Пошук матеріалів

Головна

Раді вітати Вас на сторінках нашого сайту. Основне призначення даного сайта - це допомогти учням якісно підготуватися до проходження ЗНО/НМТ з математики. В основу цієї підготовки покладено метод навчання через задачі. Ви відкриваєте набір задач з певної теми, розв'язуєте їх, перевіряєте себе за наданою відповіддю і рухаєтесь далі.

СТРУКТУРА САЙТУ

Онлайн - тести

Тренувальні тести НМТ з математики з відліком часу.

Вам надається 1 година на виконання тесту, після завершення часу можна буде або закінчити виконання, або продовжити. Після 2 годин або завершення тесту буде повідомлено кількість балів за першу годину та загальну; вказано номери, які було розв'язано неправильно.

Перейти до першого тесту

Підготовка до ЗНО/НМТ

Матеріали попередніх ЗНО та НМТ, розділені за темами.

Допоможе Вам якісно підготуватися до випробувань. На початку є теоретичний матеріал, далі пропонуються завдання. Після кожного завдання є кнопка "Відповідь", по натисненню на яку буде показано правильну відповідь, щоб можна було себе перевірити.

Перейти до першої теми

Математичний довідник

Зміст матеріалу з математики.

Підійде всім: учням вивчити або закріпити пройдений матеріал; батькам - пригадати вивчений ними матеріал щоб допомогти дітям розібратися у виконанні вправ. Матеріал розподілений за класами.

Перейти до першої теми

Вчителям

Матеріали для вчителів інформатики та математики.

В даному розділі можна знайти календарне планування з інформатики та математики, перелік чинних програм. Крім того, вчителям математики запропоновано програму, яка дозволяю створювати завдання з розв'язання рівнянь.

Перейти до розділу

Корисні посилання

Надано посилання на освітні ресурси учнів та освітян.

В даному розділі можна знайти посилання на різні види ресурсів. Для учнів випускних класів - це сайти, присвяченні ЗНО та НМТ. Для учнів інших класів - це сайти підтримки вивчення математики.

Перейти до розділу

Немає коментарів:

7 клас. Геометрія. Основні задачі на побудову

Задачі на побудову – задачі, в яких треба описати порядок побудови за допомогою циркуля та лінійки для отримання заданої фігури з доведенням, що побудована фігура є шуканою. Для побудови лінійка використовується як без поділок, лише для проведення прямих і з'єднання точок. Циркуль використовується для проведення кіл (дуг) та відкладання відрізків заданої довжини (ніжки циркуля ставляться у кінцях заданого відрізку і потім відміряється шуканий відрізок від заданої точки).

Найпростіші побудови:

