рівність, тому пара чисел (1;4) є розв'язком другого рівняння в системі.
Так як пара чисел (1;4) є розв'язком обох рівнянь системи, то вона є розв'язком системи.
(0;6)
Підставимо в перше рівняння другу пару чисел замість змінних.
2 ⋅ 0 + 6 = 6.
0 + 6 = 6
Отримали правильну числову рівність, тому пара чисел (0;6) є розв'язком першого рівняння в системі.
Підставимо в друге рівняння першу пару чисел.
3 ⋅ 0 - 2 ⋅ 6 = -5.
0 - 12 = - 5
Отримали неправильну числову рівність, тому пара чисел (0;6) не є розв'язком другого рівняння в системі.
Так як пара чисел (0;6) не є розв'язком другого рівняння системи, то вона не є розв'язком системи.
(2;-3)
Підставимо в перше рівняння третю пару чисел замість змінних.
2 ⋅ 2 + (-3) = 6.
4 - 3 = 6
Отримали неправильну числову рівність, тому пара чисел (2;-3) не є розв'язком першого рівняння в системі.
В такому випадку перевіряти друге рівняння не має потреби, пара чисел (2;-3) вже не є розв'язком системи.
Розв'язати графічно систему рівнянь $\begin{cases}3x-y = 5,\\x+y=3\end{cases}$
Розв'язування
Побудуємо графік першого рівняння системи 3x-y = 5.
Знайдемо два довільні розв'язки рівняння.
Візьмемо х = 1.
3 ⋅ 1 - у = 5
3 - у = 5
- у = 5 - 3
- у = 2
у = - 2
Візьмемо х = 3.
3 ⋅ 3 - у = 5
9 - у = 5
- у = 5 - 9
- у = - 4
у = 4

x 1 3

y -2 4

За знайденими точками будуємо графік рівняння 3x-y = 5.

Побудуємо графік другого рівняння системи x+y=3.
Знайдемо два довільні розв'язки рівняння.
Візьмемо х = 0.
0 + у = 3
у = 3
Візьмемо х = 4.
4 + у = 3
у = 3 - 4
у = - 1

x 0 4

y 3 -1

За знайденими точками будуємо графік рівняння x+y=3.
Побудовані графіки перетинаються в точці з координатами (2;1). Отже розв'язком системи рівнянь є пара чисел (2;1).
Розв'язати графічно систему рівнянь $\begin{cases}x+2y = 4,\\2x+4y=2\end{cases}$
Розв'язування
Побудуємо графік першого рівняння системи x+2y = 4.
Знайдемо два довільні розв'язки рівняння.
Візьмемо х = 0.
0 + 2у = 4
2у = 4
у = 4 : 2
у = 2
Візьмемо х = 4.
4 + 2у = 4
2у = 4 - 4
2у = 0
у = 0 : 2
у = 0

x 0 4

y 2 0

За знайденими точками будуємо графік рівняння x+2y = 4.
Побудуємо графік другого рівняння системи 2x+4y=2.
Знайдемо два довільні розв'язки рівняння.
Візьмемо х = -1.
2 ⋅ (-1) + 4у = 2
- 2 + 4y = 2
4y = 2 + 2
4y = 4
y = 4 : 4
y = 1
Візьмемо х = 1.
2 ⋅ 1 + 4у = 2
2 + 4y = 2
4y = 2 - 2
4y = 0
y = 0 : 4
y = 0

x -1 1

y 1 0

За знайденими точками будуємо графік рівняння 2x+4y=2.
Побудовані графіки не перетинаються, отже система розв'язків не має.
Скільки розв'язків має система рівнянь $\begin{cases}x-y = 2,\\3x-3y=6\end{cases}$
Розв'язування
Побудуємо графік першого рівняння системи x-y = 2.
Знайдемо два довільні розв'язки рівняння.
Візьмемо х = 0.
0 - у = 2
- у = 2
у = - 2
Візьмемо х = 4.
4 - у = 2
- у = 2 - 4
- у = - 2
у = 2

x 0 4

y -2 2

За знайденими точками будуємо графік рівняння x-y = 2.
Побудуємо графік другого рівняння системи 3x-3y=6.
Знайдемо два довільні розв'язки рівняння.
Візьмемо х = -1.
3 ⋅ (-1) - 3у = 6
-3 - 3y = 6
- 3y = 6 + 3
- 3у = 9
y = 9 : (-3)
y = -3
Візьмемо х = 3.
3 ⋅ 3 - 3у = 6
9 - 3y = 6
- 3y = 6 - 9
- 3у = -3
y = -3 : (-3)
y = 1

x -1 3

y -3 1

За знайденими точками будуємо графік рівняння 3x-3y=6.
Побудовані графіки співпадають, отже система має безліч розв'язків.

⇐Попередня тема

Повернутись до переліку тем

7 клас. Алгебра. Рівняння з двома змінними. Лінійне рівняння з двома змінними та його графік

Рівняннями з двома змінними називають рівності, які містять дві змінні.

Розв’язком рівняння з двома змінними називають пару значень змінних, яка перетворює рівняння в правильну числову рівність.

Щоб знайти довільний розв’язок рівняння з двома змінними, треба підставити в рівняння замість однієї змінної довільне число і знайти значення другої змінної, розв’язавши отримане рівняння.

Лінійним рівнянням з двома змінними називають рівняння виду ах + by = c, де x і у - змінні. Числа a, b і с називають коефіцієнтами рівняння.

Графіком рівняння з двома змінними х і у називають фігуру, що складається з усіх точок координатної площини, координати яких є розв’язками цього рівняння.

Графік рівняння ax + by = c в залежності від коефіцієнтів:

a	b	c	Опис	Графік
≠ 0	≠ 0	≠ 0	Графіком є пряма, розміщена з нахилом до осі абсцис
≠ 0	≠ 0	= 0	Графіком є пряма, що проходить через початок координат і розміщена з нахилом до осі абсцис
= 0	≠ 0	≠ 0	Графіком є пряма, що проходить через точку (0;k) паралельно до осі абсцис
= 0	≠ 0	= 0	Графіком є пряма, що співпадає з віссю абсцис
≠ 0	= 0	≠ 0	Графіком є пряма, що проходить через точку (k;0) паралельно до осі ординат
≠ 0	= 0	= 0	Графіком є пряма, що співпадає з віссю ординат
= 0	= 0	≠ 0	Графік не існує	-
= 0	= 0	= 0	Графіком є всі точки площини