Об'єм піраміди

Об'єм піраміди дорівнює третині добутку площі основи на висоту
V=S_осн⋅H

Піраміда та її елементи

Піраміда:

• у n-кутної піраміди n+1 вершина, n+1 граней, 2n ребер
• бічні грані піраміди - трикутники, а правильної піраміди - рівнобедрені трикутники
• правильна піраміда - піраміда, в основі якої лежить правильний багатокутник, а основа висоти співпадає з центром цього багатокутника

1. 2019. Розгортку якого з наведених многогранників зображено на рисунку?

   

   А	Б	В	Г	Д

   Відповідь

   Б.
   Маємо один чотирикутник - основу і 4 трикутника - бічні грані, тому наведено розгортку чотирикутної піраміди.
2. Визначте кількість граней восьмикутної піраміди.

   А	Б	В	Г	Д
   7	8	9	16	17

   Відповідь

   В.
   Маємо 8 бічних граней та 1 грань основи. Разом 9 граней.
3. Скільки всього граней у піраміди, яка має 12 ребер?

   А	Б	В	Г	Д
   4	6	7	12	13

   Відповідь

   В.
   Оскільки в піраміді однакова кількість бічних ребер та ребер основи, то дана піраміда має 12:2=6 ребер основи. Маємо 6 бічних граней та 1 грань основи. Разом 7 граней.
4. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 3 см, а сторона основи — 12 см. Знайдіть довжину бічного ребра піраміди.

   А	Б	В	Г	Д
   6 см	3 см	5 см	9 см	15 см

   Відповідь

   Г.

   

   Оскільки піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Так як діагональ квадрата зі стороною а можна знайти за формулою d=a, то АС=12 см. Тоді АО=АС:2=6. Так як SO - висота, то трикутник ASO прямокутний і за теоремою Піфагора AS²=AO²+OS²=36⋅2+9=72+9=81. Тоді бічне ребро AS дорівнює 9 см.
5. 2020. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 24 см, апофема утворює з площиною основи піраміди кут 45^o. Визначте довжину сторони основи цієї піраміди.

   А	Б	В	Г	Д
   24	16	24	48	48

   Відповідь

   Г.

   

   Кут SKO між апофемою SK і її проекцією ОК є кутом між площиною основи і апофемою і дорівнює за умовою 45^o. Тоді прямокутний трикутник SKO є рівнобедреним (два кути по 45^o) і ОК=SO=24. Оскільки піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді сторона квадрата дорівнює 2⋅OK=2⋅24=48.
6. Периметр основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 72 см. Визначте довжину висоти піраміди, якщо її апофема дорівнює 15 см.

   А	Б	В	Г	Д
   6 см	9 см	10 см	12 см	14 см

   Відповідь

   Г.

   

   Оскільки піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді сторона квадрата дорівнює Р:4=72:4=18 см. Так як SK - апофема, то ОК перпендикуляр до CD і тоді він дорівнює половині сторони квадрата. Отже Ок=18:2=9 см. З прямокутного трикутника OKS за теоремою Піфагора OS²=SK²-OK²=225-81=144. Тоді висота піраміди дорівнює 12 см.
7. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 4 см, а її апофема — 5 см. Визначте косинус кута між площиною бічної грані піраміди і площиною основи.

   А	Б	В	Г	Д

   Відповідь

   Б.

   

   Оскільки SK - апофема, то відрізок SK перпендикулярний до сторони основи і за теоремою про три перпендикуляри відрізок ОК також перпендикулярний до сторони основи. Тоді кут між площиною бічної грані і площиною основи є кутом між SK і OK. З прямокутного трикутника OKS за теоремою Піфагора OK²=SK²-OS²=25-16=9. Тоді ОК=3 см. З цього ж прямокутного трикутника косинус потрібного кута дорівнює відношенню прилеглого катета (ОК) до гіпотенузи (SK), тобто .
8. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 3 см, а бічне ребро — 5 см. Визначте косинус кута між бічним ребром і площиною основи.
   Відповідь

   0,8.
   

   

   З прямокутного трикутника SOD за теоремою Піфагора OD²=SD²-SO²=25-9=16. Тоді OD дорівнює 4 см. Оскільки проекцією ребра SD на площину основи є відрізок OD, то кутом між бічним ребром і площиною основи є кут ODS. cos∠ODS=OD:SD=4:5=0,8.

⇐VI.2. Призма (паралелепіпед, куб) та її елементи

До змісту

⇒VІ.4. Тіла обертання

Трапеція та її властивості

Трапеція - чотирикутник, у якого дві протилежні сторони (основи) паралельні, а інші - ні (бічні сторони).
Види трапецій:

• Рівнобічна - бічні сторони рівні
• Прямокутна - одна з бічних сторін перпендикулярна до основи

Середня лінія трапеції (відрізок, що сполучає середини бічних ребер трапеції) дорівнює половині суми основ.