  • Побудова трикутника за трьома даними сторонами a, b, c. Порядок побудови:
    побудова трикутника за трьома даними сторонами, constructing a triangle from three given sides
    1. На довільній прямій відкладаємо відрізок GH довжиною AB = a.
    2. Будуємо коло з центром в т.G і радіусом CD = b.
    3. Будуємо коло з центром в т.H і радіусом EF = с.
    4. Знаходимо точку перетину кіл - т. I
    5. Проводимо відрізок GI
    6. Проводимо відрізок IH
    7. Трикутник GIH - шуканий
  • Побудова кута, що дорівнює заданому. Порядок побудови:
    побудова кута, що дорівнює заданому; constructing an angle equal to a given one
    1. На даному куті будуємо коло з центром в т.А і довільним радіусом.
    2. Знаходимо точки E і F перетину кола зі сторонами кута.
    3. Проводимо відрізок EF.
    4. Будуємо з точки O трикутник OHG, сторони якого OH, HG,OG дорівнюють довжинам АE, EF і AF відповідно (за алгоритмом побудови трикутника за двома трьома даними сторонами)
    5. Кут HOG - шуканий
  • Побудова бісектриси нерозгорнутого кута. Порядок побудови:
    побудова бісектриси нерозгорнутого кута; constructing the Bisector of a Given Angle
    1. Будуємо коло з центром в т.А і довільним радіусом R.
    2. Знаходимо точки F і G перетину кола зі сторонами кута.
    3. Будуємо коло з центром в т.F і тим же радіусом R.
    4. Будуємо коло з центром в т.G і тим же радіусом R.
    5. Знаходимо точку перетину побудованих кіл H.
    6. Проводимо відрізок AH.
    7. Відрізок AH - шуканий
  • Побудова прямої, що проходить через дану точку А перпендикулярно до даної прямої. Порядок побудови:
    побудова прямої, що проходить через дану точку А перпендикулярно до даної прямої; constructing a perpendicular line through point A to a given line
    1. Будуємо коло з центром в т.C і довільним радіусом R.
    2. Знаходимо точки E і F перетину кола зі сторонами кута
    3. Будуємо коло з центром в т.E і тим же радіусом R.
    4. Будуємо коло з центром в т.F і тим же радіусом R.
    5. Знаходимо точку перетину побудованих кіл G.
    6. Проводимо пряму CG
    7. Пряма CG - шукана
  • Побудова серединного перпендикуляра до даного відрізка (побудова середини даного відрізка). Порядок побудови:
    побудова серединного перпендикуляра до даного відрізка; сonstructing the perpendicular bisector of a line segment
    1. Будуємо коло з центром в т.A і радіусом більше половини даного відрізка.
    2. Будуємо коло з центром в т.B і таким же радіусом.
    3. Знаходимо точки перетину побудованих кіл E і D.
    4. Проводимо пряму ED.
    5. Побудована пряма ED - шуканий серединний перпендикуляр. Якщо треба середина відрізка ВС, то це точка F перетину ED та AВ.
  • Побудова прямої, що проходить через дану точку С паралельно даній прямій. Порядок побудови:
    побудова прямої, паралельної даній; constructing a line parallel to a given one
    1. Будуємо коло з центром в т.C і довільним радіусом R (більшим за відстань до прямої).
    2. Знаходимо точки E і F перетину побудованого кола з прямою.
    3. Будуємо коло з центром в т.F і тим же радіусом R.
    4. Будуємо коло з центром в т.C і радіусом EF.
    5. Знаходимо точку G перетину даних кіл.
    6. Проводимо пряму CG.
    7. Побудована пряма CG - шукана.

Приклад

Побудуйте рівносторонній трикутник та впишіть у нього коло. Порядок побудови:

  1. Будуємо трикутник АВС з трьома рівними сторонами.
  2. Знаходимо точку D - середину АС.
  3. Проводимо медіану BD.
  4. Знаходимо точку E - середину BC.
  5. Проводимо медіану AE.
  6. Знаходимо точку О - точку перетину медіан BD і AE.
  7. Будуємо коло з центром в точці О і радіусом OD.
    8. побудова кола, вписаного в трикутник; constructing the incircle of a given triangle
Доведення. Побудований трикутник АВС є рівностороннім за побудовою. Так як трикутник є рівностороннім, то його медіани BD і AE є бісектрисами. Тому точка О іх перетину є центром вписаного кола. Так як трикутник є рівностороннім, то його медіани BD і AE є висотами. Тому радіус кола OD лежить на перпендикулярі до сторони АВ, тому точка D є точкою дотику кола і сторони АВ.
⇐Попередня тема Повернутись до переліку тем
Немає коментарів:

7 клас. Геометрія. Взаємне розміщення двох кіл

Можливі випадки взаємного розміщення кіл:

  • Якщо відстань між центрами кіл більше суми радіусів кіл, то кола не перетинаються. O1O2 > r1 + r2.
    кола не перетинаються, circles do not intersect
  • Якщо відстань між центрами кіл менше різниці радіусів кіл, то кола не перетинаються. O1O2 < r1 - r2.
    кола не перетинаються, circles do not intersect
  • Якщо відстань між центрами кіл дорівнює 0 (центри співпадають), то кола не перетинаються і називаються концентричними.
    концентричні кола, concentric circles
  • Якщо відстань між центрами кіл дорівнює сумі радіусів кіл, то кола мають зовнішній дотик. O1O2 = r1 + r2.
    зовнішній дотик кіл, external tangency of circles
  • Якщо відстань між центрами кіл дорівнює різниці радіусів кіл, то кола мають внутрішній дотик. O1O2 = r1 - r2.
    внутрішній дотик кіл, internal tangency of circles
  • Якщо відстань між центрами кіл менше суми радіусів кіл, але більше їх різниці, то кола перетинаються. r1 - r2< O1O2 < r1 + r2.
    перетин кіл, intersection of circles

