Шлях до математики: кроки успіху

Головна

Раді вітати Вас на сторінках нашого сайту. Основне призначення даного сайта - це допомогти учням якісно підготуватися до проходження ЗНО/НМТ з математики. В основу цієї підготовки покладено метод навчання через задачі. Ви відкриваєте набір задач з певної теми, розв'язуєте їх, перевіряєте себе за наданою відповіддю і рухаєтесь далі.

СТРУКТУРА САЙТУ

Онлайн - тести

Тренувальні тести НМТ з математики з відліком часу.

Вам надається 1 година на виконання тесту, після завершення часу можна буде або закінчити виконання, або продовжити. Після 2 годин або завершення тесту буде повідомлено кількість балів за першу годину та загальну; вказано номери, які було розв'язано неправильно.

Перейти до першого тесту

Підготовка до ЗНО/НМТ

Матеріали попередніх ЗНО та НМТ, розділені за темами.

Допоможе Вам якісно підготуватися до випробувань. На початку є теоретичний матеріал, далі пропонуються завдання. Після кожного завдання є кнопка "Відповідь", по натисненню на яку буде показано правильну відповідь, щоб можна було себе перевірити.

Перейти до першої теми

Математичний довідник

Зміст матеріалу з математики.

Підійде всім: учням вивчити або закріпити пройдений матеріал; батькам - пригадати вивчений ними матеріал щоб допомогти дітям розібратися у виконанні вправ. Матеріал розподілений за класами.

Перейти до першої теми

Вчителям

Матеріали для вчителів інформатики та математики.

В даному розділі можна знайти календарне планування з інформатики та математики, перелік чинних програм. Крім того, вчителям математики запропоновано програму, яка дозволяю створювати завдання з розв'язання рівнянь.

Перейти до розділу

Корисні посилання

Надано посилання на освітні ресурси учнів та освітян.

В даному розділі можна знайти посилання на різні види ресурсів. Для учнів випускних класів - це сайти, присвяченні ЗНО та НМТ. Для учнів інших класів - це сайти підтримки вивчення математики.

Перейти до розділу

7 клас. Геометрія. Кути, утворені при перетині прямих січною. Властивості паралельних прямих

Проведемо дві довільні прямі a і b і перетнемо їх третьою прямою c. Таку пряму c називають січною для прямих a і b.

кути, утворені при перетині двох прямих січною; angles when intersecting lines with a secant

При перетині двох прямих січною маємо наступні групи кутів:

внутрішні односторонні кути, які лежать всередині даних прямих по один бік від січної
- ∠3 і ∠5;
- ∠4 і ∠6;
внутрішні різносторонні кути, які лежать всередині даних прямих по різні боки від січної;

∠3 і ∠6;
∠4 і ∠5;

відповідні кути, які лежать по один бік від січної або обидва над прямими, або обидва під прямими.

∠1 і ∠5;
∠2 і ∠6;
∠3 і ∠7;
∠4 і ∠8

Ознаки паралельності прямих:

Якщо при перетині двох прямих січною відповідні кути рівні, то прямі паралельні.
Якщо при перетині двох прямих січною внутрішні різносторонні кути рівні, то прямі паралельні.
Якщо при перетині двох прямих січною сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, то прямі паралельні.
Дві прямі, перпендикулярні до третьої прямої, паралельні.

Правильними є твердження і навпаки.

Властивості кутів, утворених при перетині паралельних прямих січною:

Відповідні кути, що утворилися при перетині двох паралельних прямих січною, рівні між собою.
Внутрішні різносторонні кути, що утворилися при перетині двох паралельних прямих січною, рівні між собою.
Сума внутрішніх односторонніх кутів, що утворилися при перетині двох паралельних прямих січною, дорівнює 180°.

Приклади

Чи є паралельними прямі a і b, якщо: 1) ∠1 = 60°, ∠5 = 50°; 2) ∠3 = 60°, ∠5 = 120°; 3) ∠5 = 110°, ∠4 = 110°.