1. 2020. Які з наведених тверджень є правильними?
   І. Бічні сторони будь-якої трапеції паралельні.
   ІІ. Сума кутів, прилеглих до бічної сторони будь-якої трапеції, дорівнює 180^o.
   ІІІ. Сума протилежних кутів будь-якої трапеції дорівнює 180^o.
   

   А	Б	В	Г	Д
   лише І	лише ІІ	лише І й ІІ	лише ІІ й ІІІ	І, ІІ й ІІІ

   Відповідь

   Б.
   І. Бічні сторони трапеції не паралельні. Не є правильним
   ІІ. Кути, прилеглі до бічної сторони трапеції є внутрішнімі односторонніми, тому їх сума дорівнює 180^o. Правильно.
   III. Сума протилежних кутів 180^o лише у рівнобічної трапеції. Не є правильним.

Квадрат та його властивості

Квадрат - прямокутник, у якого всі сторони рівні (або ромб, у якого всі кути рівні)
Властивості квадрата

• Діагоналі квадрата рівні
• Діагоналі квадрата перетинаються під прямим кутом і точкою перетину поділяються навпіл
• У квадрата всі кути прямі (90^o)
• Діагоналі квадрата ділять кути квадрата навпіл

1. 2020. Які з наведених тверджень є правильними?
   І. Діагоналі будь-якого ромба ділять його кути навпіл.
   ІІ. Діагоналі будь-якого чотирикутника точкою перетину діляться навпіл.
   ІІІ. Діагоналі будь-якого квадрата перпендикулярні.

   А	Б	В	Г	Д
   лише І	І, ІІ та ІІІ	лише ІІІ	лише І та ІІ	лише І та ІІІ

   Відповідь

   Д.
   І. Правильно.
   ІІ. Ця властивість лише у паралелограма та його видів (прямокутник, квадрат, ромб). Не є правильним.
   ІІІ. Правильно.

Ромб та його властивості

Ромб - паралелограм, у якого всі сторони рівні
Властивості ромба

• Протилежні кути ромба рівні
• Сума сусідніх кутів ромба 180^o
• Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом і точкою перетину поділяються навпіл
• Діагоналі ромба ділять кути ромба навпіл

1. 2021. Які з наведених тверджень є правильними?
   І. Навколо будь-якого ромба можна описати коло.
   ІІ. Діагоналі будь-якого ромба взаємно перпендикулярні.
   ІІІ. У будь-якому ромбі всі сторони рівні.

   А	Б	В	Г	Д
   лише І та ІІ	лише І та ІІІ	лише ІІ	лише ІІ та ІІІ	І, ІІ та ІІІ

   Відповідь

   Г.
   І. Твердження не є правильним.
   ІІ. Твердження є правильним.
   ІІІ. Твердження є правильним.
2. 2020. Які з наведених тверджень є правильними?
   І. Навколо довільного ромба завжди можна описати коло.
   ІІ. Навколо довільної трапеції завжди можна описати коло.
   ІІІ. Навколо довільного прямокутника завжди можна описати коло.

   А	Б	В	Г	Д
   лише І та ІІІ	лише І	лише ІІІ	І, ІІ та ІІІ	лише ІІ та ІІІ

   Відповідь

   В.
   Коло можна описати навколо чотирикутника, якщо у нього сума протилежних кутів дорівнює 180^o. Даній умові відповідає з перелічених лише прямокутник.
3. Які з наведених тверджень є правильними?
   І. У будь-який трикутник можна вписати коло.
   ІІ. У будь-який прямокутник можна вписати коло.
   III. У будь-який ромб можна вписати коло

   А	Б	В	Г	Д
   лише І	лише ІІ і ІІІ	лише І і ІІ	лише І і ІІІ	І, ІІ і ІІІ

   Відповідь

   Г.
   І. Правильно.
   ІІ. Так як в будь-якому прямокутнику (окрім квадрату) суми протилежних сторін не рівні, то в нього не можна вписати коло. Не є правильним.
   ІІІ. Так як в будь-якому ромбі суми протилежних сторін рівні, то в нього завжди можна вписати коло. Правильно.

Прямокутник та його властивості

Прямокутник - паралелограм, у якого всі кути рівні
Властивості прямокутника

• Протилежні сторони прямокутника рівні
• Діагоналі прямокутника рівні
• Діагоналі прямокутника перетинаються і точкою перетину поділяються навпіл
• У прямокутника всі кути прямі (90^o)
1. 2020. Довжини сторін АВ та ВС прямокутника АВСD відносяться як 2:5, а його периметр дорівнює 28 см. Визначте довжину більшої сторони цього прямокутника.

   А	Б	В	Г	Д
   10 см	20 см	7 см	14 см	8 см

   Відповідь

   А.
   Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює х. Тоді АВ=2х, ВС=5х. Периметр прямокутника дорівнює Р=2(АВ+ВС)=2(2х+5х)=2⋅7x=14x, що за умоою дорівнює 28 см. Маємо рівняння 14х=28, звідки х=28:14=2. Більша сторона ВС дорівнює 5⋅2=10 см.

Геометрична прогресія