Приклади

  1. Знайдіть відстань між центрами двох кіл, що мають зовнішній дотик, якщо іх радіуси дорівнюють 5 см і 8 см.
    зовнішній дотик кіл, external tangency of circles
    Дано: r2 = 5 см, r1 = 8 см.
    Знайти: O1O2

    Розв'язування

    Так як кола мають зовнішній дотик, то O1O2 = r1 + r2 = 5 + 8 = 13 см.

    Відповідь: 13 см.
  2. Відстань між центрами двох кіл, що мають зовнішній дотик, дорівнює 12 см. Знайдіть радіуси цих кіл, якщо вони відносяться як 4 : 2.
    зовнішній дотик кіл, external tangency of circles
    Дано: O1O2 = 12 см, r1 : r2 = 4 : 2.
    Знайти: r1, r2

    Розв'язування

    Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює х. Тоді r1 = 4х, r2 = 2х. Так як кола мають зовнішній дотик, то O1O2 = r1 + r2. Маємо рівняння:
    4x + 2x = 12
    6x = 12
    x = 12 : 6
    x = 2.

    Тоді r1 = 4 ⋅2 = 8 см, r2 = 2 ⋅2 = 4 см.

    Відповідь: 8 см, 4 см.
  3. Знайдіть відстань між центрами двох кіл, що мають внутрішній дотик, якщо іх радіуси дорівнюють 4 см і 10 см.
    внутрішній дотик кіл, internal tangency of circles
    Дано: r2 = 4 см, r1 = 10 см.
    Знайти: O1O2

    Розв'язування

    Так як кола мають внутрішній дотик, то O1O2 = r1 - r2 = 10 - 4 = 6 см.

    Відповідь: 6 см.
  4. Відстань між центрами двох кіл, що мають внутрішній дотик, дорівнює 12 см. Знайдіть радіуси цих кіл, якщо вони відносяться як 7 : 3.
    внутрішній дотик кіл, internal tangency of circles
    Дано: O1O2 = 12 см, r1 : r2 = 7 : 3.
    Знайти: r1, r2

    Розв'язування

    Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює х. Тоді r1 = 7х, r2 = 3х. Так як кола мають внутрішній дотик, то O1O2 = r1 - r2. Маємо рівняння:
    7x - 3x = 12
    4x = 12
    x = 12 : 4
    x = 3.

    Тоді r1 = 7 ⋅3 = 21 см, r2 = 3 ⋅3 = 9 см.

    Відповідь: 21 см, 9 см.
  5. Визначте взаємне розміщення двох кіл, якщо відстань між їх центрами O1O2 = 8 см, а радіуси кіл дорівнюють: а) 6 см та 2 см; б) 4 см та 5 см; в) 4 см та 2 см; г) 13 см та 4 см; д) 13 см та 5 см.
    Розв'язування

    а) Так як r1 + r2 = 6 + 2 = 8 = O1O2, то кола мають зовнішній дотик.

    б) Так як r1 + r2 = 4 + 5 = 9 > O1O2, r2 - r1 = 5 - 4 = 1 < O1O2, то кола перетинаються.

    в) Так як r1 + r2 = 4 + 2 = 6 < O1O2, то кола не перетинаються.

    г) Так як r1 - r2 = 13 - 4 = 9 > O1O2, то кола не перетинаються.

    д) Так як r1 - r2 = 13 - 5 = 8 = O1O2, то кола мають внутрішній дотик.

    Відповідь: а) мають зовнішній дотик; б) перетинаються; в) не перетинаються; г) не перетинаються; д) мають внутрішній дотик.
⇐Попередня тема Повернутись до переліку тем ⇒Наступна тема
Немає коментарів:
Підписатися на: Дописи (Atom)