Розв'язування
1) Так як відповідні кути ∠1 і ∠5 не однакові, то прямі a і b не паралельні;
2) Так як сума внутрішніх односторонніх кутів ∠3 + ∠5 = 60° + 120° = 180°, то прямі a і b паралельні;
3) Так як внутрішні різносторонні кути ∠5 і ∠4 рівні, то прямі a і b паралельні.
Відповідь: Ні; так; так.
Один з кутів, що утворилися при перетині двох паралельних прямих січною, дорівнює 70°. Знайдіть інші кути.
Дано: ∠3 = 70°
Знайти: ∠1, ∠2, ∠4, ∠5, ∠6, ∠7, ∠8
Розв'язування
∠3 і ∠1 є суміжними, тому їх сума дорівнює 180°. Тому ∠1 = 180° - ∠3 = 180° - 70° = 110°.
∠3 і ∠2 є вертикальними, тому вони рівні. Отже ∠2 = ∠3 = 70°.
∠3 і ∠4 є суміжними, тому їх сума дорівнює 180°. Тому ∠4 = 180° - ∠3 = 180° - 70° = 110°.
∠3 і ∠5 є внутрішнімі односторонніми, тому їх сума дорівнює 180°. Тому ∠5 = 180° - ∠3 = 180° - 70° = 110°.
∠3 і ∠6 є внутрішніми різносторонніми, тому вони рівні. Отже ∠6 = ∠3 = 70°.
∠3 і ∠7 є відповідними, тому вони рівні. Отже ∠7 = ∠3 = 70°.
∠4 і ∠8 є відповідними, тому вони рівні. Отже ∠8 = ∠4 = 110°.
Відповідь: 110°, 70°, 110°, 110°, 70°, 70°, 110°.
Один з кутів, що утворилися при перетині двох паралельних прямих січною, на 50° більше за внутрішній односторонній з ним. Знайдіть всі кути.
Дано: ∠4 = ∠6 + 50°
Знайти: ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5, ∠6, ∠7, ∠8
Розв'язування
Нехай ∠6 = х, тоді ∠4 = ∠6 + 50° = х + 50°. Так як ∠4 і ∠6 є внутрішнімі односторонніми, тому їх сума дорівнює 180°. Маємо рівняння:
x + 50° + x = 180°
x + x = 180° - 50°
2x = 130°
x = 130° : 2
x = 65°
Отже ∠6 = 65°, тоді ∠4 = 65° + 50° = 115°.
Так як при перетині двох паралельних прямих січною утворюється дві групи рівних за значенням кутів, то маємо в перетині 4 кути 65° і 4 кути 115°.
Відповідь: 65°, 65°, 65°, 65°, 115°, 115°, 115°, 115°.
На малюнку ∠1 = 60°, ∠6 = 60°, ∠7 = 60°. Знайдіть ∠3.
Дано: ∠1 = 60°, ∠6 = 60°, ∠7 = 60°
Знайти: ∠3
Розв'язування
Так як внутрішні різносторонні кути ∠1 і ∠6, утворені прямими a і b та січною c рівні, то прямі a і b паралельні. Тому сума внутрішніх односторонніх кутів ∠7 і ∠3, утворених паралельними прямими a і b та січною d дорівнює 180°.
Звідси ∠3 = 180° - ∠7 = 180° - 60° = 120°.
Відповідь: 120°.

⇐Попередня тема

Повернутись до переліку тем

7 клас. Геометрія. Суміжні кути

Два кути називаються суміжними, якщо одна сторона в них є спільною, а дві інші сторони цих кутів є доповняльними променями.

На малюнку кути AOC і COB є суміжними. В них ОА і ОВ є доповняльними променями, ОС - спільна сторона.

Властивості суміжних кутів

Сума суміжних кутів дорівнює 180°.
Кут, суміжний з прямим кутом, - прямий.
Кут, суміжний з гострим кутом, - тупий; кут, суміжний з тупим кутом, - гострий.
Кути, суміжні до рівних кутів, є рівними.

Приклади

Знайдіть кут, суміжний з кутом 60°.
Розв'язування
Так як сума суміжних кутів дорівнює 180°, то щоб знайти кут, суміжний до іншого, треба відняти від 180° даний кут. Маємо 180° - 60° = 120°.
Відповідь: 120°
Знайдіть суміжні кути, якщо один з них на 20° більший за інший
Розв'язування
Нехай ∠ВОС = х, тоді ∠АОС = х + 20°. Так як ∠АОС і ∠ВОС суміжні, то ∠АОС + ∠ВОС = 180°. Маємо рівняння
х + 20° + х = 180°
x + х = 180° - 20°
2х = 160°
х = 160° : 2
х = 80°
Отже, ∠ВОС = 80°, ∠АОС = 80° + 20° = 100°
Відповідь: 80°, 100°
Знайдіть суміжні кути, якщо один з них на 50° менший за інший.
Розв'язування
Нехай ∠АОС = х, тоді ∠ВОС = х - 50°. Так як ∠АОС і ∠ВОС суміжні, то ∠АОС + ∠ВОС = 180°. Маємо рівняння
х + х - 50° = 180°
x + х = 180° + 50°
2х = 230°
х = 230° : 2
х = 115°
Отже, ∠АОС = 115°, ∠ВОС = 115° - 50° = 65°
Відповідь: 65°, 115°
Знайдіть суміжні кути, якщо один з них в 5 разів більший за інший.
Розв'язування
Нехай ∠BОС = х, тоді ∠AОС = 5х. Так як ∠АОС і ∠ВОС суміжні, то ∠АОС + ∠ВОС = 180°. Маємо рівняння
5х + х = 180°
6х = 180°
х = 180° : 6
х = 30°
Отже, ∠BОС = 30°, ∠AОС = 5 ⋅ 30° = 150°
Відповідь: 30°, 150°
Знайдіть суміжні кути, якщо один з них в 4 разів менший від іншого.

Розв'язування
Нехай ∠BОС = х, тоді ∠AОС = 4х (Для того, щоб не утворилось рівняння з дробом, за невідоме беремо менший кут, тоді другий буде в 4 рази більшим). Так як ∠АОС і ∠ВОС суміжні, то ∠АОС + ∠ВОС = 180°. Маємо рівняння
4х + х = 180°
5х = 180°
х = 180° : 5
х = 36°
Отже, ∠BОС = 36°, ∠AОС = 4 ⋅ 36° = 144°
Відповідь: 36°, 144°
Знайдіть суміжні кути, якщо вони відносяться як 5 : 4.
Розв'язування
Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює х Тоді ∠AОС = 5х, ∠BОС = 4х. Так як ∠АОС і ∠ВОС суміжні, то ∠АОС + ∠ВОС = 180°. Маємо рівняння
5х + 4х = 180°
9х = 180°
х = 180° : 9
х = 20°
Отже, ∠AОС = 5 ⋅ 20° = 100°, ∠BОС = 4 ⋅ 20° = 80°
Відповідь: 100°, 80°
Знайдіть суміжні кути, якщо один з них становить $\frac{2}{3}$ від іншого.
Розв'язування
Нехай ∠AОС = х, тоді ∠BОС = $\frac{2}{3}x$ . Так як ∠АОС і ∠ВОС суміжні, то ∠АОС + ∠ВОС = 180°. Маємо рівняння
$x+\frac{2}{3}x=180^o$
$\frac{3}{3}x+\frac{2}{3}x=180^o$
$\frac{3+2}{3}x=180^o$
$\frac{5}{3}x=180^o$
$x=180^o:\frac{5}{3}$
$x=180^o\cdot\frac{3}{5}$
x = 36° ⋅ 3
x = 108°
Отже, ∠AОС = 108°, ∠BОС = $\frac{2}{3}\cdot108^o=2\cdot36^o=72^o$
Відповідь: 72°, 108°